文档内容
专题 3.8-9 与圆有关的计算测试卷
注意事项：
本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022·江苏·九年级课时练习）用一个圆心角为 ，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥
的底面圆的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，从而可以计算面积．
【详解】解：扇形的弧长= ，
∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．
∴面积为：4π，
故选：D．
【点睛】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
2．（2022·福建·一模）把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，打开后得到一个正多
边形，则这个正多边形不可能是（ ）
A．正十二边形 B．正十边形 C．正八边形 D．正六边形
【答案】B
【分析】由正多边形和外接圆，找中心角，实际动手操作来进行解题．
【详解】解：经过动手操作，如果过斜边的中点，构造顶角为45°的等腰三角形，剪去4个重合角，可以
得出正八边形；
如果过直角三等分线与边的两个交点，构造顶角为30°的等腰三角形，剪去4个重合角，可以得出正十二
边形；
如果过三等分线与边一个交点构造顶角60°和30°的等腰三角形，剪去两对重合角，可以得到正六边形，而得不出十边形，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了与剪纸相关的知识，正多边形和圆的综合，熟练地动手操作能力是解决问题的关
键．
3．（2021·湖南邵阳·一模）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩
形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则底面圆的直
径的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】A
【分析】圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于
圆锥底面的周长得到 ＝2πr，解方程求出r，然后求得直径即可．
【详解】解：设圆锥的底面的半径为rcm，
根据题意得 ＝2πr，
解得r＝1，
所以底面圆的直径为2cm，
故选：A．
【点睛】本题考查弧长公式，圆锥底面圆周长与侧面展开扇形的弧长的关系，熟练使用弧长公式是关键
4．（2022·江苏扬州·九年级期中）如图，平地面上有一面积为 cm2的扇形 ，半径 ，在
与地面垂直并且扇形没有滑动的情况下，将扇形向右，动至 与地面垂直为止，点O移动的距离是
（ ）A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】结合图形，则O点移动的距离即为优弧 的长，根据扇形面积公式进行计算．
【详解】设优弧 的长是l．
根据扇形的面积公式，得
．
故选D．
【点睛】此题考查了扇形的面积公式，熟记 = ×弧长×圆的半径是解题的关键．
5．（2022·江苏泰州·九年级期中）如图，正 边形 两条对角线 、 的延长线交于点 ，
若 ，则 的值是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．24
【答案】B
【分析】连接 ， ，根据正n边形的性质知 ，得 ，则正n边形中心
角为 ，即可解决问题．
【详解】解：连接 ， ，
∵多边形是正n边形，∴ ，
∴ ，
∴正n边形中心角为 ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正n边形和圆的知识，熟练掌握正n边形的性质是解题的关键．
6．（2022·江苏扬州·九年级期中）如图，点 是正方形 和正五边形 的中心，连接 、
交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正多边形与圆的性质以及圆周角定理、三角形内角和定理进行计算即可．
【详解】解：如图，连接 、 、 、 、 ， 是正方形 和正五边形 的外接
圆，
∵正方形 内接于 ，∴ ，
又∵正五边形 内接于 ，
∴ ，
∴ ，
故选：B
【点睛】本题考查正多边形与圆，掌握正多边形与圆的性质，圆周角定理、三角形内角和定理是正确解答
的前提．
7．（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）如图，将 绕点 旋转 得到 ，已知
， ，则线段 扫过的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图形可以得出AB扫过的图形的面积= ，由旋转的性质就可以
得出 就可以得出AB扫过的图形的面积= 求出其值即可．
【详解】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴ ， ．
∵AB扫过的图形的面积= ，
∴AB扫过的图形的面积= ，∴AB扫过的图形的面积= ．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据
旋转的性质求解是关键．
8．（2021·全国·九年级课时练习）如图，已知 ，求作： 内接正六边形 ，以下是甲、乙两
同学的作业：
甲：①先作直径 ；②作 的垂直平分线交 于点 、 ；③作 的垂直平分线交 于点 、 ；
④依次连接 ，六边形 即为所求（如图①）．
乙：① 上任取点 ，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ；②以点 为圆心， 为半径画
弧交 于点 ；③同上述作图方法逆时针作出点 、 、 ；④依次连接
，多边形 即为正六边形（如图②）．
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对
【答案】C
【分析】由甲同学的作业可知， ，同理可知 ，由乙同学的作
业可知 ．依次画弧可得 ．进而即可判断
【详解】由甲同学的作业可知， ，同理可知 ，
六边形 是正六边形，即甲同学的作业正确．
由乙同学的作业可知 ．依次画弧可得 ．
六边形 为正六边形，即乙同学的作业正确．
故选C
【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键．
9．（2022·河南信阳·九年级期末）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【分析】作辅助线 ，利用翻折变换的性质得出 ，再根据直角三角形、平行线的性质得
出 ，最后利用弧度与圆心角的关系得出结论．
【详解】如图：过点 作直线 于点 ，连接 ，
， ，
， ．
，
即 ．
的度数是 ．
故选：A．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，翻折变换（折叠问题）的理解与运用能力．涉及特殊角的三角
函数值，求此角；两直线平行，内错角相等；弧度与圆心角都是指圆心角大小，圆心角是角度为单位，弧度是弧度制等知识点．恰当利用辅助线，根据翻折变换的特点（对称性）建立等式关系是解本题的关键．
10．（2022·广西贺州·中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完
成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙
漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是
，高是 ；圆柱体底面半径是 ，液体高是 ．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中
液体的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的
体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，
根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：如图，作圆锥的高AC，在BC上取点E，过点E作DE⊥AC于点D，则AB=6cm，AC=6cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴CD=DE，
圆柱体内液体的体积为：圆锥的体积为 ，
设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，
∴ ，
∴ ，
解得：x=3，
即此时“沙漏”中液体的高度3cm．
故选：B．
【点睛】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决
问题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021·浙江·宁波市江北区实验中学九年级期中）如图，在 的方格纸中（共有16个小方格），每
个小方格都是边长为1的正方形． 、A、 分别是小正方形的顶点，则扇形 的弧长等于___________．
（结果保留根号及 ）．
【答案】
【分析】根据正方形的性质，得扇形所在的圆心角是 ，进而求得扇形的半径，即可解题．
【详解】解：根据图形中正方形的性质，得：
， ，
∴扇形 的弧长为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了扇形周长的计算，熟练掌握弧长的计算公式： ，是解题的关键．12．（2021·全国·九年级课时练习）如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是 上的任意一点，
则∠CPE的度数为____．
【答案】 ．
【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系
定理计算即可．
【详解】连接OD,OC,OE,
∵八边形ABCDEFGH是正八边形,
∴∠COD=∠DOE= =45°,
∴∠COE=45°+45°=90°,
∴∠CPE= ∠COE
=45°.
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键．
13．（2022·宁夏·固原市原州区三营中学模拟预测）已知一个圆锥的底面直径为 ，母线长 ，则
这个圆锥的表面积是______（结果保留 ）
【答案】
【分析】根据圆锥表面积 侧面积 底面积 底面周长 母线长 底面积计算．【详解】解：圆锥的表面积 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键记准圆锥的侧面面积和底面面积公式．
14．（2022·北京八十中九年级期中）如图，在扇形 中， ， ，则阴影部分的面积是
__________．
【答案】
【分析】根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去直角三角形的面积即可求解
【详解】∵在扇形 中， ， ，
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解决问题的关键
15．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图，正方形 内接于 ，其边长为2，则 的内接正三角形
的边长为______．
【答案】
【分析】连接 、 、 ，作 于M，先求出圆的半径，在 中利用30度角的性质即
可解决问题．【详解】解；连接 、 、 ，作 于M，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ 是直径， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练
应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
16．（2022·重庆八中八年级期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点
A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若 =120°，OA= ，则蚂蚁爬行的最短距离
是_________．【答案】3
【分析】连接 ，作 于点 ，根据题意，结合两点之间线段最短，得出 即为蚂蚁爬行的最
短距离，再根据三角形的内角和定理得出 ，再根据直角三角形中 所对的直角边等于斜边的
一半，得出 ，再根据勾股定理，得出 ，再根据三线合一的性质，得出 ，再根据
线段之间的数量关系，得出 即可解答．
【详解】解：如图，连接 ，作 于点 ，
∴ 即为蚂蚁爬行的最短距离，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
∴蚂蚁爬行的最短距离为3．
故答案为：3【点睛】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三
线合一的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020·浙江金华·九年级期末）如图所示为一个上、下底密封纸盒的三视图，请描述图中所表示的几
何体．并根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积．
【答案】(75 +360)cm2
【分析】根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱，其表面积是六个面的面积加上两个底的面积．
【详解】解：根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱，
设正六边形的中心为O，连接OA、OB，作OD⊥AB于D，
由图可知其高为12cm，底面半径为5cm，
∴侧面积为6×5×12=360cm2，
∵∠AOB=360°÷6=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=5cm，OD=sin60°×OA= cm，
∴密封纸盒2个底面的面积为： cm2，
∴其全面积为：(75 +360)cm2．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，等边三角形的判定与性质，正六边形的性质，以及解直角三角
形的知识，解题的关键是正确的判定几何体．
18．（2022·江苏·苏州高新区第一初级中学校九年级阶段练习）如图，在直角坐标系中，边长为1的小正
方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点），在给定的网格中，解答下列问题：
(1)以A为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，得到△ABC ，画出△ABC ．
1 1 1 1
(2)以C 为旋转中心，将△ABC 顺时针旋转90°，则点A的运动路径长为______．
1 1 1
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据位似图形的性质，即可画出 ；
（2）根据旋转的性质，可画出旋转后的图形，再利用弧长公式代入计算即可．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；（2）解：以 为旋转中心，将 顺时针旋转 为 如图即为所求；
，
由图形可知， ，
∴点 的运动路径为 ．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，旋转的性质，弧长公式等知识，准确画出图形是解题的关键．
19．（2022·福建省福州屏东中学九年级阶段练习）如图， ， 是以 为直径的半圆上的两点，
，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到 ，根据 得到 ，进而得到结论；
（2）连接 ， ，根据所求的阴影部分面积与扇形 的面积及 的关系即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，连接 ， ， 交线段 于点M．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，平行线的判定，掌握定理以及扇
形面积公式是解题的关键．
20．（2022·全国·九年级课时练习）如图1，正五边形 内接于⊙ ，阅读以下作图过程，并回答下
列问题，作法：如图2，①作直径 ；②以F为圆心， 为半径作圆弧，与⊙ 交于点M，N；③连接
．(1)求 的度数．
(2) 是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以 长为半径，在⊙ 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
【答案】(1)
(2)是正三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得 ，则 (优弧所对圆
心角) ，然后根据圆周角定理即可得出结论；
（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出 ，即可得出结论．
（1）
解：∵正五边形 ．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ (优弧所对圆心角) ，
∴ ；
（2）
解： 是正三角形，理由如下：
连接 ，由作图知： ,
∵ ，
∴ ，
∴ 是正三角形，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，即 ，
∴ 是正三角形；
（3）
∵ 是正三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角
定理是解本题的关键．
21．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外
包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中 ， 将扇形EAF围成圆锥时，AE、 恰
好重合，已知这种加工材料的顶角 ．(1)求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；
(2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π）
【答案】(1)1：2
(2)
【分析】（1）根据弧EF的两种求法，可得结论．
（2）根据 求解即可．
【详解】（1）由圆锥的底面圆周长相当于侧面展开后扇形的弧长得：
．
∴ ．
∴ ，ED与母线AD长之比为
（2）∵
∴
答：加工材料剩余部分的面积为
【点睛】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
22．（2021·全国·九年级课时练习）在下列正多边形中， 是中心，定义： 为相应正多边形的基本三角形．如图1， 是正三角形 的基本三角形；如图2， 是正方形 的基本三角形；
如图3， 为正 边形 …的基本三角形．将基本 绕点 逆时针旋转 角度得 ．
（1）若线段 与线段 相交点 ，则：
图1中 的取值范围是________；
图3中 的取值范围是________；
（2）在图1中，求证
（3）在图2中，正方形边长为4， ，边 上的一点 旋转后的对应点为 ，若 有最小
值时，求出该最小值及此时 的长度；
（4）如图3，当 时，直接写出 的值．
【答案】（1） ， ；（2）见解析；（3）最小值： ，此时 ＝2+ ；
（4）
【分析】（1）根据正多边形的中心角的定义即可解决问题；
（2）如图1中，作OE⊥BC于E，OF⊥ 于F，连接 ．利用全等三角形的性质分别证明：BE＝
， 即可解决问题；
（3）如图2中，作点O关于BC的对称点E，连接OE交BC于K，连接 交BC于点 ，连接 ，此
时 的值最小，即 有最小值．
（4）利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题；
【详解】（1）由题意图1中，∵△ABC是等边三角形，O是中心，
∴∠AOB＝120°
∴∠α的取值范围是：0°＜α≤120°，图3中，∵ABCDEF…是正n边形，O是中心，
∴∠BOC＝ ，
∴∠α的取值范围是：0°＜α≤ ，
故答案为：0°＜α≤120°，0°＜α≤ ．
（2）如图1中，作OE⊥BC于E，OF⊥ 于F，连接 ．
∵∠OEB＝∠OF ＝90°，
根据题意，O是中心，∴OB＝OC，
∴∠OBE＝∠ ，
∴△OBE≌△O F（AAS），
∴OE＝OF，BE＝ F
∵ ，
∴Rt△ ≌Rt△ （HL），
∴ ，
∴ ．
（3）如图2中，作点O关于BC的对称点E，连接OE交BC于K，连接 交BC于点 ，连接 ，此
时 的值最小．∵∠ ＝135°，∠BOC＝90°，
∴∠OCB＝∠ ＝45°，
∴ ∥BC，
∵OK⊥BC，OB＝OC，
∴BK＝CK＝2，OB＝2 ，
∵ ∥ ，OK＝KE，
∴ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝2+ ，
在Rt△ 中， ＝ ．
∵ ，
∴ 有最小值，最小值为 ，此时 ＝2+ ．
（4）如图3中，
∵ABCDEF…是正n边形，O是中心，
∴∠BOC＝ ，
∵OC⊥ ， ，
∴∠ ＝ ∠ ＝ ∠BOC＝ ，
∴α＝ ．【点睛】本题属于多边形综合题，考查了正多边形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的
关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
23．（2022·北京四中九年级阶段练习）阅读下面材料：
小岩遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝1， ，PC＝2，求∠APB的
度数；
小岩是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造 ，连接 ，得到两个特殊的三角形，从
而将问题解决．
(1)请你回答：图1中∠APB的度数等于____；（直接写答案）
参考小岩同学思考问题的方法，解决下列问题：
(2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且 ， ， ．求∠APB的度数；
(3)如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，若∠APB＝ ，直接写出PA，PB和PF的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把△APB绕点A逆时针旋转 得到 ，由旋转的性质可得
证出 是等边三角形，由等边三角形的性质
求出 ，再由勾股定理逆定理求出 ，求出 ，即为∠APB的度数；
（2）把△APB绕点A逆时针旋转 得到 ，由旋转的性质可得 ，
证出 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质求出 ， ，再利用勾股定理逆定理
求出 ，然后求出 ，即为∠APB的度数；
（3）把△APB绕点A逆时针旋转 得到 ， 由旋转的性质， ，可得 ， 过点A作 于M，设 与AF相交于N，证明
再利用勾股定理可得答案．
（1）
解：如图2，把△APB绕点A逆时针旋转 得到 ，
由旋转的性质，
∴ 是等边三角形，
∴
∵
∴
∴
故 ；
故答案为： ．
（2）
如图3，把△APB绕点A逆时针旋转 得到 ，由旋转的性质，
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∵
∴ ，
∴ ，
故 ．
（3）
如图4，∵正六边形的内角为 ，
∴把△APB绕点A逆时针旋转 得到 ，
由旋转的性质， ，
∴ ，
过点A作 于M，设 与AF相交于N，
设
则
∴
∴
由旋转的性质可得：∴
∴
∴
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，正六边形的性质，勾股定理以及勾
股定理逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出直角三角形与全等三角形是解题的关键．
