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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题3.6直线和圆的位置关系
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020秋•衢江区期末）如图，把太阳与地平线分别抽象成圆和直线，则该图所呈现的直线与圆之间的
位置关系是
A．相切 B．相交 C．相离 D．相似
【分析】根据相离的概念：一条直线和圆没有公共点称为直线和圆相离，由此即可作出判断．
【解析】 太阳与地平线没有公共点，
该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是相离．
故选： ．
2．（2020秋•北仑区期末）若 的半径 ，点 到直线 的距离为3，下列图中位置关系正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据圆 的半径和圆心 到直线 的距离的大小，相交： ；相切： ；相离： ；即可选出答案．
【解析】 的半径为6，圆心 到直线 的距离为3，
，即： ，
直线 与 的位置关系是相交．
故选： ．
3．（2020秋•泗阳县期末）已知 的半径为4，点 到直线 的距离为2，则直线 与 的位置关系是
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【分析】要判定直线与圆的位置关系，需要比较圆心到直线的距离 与半径的大小 的关系，本题
，可得结论．
【解析】 点 到直线 的距离为2， 的半径为4，
且 ，
直线 与 的位置关系是相交．
故选： ．
4．（2020秋•舞阳县期末）已知 的直径为 ，如果圆心 到一条直线的距离为 ，那么这条直
线与这个圆的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【分析】根据圆心到直线的距离7大于圆的半径6，则直线和圆相离．
【解析】 的直径为 ，
的半径为 ，
圆心 到一条直线的距离为 ，
直线和圆相离．
故选： ．
5．（2020•市南区二模）已知 的直径为 ， 是直线 上一点，且点 与圆心 之间的距离为 ，
则直线 与 的位置关系是
A．相切 B．相切或相交 C．相交 D．相离或相切
【分析】欲求直线与圆的位置关系，关键是明确直线上一点到圆心的距离恰好等于圆的半径，也就是说直
线与圆至少有一个交点．
【解析】 圆 的半径 ，且直线上存在一点到圆心的距离 ，
直线与圆至少有一个交点．
①当圆与直线有且只有一个交点时，交点到圆心的距离为 ，
此时直线与圆相切．
②当直线与圆有两个交点时，交点到圆心的距离为 ．
此时直线与圆相交．
直线与圆的位置关系是相交或相切．
故选： ．
6．（2020•深圳模拟）在平面直角坐标系中，以点 为圆心，4为半径的圆
A．与 轴和 轴都相交 B．与 轴和 轴都相切
C．与 轴相交，与 轴相切 D．与 轴相切，与 轴相交
【分析】先根据点的坐标求出点到 轴的距离是3，到 轴的距离是4，再根据直线与圆的位置关系得出即
可．
【解析】 点 点到 轴的距离是3，到 轴的距离是4，4为半径的圆一定与 轴相切，与 轴相交，
故 、 、 错误， 正确，
故选： ．
7．（2019秋•新吴区期末）若直线 与半径为5的 相离，则圆心 与直线 的距离 为
A． B． C． D．
【分析】直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论即可．
【解析】 直线 与 的位置关系是相离，
，
，
，
故选： ．8．（2020秋•饶平县校级期末）如图所示，在 中， ， ， ，以 为圆心，
为半径的圆与边 有公共点，则 的取值范围为
A． B． 或 C． D．
【分析】作 于 ，由勾股定理求出 ，由三角形的面积求出 ，由 ，可得以 为圆
心， 或4为半径所作的圆与斜边 只有一个公共点；若 与斜边 有公共点，即可得出 的取
值范围．
【解析】作 于 ，如图所示：
， ， ，
，
的面积 ，
，
即圆心 到 的距离 ，
，
以 为圆心， 或4为半径所作的圆与斜边 只有一个公共点，
若 与斜边 有公共点，则 的取值范围是 ．
故选： ．9．（2021•奉贤区二模）如图，在 中， ， ， ，点 在边 上，且
．以点 为圆心， 为半径作圆，如果 与 的边有3个公共点，那么下列各值中，半
径 不可以取的是
A．6 B．10 C．15 D．16
【分析】根据勾股定理得到 ，求得 ， ，过 分别作 于 ，
于 ，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】 ， ， ，
，
，
， ，
过 分别作 于 ， 于 ，
，
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，当 过点 时，连接 ，根据勾股定理得 ，
如图， 以点 为圆心， 为半径作圆，如果 与 的边有3个公共点，
或10或16或 ，
故选： ．
10．（2019•松江区二模）如图，在 中， ， ， ， 的半径为1，已知 与
直线 相交，且与 没有公共点，那么 的半径可以是
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】由 中， ， ， ，利用勾股定理即可求得 的长，又由 、
没有公共点，可得 与 外离或内含，然后利用两圆位置关系与圆心距 ，两圆半径 ， 的数量关系
间的联系求得答案．
【解析】 中， ， ， ，
，
、 没有公共点，
与 外离或内含，的半径为1，
若外离，则 半径 的取值范围为： ，
若内含，则 半径 的取值范围为 ，
与直线 相交，且与 没有公共点，
半径 的取值范围为： 或 ．
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•淮南月考）已知 的半径为 ，如果圆心 到直线 的距离为 ，那么直线 与
的位置关系是 相切 ．
【分析】由题意得出 ，根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可．
【解析】 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，
，
直线 与 的位置关系是相切．
故答案为：相切．
12．（2020秋•思明区校级期中）已知 的直径为10，直线 与 只有一个公共点，点 是直线 上
的动点，则线段 的最小值为 5 ．
【分析】首先判断直线 与 相切，根据切线的性质以及垂线段的性质即可得出答案．
【解析】 的直径为10，
的半径为5，
直线 与 只有一个公共点，
直线 是 的切线，
点 是直线 上的动点，
点 是切点时，线段 为最小值，
的最小值为5，
故答案为5．
13．（2020秋•滦南县期末）如图， ，点 是 上的一点，且 ，则以4为半径的
与直线 的公共点的个数为 2 个 ．【分析】过 作 于 ，求出 的长，根据直线和圆的位置关系判断即可．
【解析】过 作 于 ，
， ，
，
以4为半径的 与直线 的公共点的个数为2个，
故答案为：2个．
14．（2019秋•华容区校级月考）已知线段 ，端点 、 到直线 的距离分别为 和 ，则
符合条件的直线有 3 条．
【分析】分别以端点 、 为圆心，以 和 为半径作圆，根据两圆外切的判定得到 与 外切，
则 与 有3条外公切线，然后根据直线与圆相切的性质得到端点 、 到公切线的距离分别为
和 ．
【解析】分别以端点 、 为圆心，以 和 为半径作圆，
线段 ，
与 外切，
与 有3条外公切线，端点 、 到公切线的距离分别为 和 ．
故答案为3．
15．（2020春•绍兴月考）如图所示，在 中， ， ， ，若以点 为圆心，
为半径的圆与边 所在直线有公共点，则 的取值范围为 ．
【分析】如图，作 于 ．利用勾股定理求出 ，再利用面积法求出 即可判断．
【解析】如图，作 于 ．
在 中， ， ， ，，
，
，
以点 为圆心， 为半径的圆与边 所在直线有公共点，
，
故答案为 ．
16．（2020秋•闵行区期末）如图，在 中， ， ， ，点 在边 上，
的半径为1．如果 与边 和边 都没有公共点，那么线段 长的取值范围是 ．
【分析】根据勾股定理得到 ，当 与 相切时，设切点为 ，如图，连接 ，则 ，
根据相似三角形的性质可得到结论．
【解析】在 中， ， ， ，
，
当 与 相切时，设切点为 ，如图，
连接 ，
则 ，，
，
，
，
，
，
，
线段 长的取值范围是 ，
故答案为： ．
17．在 中， ， ， ， 是 中点，点 是边 上的动点，以 的
速度从 到 运动，经过 后，以 为半径的 与边 有两个交点，则 的取值范围是 或
．【分析】过点 作 于点 ，由勾股定理可求 的长，通过证明 ，可得 ，
由 大于 时，以 为半径的 与边 有两个交点，可求 的取值范围．
【解析】如图，过点 作 于点 ，
， ， ，
点 是 中点
，
时，以 为半径的 与边 有两个交点，
或
故答案为： 或
18．（2019•南浔区一模）如图，已知在 中， ， ， ，动点 从点 出发，
沿着 方向以1个单位长度 秒的速度匀速运动，同时动点 从点 出发，沿着 方向也以1个单位长
度 秒的速度匀速运动，设运动时间为 秒 ，以 为圆心， 长为半径的 与 的另一个
交点为点 ，连接 ．当 与线段 只有一个公共点时， 的取值范围是 或 ．【分析】先由勾股定理求出 ，分两种情况：①当 与 相切时，证明 ，得出
，求出 ，得出 即可；
②当 时，证明 ，得出 ，求出 ，再由 ，得出 即
可．
【解析】 中， ， ， ，
，
分两种情况：
①当 与 相切时，则 ，
，
， ，
， ，
，
，即 ，
；
当 时， 与 只有一个交点；
②当 时，则 ，
，
， ，
， ，
，，即 ，
解得： ，
，
；
综上所述， 的取值范围为 或 ；
故答案为： 或 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•崇川区月考）在 中， ， ， ．
（1）若以点 为圆心， 长为半径画 ，则直线 与 的位置关系如何？
（2）若直线 与半径为 的 相切，求 的值．
（3）若线段 与半径为 的 有唯一公共点，求 的取值范围．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理得出 是直角三角形， ，作 于 ，由
的面积得出 ，即可得出结论；
（2）由切线的性质和三角形面积求出 即可；
（3）分两种情况：①圆与 相切时，即 ；
②点 在圆内部，点 在圆上或圆外时，此时 ，即 ．即可得出答案．
【解析】（1） ， ， ，
，
是直角三角形， ，
作 于 ，如图所示：
由 的面积得： ，
若以点 为圆心， 长为半径画 ，则直线 与 的位置关系是相离；
（2）若直线 与半径为 的 相切，
设切点为 ，则 ，
由 的面积得： ，即 ；
（3） ，
以 为圆心， 为半径所作的圆与斜边 只有一个公共点．
分两种情况：
①圆与 相切时，即 ；
②点 在圆内部，点 在圆上或圆外时，
此时 ，即 ．
的取值范围时 或 ．
20．如图，在 中， ， ， ，若要以 为圆心， 为半径画 ，根据
下列条件，求半径 的值或取值范围．
（1）直线 与 相离．
（2）直线 与 相切．
（3）直线 与 相交．
【分析】过 作 于 ，根据勾股定理得到 ，再根据三角形的面积公式得到 的长，
然后根据圆心到 的距离与半径的关系即可得到结论．
【解析】过 作 于 ，
， ， ，
，
，
（1）直线 与 相离，则 的取值范围是 ；
（2）直线 与 相切，则 的值是 ；
（3）直线 与 相交，则 的取值范围是 ．21．（2020•丰台区模拟）如图，在 中， ， ， ， 是 的中点，到点
的距离等于 的所有点组成的图形记为 ，图形 与 交于点 ．
（1）补全图形并求线段 的长；
（2）点 是线段 上的一点，当点 在什么位置时，直线 与图形 有且只有一个交点？请说明理由．
【分析】（1）由勾股定理易求得 的长；可连接 ，由圆周角定理知 ，易知 ，
可得关于 、 、 的比例关系式，即可求出 的长．
（2）当 与 相切时，由切线长定理知 ，则 ，那么 和 就是等角的
余角，由此可证得 ，即 是 的中点．在证明时，可连接 ，证 即可．
【解析】（1）如图所示，在 中， ， ， ， ；
连接 ， 为直径，
；
， ，
；
，
；
（2）当点 是 的中点时， 与 相切；
证明：连接 ，
是 的中线；，
；
，
；
；
，
与 相切．
22．（2020秋•铁西区期末）如图， 为圆 的直径，取 的中点 ，过点 作 交圆 于点
， 在 的上方，连接 ， ，点 在线段 的延长线上，且 ．
（1）求 的度数；
（2）求直线 与圆 的公共点个数．
【分析】（1）如图，连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ．推出 是等边三角形．得到
．于是得到 ．
（2）根据三角形的内角和定理得到 ．由垂直的定义得到 ．推出 是 的切线．
于是得到结论．
【解析】（1）如图，连接 ，
，
点 为 的中点， ，，
，
是等边三角形，
，
；
（2）如图， ，
，
，
，
，
是 的切线，
直线 与 的公共点个数为1．
23．（2021•朝阳一模）如图，在 中， ， ，动点 从 出发，沿
以 的速度运动，运动到 停止，在整个运动过程中， 经过 、 、 三点，设运动时间为 秒．
（1）当 时，求 的半径；
（2）求当 为何值时， 与 所在直线相切．
【分析】（1）过点 作 交 于点 ，首先求出 ，当 时， ，此
时点 恰好在 中点，即与点 重合，可知此时 是直径，即可解答；
（2）过点 作 交 于点 ， 于 ，可知当 与 所在直线相切时，点 点 重
合，利用特殊角的三角函数求出半径，即可解决问题．
【解析】（1）过点 作 交 于点 ，， ，
， ，
，
，
，
当 时， ，此时点 恰好在 中点，即与点 重合，
，
，
经过 、 、 三点，
是 的直径，
的半径为 ；
（2）如图，过点 作 交 于点 ， 于 ，
，
，
，
，
，
，
当 与 所在直线相切时，点 点 重合，
在 中，由 ， ，可得 ，
在 中，由 ， ，
得： ，
，
，
时， 与 所在直线相切．
24．（2019秋•东台市期中）已知：平面直角坐标系中， 的圆心在 轴上，半径为1， 沿 轴上向
右平移．
（1）如图1，当 与 轴相切时，点 的坐标为 和 ；
（2）如图2，设 以每秒1个单位的速度从原点左侧沿 轴向右平移，直线 与 轴交于点 ，
交 轴 于 点 ， 问 ： 在 运 动 过 程 中 与 直 线 有 公 共 点 的 时 间 共 几 秒 ？
【分析】（1）直接可以写出当 与 轴相切时，点 的坐标，
（2）在直角三角形 中， ， ，由勾股定理得 ，设 经过 秒后与直线 相切，
过 点作 的垂线，垂足为 ， ；①当 在直线 的左边与直线 相切时， ，根据 的成比例线段求解；
②当 直线 的右边与直线 切时， ，根据 的成比例线段求解．
【解析】（1）已知圆的半径为1，
故当 与 轴左侧相切时，点 的坐标为 ，
故当 与右轴左侧相切时，点 的坐标为 ，
即当 与 轴相切时，点 的坐标为 和 ，
（2） ， ，故 ，
设 经过 秒后与直线 相切，作 的垂线，垂足为 ，则 ；
①当 直线 的左边与直线 相切时， ，
， ，即 ，
解得 ，
②当 在直线的右边与直线 相切时， ；
由 得， ，即 ，
解得 ，
在运动过程中 与直线 有公共点的时间共 秒．
