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专题3.5 图形的旋转（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、旋转的概念-旋转中心、旋转角、对应点
1．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时
针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ）
A．30° B．45°
C．90° D．135°
2．如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（0，1） C．（﹣1，1） D．（2，0）
类型二、根据旋转的性质求角的大小
3．如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ
（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，
则∠PAH的度数（ ）
A．随着θ的增大而增大
B．随着θ的增大而减小C．不变
D．随着θ的增大，先增大后减小
4．如图， 中， ．将 绕点B逆时针旋转得到 ，
使点C的对应点 恰好落在边 上，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
类型三、根据旋转的性质求线段长
5．如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，P是AB上一动点，连接
OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段
AP的长是( )
A．4 B．5 C．6 D．8
6．如图，在 中， ，将 绕顶点C逆时针旋转得到 ，M是
BC的中点，P是 的中点，连接PM，若 ， ，则线段PM的最小值是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4类型四、旋转的作图
7．在下图的四个三角形中，不能由 经过旋转或平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
8．在图中，将方格纸中的图形绕O点顺时针旋转90°得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
类型五、旋转规律题
9．如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为 ，则点
的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，将 绕点 顺时针旋转到 的位置，点 、分别落在点 、 处，点 在 轴上，再将 绕点 顺时针旋转到 的位置，
点 在 轴上，将 绕点 顺时针旋转到 的位置，点 在 轴上，依次进行
下去……，若点 ， .则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
类型六、旋转综合题
11．如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆
时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
12．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB C D，边
1 1 1
B C 与CD交于点O，则四边形AB OD的面积是（ ）
1 1 1A． B． C． D．
二、填空题
类型一、旋转的概念-旋转中心、旋转角、对应点
13．如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心
是_____．
14．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕图中某点顺时针旋转90°得到，则旋转中心
应该是________点.
类型二、根据旋转的性质求角的大小
15．如图，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，这时点 恰好在同一直
线上，则 的度数为______．
16．如图，将等边 绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得 ， 的
中点E的对应点为F，则 的度数是_______．类型三、根据旋转的性质求线段长
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，M、
M′分别是AB、A′B′的中点，若AC＝4，BC＝2，则线段MM′的长为____．
18．如图，在 中， ， ．将 绕点 按顺时针方向旋转至
的位置，点 恰好落在边 的中点处，则 的长为________．
类型四、旋转的作图
19．如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，先以点O为位似中心，将线
段AB放大为原来的2倍，得到线段AB（点A，B的对应点分别为A，B），再将线段
1 1 1 1
AB 绕点B 逆时针旋转90°得到线段AB，则四边形AABA 的面积是_____个平方单位．
1 1 1 2 1 1 1 220．如图，在平面直角坐标系 中，点A、B的坐标分别为(－4，1)、(－1，3)，在经过
两次变化（平移、轴对称、旋转）得到对应点 、 的坐标分别为(1，0)、(3，－3)，则
由线段AB得到线段 的过程是：______，由线段 得到线段 的过程是：
___________．
类型五、旋转规律题
21．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变
换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A（0，2）变换到点A
1 2
（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A 变换到点A（6，0），得到等腰直
2 3
角三角形③；第三次滚动后点A 变换到点A（10，4 ），得到等腰直角三角形④；第四
3 4
次滚动后点A 变换到点A（10+12 ，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第
4 5
2020个等腰直角三角形的面积是_____．22．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P
（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，
第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点
P的坐标为____________________．
类型六、旋转综合题
23．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，
连接AQ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ的面积为_______．
24．如图，在△ABC中，AC=BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，若
AB=2，∠ACB=30°，则线段CD的长度为______．三、解答题
25．如图，正方形 中， 经顺时针旋转后与 重合．
旋转中心是点________，旋转了________度；
如果 ， ，求：四边形 的面积．
26．如图点O是等边 内一点， ，∠ACD=∠BCO，OC=CD，
（1）试说明： 是等边三角形；
（2）当 时，试判断 的形状，并说明理由；
（3）当 为多少度时， 是等腰三角形
27．如图， 是 经过某种变换得到的图形，点 与点 ，点 与点 ，点 与点 分别是对应点
，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
分别写出点 与点 ，点 与点 ，点 与点 的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特
征；
若点 与点 也是通过上述变换得到的对应点，求 、 的值．
28．在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点 ，点 ，点 ．以
点为中心，顺时针旋转矩形 ，得到矩形 ，点 的对应点分别为 ，
记旋转角为 ．
(1)如图①，当 时，求点 的坐标；
(2)如图②，当点 落在 的延长线上时，求点 的坐标；(3)当点 落在线段 上时，求点 的坐标（直接写出结果即可）．
参考答案
1．C
【分析】
根据勾股定理求解.
【详解】
设小方格的边长为1，得，
OC=
，AO=
，AC=4，
∵OC2+AO2= =16，
AC2=42=16，∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC=90°．
故选C．
【点拨】考点：勾股定理逆定理.
2．B
【详解】
根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应
点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心．
解：如图，
连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，
两线的交点即为旋转中心O′.其坐标是(0,1).
故选B..
3．C
【分析】
由旋转的性质可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求
∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性质可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解．
【详解】
解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，
∴BC＝BP＝BA，
∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，
∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，
∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，
∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，∴∠PAH的度数是定值，
故选：C．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些
性质解决问题是本题的关键．
4．D
【分析】
由余角的性质，求出∠CAB=50°，由旋转的性质，得到 ， ，然后求
出 ，即可得到答案．
【详解】
解：在 中， ，
∴∠CAB=50°，
由旋转的性质，则
， ，
∴ ，
∴ ；
故选：D．
【点拨】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，以及余角的性质，解题的关键是
掌握所学的性质，正确求出 ．
5．C
【分析】
根据题意通过“角角边”证明△AOP≌△CDO，进而得到AP=OC=AC﹣AO=6.
【详解】
解：根据题意可知：∠A=∠C=60°，
∵线段OP绕点O逆时针旋转得到线段OD，
∴OP=DO，
∵∠DOP=60°，
∴∠AOP+∠COD=∠CDO+∠COD=120°，
∴∠AOP=∠CDO，
在△AOP与△CDO中，，
∴△AOP≌△CDO（AAS），
∴AP=OC=AC﹣AO=6.
故选C.
【点拨】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练
掌握其知识点是解此题的关键.
6．A
【分析】
如图（见解析），连接PC，先根据直角三角形的性质求出 ，再根据旋转的性质得
出 ，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得出 ，又根据线
段中点的定义得出 ，最后根据三角形的三边关系定理即可得出答案．
【详解】
如图，连接PC
在 中， ，
∴
∵将 绕顶点C逆时针旋转得到
∴ 也是直角三角形，且
∵P是 的中点，
∴
∵M是BC的中点
∴
则由三角形的三边关系定理得：
即
当点 恰好在 的延长线上时，
当点 恰好在 的延长线上时，
综上，
则线段PM的最小值为1故选：A．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质、旋转的性质、三角形的三边关系定理等知识点，
掌握旋转的性质是解题关键．
7．B
【分析】
根据平移和旋转的性质解答.
【详解】
A、可由△ABC逆时针旋转一个角度得到；
B、可由△ABC翻折得到；
C、可由△ABC逆时针旋转一个角度得到；
D、可由△ABC逆时针旋转一个角度得到．
故选B．
8．B
【分析】
根据旋转的性质，找出图中三角形的关键处（旋转中心）按顺时针方向旋转90°后的形状
即可选择答案．
【详解】
根据旋转的性质可知，绕O点顺时针旋转90°得到的图形是
．
故选B．
【点拨】本题考查了旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大
小、形状都不改变．
9．D【详解】
试题分析：根据题意，点A、A′关于点C对称，设点A的坐标是（x，y），则
，解得 ，∴点A的坐标是 ．故选D．
考点：坐标与图形变化-旋转．
10．C
【分析】
首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B 、B …，即可得每偶数之
2 4
间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B 的坐标.
2019
【详解】
解:
∵A( ,B(0,2),
∴Rt△AOB中，AB= ，
∴OA+AB +B C = =6
1 1 2
∴B 的横坐标为6，且B C =2,即B (6,2),
2 2 2 2
∴B 的横坐标为;2 =12,
4
∴点B 的横坐标为：2018÷2×6=6054，纵坐标为：2，即B 的坐标是(6054,2),
2018 2018
∴点B 的横坐标为6054+ =6058，
2019
∴点B 的坐标为(6058,0).
2019
故选C.
【点拨】本题的考点是坐标与图形变化-旋转，规律型：点的坐标.方法是先根据图形的变
化求出已知三角形三边长度，再根据规律求出点的坐标.
11．A
【详解】
【分析】如图作辅助线，利用旋转和三角形全等证明△DCG与△DEF全等，再根据全等三
角形对应边相等可得EF的长，即△ADE的高，然后得出三角形的面积．
【详解】如图所示，作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC，
∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，∴∠EDF+∠CDF=90°，DE=CD，
又∵∠CDF+∠CDG=90°，
∴∠CDG=∠EDF，
在△DCG与△DEF中， ，
∴△DCG≌△DEF（AAS），
∴EF=CG，
∵AD=2，BC=3，
∴CG=BC﹣AD=3﹣2=1，
∴EF=1，
∴△ADE的面积是： ×AD×EF= ×2×1=1，
故选A．
【点睛】本题考查梯形的性质和旋转的性质，熟知旋转变换前后，对应点到旋转
中心的距离相等、每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等是解题的关
键．同时要注意旋转的三要素：①定点为旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
12．C
【分析】
连接AC ，AO，根据四边形AB C D 是正方形，得出∠C AB =∠AC B =45°，求出
1 1 1 1 1 1 1 1
∠DAB =45°，推出A、D、C 三点共线，在Rt△C DA中，由勾股定理求出AC ，进而求
1 1 1 1 1
出DC =OD，根据三角形的面积计算即可．
1
【详解】
连接AC ，
1∵四边形AB C D 是正方形，
1 1 1
∴∠C AB = ×90°=45°=∠AC B ，
1 1 1 1
∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB C D，
1 1 1
∴∠B AB=45°，
1
∴∠DAB =90°-45°=45°，
1
∴AC 过D点，即A、D、C 三点共线，
1 1
∵正方形ABCD的边长是1，
∴四边形AB C D 的边长是1，
1 1 1
在Rt△C DA中，由勾股定理得：AC = ，
1 1 1
则DC = -1，
1
∵∠AC B =45°，∠C DO=90°，
1 1 1
∴∠C OD=45°=∠DC O，
1 1
∴DC =OD= -1，
1
∴S = ×OD•AD= ，
△ADO
∴四边形AB OD的面积是=2× = -1，
1
故选C．
13．点N
【详解】
试题分析：如图，连接N和两个三角形的对应点；
发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；故答案为：点N．
点睛：本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所
连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中
心的关键所在．
14．M
【解析】
分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，然后通过分别找出正方形
EFGH与正方形ABCD的对应点来判断正方形EFGH是否由正方形ABCD绕某点旋转得到．
详解：以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点
为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH．故选A．
点睛：本题考查了性质的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等；对
应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质．
15．15
【解析】
分析：先判断出∠BAD=150°，AD=AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的
内角和定理即可得出结论．
详解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，
∴∠BAD=150°，AD=AB，
∵点B，C，D恰好在同一直线上，
∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，
∴∠B=∠BDA，
∴∠B= （180°-∠BAD）=15°，
故答案为15°．
点睛：此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判
断出三角形ABD是等腰三角形是解本题的关键．
16．【分析】
根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出∠EAF的度数．
【详解】
∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E
的对应点为F，
∴旋转角为60°，E，F是对应点，
则∠EAF的度数为：60°．
故答案为：60°．
【点拨】此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关
键．
17．
【详解】
连接MC，M′C
根据勾股定理可求得AB=A′B′= ，
根据旋转不变性，可知∠MCM′=90°，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
可知CM= AB= ，CM′= ，
所以再次根据勾股定理可求得MN=
故答案为：【点拨】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，解题时先根据勾股定理求出斜边的长，
然后根据旋转的性质和直角三角形的斜边上的中线求出CM、CM′，然后根据勾股定理可求
解
18．
【分析】
根据题意，判断出 ABC斜边BC的长度，根据勾股定理算出AC的长度，且
，所以 为等边三角形，可得旋转角为60°，同理， ，故
也是等边三角形， 的长度即为AC的长度．
【详解】
解：在 ABC中，∠BAC=90°，AB=2，将其进行顺时针旋转， 落在BC的中点处，
∵ 是由 ABC旋转得到，∴ ，而 ，
根据勾股定理： ，
又∵ ，且 ，∴ 为等边三角形，
∴旋转角 ，
∴ ，且 ，故 也是等边三角形，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了旋转性质的应用以及勾股定理的计算，解题的关键在于通过题中
所给的条件，判断出图形旋转的度数，知道图形旋转的角度后，有关线段的长度也可求得．
19．20
【分析】
以点 为位似中心，将线段 放大为原来的 倍，即可画出线段 ；将线段 绕点逆时针旋转 得到线段 ，即可画出线段 ；连接 ，即可得到四边形
为正方形，进而得出其面积.
【详解】
如图所示，线段 即为所求，
如图所示，线段 即为所求；
由图可得，四边形 为正方形，
四边形 的面积是 .
故答案为 .
【点拨】此题主要考查了位似变换以及旋转的性质以及勾股定理等知识的运用，利用相似
变换的性质得出对应点的位置是解题关键.
20．向右平移4个单位长度 绕原点顺时针旋转
【解析】
分析：仔细观察图形即可得出结论．
详解：由图可知，线段AB向右平移4个单位长度得到线段 ，线段 绕原点顺
时针旋转 得到线段 ．
故答案为向右平移4个单位长度，绕原点顺时针旋转90°．
点睛：本题考查了利用平移作图和旋转作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的关
系是解题的关键．
21．22020
【分析】
根据A（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A
1 2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规
律可得结论．
【详解】
∵点A（0，2），
1
∴第1个等腰直角三角形的面积= =2，
∵A（6，0），
2
∴第2个等腰直角三角形的边长为 = ，
∴第2个等腰直角三角形的面积= =4= ，
∵A（10， ），
4
∴第3个等腰直角三角形的边长为10−6=4，
∴第3个等腰直角三角形的面积= =8= ，
…
则第2020个等腰直角三角形的面积是 ；
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查坐标与图形变化以及找规律，熟练掌握方法是关键.
22．（6053，2）．
【分析】
根据前四次的坐标变化总结规律，从而得解.
【详解】
第一次P（5，2），第二次P（8，1），第三次P（10，1），第四次P（13，1），第五
1 2 3 4
次P（17，2），…
5
发现点P的位置4次一个循环，
∵2017÷4=504余1，
P 的纵坐标与P 相同为2，横坐标为5+3×2016=6053，
2017 1
∴P （6053，2），
2017
故答案为（6053，2）．
考点：坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．23．
【分析】
由旋转的性质可得△BPQ是等边三角形，由全等三角形的判定可得△ABQ≌△CBP(SAS)，
由勾股定理的逆定理可得△APQ是直角三角形，求四边形的面积转化为求两个特殊三角形
的面积即可．
【详解】
解：连接PQ，
由旋转的性质可得，BP=BQ，
又∵∠PBQ=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ=BP，
在等边三角形ABC中，∠CBA=60°，AB=BC，
∴∠ABQ=60°-∠ABP
∠CBP=60°-∠ABP
∴∠ABQ=∠CBP
在△ABQ与△CBP中
，
∴△ABQ≌△CBP(SAS)，
∴AQ=PC，
又∵PA=4，PB=5，PC=3，
∴PQ=BP=5，PC=AQ=3，
在△APQ中，因为 ，25=16+9，
∴由勾股定理的逆定理可知△APQ是直角三角形，
∴ ，
故答案为：【点拨】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定、勾股定理的逆定理及特殊三角
形的面积，解题的关键是作出辅助线，转化为特殊三角形进行求解．
24．2
【分析】
连接CE，如图，利用旋转的性质得到AD=AB=2，AE=AC，∠CAE=60°，
∠AED=∠ACB=30°，则可判断△ACE为等边三角形，从而得到∠AEC=60°，再判断DE平
分∠AEC，根据等腰三角形的性质得到DE垂直平分AC，于是根据线段垂直平分线的性质
得DC=DA=2．
【详解】
解：连接CE，如图，
∵△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，
∴AD=AB=2，AE=AC，∠CAE=60°，∠AED=∠ACB=30°，
∴△ACE为等边三角形，
∴∠AEC=60°，
∴DE平分∠AEC，
∴DE垂直平分AC，
∴DC=DA=2．
故答案为2．
【点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连
线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．
25．（1） , ；（2）详见解析.
【分析】
(1)根据正方形的性质得AB=AD,∠BAD=90 ,则根据旋转的定义得到△ADE绕点A顺时针
旋转90 后与△ABF重合;(2)根据旋转的性质得BF=DE, = ,利用CF=CB+BF=8得到BC+DE=8,再加上
CE=CD-DE=BC-DE=4,于是可计算出BC=6,所以 = =36.
【详解】
解:(1) 四边形ABCD为正方形,
AB=AD,∠BAD=90 ,
△ADE绕点A顺时针旋转90 后与△ABF重合,
即旋转中心是点A,旋转了90度;
故答案为A,90;
(2) △ADE绕点A顺时针旋转90 后与△ABF重合,
BF=DE, = ,
而CF=CB+BF=8,
BC+DE=8,
CE=CD-DE=BC-DE=4,
BC=6,
= =6 =36
【点拨】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段
的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.旋转有三要素:旋转中心; 旋转方向; 旋转角度.
也考查了正方形的性质.
26．(1)见解析；(2)△AOD是直角三角形，理由见解析；(3) 110°或125°或140°时，△AOD
是等腰三角形.
【分析】
（1）根据CO=CD，∠OCD=60°，然后根据等边三角形的判定方法即可得到△COD是等边
三角形；
（2）先求得∠ADC=∠BOC=α=150°，再利用△COD是等边三角形得∠CDO=60°，于是可
计算出∠ADO=90°，由此可判断△AOD是直角三角形；
（3）先利用α表示出∠ADO=α-60°，∠AOD=190°-α，再进行分类讨论：当
∠AOD=∠ADO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α=α-60°；当∠AOD=∠DAO时，
△AOD是等腰三角形，即2（190°-α）+α-60°=180°；当∠ADO=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α+2（α-60°）=180°，然后分别解方程求出对应的α的值即可．
【详解】
(1)∵∠ACD=∠BCO
∴∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO=60°
又∵CO=CD
∴△COD是等边三角形；
(2)∵△COD是等边三角形
∴CO=CD
又∵∠ACD=∠BCO，AC=BC
∴△ACD≌△BCO（SAS）
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠ADO=∠ADC−∠CDO=90°，
∴△AOD是直角三角形；
(3)∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=∠COD=60°，
∴∠ADO=α−60°,∠AOD=360°−60°−110°−α=190°−α，
当∠AOD=∠ADO时,△AOD是等腰三角形,即190°−α=α−60°,解得α=125°；
当∠AOD=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即2(190°−α)+α−60°=180°,解得α=140°；
当∠ADO=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即190°−α+2(α−60°)=180°,解得α=110°，
综上所述,∠BOC的度数为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.
【点拨】此题考查等腰三角形的判定，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解题关键
在于掌握判定定理.
27．（1）见解析；（2） ； ；
【分析】
(1)在坐标系中直接读出点的坐标即可，再由所读数值发现坐标之间的特征；
(2)由上问所得结论可求解a、b的值.
【详解】由图象可知，点 ，点 ，点 ，点 ，点 ，点
；
对应点的坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数；
由 可知， ， ，
解得 ， ．
【点拨】本题考查了图形在坐标系中的旋转，根据坐标系中点的坐标确定旋转特点，从而
确定旋转前后对应坐标之间的关系是解题关键.
28．（1）点 的坐标为 ；（2）点 的坐标为 ；（3）点 的坐标为
．
【分析】
(1) 过点 作 轴于 根据已知条件可得出AD=6，再直角三角形ADG中可求出
DG，AG的长，即可确定点D的坐标.
(2) 过点 作 轴于 于 可得出 ，根据勾股定理得出
AE的长为10，再利用面积公式求出DH，从而求出OG,DG的长，得出答案
(3) 连接 ，作 轴于G，由旋转性质得到 ，从而可证
，继而可得出结论.
【详解】
解：(1)过点 作 轴于 ，如图①所示：点 ，点 ．
，
以点 为中心，顺时针旋转矩形 ，得到矩形 ，
，
在 中， ，
，
点 的坐标为 ；
(2)过点 作 轴于 于 ，如图②所示：
则 ，
，
，
，，
， ，
点 的坐标为 ；
(3)连接 ，作 轴于G，如图③所示：
由旋转的性质得： ，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
点 的坐标为 ．
【点拨】本题考查的知识点是坐标系内矩形的旋转问题，用到的知识点有勾股定理，全等
三角形的判定与性质等，做此类题目时往往需要利用数形结合的方法来求解，根据每一个
问题做出不同的辅助线是解题的关键.
