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专题 4.1 阅读材料与新定义
1．整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如， 是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到
，这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如 、 是多项式的乘法公式；把这些公式反过
来，得到 、 ，这是运用公式法把多项式因式分
解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．
甲：
（分成两组）
（分别提公因式）
；
乙：
（分成两组）
（运用公式）
．
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解．
问题一：因式分解：
（1） ；（2） ．
问题二：探究
对 、 定义一种新运算 ，规定： ， （其中 ， 均为非零常
数）．当 时， ， ， 对任意有理数 、 都成立，试探究 ， 的数
量关系．
【解答】解：问题一：（1）
；
（2）
；
问题二： ， ，
， ，
又 ， ， ，
，
，
，
．2．教科书中这样写道：“我们把多项式 及 叫做完全平方式”，
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出
现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些
与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式
例如．求代数式 的最小值．
原式
．
可知当 时， 有最小值，最小值是 ．
（1）分解因式： ．
（2）试说明： 、 取任何实数时，多项式 的值总为正数．
（3）当 ， 为何值时，多项式 有最小值，并求出这个最小
值．
【解答】解：（1）
；
（2）多项式 的值总为正数，理由：，
， ，
，
多项式 的值总为正数；
（3）
，
当 ， 时代数式有最小值，
解得 ， ，最小值为5．
3．第一环节：自主阅读材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如
，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，
分解过程为：
分组
组内分解因式
整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法．
第二环节：利用这种方法解决下列问题．
因式分解： ．
第三环节：拓展运用．已知 ， ， 为 的三边，且 ，试判断 的形状并说明理由．
【解答】解：第二环节：
；
第三环节： 是等腰三角形，
理由： ，
，
，
，
，
，即 ，
是等腰三角形．
4．观察探究性学习小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：
（分成两组）
（直接提公因式）
乙：
（直接运用公式）请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
5．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
； ．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
； ．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是 1 的二次三项式分解因式．如将式子
分解因式．这个式子的二次项系数是 ，常数项 ，一次项系数
，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十
字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写
这样，我们就可以得到： ．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【解答】（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
故答案为：（1） ，（2） ，（3） ，（4）
．
6．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组
分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式 ．步骤：
解：原式 第1步：拆项法，将 拆成 和 ；第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
第4步：提公因式法（整体）；
第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式 ．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式 ．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
7．先阅读下列材料：
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的
方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如
．
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式： ；
（2）分解因式： ．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
8．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式
法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用
较多．
十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项
分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数
（如图）．如：将式子 和 分解因式，如图： ；
请你仿照以上方法，探索解决下列问题：
（1）分解因式： ；
（2）分解因式： ．【解答】解：（1）
（2） ．
9．阅读并解答：对于多项式 ，我们把 代入多项式，发现 能使多
项式的值为0，由此可断定多项式 中有因式 ，（注：把 代入多
项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式 ，于是我们可以把多项式写成：
， 分 别 求 出 ， 后 代 入 ， 就 可 以 把 多 项 式
因式分解．
（1）求式子中 ， 的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式 ．
【解答】解：（1）在等式 — 中，
假设 ，代入等式得： ，
．
假设 ，代入等式得： ．
．
．
， ．
（2）把 代入 ，
可得 ，
则多项式可分解为： ，
假设 、 分别代入该等式，即可求出： ， ，．
10．1637年笛卡尔 ． ， 在其《几何学》中，首次应用待定系数法
最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：
分解因式： ．观察知，显然 时，原式 ，因此原式可分解为 与另
一 个 整 式 的 积 ． 令 ： ， 而
，因等式两边 同次幂的系数相等，
则有： ，得 ，从而 ．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若 是多项式 的因式，求 的值并将多项式 分解因式．
（2）若多项式 含有因式 及 ，求 ， 的值．
【解答】解：（1）令 ，
而 ，
等式两边 同次幂的系数相等，
即
解得
的值为0，（2）
令 ，
而 ，
等式两边 同次幂的系数相等，
即
解得
答： 、 的值分别为8、 ．
解法二：由题意， ，
解得 ．
11．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由 得 ．利用这个式子可以将
某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子 分解因式．
分析：这个式子的常数项 ，一次项系数 ．
所以 ．
解： ．请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式： ；
（2）若 可分解为两个一次因式的积，则整数 的所有可能值是 ；
（3）利用上面因式分解方法解方程： ．
【解答】解：（1） ，
故答案为： ；
（2） ， ， ， ，
， ， ， ，
若 可分解为两个一次因式的积，则整数 的所有可能值是： ， ，
故答案为： ， ；
（3） ，
，
或 ，
， ．
12．利用完全平方公式因式分解在数学中的应用，请回答下列问题：
（1）因式分解： ；
（2）填空：当 时，代数式 ；
（3）阅读如下材料，完成下列问题：
对于二次三项式求最值问题，有如下示例：
．因为 ，所以 ，所以，
当 时，原式的最小值为2．①代数式 的最小值是 ；
②拓展与应用：求代数式 的最小值（模仿示例详细说明）．
【解答】解：（1）原式 ，
故答案为： ；
（2） ，
，
，
，
当 时，代数式 ．
故答案为：3；
（3）① ，
，
，
代数式 的最小值是 ．
故答案为： ；
② ，
， ，
，
代数式 的最小值是5．
13．教科书中这样写道：“我们把多项式 及 叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出
现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一
种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解
决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：
分解因式 ．
求代数式 的最小值， ．
当 时， 有最小值，最小值是 ，
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式： ．
（2）当 为何值时，多项式 有最大值？并求出这个最大值．
（3）若 ，求出 ， 的值．
【解答】解：（1）
；
（2） ，
当 时，多项式 有最大值，这个最大值是5；
（3） ，
，
，，
， ，
， ．
14．利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题：
（1）因式分解： ．
（2）填空：
①当 时，代数式 ．
②当 时，代数式 ．
③代数式 的最小值是 ．
（3）拓展与应用：求代数式 的最小值．
【解答】解：（1） ，
故答案为： ；
（2）①当 时，
，
故答案为：0；
② ，
，
，
故答案为：3；③ ，
当 时， 取得最小值4，
故答案为：4；
（3） ，
代数式 的最小值是3．
15．教科书中这样写道：“我们把多项式 及 叫做完全平方式”，
如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中
出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是
一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能
解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如： ；
，则当 时， 有最小值，最小
值是 ．
根据材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式： ；
（2）当 为何值时，多项式 有最大值？并求出这个最大值；
（3）解方程 ，并求出 ， 的值．
【解答】（1）原式
．
故答案为： ．（2） ．
．
当 时，原式有最大值，最大值为： ．
故答案为：有最大值，最大值为5．
（3） ．
．
．
， ．
， ．
， ．
故答案为： ， ．
