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专题4.2.2 相似三角形的判定（专项训练）
1．（2021秋•沐川县期末）如图所示，点D在△ABC的AB边上，AD＝1，BD＝2，AC＝
．求证：△ACD∽△ABC．
2．（2021秋•中山区期末）如图所示，点D是△ABC的AB边上一点，且AD＝1，BD＝
2，AC＝ ．求证：△ACD∽△ABC．
3．（2021秋•泉州期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝9，BD＝
7，AC＝6，CE＝3，求证：△ADE∽△ACB．4．（2021春•肇州县期末）如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC＝3，AB
＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．求证：△ABC∽△AED．
5.（2020秋•惠民县期末）已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且
AC＝1，CD＝2，DB＝4．求证：△ACP∽△PDB．
6．（2021秋•通道县期末）如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若
∠DCE＝90°．
求证：△ACD∽△BEC．7.（2021秋•南京期末）如图，AD和BG是△ABC的高，连接GD．
（1）求证△ADC∽△BGC；
（2）求证△CDG∽△CAB．
8．（2021 秋•越秀区期末）如图，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B，求证：
△ABC∽△ADE．
9．（2021•赣州模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝
BD；求证：△ABE∽△ACD．10．（2021秋•宣州区校级期中）已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点
D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．求证：△ABD∽△DCE．
11．（2021秋•苏家屯区期中）如图，已知：AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别是B和C，AB
＝3cm，CD＝5cm，BC＝10cm，点P从点B出发沿BC运动，当P，C，D为顶点的三角
形与△ABP相似时，求PB的长．
12．（2021春•龙口市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点
M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．
（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的 ？
（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
13．（2020秋•鼓楼区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点
P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿
BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点 P、Q运动时间为t
（s）．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积为9？
（2）当△PBQ与△ABC相似时，t的值是多少？
专题4.2.2 相似三角形的判定（专项训练）1．（2021秋•沐川县期末）如图所示，点D在△ABC的AB边上，AD＝1，BD＝2，AC＝
．求证：△ACD∽△ABC．
【解答】证明：∵ ， ，
∴ ，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
2．（2021秋•中山区期末）如图所示，点D是△ABC的AB边上一点，且AD＝1，BD＝
2，AC＝ ．求证：△ACD∽△ABC．
【解答】证明：∵ ＝ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
3．（2021秋•泉州期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝9，BD＝
7，AC＝6，CE＝3，求证：△ADE∽△ACB．【解答】证明：∵AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝9﹣7＝2，AE＝AC﹣CE＝6﹣3＝3，
∵ ， ，
∴
又∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB．
4．（2021春•肇州县期末）如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC＝3，AB
＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．求证：△ABC∽△AED．
【解答】证明：∵AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．
∴AE＝5，AD＝6，
∴ ， ，
∴ ，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED．
5.（2020秋•惠民县期末）已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且
AC＝1，CD＝2，DB＝4．求证：△ACP∽△PDB．【解答】证明：∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2，
∴∠PCA＝∠PDB＝120°，
∵AC＝1，BD＝4，
∴ ， ＝ ，
∴ ＝ ，
∴△ACP∽△PDB．
6．（2021秋•通道县期末）如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若
∠DCE＝90°．
求证：△ACD∽△BEC．
【解答】证明：∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠DAC＝∠CBE＝90°，
∴∠ADC+∠DCA＝90°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠DCA+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ADC，
∴△ACD∽△BEC．
7.（2021秋•南京期末）如图，AD和BG是△ABC的高，连接GD．
（1）求证△ADC∽△BGC；
（2）求证△CDG∽△CAB．【解答】（1）证明：在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，
∴∠BGC＝∠ADC＝90°，
又∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BGC；
（2）证明：∵△ADC∽△BGC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ．
又∠C＝∠C，
∴△CDG∽△CAB．
8．（2021 秋•越秀区期末）如图，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B，求证：
△ABC∽△ADE．
【解答】证明：∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠EAC+∠CAD＝∠DAB+∠CAD，
即∠DAE＝∠BAC，
又∵∠D＝∠B，
∴△ABC∽△ADE．
9．（2021•赣州模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝
BD；求证：△ABE∽△ACD．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE．
∴∠AEB＝∠ADC．
∴△ABE∽△ACD．
10．（2021秋•宣州区校级期中）已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点
D 是 BC 边上的一个动点（不与 B，C 点重合），∠ ADE＝45°．求证：
△ABD∽△DCE．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠B＝135°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠2+∠3＝135°，
∴∠1＝∠3，
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE．11．（2021秋•苏家屯区期中）如图，已知：AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别是B和C，AB
＝3cm，CD＝5cm，BC＝10cm，点P从点B出发沿BC运动，当P，C，D为顶点的三角
形与△ABP相似时，求PB的长．
【解答】解：（1）当△ABP∽△PCD时， ，
∵AB＝3cm，CD＝5cm，BC＝10cm，
∴ ＝ ，
解得BP＝（5﹣ ）（cm）或BP＝（5+ ）（cm）；
（2）当△ABP∽△DCP时， ，
∵AB＝3cm，CD＝5cm，BC＝10cm，
∴ ＝ ，
解得BP＝ （cm）．
综合以上可知，当P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，PB的长为（5﹣ ）
cm或（5+ ）cm或 cm．
12．（2021春•龙口市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点
M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的
速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的 ？
（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
【解答】解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的 ．
×2x（8﹣x）＝ ×8×10× ．
解得x ＝x ＝4．
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答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的 ；
（2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似．
∵∠C＝∠C，
∴可分为两种情况：
① ＝ ，即 ＝ ，
解得t＝ ；
② ＝ ，即 ＝ ．
解得t＝ ．
答：经过 或 秒，△MCN与△ABC相似．
13．（2020秋•鼓楼区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点
P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿
BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点 P、Q运动时间为t
（s）．（1）当t为何值时，△PBQ的面积为9？
（2）当△PBQ与△ABC相似时，t的值是多少？
【解答】解：（1）由题意得，AP＝t，BQ＝2t，则PB＝6﹣t．
∴S△PBQ ＝ PB•BQ
＝ （6﹣t）•2t
＝﹣t2+6t，
由题意得﹣t2+6t＝9，
解得t ＝t ＝3，
1 2
所以运动时间t为3s；
（2）若当△PBQ∽△ABC时， ＝ ．
即 ＝ ，
解得t＝ ；
当△PBQ∽△CBA时， ＝ ．
即 ＝ ，
解得t＝ ．
综上所述，当△PBQ与△ABC相似时，t的值是 或 ．
