专题 3.6 垂径定理（专项练习）
一、单选题
知识点一、利用垂径定理求值
1．如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若AB＝20，CD＝16，则线段BE的长为（
）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=16，OE=6，则⊙O的直径为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
3．如图，在半径为 的⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB=CD=8，则
OP的长为（ ）
A． B．
C．4 D．2
4．如图，在 中，直径 ，垂足为M．若 ，则 的半径为
（ ）A．0.2 B．2.6 C．2.4 D．4
知识点二、利用垂径定理求平行弦
5．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（ ）
A．7 B．17 C．7或17 D．34
6．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（ )
A．弧AB =弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．无法确定
7．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的
距离为（ ）
A．1或7 B．7 C．1 D．3或4
8． 的半径为 ，弦 ， ， ，则 、 间的距离是：
（ ）
A． B． C． 或 D．以上都不对
知识点三、利用垂径定理求小圆问题
9．已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是
（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．90°
10．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，
AO=8cm，则OC长为（ ）cmA．5 B．4 C． D．
11．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的
底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底
有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B． C． D．
知识点四、利用垂径定理求其他问题
12．如图，已知 的半径为5，弦 ，则 上到弦 所在直线的距离为2的点
有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．如图，已知 的直径 弦于点 则下列结论不一定成立的是（ ）A． B． C． D．
14．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列
符合条件的OP的值是（ ）
A．6.5 B．5.5 C．3.5 D．2.5
15．如图，已知⊙O的半径为4，M是⊙O内一点，且OM＝2，则过点M的所有弦中，弦
长是整数的共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
知识点五、垂径定理的推论
16．已知点 在 上．则下列命题为真命题的是（ ）
A．若半径 平分弦 ．则四边形 是平行四边形
B．若四边形 是平行四边形．则C．若 ．则弦 平分半径
D．若弦 平分半径 ．则半径 平分弦
17．下列语句，错误的是（ ）
A．直径是弦 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
18．如图，在 中， 是直径， 是弦， ，垂足为 ，则下列说法中正
确的是（ ）
A． B．点 是劣弧 的中点 C． D．
是 弧中点
19．下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一
条直径都是它的对称轴 ； ④长度相等的两条弧是等弧
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
知识点六、利用垂径定理的实际应用
20．往直径为 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽
，则水的最大深度为（ ）A． B． C． D．
21．如图， 是 的内接三角形， ， 是直径，
，则 的长为（ ）
A．4 B． C． D．
22．如图， 是 的弦， 交 于点 ，点 是 上一点，
，则 的度数为（ ）．
A．30° B．40° C．50° D．60°
23．如图，将半径为 的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）A．4 cm B．2 cm C． cm D． cm
二、填空题
知识点一、利用垂径定理求值
24．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ），点O是这段弧所在圆的圆心，
，点C是 的中点，点D是 的中点，且 ，则这段弯路所在圆
的半径为________m．
25．如图，半径为5的 与y轴交于点 ，点P的坐标为______．
26．如图， 是 的直径，弦 于点E，若 ， ，则 的长为______．
27．如图， 交 轴与 两点，交 轴于点 ，弦 于点 的纵坐标为
2， ， ．则圆心 的坐标为____．
知识点二、利用垂径定理求平行弦
28．已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_____．
29．已知 的半径为 ，弦 ，且 ，则弦 和
之间的距离为_______．
30．已知⊙O的直径为20， AB， CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，
CD=10，则AB，CD之间的距离是_____．
31．已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm，若这圆的半径是5dm，则两条平行弦之间的
距离为_____．
知识点三、利用垂径定理求其他问题
32．如图， 是圆 的弦， ，垂足为点 ，将劣弧 沿弦 折叠交于
的中点 ，若 ，则圆 的半径为_____．33．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点A在格点上，B是小正方
形边的中点， ， ，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．
（Ⅰ）线段AB的长等于_______________；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足
，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_____．
34．如图， 、 是半径为5的 的两条弦， ， ， 是直 径，
于点 ， 于点 ， 为 上的任意一点，则 的最小
值为____.35．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，则该圆
弧所在圆的圆心坐标为________．
知识点四、垂径定理的推论
36．如图，点A、B在半径为3的⊙O上，以OA、AB为邻边作平行四边形OCBA，作点
B关于OA的对称点D，连接CD，则CD的最大值为________.
37．如图， 是 的弦， 是 的中点，连接 并延长交 于点 ．若
，则 的半径是_________．
38．如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是
______度．39．若⊙ 的一条弦长为24，弦心距为5，则⊙ 的直径长为__________．
知识点六、利用垂径定理的实际应用
40．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过
后，水面宽为80cm，则水位上升______cm．
41．如图，量角器的0度刻度线为 ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与
量角器相切于点 ，直尺另一边交量角器于点 ， ，量得 ，点 在量角器
上的读数为 ，则该直尺的宽度为____________ ．
42．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几
何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，
不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出
圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道 尺（1尺＝10寸），则该圆材的
直径为______寸．
43．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积 （弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中
的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，
运用垂径定理（当半径 ⊥弦 时， 平分 ）可以求解．现已知弦 米，
半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_____平方米．
三、解答题
知识点一、利用垂径定理求值
44．如图， 是 的直径，E为 上一点， 于点F，连接 ，
， 于点D．若 ，求线段 长．
知识点二、利用垂径定理求平行弦
45．如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，它们之间距离为5，AB=6，
求弦CD的长．
知识点三、利用垂径定理求小圆问题
46．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
知识点五、垂径定理的推论
47．如图所示，BC是半圆O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弧长 等于弧长 ，BF与
AD，AO分别交于点E，G.求证：
(1)∠DAO＝∠FBC；
（2）AE=BE.
知识点六、利用垂径定理的实际应用
48．好山好水好江山，石拱桥在江山处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安
全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度16m时，拱顶高出水平 面4m，货船宽
12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m。
（1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说
说你的理由.
参考答案
1．A
【分析】连接OC，求出OC，CE，根据勾股定理求出OE，即可求出答案．解：连接OC，
∵AB＝20，
∴OC＝OA＝OB＝10，
∵AB⊥CD，AB过O，
∴CE＝DE＝ CD＝8，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：OE＝ ＝6，
∴BE＝10﹣6＝4．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了垂径定理，熟练利用垂径定理是解题的关键．垂径定理：垂
直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．D
【分析】连接OC，由垂径定理可知，点E为CD的中点，且OE⊥CD，在Rt△OEC中，
根据勾股定理，即可得出OC，从而得出直径．
连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E
∴CE= CD=8，
∵OE=6．
在Rt△OEC中，由勾股定理得：OC2=OE2+EC2，即OC2=62+82
解得：OC=10
∴直径AB=2OC=20．
故选D．
【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理．熟练掌握定理是解答关键.
3．B
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC，根据垂径定理得出
BM=AM=4，DN=CN=4，根据勾股定理求出OM和ON，证明四边形OMPN是正方形，即
可解决问题．
解：如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC．
∴AM=BM=4，CN=DN=4，
∵OA=OC=2 ，
∴OM= ，
ON= ，
∴OM=ON，
∵AB⊥CD，
∴∠OMP=∠ONP=∠MPN=90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形OMPN是正方形，
∴OP= OM=2 ，故选：B．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，正方形的判定和性质等知识，解题的关键
是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
4．B
【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，根据垂径定理求出CM，
根据勾股定理得出方程，求出即可．
解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，
∵直径EF⊥CD，垂足为M，CD=2，
∴CM=DM=1，
在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2=OM2+CM2，
R2=（5-R）2+1²，
解得R=2.6．
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，用了方程思想，题目比较典型，难
度适中．
5．C
【分析】先作出图象根据勾股定理分别求出弦AB,CD的弦心距OE,OF,再根据两弦在
圆心同侧和在圆心异侧两种情况讨论.
解：如图,
设E、F为AB、CD的中点，AE= AB= 24=12,
CF= CD= 10=5,
OE= = =5,
OF= = =12,
①当两弦在圆心同侧时,距离=OF-OE=12-5=7;
②当两弦在圆心异侧时,距离=OE+OF=12+5=17.
所以距离为7或17.
故选C.
【点拨】本题主要考查勾股定理及垂径定理的应用.
6．A
【解析】因为在同圆中,平行弦所夹弧是等弧.故选A.
点拨:本题主要考查圆中平行弦所夹弧,解决本题的关键是要熟练掌握平行弦定理.
7．A
【分析】分两种情况：①当AB、CD在圆心两侧时；②当AB、CD在圆心同侧时；利
用垂径定理及勾股定理求出答案.
解：①当AB、CD在圆心两侧时；
过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所
示：
∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，
∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，
∴EF为AB、CD之间的距离
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：
OE2＝OC2﹣CE2
∴OE 3，
在Rt△OFA中，由勾股定理可得：
OF2＝OA2﹣AF2∴OF 4，
∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，
AB与CD的距离为7；
②当AB、CD在圆心同侧时；
同①可得：OE＝3，OF＝4；
则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1；
综上所述：AB与CD间的距离为1或7．
故选：A.
【点拨】此题考查圆的垂径定理、直角三角形的勾股定理，解题中注意运用分类讨论
的思想避免漏解.
8．C
【分析】先根据勾股定理求出OE=6，OF=8，再分AB、CD在点O的同侧时，AB、
CD在点O的两侧时两种情况分别计算求出EF即可.
如图，过点O作OF⊥CD于F，交AB于点E，
∵ ，
∴OE⊥AB，
在Rt△AOE中，OA=10，AE= AB=8，∴OE=6，
在Rt△COF中，OC=10，CF= CD=6，∴OF=8，
当AB、CD在点O的同侧时， 、 间的距离EF=OF-OE=8-6=2；
当AB、CD在点O的两侧时，AB、CD间的距离EF=OE+OF=6+8=14，
故选：C.【点拨】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，在圆中通常利用垂径定理和勾股定理
求半径、弦的一半、弦心距三者中的一个量.
9．C
【分析】连接OB，OC，作OD⊥BC，利用垂径定理和特殊角的三角函数可求得
∠BOD=60°，从而求得答案.注意弦所对的圆周角有锐角和钝角两种情况.
①当△ABC时锐角三角形时，
连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，
∴ ，
∵OB=2
∴
∴∠BOD=60°
∴∠BOC=2∠BOD=2×60°=120°，
∵ = ，
∴ ；
②当△ABC时钝角三角形时，如图，由①可知∠E=60°，
∵四边形ABEC是圆内接四边形，
∴∠E+∠A=180°，
∴∠A=180°-60°=120°.
故∠A的度数为60°或120°.
故答案为：C
【点拨】本题考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．正确作出辅助线是解题
的关键.
10．D
试题分析：O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点，那么C
点是AB的中点，即AC=BC= =6；并且OC⊥AB，在 中，由勾股定理得
，所以 ；AO=8cm，所以 ，所
以OC=
考点：弦心距，勾股定理
【点拨】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，
熟悉勾股定理的内容
11．C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，
则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC= ，
∴AB=2AC= .
故答案为C.
【点拨】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形
是解答本题的关键.
12．B
【分析】作圆的直径CE⊥AB于点D，连接OA，根据勾股定理求出OE的长，求得
C、E到弦AB所在的直线距离，与2比较大小，即可判断．
解：作圆的直径CE⊥AB于点D，连接OA，
∵AB=8，
∴AD=4．
∵OA=5，
∴OD= =3，
∴CD=OC-3=5-3=2，即C到弦AB所在的直线距离为2，
∴在劣弧AB上，到弦AB所在的直线距离为2的点只有C点；
∵DE=5+3=8＞2，
∴在优弧AEB上到弦AB所在的直线距离为2的点有2个，即圆上到弦AB所在的直线
距离为2的点有3个．
故选：B．【点拨】本题考查了垂径定理，转化为C、E到弦AB所在的直线距离，与2比较大小
是关键．
13．B
【分析】根据垂径定理得出 ，由此可判断A，再根据全等三角形的判定方法
“AAS”即可证明 ，进而可判断C、D，而AE与OE不一定相等，由此可
判断B．
∵ 的直径 于点，
∴ ，故A选项结论成立；
在 和 中，
，
∴ ，故D选项结论正确；
∴ ，故C选项结论正确；
而AE与OE不一定相等，故B选项结论不成立；
故选：B．
【点拨】本题考查了垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分
弦所对的两条弧．
14．C
【分析】连接OB，作OM⊥AB与M．根据垂径定理和勾股定理，求出OP的取值范围
即可判断．解：连接OB，作OM⊥AB与M．
∵OM⊥AB，
∴AM=BM= AB=4，
在直角△OBM中，∵OB=5，BM=4，
∴ ．
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转
换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．
15．C
【分析】过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，根据勾股定理求出AM，根据垂径定理
求出AB，进而得到答案．
解：过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，连接OA，
则AM＝BM＝ AB，
在Rt△AOM中，AM＝ ＝ ＝ ，
∴AB＝2AM＝ ，
则 ≤过点M的所有弦≤8，则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共三条，
故选：C．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂直于选的直径平分这条弦，并平分
弦所对的两条弧是解题关键．
16．B
【分析】根据圆的有关性质、垂径定理及其推论、特殊平行四边形的判定与性质依次
对各项判断即可．
A．∵半径 平分弦 ，
∴OB⊥AC，AB=BC，不能判断四边形OABC是平行四边形，
假命题；
B．∵四边形 是平行四边形,且OA=OC,
∴四边形 是菱形，
∴OA=AB=OB，OA∥BC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=60º,
∴∠ABC=120º,
真命题；
C．∵ ，
∴∠AOC=120º，不能判断出弦 平分半径 ，
假命题；
D．只有当弦 垂直平分半径 时，半径 平分弦 ，所以是
假命题，
故选：B．
【点拨】本题主要考查命题与证明，涉及垂径定理及其推论、菱形的判定与性质、等
边三角形的判定与性质等知识，解答的关键是会利用所学的知识进行推理证明命题的真假．
17．B
【分析】将每一句话进行分析和处理即可得出本题答案.A.直径是弦，正确.
B.∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,
∴相等的圆心角所对的弧相等，错误.
C.弦的垂直平分线一定经过圆心，正确.
D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦，正确.
故答案选：B.
【点拨】本题考查了圆中弦、圆心角、弧度之间的关系，熟练掌握该知识点是本题解
题的关键.
18．B
【解析】
【分析】根据弦的定义及垂径定理解答即可.
A. ∵AD<AB , ∴ ，故不正确；
B. ∵ ，∴ 点 是劣弧 的中点，故正确；
C.OE与EB不一定相等，故不正确；
D. ∵CD不过圆心，∴ 不是 弧中点，故不正确；
故选B.
【点拨】本题考查了直径是圆内最长的弦，以及垂径定理，熟练掌握垂径定理是解答
本题的关键.垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧.
19．D
【分析】由圆的性质以及垂径定理对每个选项一一判断即可.
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，结论①错误；平分弦的直径不一定垂直
于弦，结论②错误；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，结论③
错误；长度相等的两条弧不一定是等弧，结论④错误.不正确的有①②③④.
故选D.
【点拨】本题主要考查圆的性质，熟记相关概念是解题的关键.
20．C
【分析】过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD
的长，又由⊙O的直径为 ，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，
进而求得油的最大深度 的长．解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得： ，
∵⊙O的直径为 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴油的最大深度为 ，
故选： ．
【点拨】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线
的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决．
21．B
【分析】连接BO，根据圆周角定理可得 ，再由圆内接三角形的性质可
得OB垂直平分AC，再根据正弦的定义求解即可．
如图，连接OB，
∵ 是 的内接三角形，
∴OB垂直平分AC，∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ,
又∵AD=8，
∴AO=4，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案选B．
【点拨】本题主要考查了圆的垂径定理的应用，根据圆周角定理求角度是解题的关键．
22．D
【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出
∠OAC=∠OCA=∠AOC，得出△OAC是等腰三角形，得出∠BOC=∠AOC=60°即可．
解：如图，∵ ，
∴ ．
∵ 是 的弦， 交 于点 ，
∴ ．
∴ ．
故选D．【点拨】本题考查垂径定理，解题关键证明 .
23．A
【分析】连接AO，过O作OD⊥AB，交 于点D，交弦AB与点E，根据折叠的性
质及垂径定理得到AE=BE，再根据勾股定理即可求解.
如图所示，连接AO，过O作OD⊥AB，交 于点D，交弦AB与点E，
∵ 折叠后恰好经过圆心，
∴OE=DE,
∵半径为4，
∴OE=2，
∵OD⊥AB，
∴AE= AB，
在Rt△AOE中，AE= =2
∴AB=2AE=4
故选A.
【点拨】此题主要考查垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理的应用.
24．25
【分析】根据题意，可以推出AD=BD=20，若设半径为r，则OD=r-10，OB=r，结合勾股定理可推出半径r的值．
解：连接OD，∵点C是 的中点，D是AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴AD=DB=20m，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，
设半径为r得：r2=（r-10）2+202，
解得：r=25m，
∴这段弯路的半径为25m，
故答案为：25．
【点拨】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，
用r表示出OD、OB的长度．
25．（-4，-7）
【分析】过P作PQ垂直于y轴，利用垂径定理得到Q为MN的中点，由M与N的坐
标得到OM与ON的长，由OM-ON求出MN的长，确定出MQ的长，在直角三角形PMQ
中，由PM与MQ的长，利用勾股定理求出PQ的长，由OM+MQ求出OQ的长，进而可得
出P点坐标．
解：过P作PQ⊥y轴，与y轴交于Q点，连接PM，
∴Q为MN的中点，
∵M（0，-4），N（0，-10），
∴OM=4，ON=10，
∴MN=10-4=6，
∴MQ=NQ=3，OQ=OM+MQ=4+3=7，
在Rt△PMQ中，PM=5，MQ=3，
根据勾股定理得：PQ= =4，
∴P（-4，-7）．故答案为：（-4，-7）．
【点拨】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此
题的关键．
26．1
【分析】由题意易得 ，根据勾股定理可求OE的长，然后问题
可求解．
解：∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为1．
【点拨】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
27．（ ，2）
【分析】过M作MN⊥BC于N，连接CM，由垂径定理可求出CN的长，即可求出ON
的长，可得M的坐标．
解：过M作MN⊥BC于N，连接CM，
∵ ， ，
∴OB= ，OC= ，∴BC= ，
∵MN⊥BC，
∴CN= AB= ，
∴ON= ，
∴M（ ，2），
故答案为：（ ，2）．
【点拨】本题考查的是垂径定理、坐标与图形特点，根据题意作出辅助线是解答此题
的关键．
28．1或5．
【分析】分两种情况：两条平行弦在圆心的同侧时和两条平行弦在圆心的两侧时，分
情况进行讨论即可.
两条平行弦在圆心的同侧时，则两条平行弦间的距离＝3﹣2＝1；
当两条平行弦在圆心的两侧时，则两条平行弦间的距离＝3+2＝5．
故答案为:1或5．
【点拨】本题主要考查两条平行弦之间的距离，注意分情况讨论.
29．14cm或2cm
【分析】根据垂径定理及勾股定理，可求出弦AB、CD的弦心距；由于两弦的位置不
确定，因此需要分类讨论．
解：如图①，连接OA，OC，过点O作OE⊥AB，交CD于点F，交AB于点E，
因为AB//CD ，所以OE⊥CD，
∴Rt△OAE中，OA=10cm，AE= AB=6cm；OE= =8cm；
同理可得：OF=6cm；
故EF=OE-OF=2cm；
如图②；同（1）可得：OE=8cm，OF=6cm；
故EF=OE+OF=14cm；
所以AB与CD的距离是14cm或2cm，
故答案为：14cm或2cm．
【点拨】此题主要考查的是垂径定理以及勾股定理的应用，需注意弦AB、CD的位置
关系有两种，需分类讨论，不要漏解．
30． 或
【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作
，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC，由 ，得到 ，
利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点，在直角三角形AOF中，利用勾股定理
求出OF的长，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的长，由 即可求出EF
的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由 求出EF的长即可．
解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作 ，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC，
， ，
∴F、 分别为AB、CD的中点，， ，
在 中， ， ，
根据勾股定理得： ，
在 中， ， ，
根据勾股定理得： ，
则 ；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得 ，
综上，弦AB与CD的距离为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定
理是解本题的关键．
31．7dm或1dm
【分析】如图，AB∥CD，AB＝6dm，CD＝8dm，过O点作OE⊥AB于E，交CD于F
点，连OA、OC，根据垂径定理得AE＝BE＝ AB＝3，由于AB∥CD，EF⊥AB，则
EF⊥CD，根据垂径定理得CF＝FD＝ CD＝4，然后利用勾股定理可计算出OE＝4，OF＝
3，再进行讨论：当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE＋OF；当圆心O不
在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE−OF．解：如图，AB∥CD，AB＝6dm，CD＝8dm，
过O点作OE⊥AB于E，交CD于F点，连OA、OC，
∴AE＝BE＝ AB＝3，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴CF＝FD＝ CD＝4，
在Rt△OAE中，OA＝5dm
OE＝ ＝4，
同理可得OF＝3，
当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE+OF＝4+3＝7（dm）；
当圆心O不在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE﹣OF＝4﹣3＝1（dm）．
故答案为7dm或1dm．
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考
查了勾股定理．
32． ．
【分析】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得
结果．
解：解：连接OA，设半径为x，将劣弧 沿弦AB折叠交于OC的中点D，
， ，
，
，
，
解得， ．
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理
列出半径的方程．
33．（Ⅰ） ； （Ⅱ）如图，取圆与网格线的交点 ，连接 与 相
交，得圆心 ； 与网格线相交于点 ，连接 并延长，交 于点 ，连接 并
延长，与点 的连线 相交于点 ，连接 ，则点 满足
．【解析】
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可求出AB的长
（Ⅱ）先确定圆心，根据∠EAF= 取格点E、F并连接可得EF为直径，与AC相交
即可确定圆心的位置，先在BO上取点P,设点P满足条件，再根据点D为AB的中点，根据
垂径定理得出OD AB，再结合已知条件 ， 得出
，设PC和DO的延长线相交于点Q，根据ASA可得
,可得OA=OQ，从而确定点Q在圆上，所以连接 并延长，交 于
点 ，连接 并延长，与点 的连线 相交于点 ，连接 即可找到点P
（Ⅰ）解：
故答案为：
（Ⅱ）取圆与网格线的交点 ，连接 ，与 相交于点O，
∵∠EAF= ，∴EF为直径,
∵圆心在边AC上∴点O即为圆心
∵ 与网格线的交点D是AB中点，连接OD则OD AB，连接OB，∵ ,OA=OB
∴∠OAB=∠OBA= ，∠DOA=∠DOB= ，
在BO上取点P ，并设点P满足条件，∵
∵ ，
∴∠APO=∠CPO= ，
设PC和DO的延长线相交于点Q，则∠DOA=∠DOB=∠POC=∠QOC=
∴∠AOP=∠QOP= ，
∵OP=OP, ∴ ∴OA=OQ,
∴点Q在圆上，∴连接 并延长，交 于点 ，连接 并延长，与点 的
连线 相交于点 ，连接 ,则点P即为所求
【点拨】本题主要考查了应用与设计作图、勾股定理、垂径定理、三角形的全等的性
质与判定、等腰三角形的性质等知识，是一道综合性较强的题目，解题时首先要理解题意，
弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
34． .
【分析】A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线
上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值
连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．根据垂径定理，得到BE=
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7 ，
则PA+PC的最小值为7 ．
【点拨】正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．
35．（2，0）
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，
则圆心是（2，0）．
36．3 ．
【分析】根据点B、D关于OA对称得出BD⊥OA，进而得到BD⊥CB，得出△CBD是
直角三角形，CB是固定值，只有当BD最大时CD就最大，转换成求BD的最大值，BD都
在圆上，所以BD的最大值就是直径，最后用勾股定理就能求出CD的最大值.
∵平行四边形OCBA，
∴OA∥CB，OA=CB
又∵D是B点关于OA的对称点，∴DB⊥OA，
∴DB⊥CB，
∴△CBD是直角三角形
∴
∵CB=OA=r=3是固定值
∴DB最大时就是CD最大
而B是圆上的点，D是B对称点且也在圆上
∴当BD经过原点O是直径时最大，即BD=2r=6
∴ = =45
解得：CD=3 ，即CD的最大值是3 .
【点拨】本题主要考查圆的性质、垂径定理、平行四边形性质、勾股定理，找出
△CBD是直角三角形和BD的最大值是直径是解题的关键.
37．
【分析】连接OA，根据垂径定理推论得出OC⊥AB，由勾股定理可得出OA的长．
解：连接OA
∵C是AB的中点，OA=OB，AB=4
∴AC= AB=2，OC⊥AB，∴OA2=OC2+AC2，
∵CD=1
∴OA2=（OA-1）2+22，
解得，OA=
故答案为：
【点拨】题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理推论判断出OC垂直平分AB
是解答此题的关键．
38．48
试题分析：根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求
得答案：
∵AB是⊙O的直径，∴OA=OC．
∵∠A=42°，∴∠ACO=∠A=42°．
∵D为AC的中点，∴OD⊥AC．
∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．
39．26
【解析】
【分析】根据题意画出相应的图形,如图所示,由OC垂直于AB ,利用垂径定理得到 C
为AB的中点,由 AB的长求出 AC的长,在直角三角形AOC 中,由 AC与OC 的长,利用勾
股定理求出 OA的长,即可确定出圆O 的直径长.
解:根据题意画出相应的图形,如图所示,
∵OC⊥AB∴AC=BC= AB=12
在 Rt△AOC中,AC=12 OC=5, ,
根据勾股定理得: AO= ,
则圆 O的直径长为26 .
故答案为:26
【点拨】此题考查勾股定理，垂径定理及其推论，解题关键在于画出图形
40．10或70
【分析】分水位在圆心下以及圆心上两种情况，画出符合题意的图形进行求解即可得.
如图，作半径 于C，连接OB，
由垂径定理得： = AB= ×60=30cm，
在 中， ，
当水位上升到圆心以下时 水面宽80cm时，
则 ，
水面上升的高度为： ；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为： ，
综上可得，水面上升的高度为30cm或70cm，
故答案为：10或70．
【点拨】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分类讨论的思想是解
题的关键．41．
【分析】连接OC,OD,OC与AD交于点E，根据圆周角定理有
根据垂径定理有： 解直角 即可.
连接OC,OD,OC与AD交于点E，
直尺的宽度：
故答案为
【点拨】考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.
42．26．
【分析】设 的半径为 ，在 中， ，则有
，解方程即可.
设 的半径为 ．
在 中， ，则有 ，
解得 ，
∴ 的直径为26寸，
故答案为26．
【点拨】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程
解决问题，属于中考常考题型.
43．10
【分析】根据垂径定理得到 ，由勾股定理得到 ，求得
，根据弧田面积 （弦×矢+矢2）即可得到结论．
解：∵弦 米，半径 弦 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴弧田面积 （弦×矢+矢2） ，
故答案为10
【点拨】此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答．
44．6
【分析】设OE=x，根据勾股定理求出x，根据全等三角形的判定定理和性质定理得到
AD=OF=3，根据垂径定理得到答案．
解：设OE=x，则OF=x-2，由勾股定理得，OE2=OF2+EF2，即x2=（x-2）2+42，
解得，x=5，
∴OF=3，
∵AC∥OE，OD⊥AC，
∴OD⊥OE，∠A=∠EOF，
∵OA=OE，EF⊥AB，
∴△ADO≌△OFE，
∴AD=OF=3，
∵OD⊥AC，
∴AC=2AD=6．
【点拨】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦
所对的两条弧是解题的关键．
45．
【分析】如图所示作出辅助线，由垂径定理可得AM=3，由勾股定理可求出OM的值，
进而求出ON的值，再由勾股定理求CN的值，最后得出CD的值即可．
解：如图所示，因为AB∥CD，所以过点O作MN⊥AB交AB于点M，交CD于点N，
连接OA，OC，
由垂径定理可得AM= ，
∴在Rt△AOM中， ，
∴ON=MN-OM=1，
∴在Rt△CON中， ，
∴ ，
故答案为：【点拨】本题考查勾股定理及垂径定理，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
46．（1）证明见解析；（2）8﹣ ．
【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到
AC=BD；
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及
AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．
解：（1）证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E，
∵AE=BE，CE=DE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD.
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，
∵OA=10，OC=8，OE=6，
∴ .
∴AC=AE﹣CE=8﹣ ．
【点拨】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此
题的关键．
47．(1)证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）连CF，OF．由AB弧长等于AF弧长，O为圆心，根据垂径定理的
推论得出点G是BF的中点，OG⊥BF．根据圆周角定理得出CF⊥BF，那么OG∥CF，
∠AOB=∠FCB，根据等角的余角相等得出∠DAO=∠FBC；（2）连CF，AC，AB．由在同圆中等弧对的圆周角相等得到∠BCA=∠ACF，
∠ACF=∠ABF，由同角的余角相等得到∠BAD=∠BCA，所以∠ABF=∠BAD，即BE=AE．
试题解析：
（1）连CF，OF．如图所示：
∵AB弧长等于AF弧长，O为圆心，
∴点G是BF的中点，OG⊥BF．
∵BC是半圆O的直径，
∴CF⊥BF，
∴OG∥CF，
∴∠AOB=∠FCB，
∴∠DAO=90°-∠AOB，∠FBC=90°-∠FCB，
∴∠DAO=∠FBC；
（2）连CF，AC，AB，如图所示：
∵AB弧长等于AF弧长，
∴∠BCA=∠ACF，∠ACF=∠ABF，
∵BC为圆的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
又AD⊥BC，∴∠ADB=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠BCA，∴∠ABF=∠BAD，
即BE=AE．
【点拨】运用了垂径定理的推论，圆周角定理，余角的性质，准确作出辅助线是解题
的关键．
48．（1）此圆弧形拱桥的半径为10m；（2）此货船能顺利不能通过这座拱桥.理由见
解析.
【分析】（1）连接OA，利用垂径定理和勾股定理构造方程，求出拱桥的半径长；
（2）如图，EF长为12米时，通过求距离水面高度DG的长与货船顶部的3米做比较
来判定货船能否通过．先根据半弦FG，半径和弦心距OG构造直角三角形求出OG的长来
判断．
（1）解：连接OA，
由题意可知CD=4，AB=16，OC⊥AB于点D，
∴ ,
设OA=r，则OD=r-4
∴（r-4）2+82=r2 ，
解之：r=10
答：此圆弧形拱桥的半径为10m.
（2）解：如图
∵EF=12
∴FG=12÷2=6∴OG=
∵OD=10-4=6
∴DG=OG-OD=8-6=2＜3
∴此货船能顺利不能通过这座拱桥.
【点拨】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题
的关键．
