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专题31 圆锥曲线中的定直线问题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知抛物线 ，直线l过点M(2,1)，且与抛物线交于A，B两点，|AM|＝|BM|，则直线l的方程是
A． B．
C． D．
2．已知双曲线 的离心率为3，斜率为 的直线 分别交F的左右两支于A，B两
点，直线 分别交F的左、右两支于C，D两点， ， 交 于点E，点E恒在直线l上，若直线l
的斜率存在，则直线的方程为（ ）
x+4 y=0
A． B． C． D．
3．设点 为抛物线 的焦点， ， ， 三点在抛物线上，且四边形 为平行四边形，若对角
线 （点 在第一象限），则对角线 所在的直线方程为
A． B．
C． D．
4．如图，已知点 在焦点为 的椭圆上运动，则与 的边 相切，且与边 的延长线相
切的圆的圆心 一定在（ ）
A．一条直线上 B．一个圆上 C．一个椭圆上 D．一条抛物线上5．已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆 上且位于第一象限， 为坐标原点，若线段
的中点 满足 ，则直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．若点A，F分别是椭圆 的左顶点和左焦点，过点F的直线交椭圆于M，N两点，记直线
的斜率为 ，其满足 ，则直线 的斜率为
A． B． C． D．
7．已知点 为双曲线 上任意一点， 、 为其左、右焦点， 为坐标原点．过点 向
双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为 、 ，则下列所述错误的是（ ）
A． 为定值
B． 、 、 、 四点一定共圆
C． 的最小值为
D．存在点 满足 、 、 三点共线时， 、 、 三点也共线
8．已知O为坐标原点，M为抛物线C： 上一点，直线l： 与C交于A，B两点，过A，B
作C的切线交于点P，则下列结论中正确结论的个数是（ ）
（1） ；（2）若点 ，且直线AM与BM倾斜角互补，则 ；
（3）点P在定直线 上；（4）设点 ，则 的最小值为3．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知斜率为 的直线交抛物线 于 、 两点，下列说法正确的是（ ）A． 为定值
B．线段 的中点在一条定直线上
C． 为定值（ 、 分别为直线 、 的斜率）
D． 为定值（ 为抛物线的焦点）
10．已知O为抛物线 的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线
作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线l过焦点F，则N，O，P三点不共线
B．若直线l过焦点F，则
C．若直线l过焦点F，则抛物线C在M，N处的两条切线的交点在某定直线上
D．若 ，则直线l恒过点
11．如图所示，抛物线 ， 为过焦点 的弦，过 ， 分别作抛物线的切线，两切线交于点
，设 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）．
A．若 的斜率为1，则
B．若 的斜率为1，则C．点 恒在平行于 轴的直线 上
D． 的值随着 斜率的变化而变化
12．椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为坐标原点，则以下说法正确的是（ ）
A．过点 的直线与椭圆 交于 两点，则 的周长为8
B．椭圆 上不存在点 ，使得
C．直线 与椭圆 恒有公共点
D． 为椭圆 上一点， 为圆 上一点，则点 ， 的最大距离为3
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知抛物线 ，焦点是 ， 为抛物线上一动点，以 为直径的圆与定直线相切，则直线
的方程为 ．
14．经过抛物线 的焦点 的直线交此抛物线于 ， 两点，抛物线在 ， 两点处的切线相交
于点 ，则点 必定在直线 上．（写出此直线的方程）
15．如图，A、B为椭圆 的两个顶点，过椭圆的右焦点F作 轴的垂线与其交于点C，
若AB∥OC(O为坐标原点)，则直线AB的斜率为 .
16．已知椭圆 ，一组平行直线的斜率为 ，经计算当这些平行线与椭圆相交时，被椭圆截得的
线段的中点在定直线l上，则直线l的方程为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知点 ， ，动点 满足直线 与 的斜率之积为 ，记动点 的轨迹为曲线 ．(1)求曲线 的方程；
(2)过点 的直线与曲线 交于 两点，直线 与 相交于 ．求证：点 在定直线上．
18．在平面直角坐标系 中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为
，其中一条渐近线的倾斜角为 .
(1)求C的标准方程；
(2)过点 作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段 上取一点E满足
，证明：点E在一条定直线上.
19．已知抛物线 ，过点 的两条直线 、 分别交 于 、 两点和 、 两点．
当 的斜率为 时， ．
(1)求 的标准方程；
(2)设 为直线 与 的交点，证明：点 在定直线上．20．已知抛物线 ： 上一点 到其焦点 的距离为3， ， 为抛物线 上异于原点
的两点.延长 ， 分别交抛物线 于点 ， ，直线 ， 相交于点 .
(1)若 ，求四边形 面积的最小值；
(2)证明:点 在定直线上.
21．已知椭圆 ： ， 为椭圆 的右焦点，三点 ， ，
中恰有两点在椭圆 上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设点 为椭圆 的左右端点，过点 作直线交椭圆 于 ， 两点（不同于 ），求证：直
线 与直线 的交点 在定直线上运动，并求出该直线的方程.
22．椭圆E的方程为 ，左、右顶点分别为 ， ，点P为椭圆E上的点，且在第一
象限，直线l过点P
(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若 ，求 的长；
(2)若直线l过点 ，且交椭圆E于另一点Q（异于点A，B），记直线 与直线 交于点M，试问点
M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．
