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专题 31 利用相似三角形测高(重难题型)
1．学校教学楼前面有一根高是4.2米的旗杆，在某时刻太阳光下的影子长是6.3米，与此
同时， 在旗杆周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是9米，则此大树的高度是（
）
A．4.8米 B．8.4米 C．6米 D．9米
【答案】C
【分析】
此题利用相似三角形测高，先找出对应的成比例线段 ，再把数据代入计算即可．
【详解】
如图，根据题意得: AG=4.2米 ，AB=6.3米，EF=9米，
同一时刻树高与影长的比和旗杆与影长的比相等得△DFE与△GAB相似，
即 ，
代入得：
解得：树高= 6米．
故选：C．
【点睛】
此题考查利用相似三角形测高，主要利用线段成比例，找出对应边是关键，难度一般．
2．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到
窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高AB=2米，那么窗口底部离地面的高度BC为（）
A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米
【答案】B
【解析】
【分析】
根据光沿直线传播的道理可知AD∥BE，则△BCE∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相
等即可解答．
【详解】
由题意知AD∥BE，
可得△BCE∽△ACD，
BC CE
∴ = ，
AC CD
∵CD=CE+ED=5+4=9（米），AC=BC+AB=(BC+2)米，
BC 5
∴ = ，
BC+2 9
∴BC=2.5米，
故选B.
【点睛】
题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
3．如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5
米，则这棵树的高度为（ ）
A．1.5米 B．2.3米 C．3.2米 D．7.8米
【答案】C【分析】
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光
线三者构成的两个直角三角形相似，据此进行求解即可.
【详解】
设树高为x米，由题意得
，
解得：x=3.2，
故选C.
【点睛】
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据
对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
4．如图，上体育课，九年级三班的甲、乙两名同学分别站在 、 的位置时，乙的影子
恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距 米．甲身高 米，乙身高 米，则甲的影
长是（ ）
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
【答案】C
【解析】
【分析】
利用相似三角形的判定与性质得出 ，进而求出AD的长即可得出答案．
【详解】
根据题意可得：
BC∥DE，故 AED∽△ABC，
△则 ，
即 ，
解得：AD=5，
故甲的影长是：AC=1+5=6（m），
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似
比进行求解是关键.
5．如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶边缘的小孔插入桶内，测得木
棒插入部分的长为 ，木棒上沾油部分的长为 ，桶高为 ，那么桶内油面
的高度是（ ）
A．32 cm B．30 cm C．50 cm D．48 cm
【答案】D
【解析】
【分析】
将实际图形抽象为直角三角形，并根据相似三角形的性质来解答．
【详解】
如图：AB为油桶高，DE为桶内油面的高度，AC为木棒插入部分的长，CD为木棒上沾油部
分的长，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴CD：CA=DE：AB，
∴60：100=DE：80，
∴DE=48cm，故选D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，根据题意正确画出图形并熟练应用相似三角形的判定与性
质是解题的关键.
6．为测量一河两岸相对电线杆 、 之间的距离，有四位同学分别测量出了一下四组数
据：
① ， ；② ， ， ；③ ， ， ；④ ， ，
；
能根据所测数据，求出 、 间距离的共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C
【解析】
【分析】
根据锐角三角函数关系可以借助边角关系求出AB的长，也可以利用相似三角形的性质，根
据 求出AB的长.
【详解】
①因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长，故①正确；
②可利用∠ACB和∠ADB的正切由CD的长，得出关于AB，AC的比例式，利用方程求出AB
即可，故②正确；③因为 ABD∽△EFD可利用 ，求出AB即可，故③正确；
△
④无法求出A，B间距离，故④错误，
故共有3组可以求出A，B间距离，
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化
为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．
7．数学兴趣小组的小明想测量教学楼前的一棵树的高度．下午课外活动时他测得一根长为
1m的竹竿的影长是0.8m．但当他马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一
部分影子落在教学楼的墙壁上（如图）．他先测得留在墙壁上的树影高为1.2m，又测得地
面的影长为2.6m，请你帮他算一下，下列哪个数字最接近树高（ ）m．
A．3.04 B．4.45 C．4.75 D．3.8
【答案】B
【详解】
试题解析：∵留在墙壁上的树影高为1.2m，
∴这段影子在地面上的长为：1.2×0.8=0.96m，
∴这棵树全落在地面上时的影子的长为：2.6+0.96=3.56m，
∴这棵树的高度为：3.56÷0.8=4.45m.
故选B．
8．如图所示，某同学拿着一把有刻度的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸
直，将尺子竖直，看到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为12cm，已知臂长60cm，则电线杆
的高度为（ ）A．2.4m B．24m C．0.6m D．6m
【答案】D
【详解】
试题解析：作AN⊥EF于N，交BC于M，
∵BC∥EF，
∴AM⊥BC于M，
∴△ABC∽△AEF，
∴ ，
∵AM=0.6，AN=30，BC=0.12，
∴EF= =6m．
故选D．
9．一个油桶高0.8m ， 桶内有油，一根长lm的木棒从桶盖小口插入桶内，一端到达桶
底，另一端恰好在小口处，抽出木棒量得浸油部分长0.8m，则油桶内的油的高度是
（ ）
A．0.8m B．0.64m C．1m D．0.7m【答案】B
【详解】
试题解析：如图在矩形中，∠C=90°，BE=0.8，AB=1，AC=0.8，
由题意知，DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴ ，
∴
即
解得，CD=0.64m．
故选B．
10．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光
线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且
测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是( )
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
【答案】B
【分析】
由镜面反射的知识可得∠APB=∠CPD，结合∠ABP=∠CDP即可得到 ABP∽△CDP，接下来，由
△相似三角形的三边对应成比例可得 ，至此，本题不难求解.
【详解】
解：由镜面反射原理知∠APB=∠CPD.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP.
∵∠ABP=∠CDP，∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP，
∴AB∶BP=CD∶DP.
∵AB=1.2米，BP=1.8米，DP=12米， ，
∴CD= =8（米）.
故该古城墙的高度是8米.
故选B.
【点睛】
本题是一道有关求解三角形的题目，回顾一下相似三角形的判定与性质；
11．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆
DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，
那么旗杆AC的高度为( )
A．6米 B．7米 C．8.5米 D．9米
【答案】D
【解析】
试题分析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶
部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可
求解．解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴△DEF∽△ABC，
∴ = ，
即 = ，
∴AC=6×1.5=9米．
故答案为9．
【点评】此题考查相似三角形的实际运用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对
应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
12．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，
使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为（ ）
A．7 m B．8 m C．6m D．9m
【答案】D
【解析】
试题解析：由题意得，CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴ ，
即 ，
解得AB=9．
故选D．
考点：相似三角形的应用．
13．高4米的旗杆在水平地面上的影长5米，此时测得附近一个建筑物的影子长20米，则
该建筑物的高是 （ ）
A．16米 B．20米 C．24米 D．30米【答案】A
【解析】
试题分析：设该建筑物的高是x米，根据同一时刻物高与物影成正比可得 ，解得
x=16，所以该建筑物的高是16米，故答案选A．
考点：同一时刻物高与物影成正比．
14．如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5
米，则这棵树的高度为
A．7.8米 B．3.2米 C．2.3米 D．1.5米
【答案】B
【解析】
试题解析：如图：
∵同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，
BC B'C'
∴ = ，
AB A'B'
BC 1.6
∴ = ，
5 2.5
1.6
∴BC= ×5=3.2米．
2.5
故选B．
考点：相似三角形的应用．
15．如图，在 中， ，通过测量，并计算 的面积，所得面积与下
列数值最接近的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出AB边上的高，测量出长度，依据三角形面积公式计算即可得到结果.
【详解】
如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则CD为AB边上的高，
经过测量，CD≈2cm
所以，
故选：D.
【点睛】
此题主要考查了三角形面积的计算，测量出CD和长度是解答此题的关键.
16．在 中，点 分别在 上，且 与 相交于点 ，已知
的面积为10， 的面积为20， 的面积为16，则四边形区域 的面积等
于（ ）
A．22 B．24 C．36 D．44
【答案】D
【分析】
连接AF，设S =m，根据题中条件可得出三角形的面积之比与边长之比的关系，进而用
△ADFm表示出S ，S ，进而得到关于m的方程，即可求出m的值，进而可得四边形的面积．
△AEF △ABF
【详解】
连接AF，设S =m，
△ADF
∵S ：S =10：20=1：2=DF：CF，
△BDF △BCF
∴2m=S +S ，
△AEF △EFC
∴S =2m−16，
△AEF
∵S ：S =20：16=5：4=BF：EF，
△BFC △EFC
∴S ：S =BF：EF=5：4，
△ABF △AEF
∵S =m+S =m+10，
△ABF △BDF
∴S ：S =BF：EF=5：4=(m+10)：(2m−16)，
△ABF △AEF
解得：m=20．
∴S =2×20−16=24，
△AEF
S =S +S =24+20=44．
四边形ADEF △AEF △ADF
故选D．
【点睛】
本题主要考查三角形的面积，掌握高相同的两个三角形的面积之比等于底边长之比，是解
题的关键．
17．如图，AC⊥BC， ，D是AC上一点，连接BD，与∠ACB的平分线交于点
E，连接AE，若 ， ，则BC＝（ ）A． B．8 C． D．10
【答案】B
【分析】
过 作 垂足分别为 由角平分线的性质可得： 利用
， 可以求得 进而求得 的面积，利用面积公式列方
程求解即可．
【详解】
解：如图，过 作 垂足分别为
平分
，
设
， ，（负根舍去）
故选B．
【点睛】
本题考查的是三角形的平分线的性质，等高的两个三角形的面积与底边之间的关系，一元
二次方程的解法，掌握相关知识点是解题关键．
18．如图，在△ABC中 ， ，分别以AB、BC、CA边向△ABC外作正
方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设△AEF、△CGM、△BND的积分别为S 、
1
S 、S ，则下列结论正确的( )
2 3
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设直角三角形的三边分别为 ，分别表示出三角形的面积进行比较即可．
【详解】
设△ABC的三边分别为
∵分别以AB、BC、CA边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG∴
∴
∴ ，
∴
同理可得
∴
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了三角形面积的问题，掌握三角形面积公式是解题的关键．
19．在 ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝ ，AD＝1．则 ABC的面积为（
△ △
）
A．1 B． C． D．2【答案】C
【分析】
先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，解Rt△ADB，得出AB＝3，根据勾股定理
求出BD＝2 ，解Rt△ADC，得出DC＝1，然后根据三角形的面积公式计算即可；
【详解】
在Rt△ABD中，
∵sinB＝ ＝ ，
又∵AD＝1，
∴AB＝3，
∵BD2＝AB2﹣AD2，
∴BD ．
在Rt△ADC中，
∵∠C＝45°，
∴CD＝AD＝1．
∴BC＝BD+DC＝2 +1，
∴S ＝ •BC•AD＝ ×（2 +1）×1＝ ，
△ABC
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的面积问题，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
20．如图，在 ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD与CE交于点O，若四边形AEOD的
面积记为S ，S△ ＝S ，S ＝S ，S ＝S ，则S •S 与S •S 的大小关系为（ ）
1 △BEO 2 △BOC 3 △COD 4 1 3 2 4
A．S •S ＜S •S B．S •S ＝S •S
1 3 2 4 1 3 2 4C．S •S ＞S •S D．不能确定
1 3 2 4
【答案】C
【分析】
首先作辅助线：连接DE，再设S =S′ ，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得：
△DEF 1
则 ，则可证得：S ′S =S S ，即可得到：S S ＞S S ．
1 3 2 4 1 3 2 4
【详解】
解：如图，连接DE，设S ＝S′ ，
△DEF 1
则 ，从而有S ′S ＝S S ．
1 3 2 4
因为S ＞S ′，所以S S ＞S S ．
1 1 1 3 2 4
故选：C．
【点睛】
此题考查了有关三角形面积的求解．注意等高三角形的面积比等于对应底的比性质的应用
21．如图，点D、E分别在AB、AC上，BE、CD相交于点F，设S ＝S ，S ＝S ，
四边形EADF 1 △BDF 2
S ＝S ，S ＝S ，则S S 与S S 的大小关系是( )
△BCF 3 △CEF 4 1 3 2 4
A．不能确定 B．S S ＜S S C．S S ＝S S D． S ＞S S
1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4
【答案】D
【解析】
分析：连接DE，设S ＝S，用等高的三角形的面积的比等于底的比，判断 与 的
△DEF大小关系.
详解：设S ＝S，因为 ，又 ，
△DEF
所以 ，则 ，
因为 ＞S，所以 .
故选D.
点睛：涉及到三角形的面积的问题，注意同底的三角形的面积的比等于高的比，等高的三
角形的面积的比等于底的比.
22．如图， ABC中，D，E分别是BC上两点，且BD=DE=EC，则图中面积相等的三角形有
（ ） △
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
【答案】A
【分析】
根据三角形的面积公式，知：只要同底等高，则两个三角形的面积相等，据此可得面积相
等的三角形．
【详解】
由已知条件，得 ABD， ADE， ACE，3个三角形的面积都相等，组成了3对，
还有 ABE和 A△CD的面积△相等，△共4对.
故选△A. △
【点睛】本题考查了三角形的相关知识，解题的关键是熟练的掌握三角形面积公式与运用.
23．如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等 ，这样的三角形称为黄金三角形，
已知腰AB=1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个
黄金三角形，以此类推，第2014个黄金三角形的周长( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：
第n个黄金三角形的周长为kn-1（2+k），从而得出答案.
【详解】
解：∵AB=AC=1，
∴△ABC的周长为2+k；
△BCD的周长为k+k+k2=k（2+k）；
△CDE的周长为k2+k2+k3=k2（2+k）；
依此类推，第2014个黄金三角形的周长为k2013（2+k）；
故选D
【点睛】
此题考查了黄金分割，用到的知识点是黄金分割的定义和相似三角形的性质，找出各个三
角形周长之间的关系，得出规律是本题的关键.
24．已知 ， 是 的高，且 ， 所在直线相交所成的4个角中，有一个角
的度数是 ，则 的度数为_______．【答案】135°或45°
【分析】
分两种情况：（1）当∠A为锐角时，如图1；（2）当∠A为钝角时，如图2；根据四边形的
内角和为360°以及三角形内角和为180°，即可得出结果．
【详解】
解：分两种情况：
（1）当∠A为锐角时，如图1，
∵∠DOC=45°，
∴∠EOD=135°，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∴∠A=360°-90°-90°-135°=45°；
（2）当∠A为钝角时，如图2，
∵∠F=45°，
同理：∠ADF=∠AEF=90°，
∴∠DAE=360°-90°-90°-45°=135°，
∴∠BAC=∠DAE=135°，
综上所述，∠BAC的度数为45°或135°，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了三角形的内角和和四边形的内角和，明确四边形的内角和为360°是关键，解题
时要分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行计算．
25．如图，小正方形边长为1，则△ABC中AC边上的高等于_____．
【答案】
【分析】
用大正方形面积减去外面三个小三角形的面积就是 ，再用勾股定理算出AC的长，即
可算出B到AC边上的距离．
【详解】
解：过B作BG⊥AC，交AC于点G，
在Rt△ACF中，AF＝2，CF＝1，
根据勾股定理得：AC＝ ，
∵S ＝S ﹣S ﹣S ﹣S ＝4﹣ ×1×1﹣2× ×2×1＝ ，
△ABC 正方形AFED △BCE △ABD △ACF
S ＝ AC•BG，
△ABC
∴ × BG＝ ，
则BG＝ ．
故答案为： ．【点睛】
本题考查了三角形的勾股定理及三角形面积相关的知识点，考生应熟练掌握．
26．如图，在 中， 和 的平分线相交于点 ，过点 作 交
于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，下列四个结论：
① ；② ；
③点 到 各边的距离相等；④设 ， ，则 ．
其中正确的结论是__________．（填所有正确结论的序号）
【答案】①②③④
【分析】
由在 中， 和 的平分线相交于点 ，根据角平分线的定义与三角形内
角和定理，即可求得②正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰
三角形得出 ，故①正确；由角平分线的性质得出点 到 各边的距
离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得 ，
故④正确．【详解】
∵在 中， 和 的平分线相交于点
∴ ， ，
∴
∴ ，故②正确
∵在 中， 和 的平分线相交于点
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，故①正确
过点O作 于M，作 于N，连接OA
∵在 中， 和 的平分线相交于点
∴
∴ ，故④正
确
∵在 中， 和 的平分线相交于点
∴点 到 各边的距离相等，故③正确故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了角平分相关的证明问题，掌握角平分线的定义、三角形内角和定理、平行线的
性质、三角形面积公式是解题的关键．
27．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长
为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端
点D离地面的距离为____________米
【答案】2.4
【分析】
过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结
论．
【详解】
解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，
则DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴ ，
∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，
∴CD=AB=3.5m，OD=OA=3m，CH=0.3m，
∴OC=0.5m，∴ ，
∴DG=1.8m，
∵OE=0.6m，
∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6=2.4(m)．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
28．已知在 中， ， ， ，将 绕点
顺时针旋转60°，得到 ，点 在 上，连接 ．
（1）如图①，求线段 的长；
（2）如图②，连接 ，作 ，垂足为 ，求 的长度；
（3）如图③，点 是线段 的中点，点 是线段 上的动点（不与点 重合），求
周长的最小值．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 周长的最小值为 ．
【分析】（1）根据旋转的性质以及旋转角度，可以得出 是等边三角形，所以
．
（2）由三角函数以及勾股定理，可以得出OA、AB、BC以及AC的长度，算出 的面
积，根据等面积法，求出OP的长度即可．
（3）连接 ， ，连接 交 于点 ，证明 ，所以得到
， ， 垂直平分 ，即点 关于直线 的对称点为点 ，所
以当 取最小值时， 周长最小，即当点 、 、 三点共线时，
的周长取得最小值，为 的值，求出结果即可．
【详解】
解：（1）由旋转性质可知： ，
是等边三角形
．
（2） ，
，
是等边三角形
，， ．
（3）如解图，连接 ， ，连接 交 于点 ．
为等边三角形，点 为 的中点
，即
在 中， ，
，
在 和 中
，
垂直平分 ，即点 关于直线 的对称点为点
的周长为 ， 为定值
当 取最小值时， 周长最小
即当点 、 、 三点共线时， 的周长取得最小值，为点 是 的中点，
周长的最小值为 ．
【点睛】
本题主要考查了三角形旋转，勾股定理，以及最短路径的作图，能够熟悉旋转的性质、熟
练等面积法的运用和最短路径的作图是解决本题的关键．
29．将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC．
（1）试猜想AE与BF有何关系？说明理由．
（2）若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积．
【答案】（1）AE∥BF，AE＝BF，理由详见解析；（2）12cm2．
【分析】
（1）根据旋转的性质得 ，可得AB＝FE，再根据∠ABC＝∠FEC可得
AB∥FE，即可证明四边形ABFE为平行四边形，从而得证AE∥BF，AE＝BF．
（2）根据平行四边形的性质可得AC＝CF，BC＝CE，再根据等底同高可得四边形ABFE的面
积．
【详解】
解：（1）AE∥BF，AE＝BF．
理由是：∵△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC，
∴ ，
∴AB＝FE，
∵∠ABC＝∠FEC，
∴AB∥FE，∴四边形ABFE为平行四边形，
∴AE∥BF，AE＝BF；
（2）由（1）得四边形ABFE为平行四边形，
∴AC＝CF，BC＝CE，
∴根据等底同高得到S ＝S ＝S ＝S ＝3cm2，
△ABC △ACE △BCF △CEF
S ＝4S ＝12cm2．
四边形ABFE △ABC
【点睛】
本题考查了三角形旋转的问题，掌握旋转的性质、平行线的性质以及判定定理、平行四边
形的性质以及判定定理、三角形面积公式是解题的关键．
30．已知等边 ABC和点P，设点P到 ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h ，h ，h ，
1 2 3
ABC的高为h△． △
△
（1）若点P在一边BC上，如图①，此时h ＝0，求证：h +h +h ＝h；
3 1 2 3
（2）当点P在 ABC内，如图②，以及点P在 ABC外，如图③，这两种情况时，上述结
论是否成立？若△成立，请予以证明；若不成立，△h ，h ，h 与h之间又有怎样的关系，请说
1 2 3
出你的猜想，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）点P在 ABC内时成立，点P在△ABC外时不成立，理由见解
析. △
【分析】
(1)连接AP,将△ABC面积分成△ABP和△APC的面积,利用面积公式代入即可证明.
(2)连接AP、BP、CP,将△ABC的面积分裂成几个小三角形的面积之和,代入面积公式计算即
可.
【详解】
（1）如图1，连接AP，则 S ＝S +S
△ABC △ABP △APC
∴ BC•AM＝ AB•PD+ AC•PF即 BC•h＝ AB•h + AC•h
1 2
又∵△ABC是等边三角形
∴BC＝AB＝AC，
∴h＝h +h ；
1 2
（2）点P在△ABC内时，h＝h +h +h ，理由如下：
1 2 3
如图2，连接AP、BP、CP，则 S ＝S +S +S
△ABC △ABP △BPC △ACP
∴ BC•AM＝ AB•PD+ AC•PF+ BC•PE
即 BC•h＝ AB•h + AC•h + BC•h
1 2 3
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC．
∴h＝h +h +h ；
1 2 3
点P在△ABC外时，h＝h +h ﹣h ．
1 2 3
理由如下：如图3，连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S ＝S +S ﹣S ，
△ABC △PAB △PAC △PBC
即 BC•AM＝ AB•PD+ AC•PE﹣ BC•PF，
∵AB＝BC＝AC，
∴h +h ﹣h ＝h，
1 2 3
即h +h ﹣h ＝h．
1 2 3
【点睛】
本题考查三角形面积与高的关系,关键在于将大三角形的面积分成几个小三角形的面积.31．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s
的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t
秒表示移动的时间(0≤t≤6)那么:
(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
(3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
【答案】(1) t=2秒；(2)在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变(或
P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变)；(3)①t=1.2，②t=3.
【分析】
(1)分别用t表示出QA和AP，则按QA=AP求解即可；
(2)观察图形可得S =S +S ，然后用含t的表达式分别求解S 和S ，根据运算结
△QPC △QAC △APC △QAC △APC
果即可发现相关结论；
(3)分△QAP∽△ABC和△PAQ∽△ABC两种情况进行讨论即可.
【详解】
(1)对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t，
当QA=AP时，△QAP是等腰直角三角形，即6-t=2t，t=2秒.
(2)S =S +S =(36-6t)+6t=36cm2，
△QPC △QAC △APC
在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变(或P、Q两点到对角线AC
的
距离之和保持不变)
(3)分两种情况:
①当 时△QAP∽△ABC，则 ，从而t=1.2s，
②当 时△PAQ∽△ABC，则 ，从而t=3s.
【点睛】
本题为动点问题，根据点的运动方式结合相似三角形相关性质列出关系式进行求解.
