文档内容
专题31 圆锥曲线中的定直线问题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知抛物线 ，直线l过点M(2,1)，且与抛物线交于A，B两点，|AM|＝|BM|，则直线l的方程是
A． B．
C． D．
【解析】设 ， ，则 ， .
∴ ，即 .
∵直线 过点 ，且 ，∴ ，
∴ ，即 .∴直线 的方程为 ，即 .故选:B.
2．已知双曲线 的离心率为3，斜率为 的直线 分别交F的左右两支于A，B两
点，直线 分别交F的左、右两支于C，D两点， ， 交 于点E，点E恒在直线l上，若直线l
的斜率存在，则直线的方程为（ ）
x+4 y=0
A． B． C． D．
【解析】由题得 ，
设 的中点 的中点 ，则 ，得 ，
所以 ，所以 ①，同理得 ②，
因为 ，则E，M，N三点共线，所以 ，将①②代入得 ，即
，因为直线l的斜率存在，所以 ，
所以 ，即点E在直线 上.故选：A.
3．设点 为抛物线 的焦点， ， ， 三点在抛物线上，且四边形 为平行四边形，若对角
线 （点 在第一象限），则对角线 所在的直线方程为
A． B．
C． D．
【解析】如图所示，
设 点的坐标为 ，则 ，所以 ， 点的坐标为 .
所以线段 的中点 的坐标为 .设 ， .有 ， ，且 .
所以 ，所以 ，所以 .
对角线 所在的直线方程为 ，即 .故选：B.
4．如图，已知点 在焦点为 的椭圆上运动，则与 的边 相切，且与边 的延长线相
切的圆的圆心 一定在（ ）
A．一条直线上 B．一个圆上 C．一个椭圆上 D．一条抛物线上
【解析】如图，
设圆 与 分别相切于 ，由切线定理得： ，
因为 在椭圆上， 定值 ，
为定值，
，∴切点
∴圆心 在过 垂直于椭圆所在轴的直线.故选：A.
5．已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆 上且位于第一象限， 为坐标原点，若线段
的中点 满足 ，则直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．【解析】设椭圆 的右焦点为 ， （ ）， ， ，
分别是 和 的中点， ，由已知可得 ， ，
，即 ，由 得 ，
， 直线 的方程为 ，即 .故选：D.
6．若点A，F分别是椭圆 的左顶点和左焦点，过点F的直线交椭圆于M，N两点，记直线
的斜率为 ，其满足 ，则直线 的斜率为
A． B． C． D．
【解析】点A，F分别是椭圆 的左顶点和左焦点，
所以椭圆的左焦点坐标为 ，左顶点坐标为 ，
由题意可知，直线MN的斜率一定存在，因为直线MN过椭圆左焦点，所以MN的直线方程可设为
， ，
联立直线方程与椭圆方程 ，化简得
所以 ，因为 ，
代入 ，可得
将 代入通过解方程可得 ，所以选B
7．已知点 为双曲线 上任意一点， 、 为其左、右焦点， 为坐标原点．过点 向
双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为 、 ，则下列所述错误的是（ ）
A． 为定值
B． 、 、 、 四点一定共圆
C． 的最小值为
D．存在点 满足 、 、 三点共线时， 、 、 三点也共线
【解析】设 ，点 到渐近线 的距离为 ，
同理 ，则 ，
∵ ，即 ，∴ （定值），故A正确；
∵ ，∴ 和 均为直角三角形， ， 两点在以 为直径的圆上，故B
正确；
由双曲线的对称性可知 ，其中 ，
∵ ∴ 成立，故C正确；如图利用双曲线的对称性，不妨设直线 垂直一条渐近线，垂足为 ；直线 垂直另一条渐近线且交
双曲线于点 ，易知直线 与直线 的交点始终落在 轴上，故D不正确.
故选：D.
8．已知O为坐标原点，M为抛物线C： 上一点，直线l： 与C交于A，B两点，过A，B
作C的切线交于点P，则下列结论中正确结论的个数是（ ）
（1） ；（2）若点 ，且直线AM与BM倾斜角互补，则 ；
（3）点P在定直线 上；（4）设点 ，则 的最小值为3．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】对于（1），设 ，由 ，得 ，
由 ，所以 ，
所以
，所以（1）正确，
对于（2），因为 ，直线AM与BM倾斜角互补，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，且 ，
所以 ，且 ，解得 ，所以（2）正确，
对于（3），设点 在 轴上方， 在 轴下方，设 ，
轴上方的抛物线方程为 ， 轴下方的抛物线方程为 ，
此时在点 处的切线的斜率为 ，在点 处的切线的斜率为 ，
所以在点 处的切线方程为 ，在点 处的切线方程为 ，
方程化简为 ， ，
两式相除化简得 ，所以（3）正确，
对于（4），设 ，由于 ，所以 ，
当 时， 取得最小值 ，所以（4）错误，
故选：C
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知斜率为 的直线交抛物线 于 、 两点，下列说法正确的是（ ）
A． 为定值B．线段 的中点在一条定直线上
C． 为定值（ 、 分别为直线 、 的斜率）
D． 为定值（ 为抛物线的焦点）
【解析】若 ，则直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，则 ，
设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
，
对于A选项， 不一定是定值，A错；
对于B选项，设线段 的中点为 ，则 ，
为定值，故线段 的中点在定直线 上，B对；
对于C选项， 为定值，C对；
对于D选项， 不一定为定值，D错.
故选：BC.10．已知O为抛物线 的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线
作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线l过焦点F，则N，O，P三点不共线
B．若直线l过焦点F，则
C．若直线l过焦点F，则抛物线C在M，N处的两条切线的交点在某定直线上
D．若 ，则直线l恒过点
【解析】设直线 ，联立方程 ，得
设 ， ，则 。
选项A，若直线l过焦点F，则 。 ， ，
又 ， ， ， 三点共线， A错；
选项B，由抛物线的定义和平行线的性质知：
，
又 ， ，所以B对；选项C，设与抛物线 相切的切线方程为 ，则 化简得 ．
由 ，可得 ，即 ，所以与抛物线 相切的切线方程为 ，
将 点坐标代入方程可得 ，则 ，
所以过 的切线方程为 ．
同理，过 的切线方程为 ，联立 ，得：
抛物线在点M，N处的切线的交点在定直线 上，所以C对；
选项D，因为 ， ，
将韦达定理代入得： .所以直线l恒过点 ，所以D对.
故选：BCD.
11．如图所示，抛物线 ， 为过焦点 的弦，过 ， 分别作抛物线的切线，两切线交于点
，设 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）．A．若 的斜率为1，则
B．若 的斜率为1，则
C．点 恒在平行于 轴的直线 上
D． 的值随着 斜率的变化而变化
【解析】由 得 ，所以焦点坐标 ，
对A，直线 的方程为 ，由 得 ，所以 ，
所以 ；故A错误．
因为 ，所以 ，则直线 、 的斜率斜率分别为 、 ，
所以 ， ，
由 解得 即 ．
由题意知，直线 的斜率存在，可设直线 的方程为 ，
由 消去 得 ，所以 ， ，故D错误．
又 ，故C正确．对B，当 的斜率为1时， ，故 ，故D正确．
故选：BC．
12．椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为坐标原点，则以下说法正确的是（ ）
A．过点 的直线与椭圆 交于 两点，则 的周长为8
B．椭圆 上不存在点 ，使得
C．直线 与椭圆 恒有公共点
D． 为椭圆 上一点， 为圆 上一点，则点 ， 的最大距离为3
【解析】对于A选项：由椭圆的定义：
的周长为： ，故A正确；
对于B选项：设 ，则 ， ， ，
， ， ，
，解得
椭圆 上存在点 ，使得 ，故B错误；
对于C选项： 直线 恒过定点
，故该定点在椭圆内，过该定点的直线和椭圆一定有交点，故C正确；
对于D选项：设 ，则P点到圆 的圆心的距离
，故 ， ，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知抛物线 ，焦点是 ， 为抛物线上一动点，以 为直径的圆与定直线相切，则直线
的方程为 ．
【解析】易知 为抛物线 的焦点，设点 ，由抛物线的定义可得 ，
线段 的中点为 ，
所以，圆心 到 轴的距离恒等于半径 ，所以定直线的方程为 ．
14．经过抛物线 的焦点 的直线交此抛物线于 ， 两点，抛物线在 ， 两点处的切线相交
于点 ，则点 必定在直线 上．（写出此直线的方程）
【解析】抛物线 中 ，焦点为 ，设直线 方程为 ，代入抛物线整理得
，设 ， ，则 ， ．
由 得 ，∴过 点切线斜率为 ，切线方程为 ，即 ，
同理过 点切线方程为 ，两式相除得 ，整理得 ，解得
，所以点 在准线 上．
15．如图，A、B为椭圆 的两个顶点，过椭圆的右焦点F作 轴的垂线与其交于点C，
若AB∥OC(O为坐标原点)，则直线AB的斜率为 .
【解析】由题意，椭圆 ，过椭圆的右焦点F作 轴的垂线与其交于点C，可得 ，又由 ，可得 ，整理得 ，即 ，
又由 ，所以直线 的斜率为 ．
16．已知椭圆 ，一组平行直线的斜率为 ，经计算当这些平行线与椭圆相交时，被椭圆截得的
线段的中点在定直线l上，则直线l的方程为 .
【解析】设这组平行直线的方程为 ，联立 ，
整理得 ， ，解得 .
且 ， ，
所以这组平行直线与椭圆交点的中点坐标为 ，
， ，所以这些点均在 上.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知点 ， ，动点 满足直线 与 的斜率之积为 ，记动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 的直线与曲线 交于 两点，直线 与 相交于 ．求证：点 在定直线上．
【解析】（1） ， ， ，整理可得： ，
又 ， 曲线 的方程为： .（2）
由题意知：直线 斜率不为 ，则可设 ，设 ，
则直线 ，直线 ，
由 得： ，
由 得： ，则 ，即 ，
， ， ，
，解得： ，
即 点在定直线 上.
18．在平面直角坐标系 中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为
，其中一条渐近线的倾斜角为 .
(1)求C的标准方程；
(2)过点 作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段 上取一点E满足
，证明：点E在一条定直线上.
【解析】（1）根据题意，设双曲线的方程为 ，由题知 ， ，可得 ；所以双曲线方程为 .
（2）易知 为双曲线的右焦点，如下图所示：
由题知直线l斜率存在，根据对称性，不妨设斜率为 ，故直线的方程为 ，
代入双曲线方程得 ，设 ， ，
由韦达定理有 ， ，且 ， ，
设 ，点E在线段 上，所以
由 可得
化简得 ，代入 和 并化简可得 ，
即存在点E满足条件，并且在定直线 上.
19．已知抛物线 ，过点 的两条直线 、 分别交 于 、 两点和 、 两点．
当 的斜率为 时， ．
(1)求 的标准方程；
(2)设 为直线 与 的交点，证明：点 在定直线上．
【解析】（1）当直线 的斜率为 时，直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
，因为 ，可得 ，由韦达定理可得 ， ，
，
整理可得 ，解得 或 （舍去），因此，抛物线 的方程为 .
（2）证明：当直线 与 轴重合时，直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，
所以，直线 不与 轴重合，同理可知直线 也不与 轴重合，
设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
则 可得 ，设点 、 ，由韦达定理可得 ，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，同理可得 ，
直线 的方程为 ，即 ，
化简可得 ，同理可知，直线 的方程为 ，
因为点 在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，
交点 必在垂直于 轴的直线上，所以只需证明点 的横坐标为定值即可，
由 ，消去 ，因为直线 与 相交，则 ，
解得
，
所以，点 的横坐标为 ，因此，直线 与 的交点 必在定直线 上.
20．已知抛物线 ： 上一点 到其焦点 的距离为3， ， 为抛物线 上异于原点
的两点.延长 ， 分别交抛物线 于点 ， ，直线 ， 相交于点 .
(1)若 ，求四边形 面积的最小值；
(2)证明:点 在定直线上.
【解析】（1）由抛物线定义可知， ，解得 ，即抛物线 方程为 ，
由题意，设 ， ，直线 的方程 ，
由 ，消去 得 ， 恒成立，
由韦达定理可知： ， ，故 ，
因为 ，所以直线 的方程为 ，
于是 ，则
当且仅当 ，即 时等号成立，所以四边形 面积的最小值为32；
（2）设 ， ， ，因为 ， ， ， 都在 上，
所以， ，因为 ， ， 三点共线，所以有 ，
即 ，整理得： ，同理，因为 ， ， 三点共线，可得 ，
即 ，解得： ，
由（1）可知， ，代入上式可得： ，
得 ，即点 在定直线 上.
21．已知椭圆 ： ， 为椭圆 的右焦点，三点 ， ，
中恰有两点在椭圆 上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设点 为椭圆 的左右端点，过点 作直线交椭圆 于 ， 两点（不同于 ），求证：直
线 与直线 的交点 在定直线上运动，并求出该直线的方程.
【解析】（1）因为 为椭圆 的右焦点，所以 ①,
由对称性得，点 ， 在椭圆 上，代入得 ②,
联立①②解得， ， ，所以椭圆 的标准方程为： .
（2）由条件知直线 与直线 不重合，故直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 ，联立 ，可得 ，
设 ， ， ，则 ， ， ，
由（1）可得 ， ，
由 共线得： ③，
由 共线得： ④，
由③÷④消去 并整理得， ，
即 ，所以 ，
综上所述，直线 与直线 的交点 在定直线 上运动.
22．椭圆E的方程为 ，左、右顶点分别为 ， ，点P为椭圆E上的点，且在第一
象限，直线l过点P
(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若 ，求 的长；
(2)若直线l过点 ，且交椭圆E于另一点Q（异于点A，B），记直线 与直线 交于点M，试问点
M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．
【解析】（1）设 ，则 ①， ②，
由①②可得 ， ，即 ，
（2）依题可设直线l的方程为 ， ， ， ．联立方程组 ，整理得 ，
，则 ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立方程组 ，得 ，
因为 ，
，
，由 ，得 ，得 ．
所以 .
故点M在定直线 上．
