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专题 30 圆锥曲线求过定点大题 100 题
1．已知椭圆C： .
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设 分别为椭圆C的左右顶点,点P在椭圆C上,直线AP,BP分别与直线 相交于点M,N.当点P运
动时,以M,N为直径的圆是否经过 轴上的定点？试证明你的结论.
2．已知椭圆 ： 的短轴长为 ，离心率为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）求过椭圆的右焦点且倾斜角为135°的直线，被椭圆截得的弦长；
（3）若直线 与椭圆 相交于 ， 两点（ 不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭圆
的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
3．如图,已知椭圆 的上顶点为 ,离心率为 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)若过点 作圆 的两条切线分别与椭圆 相交于点 (不同于点 ).当
变化时,试问直线 是否过某个定点 若是,求出该定点;若不是,请说明理由.4．已知动点 到定点 的距离比它到 轴的距离大 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）设点 ( 为常数)，过点 作斜率分别为 的两条直线 与 ， 交曲线 于 两点， 交
曲线 于 两点，点 分别是线段 的中点，若 ，求证：直线 过定点.
5．已知F为抛物线 的焦点，过F且倾斜角为 的直线交抛物线于A，B两点， .
（1）求抛物线的方程：
（2）已知 为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足 ，试探究直线
MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.
6．已知圆 ，圆 ，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨
迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点 的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之
和为-2，证明：直线l过定点.7．设抛物线 的对称轴是 轴，顶点为坐标原点 ，点 在抛物线 上，
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）直线 与抛物线 交于 、 两点（ 和 都不与 重合），且 ，求证：直线 过定点并求
出该定点坐标.
8．已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为抛物线上一点， 为坐标原点， 的外接圆与抛
物线的准线相切，且外接圆的周长为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）已知点 ，设不垂直于 轴的直线 与抛物线 交于不同的两点 ， ，若 ，
证明直线 过定点并写出定点坐标.
9．已知抛物线 上一点 到焦点 的距离等于 .
求抛物线 的方程:
设不垂直与 轴的直线 与抛物线 交于 两点，直线 与 的倾斜角互补，求证:直线 过定点，
并求出该定点的坐标.
10．已知抛物线 ： 上任意一点到其焦点的距离的最小值为1. ， 为抛物线上的两动点
（ 、 不重合且均异于原点）， 为坐标原点，直线 、 的倾斜角分别为 ， .
（1）求抛物线方程；（2）若 ，求证直线 过定点；
（3）若 （ 为定值），探求直线 是否过定点，并说明理由.
11．已知动圆M与直线 相切，且与圆 外切，记动圆M的圆心轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且 （O为坐标原点），证明直线l经过定点H，并
求出H点的坐标.
12．已知抛物线 ，直线 与 相交于 两点，弦长 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）直线 与抛物线 相交于异于坐标原点的两点 ，若以 为直径的圆过坐标原点，求证：直线
恒过定点并求出定点．
13．已知动点M与到点N(3，0)的距离比动点M到直线x=-2的距离大1，记动圆M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A，B:两点，且 (O为坐标原点)，证明直线l经过定点H，并求出H
点的坐标.
14．已知椭圆 经过点 ，且长轴长是短轴长的2倍．（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点 在椭圆上运动，点 在圆 上运动，且总有 ，求 的取值范
围；
（3）过点 的动直线 交椭圆于 、 两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个点 ，使得无论
如何转动，以 为直径的圆恒过点 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明由．
15．已知抛物线 上一点 到焦点F的距离 .
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l与抛物C交于A，B两点（A，B异于点P），且 ，试判断直线l是否过定点？若
过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
16．已知椭圆 ： 的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭
圆上的点的最短距离为1.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ，求证：直线 过定点，
并求出该定点的坐标.
17．已知动点 到点 的距离比到直线 的距离小 ，设点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；（2）过曲线 上一点 （ ）作两条直线 ， 与曲线 分别交于不同的两点 ， ，若直线
， 的斜率分别为 ， ，且 .证明：直线 过定点.
18．已知动圆M与直线 相切，且与圆N： 外切
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）点O为坐标原点，过曲线C外且不在y轴上的点P作曲线C的两条切线，切点分别记为A，B，当直
线 与 的斜率之积为 时，求证：直线 过定点.
19．已知抛物线 ： ，过焦点的直线 与 轴平行，且与抛物线交于 ， 两点，若
.
（1）求抛物线 的方程；
（2）直线 与抛物线 相交于异于坐标原点的两点 、 ，若以 为直径的圆过坐标原点，求证：直线
恒过定点并求出该定点.
20．已知椭圆 ，焦距为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若一直线 与椭圆 相交于 、 两点（ 、 不是椭圆的顶点），以 为直径的圆过椭
圆 的上顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．21．设 是椭圆 上的点， 是焦点，离心率 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设 是椭圆上的两点，且 ，问线段 的垂直平分线是否过定点？若过
定点，求出此定点的坐标，若不过定点，说明理由.
22．在平面直角坐标系 中，已知椭圆E： （ ）过点 ，其心率等于 .
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若A，B分别是椭圆E的左，右顶点，动点M满足 ，且 椭圆E于点P.
①求证： 为定值：
②设 与以 为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线 经过定点.
23．已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 与 轴的交点为 ，与抛物线 的交点为 ，
且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过抛物线 上一点 作两条互相垂直的弦 和 ，试问直线 是否过定点，若是，求出该
定点；若不是，请说明理由．
24．椭圆 （ ）的离心率等于 ，它的一个长轴端点恰好是抛物线 的焦点.
（1）求椭圆 的方程；（2）若直线 与椭圆 有且只有一个公共点，且直线 与直线 和 分别交于 两点，试探究以
线段 为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点，若不恒过定点，请说明理由.
25．已知椭圆C： （ ）的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为 .
（1）求C的方程；
（2）设C的右顶点为A，不过C左、右顶点的直线l： 与C相交于M，N两点，且 .请问：
直线l是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.
26．设抛物线 ， 满足 ，过点 作抛物线 的切线，切点分别为
.
（1）求证：直线 与抛物线 相切；
（2）若点 坐标为 ，点 在抛物线 的准线上，求点 的坐标；
（3）设点 在直线 上运动，直线 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不存在，请
说明理由；
27．已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与抛物线相交于 两点.设直线 是抛物线 的切线，且直线 为 上一点，且 的最小值为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）设 是抛物线 上，分别位于 轴两侧的两个动点， 为坐标原点，且 .求证：直线
必过定点，并求出该定点的坐标.
28．已知曲线 上任意一点 满足 ，直线 的方程为 ，
且与曲线 交于不同两点 ， .
（1）求曲线 的方程；
（2）设点 ，直线 与 的斜率分别为 ， ，且 ，判断直线 是否过定点？若过定点，
求该定点的坐标.
29．已知椭圆 上任一点 到 ， 的距离之和为4.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知点 ，设直线 不经过 点, 与 交于 ， 两点，若直线 的斜率与直线 的斜率之
和为 ，判断直线 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
30．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 是椭圆的一个顶点， 是等腰直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点 分别作直线 ， 交椭圆于 ， 两点，设两直线的斜率分别为 ， ，且 ，证
明：直线 过定点 .
31．已知椭圆 经过点 ，离心率 ，直线 的方程为 .
（1）求 ， 的值；
（2）过椭圆左焦点 的直线 交椭圆于 ， 两点，过 作直线 的垂线与 交于点 .求证：当直线 绕
点 旋转时，直线 必经过 轴上一定点.
32．已知椭圆 过 ， 两点，其中 为椭圆 的离心率.过点 作两条直线
， ，与椭圆 的另一个交点分别为 ， ，且 与 的斜率之积为-2.
（1）求椭圆 的方程；
（2）求证：直线 恒过一个定点.33．已知抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线 上一点，且满足 .
（1）求 、 的值；
（2）设 、 是抛物线 上不与 重合的两个动点，记直线 、 与 的准线的交点分别为 、 ，
若 ，问直线 是否过定点？若是，则求出该定点坐标，否则请说明理由.
34．已知抛物线 （ ）的焦点 ， 为坐标原点， ， 是抛物线 上异于 的两点.
（1）求抛物线 的方程；
（2）若直线 ， 的斜率之积为 ，求证：直线 过 轴上一定点.
35．已知抛物线 : （ ）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
（1）求抛物线 的方程；
（2）设直线 与抛物线 交于不同两点 ，若满足 ，证明直线 恒过定点，并求出定点 的坐
标．
36．在椭圆 ： 中，点 ， 分别为椭圆的左顶点和右焦点，若已知离心率 ，
且 在直线 上.
（1）求椭圆 的方程；（2）过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，连接 ， 分别交直线 于点 ， ，求证：以
为直径的圆经过定点 .
37．已知椭圆 （ ）的离心率为 ，左、右焦点分别为 、 ， 为椭圆的下顶点，
交椭圆于另一点 、 的面积 .
（1）求椭圆的方程；
（2）过点 作直线 交椭圆于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 ，问：直线 是否过定点？
若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
38．已知椭圆 的右焦点 到直线 的距离为 ， 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若过 作两条互相垂直的直线 ， 是 与椭圆 的两个交点， 是 与椭圆 的两个交点，
分别是线段 的中点试，判断直线 是否过定点？若过定点求出该定点的坐标；若不过定点，
请说明理由.39．已知椭圆 的离心率为 ，其右焦点 到直线 的距离为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若过 作两条互相垂直的直线 ， 是 与椭圆 的两个交点， 是 与椭圆 的两个交点，
分别是线段 的中点，试判断直线 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定
点.请说明理由.
40．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 是椭圆 的右端点，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与椭圆 交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 （ 与 不重合），则直线
与 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
41．在平面直角坐标系xOy中，A、B两点的坐标分别为（0，1）、（0，﹣1），动点P满足直线AP与直
线BP的斜率之积为 ，直线AP、BP与直线y＝﹣2分别交于点M、N．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）求线段MN的最小值；
（3）以MN为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.42．已知动点 到定点 的距离比到 轴的距离多 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）设 ， 是轨迹 在 上异于原点 的两个不同点，直线 和 的倾斜角分别为 和 ，当
， 变化且 时，证明：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标.
43．已知椭圆C： （ ）的左，右焦点为 ， ，且焦距为 ，点 ， 分别为椭圆
C的上、下顶点，满足 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点 ，椭圆C上的两个动点M，N满足 ，求证：直线 过定点.
44．已知椭圆 的左焦点坐标为 ， ， 分别是椭圆的左，右顶点， 是椭圆
上异于 ， 的一点，且 ， 所在直线斜率之积为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作两条直线，分别交椭圆 于 ， 两点（异于 点）.当直线 ， 的斜率之和为定值 时，直线 是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理.
45．已知点 ， ，椭圆C： （ ）的离心率为 ，过点 且斜率为1的直
线 被椭圆C截得的线段长为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线 不经过 点，且 与C相交于A，B两点.若直线 与直线 的斜率的和为 ，证明：
过定点.
46．已知抛物线 与过点 的直线 交于 两点.
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）若 ， 轴，垂足为 ，探究：以 为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的
坐标；若不是，请说明理由.
47．已知椭圆 ： （ ）的右顶点与抛物线 ： （ ）的焦点重合. 的离心率为 ，过 的右焦点F且垂直于x轴的直线截 所得的弦长为 .
（1）求椭圆 和抛物线 的方程；
（2）过点 的直线l与椭圆 交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线 过定点.
48．已知椭圆C： （ ）的上顶点与右焦点连线的斜率为 ，C的短轴的两个端点与
左、右焦点的连线所构成的四边形的面积为 ．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）已知点 ，若斜率为k（ ）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，当直线AP，BP的
倾斜角互补时，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．
49．已知椭圆 的左､右顶点分别是 ， ，点 （异于 ， 两点）在椭圆 上，
直线 与 的斜率之积为 ，且椭圆 的焦距为 .
（1）求椭圆 的标准方程.
（2）直线 与椭圆 交于 ， （其横坐标 ）两点，直线 与 的交点为 ，试
问点 是否在定直线上？若在，请给予证明，并求出定直线方程；若不在，请说明理由.50．过点 的动直线 与抛物线 相交于 两点，已知当 的斜率为 时，
．
（1）求抛物线 的方程；
（2）设圆 ，已知 是抛物线 上的两动点，且直线 都与圆相切( 是坐
标原点），求证：直线 经过一定点，并求出该定点坐标．
51．如图，以原点 为顶点，以 轴为对称轴的抛物线 的焦点为 ，点 是直线 上任
意一点，过点 引抛物线 的两条切线分别交 轴于点 ， ，切点分别为 ， ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）求证：点 ， 在以 为直径的圆上；（3）当点 在直线 上移动时，直线 恒过焦点 ，求 的值．
52．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 是椭圆的一个顶点，
是等腰直角三角形．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 分别作直线 、 交椭圆于 两点，设两直线 、 的斜率分别为 ，且
，探究：直线 是否过定点，并说明理由．
53．设P是椭圆C： 上异于长轴顶点A A 的任意一点，过P作C的切线与分别过A ，
1， 2 1
A 的切线交于B ，B 两点，已知|A A |=4，椭圆C的离心率为 .
2 1 2 1 2
（1）求椭圆C的方程；
（2）以B B 为直径的圆是否过x轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说
1 2
明理由.
54．已知 ， 分别为椭圆 的左､右顶点， 为 的上顶点， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作关于 轴对称的两条不同直线 ， 分别交椭圆于 与 ，且 ，证明：直线 过定点，并求出该定点坐标.
55．已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且满足 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）过抛物线 上的任意一点 作抛物线 的切线，交抛物线 的准线于点 .在 轴上是否存在一个定
点 ，使以 为直径的圆恒过 .若存在，求出 的坐标，若不存在，则说明理由.
56．如图，已知椭圆C： ＋y2＝1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2＋y2－6x－2y
＋7＝0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且 ＝0，求证：直线l过定点，并求出该
定点N的坐标．
57．已知椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ， ， 为下顶点， 是面积为1的
直角三角形.
（1）求椭圆 的方程；
（2） ， 是过点 且互相垂直的两条直线，其中 交椭圆 于另一个点 ， 交椭圆 于另一个点 ，
是否存在定点 ，使直线 恒过这个点？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.58．已知 ，点 满足 ，记点 的轨迹为 .斜率为 的直线 过点 ，且与轨
迹 相交于 两点.
（1）求轨迹 的方程；
（2）求斜率 的取值范围；
（3）在 轴上是否存在定点 ，使得无论直线 绕点 怎样转动，总有 成立？如果存在，求出定
点 ；如果不存在，请说明理由.
59．已知离心率为 的椭圆 的左顶点为 ，且椭圆 经过点 ，与坐标轴不
垂直的直线 与椭圆 交于 两点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 和直线 的斜率之积为 ，求证：直线 过定点；
（3）若 为椭圆 上一点，且 ，求三角形 的面积.
60．已知等轴双曲线 ： 的右焦点为 ， 为坐标原点，过 作一条渐近线的垂线
且垂足为 ， .
（1）求等轴双曲线 的方程；
（2）若过点 且方向向量为 的直线 交双曲线 于 、 两点，求 的值；
（3）假设过点 的动直线 与双曲线 交于 、 两点，试问：在 轴上是否存在定点 ，使得为常数，若存在，求出 的坐标，若不存在，试说明理由.
61．已知点 ，在圆 ： 上任取一点 ， 的垂直平分线交 于点 .（如
图）.
（1）求点 的轨迹方程 ；
（2）若过点 的动直线 与（1）中的轨迹 相交于 、 两点.问：平面内是否存在异于点 的定点
，使得 恒成立？试证明你的结论.
62．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为 ，且右焦点到右准
线l的距离为1.过x轴上一点M(m，0)(m为常数，且m∈(0，2))的直线与椭圆C交于A，B两点，与l交于点
P，D是弦AB的中点，直线OD与l交于点Q.
(1) 求椭圆C的标准方程．
(2) 试判断以PQ为直径的圆是否经过定点．若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．63．已知平面上动点P到定点 的距离比P到直线 的距离大1.记动点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过点 的直线 交曲线C于A、B两点，点A关于x轴的对称点是D，证明：直线 恒过点F.
64．已知椭圆 ： 与 轴交于 ， 两点， 为椭圆 的左焦点，且 是边长
为2的等边三角形.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 的直线与椭圆 交于不同的两点 ， ，点 关于 轴的对称点为 （ 与 ， 都不
重合），判断直线 与 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请
说明理由.
65．已知椭圆 过点 ，其离心率 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 不经过点 ，且与椭圆 相交于 两点（ 、 不重合），若直线 与直线 的斜率
之积为 .
（ⅰ）证明： 过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）求 的面积的最大值.66．已知动圆P与圆 ： 内切，且与直线 相切，设动圆圆心 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）过曲线 上一点 （ ）作两条直线 ， 与曲线 分别交于不同的两点 ， ，若直线
， 的斜率分别为 ， ，且 .证明：直线 过定点.
67．已知椭圆C的中心在坐标原点焦点在x轴上，椭圆C上一点A（2 ，﹣1）到两焦点距离之和为8.若
点B是椭圆C的上顶点，点P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若BP⊥BQ，且满足3 2 的点D在y轴上，求直线BP的方程；
（3）若直线BP与BQ的斜率乘积为常数λ（λ＜0），试判断直线PQ是否经过定点.若经过定点，请求出定
点坐标；若不经过定点，请说明理由.
68．设 两点在抛物线 上， 是AB的垂直平分线，
（1）当且仅当 取何值时，直线 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（2）若 ，弦AB是否过定点，若过定点，求出该定点，若不过定点，说明理由.69．已知抛物线 的焦点为 ，直线 交 于 两点（异于坐标原点O）.
（1）若直线 过点 , ，求 的方程；
（2）当 时，判断直线 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.
70．已知圆 （ 为坐标原点），直线 .
（1）过直线 上任意一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，求四边形 面积的最小值.
（2）过点 的直线 分别与圆 交于点 （ 不与 重合），若 ，试
问直线 是否过定点？并说明理由.
71．已知动圆 过点 ，并且与圆 ： 相外切，设动圆的圆心 的轨迹为 .
（1）求曲线 的方程；
（2）过动点 作直线与曲线 交于 两点，当 为 的中点时，求 的值；
（3）过点 的直线 与曲线 交于 两点，设直线 ： ，点 ，直线 交 于点 ，求证：
直线 经过定点，并求出该定点的坐标.
72．已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过抛物线 上一点 作两条互相垂直的弦 和 ，试问直线 是否过定点，若是，求出该
定点；若不是，请说明理由．73．已知椭圆 的离心率为 ，直线 经过椭圆 的左顶点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 （ ）交椭圆 于 两点（ 不同于点 ）.过原点 的一条直线与直
线 交于点 ，与直线 分别交于点 .
（ⅰ）当 时，求 的最大值；
（ⅱ）若 ，求证：点 在一条定直线上.
74．已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足 （2，2
）
（1）求抛物线Γ的方程；
（2）已知经过点A（3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M，N两点，经过定点B（3，﹣6）和M的直线与抛物
线Γ交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．75．已知椭圆 过点 ，且离心率为 .直线 与 轴正半轴和 轴分别交于点 、
，与椭圆分别交于点 、 ，各点均不重合且满足 ， .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若 ，试证明:直线 过定点并求此定点.
76．已知以动点 为圆心的 与直线 ： 相切，与定圆 ： 相外切.
（Ⅰ）求动圆圆心 的轨迹方程 ；
（Ⅱ）过曲线 上位于 轴两侧的点 、 （ 不与 轴垂直）分别作直线 的垂线，垂足记为 、
，直线 交 轴于点 ，记 、 、 的面积分别为 、 、 ，且 ，证明：
直线 过定点.
77．已知两定点 ， ，点 是平面内的动点，且 ，记 的轨迹是
.
（1）求曲线 的方程；
（2）过点 引直线 交曲线 于 两点，点 关于 轴的对称点为 ，证明直线 过定点.78．已知椭圆 ： 1（a＞b＞0）的离心率为 ，以椭圆 的右顶点与下顶点为直径端点的圆的面
积为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知点 ，动直线 与椭圆交于 轴同一侧的 两点，且满足 ，试问直线
是否过定点，若过定点，求出此定点坐标，若不存在，说明理由．
79．已知焦距为2 的椭圆 ： 的右顶点为 ，直线 与椭圆 交于 、 两点
（ 在 的左边）， 在 轴上的射影为 ，且四边形 是平行四边形．
（1）求椭圆 的方程；
（2）斜率为 的直线 与椭圆 交于两个不同的点 ， ．
（i）若直线 过原点且与坐标轴不重合， 是直线 上一点，且 是以 为直角顶点的等
腰直角三角形，求 的值；
（ii）若 是椭圆的左顶点， 是直线 上一点，且 ，点 是 轴上异于点 的点，且以
为直径的圆恒过直线 和 的交点，求证：点 是定点．
80．已知点 在抛物线 上， 为抛物线 的焦点， .
（1）求抛物线 的方程；
（2）直线 都过点 ， 的斜率之积为 ，且 分别与抛物线 相交于点 和点 ，设
是的AC中点，N是BD的中点.求证：直线MN恒过定点.
81．已知椭圆C： （ ）经过点 ，离心率为 ．（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为原点，直线l: （ ）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，
直线AQ与x轴交于点N，若 ，求证：直线l经过定点．
82．已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，直线 过椭圆的 左焦
点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 与 轴交于点 是椭圆 上的两个动点, 的平分线在 轴上,
.试判断直线 是否过定点，若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.
83．已知椭圆 的离心率为 ，直线 与以原点为圆心，以椭圆 的短半轴
长为半径的圆相切.
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若直线 与椭圆 相交于 ， 两点（ ， 不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭
圆 的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标.
84．已知椭圆 ，过 的直线 与椭圆 相交于 两点，且与 轴相交于 点.
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）设 关于 轴的对称点为 ，证明：直线 过 轴上的定点.85．已知抛物线 ，不与坐标轴垂直的直线 与抛物线交于 两点，当 且
时， .
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若 过定点 ，点 关于 轴的对称点为 ，证明：直线 过定点，并求出定点坐标.
86．已知椭圆 是椭圆内任一点.设经过 的两条不同直线 分别于椭圆交
于点 记 的斜率分别为
（1）当 经过椭圆右焦点且 为 中点时,求:
①椭圆 的标准方程;
②四边形 面积 的取值范围.
（2）当 时,若点 重合于点 ,且 .求证:直线 过定点 .87．已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 关于直线 的对称点为 ，且 .
若点 为 的准线上的任意一点，过点 作 的两条切线 ，其中 为切点.
（1）求抛物线 的方程；
（2）求证：直线 恒过定点，并求 面积的最小值.
88．如图所示，椭圆C： （ ）的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，椭圆C过点
，T为直线 上的动点，过点T作椭圆C的切线 ， ，A，B为切点.
（1）求证：A， ，B三点共线；
（2）过点 作一条直线与曲线C交于P，Q两点.过P，Q作直线 的垂线，垂足依次为M，N.求证：
直线 与 交于定点.
89．已知椭圆 ，点 、 、 在椭圆上，直线 与
直线 的斜率之积 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线 点 关于直线 的对称点是 ，求证：过点 ， 的直线恒过定点.90．已知离心率为 的椭圆 过点 ，直线 与椭圆 交于
两点，其中 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ，且 ，探究：直线 是否过定点；若是，请求出定点的坐标，若不是，请说明
理由.
91．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 的右顶点为A，P，Q是双曲线上除顶点以外的任
意两点，M为PQ的中点．
（1）设直线PQ与直线OM的斜率分别为 ， ，求 的值；
（2）若 ，试探究直线PQ是否过定点？若过定点，请求出该定点坐标；否则，请说明理由．
92．已知双曲线 .（1）过 的直线 与双曲线有且只有一个公共点，求直线 的斜率；
（2）若直线 与双曲线相交于 两点（ 均异于左、右顶点），且以线段 为直径的圆
过双曲线的左顶点 ，求证：直线 过定点.
93．设椭圆 ，O为原点，点 是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于 ，
离心率为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为 ，N关于原点O的
对称点为 ，若 满足 ，求证：直线l经过定点．
94．已知抛物线 的焦点 是椭圆 的一个顶点.
（1）求抛物线 的方程；
（2）若点 ， 、 为抛物线 上的不同两点，且 ，问：直线 是否过定点？若过定点，
求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.95．已知椭圆 ： 的离心率为 设过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 的斜率为 ，求 ；
（3）设 为椭圆的左顶点， 分别交 轴于点 ，在 轴上是否存在点 使得以 为直径的圆
恒过点 ？如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，说明理由．
96．在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的左顶点为 ，点 、 是椭圆 上的两个动点．
（1）当 、 、 三点共线时，直线 、 分别与 轴交于 ， 两点，求 的值；
（2）设直线 、 的斜率分别为 ， ，当 时，证明：直线 恒过一个定点 ．
97．已知：椭圆 的左右焦点为 ､ ，椭圆 截直线 所得线段 的长为 ，
三角形 的周长为 .
（1）求 的方程；
（2）若 ， 为 上的两个动点，且 .证明：直线 过定点，并求定点的坐标.98．已知椭圆 经过点 ，右焦点到直线 的距离为3．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点A作两条互相垂直的直线 ， 分别交椭圆于M，N两点，求证：直线MN恒过定点 ．
99．已知抛物线 ,直线 与抛物线 交于 为抛物线 上一点.
(1)若 ,求
(2)已知点 ,过点 作直线 分别交曲线 于 ,证明:在点 运动过程中,直线
始终过定点,并求出该定点.
100．如图所示，椭圆 ， 、 ，为椭圆 的左、右顶点．
设 为椭圆 的左焦点，证明:当且仅当椭圆 上的点 在椭圆的左、右顶点时， 取得最小值与最
大值．
若椭圆 上的点到焦点距离的最大值为 ，最小值为 ，求椭圆 的标准方程．若直线 与 中所述椭圆 相交于 、 两点（ 、 不是左、右顶点），且满足
，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
