专题3.7切线的性质与判定-九年级数学下册尖子生同步培优题典（解析版）北师大版_北师大初中数学_9下-北师大版初中数学_05习题试卷_1课时练习_同步练习（第1套）

2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题3.7切线的性质与判定 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑 色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．（2021春•永嘉县校级期末）如图， 是 的切线，切点为 ， 的延长线交 于点 ，若 ，则 的度数为 A． B． C． D． 【分析】连接 ，如图，根据切线的性质得 ，再利用互余计算出 ，然后根据等 腰三角形的性质和三角形外角性质计算 的度数． 【解析】连接 ，如图， 是 的切线， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选： ．2．（2019春•徐汇区校级月考）如图，在 的内接四边形 中， 是 的直径， ， 过点 的切线 与直线 交于点 ，则 的度数为 A． B． C． D． 【分析】连接 ，先利用圆内接四边形的性质得 ，再根据 证得 是等边三角形， 得出 ，由切线的性质可得 ，然后利用互余计算 的度数． 【解析】连接 ，如图， ， ， ， 是等边三角形， ， 为切线， ， ， ， 故选： ． 3．（2021秋•鹿城区校级月考）如图， 为 的切线，点 为切点， 交 于点 ，点 在优弧上，若 ，则 的度数为 A． B． C． D． 【分析】根据切线的性质得到 ，根据直角三角形的性质求出 ，根据圆周角定理解答即 可． 【解析】 为 的切线， ， ， ， 由圆周角定理得： ， 故选： ． 4．（2021•温州三模）在等腰三角形 中， ， 是 边上一点，以 为直径的 恰 好与 相切于点 ，则 的长为A．1 B． C．2 D． 【分析】连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ， ，推出 ，根据切线的 性质得到 ，求得 ，根据直角三角形的性质得到结论． 【解析】连接 ， ， ， ， ， ， ， 与 相切于点 ， ， ， ， ， ， ， 故选： ． 5．（2020•江岸区校级模拟）如图，以矩形 对角线 上一点 为圆心作 过 点并与 切于点，若 ， ，则 的半径为 A． B．3 C． D． 【分析】作 于 ，连接 ，如图，设 的半径为 ，利用切线的性质 ，利用四边形 为矩形得到 ， ，再证明 ，利用相似比得到 ，然后在 中利用勾股定理得到 ，最后解方程即可． 【解析】作 于 ，连接 ，如图，设 的半径为 ， 为切线， ， 易得四边形 为矩形， ， ， ， ， ，即 ，解得 ， ， 在 中， ， ， ， 整理得 ，解得 （舍去）， ，即 的半径为 ． 故选： ． 6．（2019秋•合浦县期末）如图所示， 是 的直径， 交 的中点于 ， 于 ，连接 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 是 的切线，正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由直径所对的圆周角是直角，即可判断出选项①正确；由 为 中点，得到 为 的一半， 故 为 的一半，选项③正确；由 为三角形 的中位线，根据三角形的中位线定理得到 与 平行，由 与 垂直得到 与 垂直，即 为 ，故 为圆 的切线，选项④正 确． 【解析】 是 直径， ， ，选项①正确； 连接 ，如图， 为 中点， 为 中点， 为 的中位线， ， 又 ， ，， 为圆 的切线，选项④正确； 又 ， ， 为圆 的直径， ， ， ， ， ，选项②正确； 由 为 中点，且 ， 垂直平分 ， ，又 ， ，选项③正确； 则正确结论的个数为4个． 故选： ． 7．（2019秋•柯桥区期末）如图， ， 为射线 上一点，以点 为圆心， 长为半径做 ，要使射线 与 相切，应将射线绕点 按顺时针方向旋转A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【分析】设旋转后与 相切于点 ，连接 ，则可求得 ，再利用角的和差可求得 的 度数． 【解析】如图，设旋转后与 相切于点 ，连接 ， ， ， 当点 在射线 上方时， ， 当点 在射线 下方时， ， 故选： ． 8．（2021•西湖区校级二模）如图，点 的坐标为 ， 的半径为1， 为坐标轴上一动点， 切 于点 ，在所有 点中，使得 长最小时，点 的坐标为 A． B． C． D． 【分析】连接 、 ，如图，利用切线的性质得到 ，再根据勾股定理得到 ， 则 轴时， 的长度最小，利用垂线段最短可确定 点坐标． 【解析】连接 、 ，如图，切 于点 ， ， ， ， 当 的长度最小时， 的长度最小， 轴时， 的长度最小， 轴时， 的长度最小， ， 此时 点坐标为 ． 故选： ． 9．（2020•莲湖区模拟）如图，在 中， 是 边上的点，以点 为圆心， 为半径的 与 相切于点 ， 是优弧 上一点， ，则 的度数是 A． B． C． D．【分析】连接 ，根据圆周角定理和切线的性质即可得到结论． 【解析】连接 ， ， ， ， 是 的切线， ， ， 故选： ． 10．（2019•弥勒市二模）如图，在平面直角坐标系内， 为原点，点 的坐标为 ，经过 、 两 点作半径为 的 ，交 轴的负半轴于点 ．过 点作 的切线交 轴于点 ，则 点的坐标为 A． ， B． C． ， D． ， 【分析】先求出 长，证明 ，得比例线段 ，求出线段 长，则 点坐标可求． 【解析】 点 的坐标为 ， 的半径为 ， ， ，， 是 的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： ． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2020•高明区二模）如图，已知 内接于 ， 是 的切线，与半径 的延长线交于点 ，若 ，则 ． 【分析】连接 ，由切线的性质得出 ，由圆周角定理得 ，即可得出结果． 【解析】连接 ，如图所示： 是 的切线， ， ， ， ， ， 故答案为： ．12．（2020秋•建华区期末）如图， 与 相切，切点为 ， 交 于点 ，点 是优弧 上一 点，若 ，则 的度数为 ． 【分析】连接 ，先根据圆周角定理得到 ，再根据切线的性质得 ，然 后利用互余计算 的度数． 【解析】如图，连接 ， ， ， 与 相切， ， ， ． 故答案为： ． 13．（2021秋•道里区校级月考）如图，以点 为圆心的两个圆中，大圆的弦 切小圆于点 ， 交小 圆于点 ，若 ， ，则 正弦值为 ．【分析】连接 ，根据切线的性质得出 ，根据垂径定理求出 ，根据勾股定理求出 ，再求 出答案即可． 【解析】连接 ， 和小圆相切与 ， ， 过 ， ， ， ， 由勾股定理得： ， 正弦值为 ， 故答案为： ． 14．（2021•海曙区模拟）如图，已知在 中， ， 是 的外接圆，过点 、 分别 作 的切线，两切线交于点 ，若 的半径为1，则 的周长为 ．【分析】过点 作直径 ，连接 ，则 是直角三角形，且 ，根据三角函数即可求得 的长，根据切线长定理以及切线的性质定理，可证明 是等边三角形，据此即可求解． 【解析】过点 作直径 ，连接 ， 是 的直径， ， ， ， ， 的半径为1， ， ， 为切线， ， ， 又 ， 为等边三角形， 的周长 故答案为： ． 15．（2020秋•北仑区期末）如图，点 是 的半径 上的中点，过点 作 的垂线交 于点 ， ， 是 上一点， ，过点 作 的切线 ，连接 并延长交直线 于点 ．已知 的半 径为4，则 为 ．【分析】连接 ， ，过点 作 于点 ，由切线的性质得出 ，证明 是等边三角形，则得出 ，由直角三角形的性质求出 ， 的长，由勾股定理可得 出答案． 【解析】连接 ， ，过点 作 于点 ， 为 的切线， ， ， 是 的中点， ， ， 又 ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为 ． 16．（2020•岳阳模拟）如图，以 的边 为直径的 恰好过 的中点 ，过点 作 于 ，连接 ，则下列结论中：① ；② ；③ ；④ 是 的切线；⑤ ，正确的序号是 ①②③④⑤ ． 【分析】连接 ，根据三角形中位线定理得到 ，①正确；根据圆周角定理得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，②正确；根据切线的判定定理得到 是 的切线，④正确；根据余角的性质得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，求 得 ，⑤正确；根据线段垂直平分线的性质得到 ，求得 ，③正确． 【解析】连接 ， 为 中点，点 为 的中点， 为 的中位线， ，①正确；是 的直径， ， 即 ，又 ， 为等腰三角形， ，②正确； ，且 ， ， 是半径， 是 的切线， ④正确； ， ， ， ， ， ， ⑤正确； 为 中点， ， ， ， ， ③正确， 故答案为：①②③④⑤． 17．（2021•宁波模拟）如图，矩形 中， ，点 是对角线 上一动点，以点 为圆 心作圆，当 与矩形 的相邻两边相切时， 的长为 或 ．【分析】如图1，当 与边 和 相切时，则 ，求出 ，由勾股定理求出答案； 如图2，当 与边 和 相切时，设切点分别为 ， ，半径为 ，同理求出 的长． 【解答】解 矩形 中， ， ， ， ， 如图1，当 与边 和 相切时，则 ， 设切点分别为 、 ，半径为 ， 连接 ， ，则 ， ， ， ， ， 即 ， ， ， ． 如图2，当 与边 和 相切时，设切点分别为 ， ，半径为 ，同理 ， ， ， ， ， ． 综合以上可得 的长为 或 ． 18．（2021•富阳区二模）如图，在 中， ， 分别为 的切线，点 和点 为切线点，线段 经过圆心 且与 相交于 、 两点，若 ， ，则 的长为 ． 【分析】设 的半径为 ，则 ，在解直角三角形即可得到结论． 【解析】如图，连接 ， 设 的半径为 ，则 ， 在 中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ． 故答案是： ． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（2020•邵阳县模拟）如图，在 中， ，点 在 上， ，过点 作 ， 垂足为 ， 经过 ， ， 三点． （1）求证： 是 的直径； （2）判断 与 的位置关系，并加以证明； （3）若 的半径为6， ，求 的长． 【分析】（1）连接 ，由 ， ，利用等腰三角形三线合一性质得到 ，利用 的圆周角所对的弦为直径即可得证；（2） 与圆 相切，理由为：连接 ，由 、 分别为 、 中点，利用中位线定理得到 与 平行，利用两直线平行内错角相等得到 为直角，再由 为半径，即可得证； （3）由 ，且 ，得到三角形 为等边三角形，设 与 交于点 ，连接 ， 为三角形 中位线，求出 的长，即可确定出 的长． 【解答】（1）证明：连接 ， ， ， ， ， 为圆 的直径； （2） 与圆 相切， 理由为：连接 ， 、 分别为 、 的中点， 为 的中位线， ， ， ， 为圆的半径， 与圆 相切； （3）解： ， ， 为等边三角形， ， 连接 ， 为圆 的直径， ， ， ， 为 中点， 为 中点，即 为 中位线， 在 中， ， ，根据勾股定理得： ， ．解法2， （2）证明： ， ， ， ， ， ， ， 为 的切线； （3）解： ， ， ， ， ． 20．（2020秋•淅川县期末）如图，四边形 内接于 ， 为 的直径， 为弧 的中点，过 点 作 ，交 的延长线于点 ． （1）判断 与 的位置关系，并说明理由； （2）若 的半径为7， ，求 的长． 【分析】（1）连接 ，由 为 的直径，得到 ，根据 ，得到 ，根据 平行线的性质得到 ，求得 ，于是得到结论；（2）根据勾股定理得到 ，易证 ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解析】（1） 与 相切， 理由：连接 ， 为 的直径， ， 为 的中点， ， ， ， 是 的中点， ， ， ， ， 与 相切； （2） 的半径为7， ， ， 为 的直径， ， ， ， ， ， ， ．21．（2021•南通一模）四边形 内接于 ， 是 的直径，弧 弧 ．过点 作 的 切线，交 延长线于点 ． （1）求证 ； （2）若 ， ，求 的长． 【分析】（1）连接 交 于点 ，由圆周角定理得出 ，证明四边形 为矩形，则 可得出结论； （2）连接 交 于 ，连接 ，如图，求出 ，设半径为 ，由勾股定理得出 ， 求出 ，则可得出答案． 【解答】（1）证明：连接 交 于点 ， 弧 弧 ，， ， 又 ，且 为 的切线， 四边形 为矩形， ； （2）解：连接 交 于 ，连接 ，如图， 由（1）可知 ， ，且 ， ， ， 设半径为 ，在 中， ， 解得： ， ， ， ． 22．（2021•江都区模拟）如图， 是 的直径， 是 上一点，过点 作 的切线，交 的延 长线交于点 ，过点 作 ，交 延长线于点 ，连接 ，交 于点 ，交 于点 ，连 接 ． （1）求证： ； （2）连接 ， ，若 ， ，求 的长．【分析】（1）根据切线的判定定理及切线长定理可证得 ，从而可证得结论． （2）连接 、 ，根据线段垂直平分线的判定定理，可知 垂直平分 ，解直角三角形 ， 求得 与 ，在 中，由勾股定理解得半径的长，则可得 的长，利用三角形的中位线定理 可得 的长． 【解析】（1）证明： 于点， 是 的切线，而又已知 是 的切线， 为切点， ， ； （2）如图所示，连接 、 ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ，由勾股定理得： ， 设 ，在 中，由勾股定理得： ， ， ， 为 中点， 为 中点， ． 的长为 ． 23．（2019•环江县一模）如图， 是 的弦，半径 ，点 在 的延长线上， 与 相 切于点 ，连接 ，交 于点 ． （1）求证： ． （2）连接 ，若 ， ， ，求 的长． 【分析】（1）证明 ，即可得出 ； （2）连接 ， ，过点 作 于点 ，可得 为等边三角形，即 ， ， 在 中，求得 ， ，根据 ，可得 ， ， ，进 而可求得 的长． 【解析】（1）证明： ， ， 切 于点 ， ， ，， ， ， ； （2）解：连接 ， ，过点 作 于点 ， ， ， ，圆的半径为8， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 24．（2021•襄州区二模）如图所示， 是 的切线， 为切点，直线 交 于点 ， 是 的直径，弦 ， 交 于点 ，连接 ． （1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由； （2）已知 ， ，求弦 和劣弧 所围成弓形的周长和面积．【分析】（1）连接 ．由平行线的性质得出 ， ，由等腰三角形的性质得 出 ，证明 ，由全等三角形的性质得出 ，则可得出 结论； （2）由勾股定理求出 ，求出圆 的半径为6，根据弧长公式和扇形的面积公式可得出答案． 【解析】（1）直线 是 的切线． 理由如下：连接 ． ， ， ， ， ， ， 是 的切线， ． 在 和 中， ，， ， ， 直线 是 的切线． （2） ， 弧 弧 ， 弦 ， ， ， ， ， ． 又 ， 是等边三角形， ． 弧 的长 ， 弓形的周长 弦 弧 的长 ， 弓形的面积 ．