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专题 3.7 圆周角和圆心角的关系（知识讲解）
【学习目标】
1.了解并圆周角的概念，识别圆周角；
2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；
【要点梳理】
1. 圆周角定义：
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆
上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2.圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的園心角度数的一半
3.圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.．
推论2：直径所对的圆周角是直角; 90°的周角所对的弦是直径
特别说明：
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
4.圆内接四边形：
（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内
角的对角）．
【典型例题】
类型一、圆周角概念
1．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠AOC=∠B，则∠B=_______度．
【答案】120
【分析】连结OB，可知△OAB和△OBC都是等腰三角形，∠ABC=∠A+∠C=∠AOC，四边
形内角和360゜，可求∠B．
解：如图，连结OB，∵OA=OB=OC，
∴△OAB和△OBC都是等腰三角形，
∴∠A=∠OBA，∠C=∠OBC，
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=∠A+∠C，
∴∠A+∠C=∠ABC=∠AOC
∵∠A+ ∠ABC+∠C+∠AOC=360゜
∴3∠ABC=360゜
∴∠ABC=120゜
即∠B=120゜．
故答案为：120．
【点拨】本题考查圆周角度数问题，要抓住半径相等构造两个等腰三角形，把问题转化为
解∠B的方程是关键．
举一反三：
【变式1】 如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则图中共有________个圆周角，分
别是_____________．
【答案】6 ∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE
【分析】根据圆周角的定义进行判断即可.
解：根据题意可知图中共有6个圆周角，分别是∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，
∠CED，∠BDE.
故答案为6；∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE.
【点拨】本题考查圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.【变式2】顶点在圆周上并且两边和圆相交的角是圆周角．（______）
【答案】正确
【分析】根据圆周角的概念进行判断即可得解.
解：顶点在圆周上并且两边和圆相交的角是圆周角．
故答案为：正确.
【点拨】此题主要考查了圆周角的概念，正确理解概念是解此题的关键.
【变式3】 在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是 和 ，则∠BAC的度数是
________.
【答案】15°或75°
【解析】试题解析：如图，
作OM⊥AB，ON⊥AC；由垂径定理，可得AM= AB，AN= AC，
∵弦AB、AC分别是 、 ，
∴AM= ，AN= ；
∵半径为1∴OA=1；
∵
∴∠OAM=45°；同理，∵ ，
∴∠OAN=30°；
∴∠BAC=∠OAM+∠OAN或∠OAM-∠OAN
∴∠BAC=75°或15°．
类型二、圆周角定理
2．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证PA＝PC．
【分析】连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出 ，进而得出 ，根据等
弧所对的圆周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论．
解：如图，连接 .
∵ ，
∴ .
∴ ，即 .
∴ .
∴ .【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌
握性质定理是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图， 为 的直径，点 在 上．
（1）尺规作图：作 的平分线，与 交于点 ；连接 ，交 于点 （不写
作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究 与 的位置及数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）如图所示；见解析；（2） ， ．理由见解析.
【分析】（1）利用基本作图作AD平分∠BAC，然后连接OD得到点E；
（2）由AD平分∠BAC得到∠BAD= ∠BAC，由圆周角定理得到∠BAD= ∠BOD，则
∠BOD=∠BAC，再证明OE为△ABC的中位线，从而得到OE∥AC，OE= AC．
解：（1）如图所示；
（2） ， ．
理由如下：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ， ．
【点拨】本题考查了作图——基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；
作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直
线的垂线）．也考查了圆周角定理．
【变式2】如图， 内接于 . ，D是 上任一点， .
求证：DA平分 .
【答案】详见解析
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠ADC=∠ABC，由 得∠ACB=∠ABC，等量代换得∠ADC=∠ACB，再由已知 可得
∠ADC=∠ADE，即DA平分 ．
证明： ，
.
，
.
，
，
即DA平分 .
【点拨】本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于
这条弧所对的圆心角的一半．
【变式3】 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝140°，求∠BCD的度数．
【答案】110°
【分析】先根据圆周角定理得到∠A= ∠BOD=70°，然后根据圆内接四边形的性质求
∠BCD的度数．
解：∵∠BOD＝140°，
∴∠A＝ ∠BOD＝70°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．类型三、同弧或等弧所对的圆周角相等
3．如图，在 中， ，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC
于点E，过点D作 ，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）
【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明 ，利用平行线证明 ，
利用圆的性质证明 ，再证明 即可得到结论；
（2）如图，连接 ，利用平行线的性质及圆的基本性质 ，再利用圆内接四
边形的性质证明 ，从而可得结论．
证明：（1） ，
，
，
，
又 ,
四边形 是平行四边形．
（2）如图，连接，
四边形 是 的内接四边形
【点拨】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形
的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、
OC、BC
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的面积．（结果保留π）
【答案】（1）见解析；（2）169π（cm2）．【分析】（1）根据垂径定理，即可得 ＝ ，根据同弧所对的圆周角相等，证出
∠BAC＝∠BCD，再根据等边对等角，即可得到∠BAC＝∠ACO，从而证出∠ACO＝
∠BCD；
（2）根据垂径定理和勾股定理列出方程，求出圆的半径，即可求出圆的面积.
解：（1）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴ ＝ ．
∴∠BAC＝∠BCD．
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO．
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝ CD＝ ×24＝12（cm）．
在Rt△COE中，设CO为r，则OE＝r﹣8，
根据勾股定理得：122+（r﹣8）2＝r2
解得r＝13．
∴S ＝π×132＝169π（cm2）．
⊙O
【点拨】此题考查的是垂径定理、等腰三角形的性质、圆周角定理推论和求圆的面积，掌
握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键.
【变式2】如图所示， 是锐角三角形 的外接圆 的半径， 于点 ，
求证： .【分析】作直径 ，则 ， 分别位于 和 中，根据
等角的补角相等即可得证.
解：延长 交 于 ，连结
∵ 是直径
∴
∵ 于点
∴
又在 中
∴ .
【点拨】本题考查了圆周角的性质定理，经常利用直径构造直角，来推理证明圆中角度问
题.
【变式3】 如图， 是 的弦，半径 ，点 在 上，且 ．
求 的度数．
【答案】
【分析】先根据垂径定理得到 ，然后根据圆周角定理求解．解：∵ ， 为半径，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等
于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
类型四、 半圆或直径所对的圆周角等于90度
4．已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D
的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形．
（1）求证：△DFB是等腰三角形；
（2）若DA= AF，求证：CF⊥AB．
【解析】
（1）由AB是⊙O直径，得到∠ACB=90°，由于△AEF为等边三角形，得到
∠CAB=∠EFA=60°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，根据等边三角形的性质得到FM=EN=a，AM=
a，在根据已知条件得到AB=AF+BF=8a，根据直角三角形的性质得到
AE=EF=AF=CE=2a，推出∠ECF=∠EFC，根据三角形的内角和即可得到结论．
解：（1）∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵△AEF为等边三角形，∴∠CAB=∠EFA=60°，
∴∠B=30°，
∵∠EFA=∠B+∠FDB，
∴∠B=∠FDB=30°，
∴△DFB是等腰三角形；
（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，
∵△AEF是等边三角形，∴FM=EN=a，AM= a，
在Rt△DAM中，AD= AF=2a，AM= ，
∴DM=5a，∴DF=BF=6a，
∴AB=AF+BF=8a，
在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，
∵AE=EF=AF=CE=2a，∴∠ECF=∠EFC，
∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，
∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，
∴CF⊥AB．
举一反三：
【变式1】 如图，在 中， ．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作 的垂直平分线，垂足为 ；
②以 为圆心， 长为半径作圆，交 于 （ 异于 ），连接 ；（2）探究 与 的位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2） （或垂直），理由见解析．
【分析】（1）①根据尺规作垂直平分线即可求解；②根据题意即可作圆；
（2）根据圆周角定理即可得到 ．
（1）解：如图，①作出 的垂直平分线
②以点 为圆心， 长为半径作圆，连接
（2） （或垂直），理由如下:
∵ 是 的直径
∴
∴ ．
【点拨】此题主要考查尺规作图与圆周角定理，解题的关键是熟知直径所对的圆周角
为90°．
【变式2】如图，⊙O的半径 弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结
EC．已知 ， ．
（1）求⊙O半径的长；
（2）求EC的长．【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据垂径定理可得 ，再由勾股定理可求得 半径的长；
（2）连接 构造出 ，利用勾股定理可求得 ，再利用勾股定理解
即可求得答案．
解：（1）∵ ，
∴
∴设 的半径
∴
∵在 中，
∴
∴
∴ 半径的长为 ．
（2）连接 ，如图：∵ 是 的直径
∴ ，
∵
∴在 中，
∵
∴在 中，
∴ ．
【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等，做出合适的辅助线是解题的关
键．
【变式3】 如图，四边形 内接于 ， 为 的直径，点 为 的中点．若
，求 的度数．
【答案】 .【分析】连接AC，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，∠BAC= ∠BAD，然后根据∠B与
∠BAC互余即可求解.
解：连接 ，
∵ 是直径，
∴ ，
∵点 为 的中点， ，
∴ ，
∴在 中， ．
【点拨】本题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都
等于这条弧所对的圆心角的一半．
类型五、90度的圆周角所对的弦为直径，所对的弧为半圆
5．如图所示，AB是⊙O的直径，C为 的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，
连接AC，求证：AF＝CF．
【分析】连接BC，可得∠ACB＝90°，再根据∠ACF+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，可得∠ACF＝∠B，因为C为 的中点，可得 ，可得∠B＝∠CAE，∠ACF＝
∠CAE，即可得出结论.
证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACF+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
∵C为 的中点，
∴ ，
∴∠B＝∠CAE，
∴∠ACF＝∠CAE，
∴AF＝CF．
【点拨】本题考查圆周角相关的定理，在题中看到直径就可以想到，直径所对的圆周角是
90°，题中有90°比较多的话，那么角之间的等量代换就可以用等角的余角相等，进行角之
间的等量代换，虽然题中求证的是边相等，但是可以利用角相等进行转换.
举一反三：
【变式1】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，求作：⊙O，使它过点
A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
【答案】见解析
【分析】由于∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则在AB上截取AO＝AC＝1，然后以O点为
圆心，OA为半径画圆即可．
解：如图，⊙O为所作．【点拨】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一
般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的
性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【变式2】有一个未知圆心的圆形工件．现只允许用一块直角三角板（注：不允许用三角板
上的刻度）画出该工件表面上的一根直径并定出圆心．要求在图上保留画图痕迹，写出画
法．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角画图即可．
解：如图，
（1）选择合适的直角三角板，用等腰直角三角板；
（2）用直角三角板的直角和圆上一点重合，沿两直角边划直线，连接两条直线与圆的交点，
两圆之间的线段即为⊙O的直径；
（3）因为直角三角板上角的度数是一定的，所以过直角三角形的顶点向斜边作垂线即可．
斜边与垂线的交点即为该圆的圆心．
【点拨】本题是圆周角定理在实际生活中的运用，锻炼了学生对所学知识的应用能力．半
圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
