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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题3.5确定圆的条件
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2019秋•香坊区校级期中）下列说法：
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；
④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．
其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；
③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆，正确；
④圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，故错误，
正确的只有1个，
故选： ．
2．（2020秋•西林县期末）经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是
A．1 B．2 C．3 D．无数
【分析】不在同一直线上的三点确定一个圆．
【解析】经过不在同一直线上的三点确定一个圆．
故选： ．
3．（2020秋•德州期末）下列说法中，正确的是
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．过任意三点可以画一个圆C．周长相等的圆是等圆 D．平分弦的直径垂直于弦
【分析】根据确定圆的条件，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理和圆周角定理逐个判断即可．
【解析】 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法不正确；
、不在同一直线上的三个点确定一个圆，若这三个点在一条直线上，就不能确定圆，故本选项说法不正
确；
、周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项说法正确；
、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法不正确；
故选： ．
4．（2020•夷陵区模拟）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点 ， ， ， 均在
格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点 为原点建立直角坐标系，则过 ， ， 三点的圆的圆心坐
标为
A． B． C． D．
【分析】连接 ，作 的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点 的坐标即可．
【解析】连接 ，作 的垂直平分线，如图所示：
在 的垂直平分线上找到一点 ，
，
点 是过 、 、 三点的圆的圆心，
即 的坐标为 ，故选： ．
5．（2020•河北）有一题目：“已知：点 为 的外心， ，求 ．”嘉嘉的解答为：
画 以及它的外接圆 ，连接 ， ．如图，由 ，得 ．而淇淇说：
“嘉嘉考虑的不周全， 还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是
A．淇淇说的对，且 的另一个值是
B．淇淇说的不对， 就得
C．嘉嘉求的结果不对， 应得
D．两人都不对， 应有3个不同值
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【解析】如图所示： 还应有另一个不同的值 与 互补．
故 ．
故选： ．
6．（2021•嘉兴一模）如图，锐角 内接于 ， ， 于点 ，连接 ，则
的度数为
A． B． C． D．【分析】连接 、 ，根据三角形内角和定理得到 ，根据圆周角定理计算，得
到答案．
【解析】连接 、 ，
，
，
，
，
由圆周角定理得： ，
，
，
由圆周角定理得： ，
，
故选： ．
7．（2021•黄冈）如图， 是 的外接圆， 交 于点 ，垂足为点 ， ， 的
延长线交于点 ．若 ， ，则 的长是
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】由题知， 为直径，得 ，且 是 的中位线， 是三角形 的中位线，根
据勾股定理求出圆的半径即可．
【解析】由题知， 为直径，
，，
，
，
为三角形 的中位线，
，
又 ，
，
，
，点 是 中点，
是三角形 的中位线，
，
故选： ．
8．（2020秋•滨江区期末）如图， 内接于 ， ， ， 是 的直径，
交 于点 ，连接 ，则 等于
A． B． C． D．
【分析】先利用圆周角定理得到 ， ，则利用互余计算出 ，再计算
出 ，然后根据三角形内角和可计算出 的度数．
【解析】 ，
，
是 的直径，
，
，，
，
，
故选： ．
9．（2020•哈尔滨模拟）如图， 内接于 ， 是优弧 的中点， 直线 于点 ，若
，则 的长为
A．6 B．5 C．4 D．7
【分析】连接 ， ， ，过 作 于 ，根据 是优 的中点，求得 ，得到
，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得到 ，根据全等三角形的判定和
性质即可得到结论．
【解析】连接 ， ， ，过 作 于 ，
，
，
是优 的中点，
，
，
， ，
，
直线 于点 ，
，
，，
， ，
， ，
，
，
，
故选： ．
10．（2021•兴庆区校级一模）如图，在 中， ， ，能够将 完全覆盖的最小
圆形纸片的直径是
A． B． C． D．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得 外接圆的直径，即可解决问
题．
【解析】能够将 完全覆盖的最小圆是 的外接圆，设圆的圆心为点 ，如图所示：
在 中， ， ，
，
作 于点 ，则 ， ，
， ，，
，
即能够将 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 ，
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021秋•道里区校级月考）已知 是半径为 的圆的内接三角形， ，则
或 ．
【分析】首先利用垂径定理求出弦 所对的圆心角的度数，分情况讨论点 在优弧 和劣弧 上，利
用圆周角定理及其推论求解．
【解析】如图，
， ，
，
在 中，
，
，
，，
四边形 为圆内接四边形，
，
故答案为 或 ．
12．（2019•青神县模拟）如图，若 内接于半径为4的 ，且 ，则边 的长为
．
【分析】连接 并延长交 于 ，根据圆周角定理得到 ， ，解直角三角
形即可得到结论．
【解析】连接 并延长交 于 ，连接 ，
则 ，
，
，
的半径为4，
，
，
即 ，
，
故答案为： ．13．如图，在 中， ， ，则 面积的最大值为 ．
【分析】如图，作 的外接圆，因为 为固定弦， 为 所对圆周角，点 在弧 （优弧）上
移动都能保证 恒为 ，而 的面积由于底 固定则由其高决定，在圆上当 与 垂直时，
的高达到最大值，此时 面积最大，延长 与 交于 ，由上述可知 ，根据题意，
等腰三角三角形的性质，分别求出 ， ， 即可求
解．
【解析】如图，作 的外接圆，因为 为固定弦， 为 所对圆周角，点 在弧 （优弧）上
移动都能保证 恒为 ，而 的面积由于底 固定则由其高决定，在圆上当 与 垂直时，
的高达到最大值，此时 面积最大，如图，延长 与 交于 ，由上述可知 ，
，
，
，
，
， ，
平分 ， 是 中点，
， ，
，
，
，
，
此时， ．
故答案为： ．
14．（2020•泰州二模）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， 的坐标分别是 ， ，
， 是 的外接圆，则点 的坐标为 ．
【分析】由题意得出 在 、 的垂直平分线上，则 ，求出 ，证 是
等腰直角三角形，得出 ，即可得出答案．
【解析】如图所示：
是 的外接圆，
点 在 、 的垂直平分线上，，
点 ， ， 的坐标分别是 ， ， ，
， ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点 的坐标为 ；
故答案为： ．
15．（2020秋•庐阳区期末）如图， 内接于 ， ， ， 于点 ，
若 的半径为4，则 的长为 ．【分析】连接 ， ，根据圆周角定理得圆心角为 ，根据勾股定理求出 ，再根据在直角三角形
中， 所对的直角边等于斜边的一半即可求出 ．
【解析】如图，连接 ， ．
，
在 中，根据勾股定理得： ，
， ，
．
故答案为： ．
16．（2020•马山县模拟）如图， 内接于 ， ， ， 于点 ，
，则 的半径为 ．
【分析】连接 ， ，根据圆周角定理得 ，根据直角三角形中 所对的直角边等于斜边
的一半求出 ，再利用勾股定理求出 ．【解析】如图，连接 ， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
的半径为 ，
故答案为： ．
17．（2019秋•北京期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， 都在格点上，过 ， ， 三点作
一圆弧，则圆心的坐标是 ．
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦 和 的垂直平分线，交点即为圆
心．【解析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦 和 的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是 ．
故答案为： ．
18．（2021•潍坊模拟）如图，等边三角形 边长是定值，点 是它的外心，过点 任意作一条直线分
别交 ， 于点 ， ，将 沿直线 折叠，得到△ ，若 ， 分别交 于点 ，
，连接 ， ，则下列判断正确的有 ．
．
．△ 的周长是 的长度
．四边形 的面积等于
．四边形 的面积是一个定值
【分析】 、根据等边三角形 的外心的性质可知： 也是内心，所以 平分 ，根据角平分线
的性质和判定得： 平分 ，由外角的性质可证明 ，同理可得 ，
，可证明 ， ， ，可
得 ， ，从而得 ；
、根据 ，得 ，所以 △ ，可得结论；
、根据 ，依次换成面积相等的三角形，可得结论为： （定值），
可作判断；
、方法同 ，将 ，根据 ， 变化，故 的面积变化，从而四边形 的面积也变化，可作判断．
【解析】 、如图，连接 、 ，
点 是等边三角形 的外心，
点 是等边三角形 的内心，
平分 ，
点 到 、 的距离相等
由折叠性质得： 平分 ，
点 到 、 的距离相等，
点 到 、 的距离相等，
平分 ，
，
由折叠得： ，
，
，
同理可得 ，
，
，
， ，
， ，
， ， ，
，
同理得 ，
， ， ，
，故选项 正确；
、 ，
，△ ，
，
△ 的周长 （定值），
故选项 正确；
、 （定值），
故选项 正确；
、
，
过 作 于 ，
，
由于 是定值， 变化，故 的面积变化，从而四边形 的面积也变化，
故选项 不一定正确；
故答案为： ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，点 ， ， ， 都在小正方形的顶点上．
（1）判断 的形状，并说明理由．
（2）若 的外接圆为 ，判断点 与 的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据网格可得 ， ，所以可得 是等腰直角三角形；
（2）根据网格画出 的外接圆，即可判断点 与 的位置关系．
【解析】（1） 是等腰直角三角形，理由如下：
根据网格可知：
， ，
是等腰直角三角形；
（2）点 在 上，理由如下：
根据网格可知：
的外接圆如图，
，
点 在 上．
则点 与 的位置关系是：点 在 上．
20．（2020秋•秀洲区月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点 ， ， ．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若 是等腰三角形，底边 ，腰 ，求圆片的半径 ．【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦 和 的垂直平分线交点即为所求；
（2）连接 ， ，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径 ．
【解析】（1）如图所示：分别作弦 和 的垂直平分线交点 即为所求的圆心；
（2）连接 ， ， ， 交 于 ．
，
，
，
，
设圆片的半径为 ，在 中， ，
，
解得： ，圆片的半径 为 ．
21．（2020秋•延边州期末）如图，在平面直角坐标系中， 、 、 ．
（1）经过 、 、 三点的圆弧所在圆的圆心 的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）直接判断点 与 的位置关系．点 在 （填内、外、上）．
【分析】（1），利用网格特点，作 和 的垂直平分线，它们的交点为 点，从而得到点 的坐标；
（2）利用两点间的距离公式计算出 即可；
（3）先计算出 ，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点 与 的位置关系．
【解析】（1）如图，圆心 的坐标为 ；
（2） ， ，
，
即 的半径为 ；
（3） ， ，
，
，
点 在 内．
故答案为 ； ；内．22．（2021•硚口区模拟）如图， 是 的外接圆， ， 的延长线交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 ．
【分析】（1）连接 ，由垂径定理的推论可得 ，由同圆的半径相等可得
．根据等量代换，结论可得；
（2）过 作 ，交 延长线于点 ，由平行线的性质定理，可得 ，设出 ，用
表示 ，利用勾股定理求出线段 ，在直角三角形 中可求的结论．
【解析】（1）连接 ，并延长交 于点 ，
，
．
．
平分 ．
．
，
．
．
（2）过 作 ，交 延长线于点 ，
，．
， ，
．
．
，
．
设 ，则 ．
．
．
，
．
23．（2021•福田区校级三模）如图， 为 的外接圆， 为 直径， ，点 在劣弧
上， 交 于 ，连接 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的半径．【分析】（1） ， ， ，利用“ “即可证明；
（2）先求出 和 ，在 中用勾股定理可得 ，从而求出 半径．
【解析】（1）证明： 为 直径，
，
，
，
，
在 和 中，
，
；
（2） ，
， ，
，
是等腰直角三角形，
， ,
， ，
，
为 直径，
，
，的半径为 ．
24．（2021•西湖区一模）如图， 为 的外接圆， 为 直径， ，点 在劣弧 上，
交 于 ，连接 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的半径．
（3）若点 为 的中点，连接 ， ，设 ， ，求 ．（用含有 ， 的代数式
表示）
【分析】（1） ， ， ，利用“ “即可证明；
（2）先求出 和 ，在 中用勾股定理可得 ，从而求出 半径；
（3）过 作 于 ， ，利用 是 中位线求出 和 ，再在 中用
勾股定理求出 ，从而可得答案．
【解析】（1）证明： 为 直径，
，
，
，
，
在 和 中，
，
；
（2） ，， ，
，
是等腰直角三角形，
， ，
， ，
，
为 直径，
，
，
的半径为 ；
（3）法一：过 作 于 ，如图：
是等腰直角三角形， ，
， ，
为 的中点，
，
，
，
，
， ，
，，
， ， ，
，
在 中， ，
．
法二：延长 至点 ，使 ，连接 ，如图：
由（1）得 ，
，
为直径，
，
为等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形， ，
， ，
而 ，
，即 ，
为 中点，
为 中点，
，．
