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专题3.8 中心对称（知识讲解）
【学习目标】
1、理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；
2、掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标；
3、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、
平移和旋转的组合进行图案设计．
【要点梳理】
要点一、中心对称和中心对称图形
1.中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，
那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
特别说明：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°
能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图
形一定是全等的) .
2.中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与
原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
特别说明：(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称 中心对称图形
①指一个图形本身成中心对
①指两个全等图形之间的
区 称．
相互位置关系．
别 ②对称中心是图形自身或内
②对称中心不定．
部的点．
如果将中心对称的两个图
如果把中心对称图形对称的
联 形看成一个整体（一个图
部分看成是两个图形，那么
系 形），那么这个图形就是
它们又关于中心对称．
中心对称图形．
要点二、关于原点对称的点的坐标特征
关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点 关于原点的对称点
坐标为 ，反之也成立.
要点三、中心对称、轴对称、旋转对称
1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：
2.中心对称图形与轴对称图形比较：特别说明：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共
同点是灵活运用的前提.
【典型例题】
类型一、中心对称
1、如图， 与 关于点O成中心对称，请你写出两个三角形的对应点、
对应线段、对应角和对称中心．
【分析】利用中心对称的定义及性质直接写出即可．
解：对称中心为点O；
对应点分别是：A和D，B和E，C和F；
对应线段分别是： 和 ， 和 ， 和 ；
对应角分别是： 和 ， 和 ， 和 ．
【点拨】本题考查了中心对称的性质及定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称
图形的定义．
举一反三
【变式1】如图，在 ABC中，AD是BC边上的中线， 与 ACD关于点D成
中心对称．
（1）直接写出图中所有相等的线段．
（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．【答案】（1） ， ， ；（2）
【分析】（1）利用中心对称的两个三角形全等解决问题即可．
（2）求出AA′的取值范围，可得结论．
解：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∵△A'BD与△ACD关于点D成中心对称
∴△A′BD≌△ACD，
∴ ， ， ．
（2）∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 中， ，
即 ．
∴ ．
【点拨】本题考查中心对称，三角形三边关系，全等三角形的判定和性质等知识，解
题的关键是熟练掌握中心对称的性质，利用全等三角形的性质解决问题．
【变式2】如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长
度；已知△ABC；
①将△ABC向x轴正方向平移5个单位得△A B C ，
1 1 1
②再以O为旋转中心，将△A B C 旋转180°得△A B C ，画出平移和旋转后的图形，
1 1 1 2 2 2
并标明对应字母．【分析】明确平移的作图方法，中心对称的性质．
解：
将A、B、C按平移条件找到它的对应点A 、B、C ，顺次连接AB、BC 、C A，就
1 1 1 1 1 1 1 1 1
得到平移后的图形．
成中心对称的两个图形，对称点都经过对称中心，并且被对称中心平分，分别作出点
A、B、C的对应点，顺次连接即可．
【点拨】本题考查了平移的作图步骤、中心对称的性质．
平移作图步骤：
(1)分析题目要求，找出平移的方向和距离．
(2)分析所作的图形，找出构成图形的关键点．
(3)沿一定的方向，按一定的距离平移各个关键点．
(4)连接所作的各个关键点，并标上相应的字母．
中心对称的性质：(1)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
(2)关于中心对称的两个图形是全等图形．
类型二、根据中心对称画图
2．如图，在直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 ， ，
．
（1）画出 关于原点O的中心对称图形 ：
（2）画出将 绕点O逆时针方向旋转90°后的图形 ．
（3）求 的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） ．
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出 、 、 的坐标，然后描点
即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出 、 、 的对应点 、 、 即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ 的面积．
解：（1）如图，△ 为所作；
（2）如图，△ 为所作；（3）△ 的面积 ．
【点拨】本题考查了作图 旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋
转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，
找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
举一反三
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(2，4)、B(1，
0)、C(5，1)
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A B C ，其中A、B、C分别和A 、B 、C 对应，
1 1 1 1 1 1
则点C 的坐标为 ；
1
（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得△A B C ，其中A、B、C分别和A 、B 、
2 2 2 2 2
C 对应，画出△A B C ，则点C 的坐标为 ；
2 2 2 2 2
（3）△A B C 与△A B C 关于点 成中心对称
1 1 1 2 2 2
【答案】（1）图见解析，（5，-1）；（2）图见解析，（-1，5）；（3）（0.5，
0.5）【分析】（1）根据 关于x轴对称的 ，点C（5，1），点的横坐标不变，
纵坐标改变符号，即可得出C （5，-1）
1
（2）将 绕原点 逆时针旋转90°得 ，根据点绕原点 ，旋转90°，横坐
标边纵坐标，纵坐标变为横坐标，再根据点所在象限确定符号，可得点C 坐标为
2
（-1,5），A（-5，2），B（0，1），然后描点，顺次连结线段AB，BC ，C A 即可；
2 2 2 2 2 2 2 2
（3）利用对称点连结线段的中点是旋转中心，然后利用中点坐标公式，求出点B与点
B 的中点，其中点横坐标为 ，纵坐标为 即可．
2
解：（1）如图所示：△ABC 即为所求，
1 1 1
∵ 关于x轴对称的 ，点C（5，1），
∴关于x轴对称，点的横坐标不变，纵坐标改变符号C （5，-1）
1
故答案为（5，-1）；
（2）如图所示：△ABC 即为所求，
2 2 2
∵将 绕原点 逆时针旋转90°得
∴点C绕原点O旋转90°，横坐标边纵坐标，纵坐标变为横坐标，点C 在第二象限，
2
∴点C 坐标为（-1,5），A（-5，2），B（0，1）
2 2 2
在平面直角坐标系中描出点A（-5，2），B（0，1），C （-1,5），
2 2 2
顺次连结线段AB，BC ，C A，
2 2 2 2 2 2
则△ABC 是△ABC逆时针旋转90°的图形，
2 2 2
故答案为（-1,5）；
（3）点B与点B 的中点，其中点横坐标为 ，纵坐标为
2∴ 与 关于点（0.5，0.5）成中心对称．
故答案为（0.5，0.5）．
【点拨】本题考查图形与坐标，轴对称图形性质，图形旋转变化性质，中心对称图形
性质，掌握图形与坐标，轴对称图形，图形旋转变化，中心对称图形，关键是轴对称中点
的坐标特征，图形旋转坐标求法，中心对称的对称中心找法．
【变式2】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A B C ；
1 1 1
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A B C ；
2 2 2
（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析
【分析】（1）作出点A，点B，点C这三个点向左平移5个单位长度后的点A，点
1
B，点C ，再顺次连接即可；
1 1
（2）作出点A，点B，点C这三个点关于原点对称的点A，点B，点C ，再顺次连接
2 2 2
即可；
（3）根据两点之间，线段最短的性质和轴对称的性质即可找到点P的位置，再连接
PA和PB即可．
解：（1）点 向左平移5个单位长度后为点 ，点 向左平移5个单
位长度后为点 ，点 向左平移5个单位长度后为点 ，作图如下：（2）点 关于原点对称的点A 的坐标为 ，点 关于原点对称的点B
2 2
的坐标为 ，点 关于原点对称的点C 的坐标为 ，作图如（1）中所示．
2
（3）作图如（1）中所示，先作出点 关于x轴的对称点 ，再连接 ，
与x轴的交点即为点P，再连接PA和PB即可得 ．
【点拨】本题考查图形的平移变化，轴对称变化，中心对称变化，熟练掌握这些知识
点是解题关键．
类型三、根据中心对称的性质求面积、线段的长、角度
3．如图，点D是 中 边上的中点，连接 并延长使 ，连接
．请指出图中成中心对称的线段、三角形，并写出面积相等的三角形．
【答案】线段 与线段 关于点D成中心对称，线段 与线段 关于点D成中
心对称，线段 与线段 成中心对称， 与 关于点D成中心对称，
．
【分析】根据中心对称的定义即可得到成中心对称的线段、三角形；再根据关于中心对称的两个三角形的面积相等、等底同高的两个三角形的面积相等解答即可
解：∵ ，
∴线段 与线段 关于点D成中心对称．
同理，线段 与线段 关于点D成中心对称，线段 与线段 成中心对称，
又∵ ，
∴ 与 关于点D成中心对称．
∴ ．
∵ 与 是等底同高的两个三角形，
∴ ．
∴ ．
【点拨】本题主要考查了中心对称的定义、面积相等的三角形等知识点，掌握中心对
称的定义和面积相等的三角形的条件是解答本题的关键．
举一反三
【变式1】如图，在边长为1的小正方形网格中，有一个 ，顶点坐标
.
（1）将 向左平移3个单位长度得到 ，请画出 ；
（2）画出 关于点O成中心对称的 ；
（3）在（2）的条件下，求四边形 的面积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）14.
【分析】（1）先根据平移的性质画出点A、O、B平移后的对应点A、O、B，再顺
1 1 1
次连接即可；
（2）先根据关于原点对称的点的坐标特征画出点A、B的对应点A、B，再顺次连接
2 2
A、O、B 即可；
2 2
（3）可过点A和 分别作 轴的平行线，过点B和 分别作 轴的平行线，则所围
成的四边形DEFG为正方形，如图，利用S =S 求解即可.
四边形 正方形DEFG
解：（1）如图所示， 即为所求；
（2）如图所示， 即为所求；
（3）如图所示，过点A和 分别作 轴的平行线，过点B和 分别作 轴的平行线，
则所围成的四边形DEFG为正方形，
则S =S .
四边形 正方形DEFG【点拨】错因分析：1.平移的性质没有掌握；2.中心对称图形的概念及性质没有掌握；
3.网格作图不规范；4.网格中计算特殊图形的面积方法没有掌握.
本题主要考查了网格中的平移作图和中心对称作图以及网格中图形面积的计算，属于
常考题型，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质和网格中图形面积的计算方法是解答的
关键.
【变式2】如图所示，△ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，
连接AM、AN，分别交BE于F、G，求BF：FG：CE的值．
【答案】BF：FG：GE=5：3：2．
【分析】作已知图形的中心对称图形,如图所示,设BF=a，FG=b，GE=c．由平行线的
性质分别求出a，b与c之间的关系，即可得出其比值.
解：如答图所示．作已知图形的中心对称图形，以E为对称中心．令BF=a，FG=b，GE=c．
因为M′C∥AM，N′C∥AN
所以a：（2b+2c）=BM：MC=1：2
所以a=b+c，而（a+b）：2c=BN：NC=2：1
所以：a+b=4c，所以a= c，b= c．
所以BF：FG：GE=5：3：2．
【点拨】本题考查了中心对称的性质，平行线分线段成比例定理，正确做出辅助线是
解答本题的关键.
类型四、中心对称的规律问题
4．如图所示，在平面直角坐标系中，△OA B 是边长为2的等边三角形，作
1 1
△B A B 与△OA B 关于点B 成中心对称，再作△B A B 与△B A B 关于点B 成中心对称．
2 2 1 1 1 1 2 2 3 2 2 1 2
（1）直接写出B ，B ，B ，的坐标分别为 ， ， ；
1 2 3
（2）连接A B ，求A B 的长．
1 2 1 2
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）由题意易得 ，然后问题可求解；
（2）过点 作 轴于点H，由题意易得 ，则有 ，然后根
据勾股定理可求解．
解：（1）∵△OAB 是边长为2的等边三角形，
1 1
∴ ，∵△BAB 与△OAB 关于点B 成中心对称，
2 2 1 1 1 1
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为 ；
（2）过点 作 轴于点H，如图所示：
∵△OAB 是边长为2的等边三角形，
1 1
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴在 中， ．
【点拨】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标、等边三角形的性质、中心对称的
性质及勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键．
举一反三
【变式1】如图，平面直角坐标系中， 是边长为2的等边三角形，作 与关于点 成中心对称，再作 与 于点 成中心对称，如此作下去，
则 的顶点 的坐标是________．
【答案】
【分析】首先根据△ 是边长为2的等边三角形，可得 的坐标为 ， 的
坐标为 ；然后根据中心对称的性质，分别求出点 、 、 的坐标各是多少；最后
总结出 的坐标的规律，求出 的坐标是多少即可．
解： △ 是边长为2的等边三角形，
的坐标为： ， 的坐标为： ，
△ 与△ 关于点 成中心对称，
点 与点 关于点 成中心对称，
， ，
点 的坐标是： ，
△ 与△ 关于点 成中心对称，
点 与点 关于点 成中心对称，， ，
点 的坐标是： ，
△ 与△ 关于点 成中心对称，
点 与点 关于点 成中心对称，
， ，
点 的坐标是： ，
，
， ， ， ， ，
的横坐标是： ， 的横坐标是： ，
当 为奇数时， 的纵坐标是： ，当 为偶数时， 的纵坐标是： ，
顶点 的纵坐标是： ，
△ 是正整数）的顶点 的坐标是： ，
△ 的顶点 的横坐标是： ，纵坐标是： ，
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了中心对称的性质、坐标与图形性质、等边三角形的性质等知
识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，分别判断出 的横坐标和纵坐标是解
题的关键．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，
1），（-1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P．使得点P 与点O
1 1
关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P，使得点P 与点P 关于点B成中心对称；第三
2 2 1
次跳跃到点P，使得点P 与点P 关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P，使得点P 与
3 3 2 4 4
点P 关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P，使得点P 与点P 关于点B成中心对称；
3 5 5 4…照此规律重复下去，则点P 的坐标为_____________.
2016
【答案】（0，0）
【分析】根据题意，确定出前几次跳跃后点P，P，P，P，P，P，P 的坐标，得出
1 2 3 4 5 6 7
规律，根据所得的规律即可求出点P 的坐标．
2016
解：根据题意可知：点P（2，0），P（-2，2），P（0，-2），P（2，2），P
1 2 3 4 5
（-2，0），P（0，0），P（2，0），由此可得可得出6次一个循环，
6 7
∵2016÷6=336，
∴点P 的坐标为（0，0）．
2016
故答案为（0，0）．
【点拨】本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次
跳跃后点的坐标，总结出一般规律．
类型五、直角坐标系下关于原点对称问题
5．如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
（1）请画出 关于原点对称的图形 ；
（2）请画出 绕原点O按逆时针方向旋转90°后的图形 ；
（3）求线段 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据题意找到 关于原点 的对称点 ，顺次连接 ，
则 即为所求；
（2）根据题意找到 绕原点O按逆时针方向旋转90°后的对应点 ，顺次
连接 ，则 即为所求；
（3）根据勾股定理即可求得 的长
解：（1）如图所示，找到 关于原点 的对称点 ，顺次连接 ，
则 即为所求；（2）如图，找到 绕原点O按逆时针方向旋转90°后的对应点 ，顺次连
接 ，则 即为所求；
（3）
【点拨】本题考查了中心对称的性质，旋转的性质，勾股定理，找到变换后对应的点
是解题的关键．
举一反三
【变式1】已知点A（2m+n，2），B（1，n﹣m）．
（1）m、n为何值时，点A、B关于y轴对称？
（2）m、n为何值时，点A、B关于原点中心对称？
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的坐标特点得出关于m，n的等式求出答案；
（2）直接利用关于原点对称点的坐标特点得出关于m，n的等式求出答案．
解：（1）∵点A（2m+n，2），B（1，n-m），A、B关于y轴对称，
∴ ，
解得： ；
（2）∵点A（2m+n，2），B（1，n-m），A、B关于原点中心对称，
∴ ，
解得： ．
【点拨】此题主要考查了关于坐标轴对称和关于原点对称的点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
【变式2】已知点 与点 关于 轴对称，点 与点
关 于原点对称．
（1）求点 、 、 、 的坐标；
（2）顺次联结点 、 、 、 ，求所得图形的面积．
【答案】（1）A（-1，2），B（-1，-2），C（3，-1），D（-3，1）；（2）12
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
分别求出a，b的值，进而求出点A、B、C的坐标，再根据关于原点的对称点，横纵坐标
都变成相反数求出点D的坐标；
（2）把这些点按A-D-B-C-A顺次连接起来，再根据三角形的面积公式计算其面积即可．
解：（1）∵点A（-1，3a-1）与点B（2b+1，-2）关于x轴对称，
∴2b+1=-1，3a-1=2，
解得a=1，b=-1，
∴点A（-1，2），B（-1，-2），C（3，-1），
∵点C（a+2，b）与点D关于原点对称，
∴点D（-3，1）；
（2）如图所示：四边形ADBC的面积=三角形ABD的面积+三角形ABC的面积= ×4×2+ ×4×4＝
12．
【点拨】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于x、y轴对称的点的坐标特点是解
答此题的关键．
