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专题3.7 图形的旋转中考真题专练（专项练习）
一、单选题
1．（2020·山东青岛·中考真题）如图，将 先向上平移1个单位，再绕点 按逆时针
方向旋转 ，得到 ，则点 的对应点 的坐标是（ ）
A．（0，4） B．（2，-2） C．（3，-2） D．（-1，4）
2．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，在 中， ，将 绕点 按逆
时针方向旋转得到 ．若点 恰好落在 边上，且 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·辽宁大连·中考真题）如图，在 中， ， ，将
绕点C顺时针旋转90°得到 ，点B的对应点 在边 上（不与点A，C重合），
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．4．（2021·四川广安·中考真题）如图，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，若
且 于点 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在方格纸中，将 绕点 按顺时针方向旋转
90°后得到 ，则下列四个图形中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020·山东菏泽·中考真题）如图，将 绕点 顺时针旋转角 ，得到 ，若
点 恰好在 的延长线上，则 等于（ ）A． B． C． D．
7．（2020·四川·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕
点B逆时针方向旋转得到 ．此时恰好点C在 上， 交AC于点E，则△ABE
与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·海南·中考真题）如图，在 中， 将
绕点 逆时针旋转得到 ，使点 落在 边上，连接 ，则 的长
度是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·湖南永州·中考真题）如图，在平面内将五角星绕其中心旋转 后所得到的图
案是（ ）A． B．
C． D．
10．（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，在 中， ， ．将 绕
点 逆时针方向旋转 ，得到 ，连接 ．则线段 的长为（ ）
A．1 B． C． D．
11．（2021·天津·中考真题）如图，在 中， ，将 绕点C逆时针旋
转得到 ，点A，B的对应点分别为D，E，连接 ．当点A，D，E在同一条直线上
时，下列结论一定正确的是（ ）A． B． C． D．
12．（2021·山东泰安·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，点P在线
段 上运动（含B、C两点），连接 ，以点A为中心，将线段 逆时针旋转60°到
，连接 ，则线段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
二、填空题
13．（2021·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐
标为 ，连接 ，若将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，则点 的坐标
为__________．
14．（2020·广西·中考真题）以原点为中心，把 逆时针旋转90°得到点 ，则点的坐标为______．
15．（2021·山东枣庄·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕
点P旋转得到，则点P的坐标为_______．
16．（2020·湖南衡阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标 ，将
线段 绕点 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为 的2倍，得到线段 ；又
将线段 绕点 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为 的2倍，得到线段 ；如此下
去，得到线段 、 ，……， （ 为正整数），则点 的坐标是_________．
17．（2020·四川眉山·中考真题）如图，在 中， ， ．将
绕点 按顺时针方向旋转至 的位置，点 恰好落在边 的中点处，则 的长为
________．18．（2020·宁夏·中考真题）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，把
绕点B逆时针旋转90°后得到 ，则点 的坐标是_____．
19．（2020·山东烟台·中考真题）如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连
接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重
合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为_____．
20．（2021·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点
的坐标为 ，将点 绕点 顺时针旋转 得到点 ，则点 的坐标为
_____________．21．（2021·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 轴，垂足为 ，将
绕点 逆时针旋转到 的位置，使点 的对应点 落在直线 上，再将
绕点 逆时针旋转到 的位置，使点 的对应点 也落在直线 上，
以此进行下去……若点 的坐标为 ，则点 的纵坐标为______．
22．（2020·广西玉林·中考真题）如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形
ADEF绕点A顺时针旋转到四边形 处，此时边 与对角线AC重叠，则图中阴影
部分的面积是___________．三、解答题
23．（2021·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标中， 的顶点坐标分别是
， ， ．
（1）将 以 为旋转中心旋转 ，画出旋转后对应的 ；
（2）将 平移后得到 ，若点 的对应点 的坐标为 ，求 的面积
24．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，点 是 的边 上的动点， ，连接
，并将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ．
（1）如图1，作 ，垂足 在线段 上，当 时，判断点 是否在直
线 上，并说明理由；
（2）如图2，若 ， ，求以 、 为邻边的正方形的面积 ．25．（2021·内蒙古通辽·中考真题）已知 和 都是等腰直角三角形
， ．
（1）如图1，连接 ， ，求证： ；
（2）将 绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在 边上时，求证： ；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若 ， ，请直接写出线段 的长．
26．（2021·湖南郴州·中考真题）如图1，在等腰直角三角形 中， ．点 ，
分别为 ， 的中点， 为线段 上一动点（不与点 ， 重合），将线段 绕
点 逆时针方向旋转 得到 ，连接 ， ．
（1）证明： ；（2）如图2，连接 ， ， 交 于点 ．
①证明：在点 的运动过程中，总有 ；
②若 ，当 的长度为多少时， 为等腰三角形？
27．（2020·山东东营·中考真题）如图1，在等腰三角形 中， 点
分别在边 上， 连接 点 分别为 的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段 的数量关系是____， 的大小为_____；
（2）探究证明
把 绕点 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接 判断 的
形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把 绕点 在平面内自由旋转，若 ，请求出 面积的最大值．28．（2020·山东潍坊·中考真题）如图1，在 中， ，点
D，E分别在边 上，且 ，连接 ．现将 绕点A顺时针方向旋转，
旋转角为 ，如图2，连接 ．
（1）当 时，求证： ；
（2）如图3，当 时，延长 交 于点 ，求证： 垂直平分 ；
（3）在旋转过程中，求 的面积的最大值，并写出此时旋转角 的度数．
参考答案
1．D
【分析】根据平移的规律找到A点平移后对应点，然后根据旋转的规律找到旋转后对应点
，即可得出 的坐标．
【详解】解：如图所示：A的坐标为（4，2），向上平移1个单位后为（4，3），再绕点P逆时针
旋转90°后对应 点的坐标为（-1，4）．
故选：D．
【点拨】本题考查了根据平移变换和旋转变换作图，熟练掌握平移的规律和旋转的规律是
解题的关键．
2．C
【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理
进行求解，即可求出答案．
【详解】
解：设 =x°.
根据旋转的性质，得∠C=∠ = x°， =AC, =AB.
∴∠ =∠B.
∵ ，∴∠C=∠CA =x°.
∴∠ =∠C+∠CA =2x°.
∴∠B=2x°.
∵∠C+∠B+∠CAB=180°， ，
∴x+2x+108=180.
解得x=24.
∴ 的度数为24°.
故选：C.
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质.
3．C
【分析】由旋转的性质可得 ， ，进而可得，然后问题可求解．
【详解】
解：由旋转的性质可得： ， ，
∴ 等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
故选C．
【点拨】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
4．C
【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得
∠DAC=20°，即可求解．
【详解】
解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．
故选C．
【点拨】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
5．B
【分析】根据绕点 按顺时针方向旋转90°逐项分析即可．
【详解】
A、 是由 关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题
意；
B、 是由 绕点 按顺时针方向旋转90°后得到，故B选项符合题意；
C、 与 对应点发生了变化，故C选项不符合题意；
D、 是由 绕点 按逆时针方向旋转90°后得到，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查旋转变换．解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数．
6．D
【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和是360º即可求解．【详解】
由旋转的性质得：∠BAD= ，∠ABC=∠ADE，
∵∠ABC+∠ABE=180º，
∴∠ADE+∠ABE=180º，
∵∠ABE+∠BED+∠ADE+∠BAD=360º，∠BAD=
∴∠BED=180º- ，
故选：D．
【点拨】本题考查了旋转的性质、四边形的内角和是360º，熟练掌握旋转的性质是解答的
关键．
7．D
【分析】由旋转的性质得出BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，则△BCC'是等边三角形，
∠CBC'=60°，得出∠BEA=90°，设CE=a，则BE= a，AE=3a，求出 ，可求出答案．
【详解】
∵∠A=30°，∠ABC=90°，
∴∠ACB=60°，
∵将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'，
∴BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，
∴△BCC'是等边三角形，
∴∠CBC'=60°，
∴∠ABA'=60°，
∴∠BEA=90°，
设CE=a，则BE= a，AE=3a，
∴ ，
∴ ，
∴△ABE与△ABC的面积之比为 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌
握旋转的性质是解题的关键．8．B
【分析】由旋转的性质可知， ，进而得出 为等边三角形，进而
求出 ．
【详解】
解：∵
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，
∴ cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
由旋转的性质可知： ，且 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，
熟练掌握其性质是解决此类题的关键．
9．C
【分析】根据旋转的性质找出阴影部分三角形的位置即可得答案．
【详解】
∵将五角星绕其中心旋转 ，
∴图中阴影部分的三角形应竖直向下，
故选：C．
【点拨】本题考查旋转的性质，图形旋转前后，对应边相等，对应角相等，前后两个图形
全等；熟练掌握旋转的性质是解题关键．
10．B
【分析】根据旋转性质可知 ， ，再由勾股定理即可求出线段 的长．
【详解】
解：∵旋转性质可知 ， ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】此题主要考查旋转的性质和勾股定理求出直角三角形边长，解题关键是根据旋转性质得出 是等腰直角三角形．
11．D
【分析】由旋转可知 ，即可求出 ，由于 ，则
可判断 ，即A选项错误；由旋转可知 ，由于 ，即推出
，即B选项错误；由三角形三边关系可知 ，即可推出
，即C选项错误；由旋转可知 ，再由 ，即可证明
为等边三角形，即推出 ．即可求出 ，即证明
，即D选项正确；
【详解】
由旋转可知 ，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故A选项错误，不符合题意；
由旋转可知 ，
∵ 为钝角，
∴ ，
∴ ，故B选项错误，不符合题意；
∵ ，
∴ ，故C选项错误，不符合题意；
由旋转可知 ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∴ ，
∴ ，故D选项正确，符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的
判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
12．A
【分析】根据题中条件确定出点 的轨迹是线段，则线段 的最小值就转化为定点 到点 的轨迹线段的距离问题．
【详解】
解： 与 固定夹角是 ， ，点 的轨迹是线段，
的轨迹也是一条线段．
两点确定一条直线，取点 分别与 重合时，所对应两个点Q，
来确定点 的轨迹，得到如下标注信息后的图形：
求 的最小值，转化为点 到点 的轨迹线段的距离问题，
,
在 中， ,
, ，
将 逆时针绕点 转动 后得到 ，
为等边三角形， ,
为 的中点，根据三线合一知，
,
过点 作 的垂线交于点 ,
在 中， 对应的边等于斜边的一半，
，的最小值为 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了动点问题中，两点间距离的最小值问题，解题的关键是：需要确定动
点的轨迹，才能方便找到解决问题的突破口．
13．
【分析】根据旋转的性质可求得 和 的长度，进而可求得点 的坐标．
【详解】
解：作 轴于点 ，
由旋转可得 ， 轴，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴点 坐标为 ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转找到题目中线段之间的关系．
14．
【分析】建立平面直角坐标系，根据旋转的性质得出N点坐标，由此即可得出答案．
解：如图：由旋转的性质可得：M点横坐标等于N点纵坐标的值，
M点纵坐标的值等于N点横坐标的绝对值，
又∵M（3，4），
∴N（-4，3），
故答案为：（-4，3）．
【点拨】此题考查有关点的坐标旋转的性质 ，结合坐标轴和旋转的特点确定坐标即可．
15．P（1，-1）．
【详解】
试题分析：连接AA′、CC′，作线段AA′的垂直平分线MN，作线段CC′的垂直平分线EF，
直线MN和直线EF的交点为P，点P就是旋转中心．∵直线MN为：x=1，设直线CC′为
y=kx+b，
由题意： ， ∴ ， ∴直线CC′为y= x+ ，
∵直线EF⊥CC′，经过CC′中点（ ， ）， ∴直线EF为y=﹣3x+2，
由 得 ， ∴P（1，﹣1）．
考点：坐标与图形变化-旋转
16．（0，-22019）
【分析】根据题意得出OP =1，OP =2，OP =4，如此下去，得到线段OP =4=22，
1 2 3 3
OP =8=23…，OP =2n-1，再利用旋转角度得出点P 的坐标与点P 的坐标在同一直线上，进
4 n 2020 4而得出答案．
【详解】
解：∵点P 的坐标为 ，将线段OP 绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸
1 1
长为OP 的2倍，得到线段OP ；
1 1
∴OP =1，OP =2，
1 2
∴OP =4，如此下去，得到线段OP =23，OP =24…，
3 4 5
∴OP =2n-1，
n
由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，
∵2020÷8=252…4，
∴点P 的坐标与点P 的坐标在同一直线上，正好在y轴负半轴上，
2020 4
∴点P 的坐标是（0，-22019）．
2020
故答案为：（0，-22019）．
【点拨】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点P 的坐标与点P 的坐标在同一
2014 6
直线上是解题关键．
17．
【分析】根据题意，判断出 ABC斜边BC的长度，根据勾股定理算出AC的长度，且
，所以 为等边三角形，可得旋转角为60°，同理， ，故
也是等边三角形， 的长度即为AC的长度．
【详解】
解：在 ABC中，∠BAC=90°，AB=2，将其进行顺时针旋转， 落在BC的中点处，
∵ 是由 ABC旋转得到，∴ ，而 ，
根据勾股定理： ，
又∵ ，且 ，∴ 为等边三角形，
∴旋转角 ，∴ ，且 ，故 也是等边三角形，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了旋转性质的应用以及勾股定理的计算，解题的关键在于通过题中
所给的条件，判断出图形旋转的度数，知道图形旋转的角度后，有关线段的长度也可求得．
18．（4， ）
【分析】首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，A 的横坐标等于OB，而纵坐标等
1
于OB-OA，即可得出答案．
【详解】
解：在 中，令x=0得，y=4，
令y=0，得 ，解得x= ，
∴A（ ，0），B（0，4），
由旋转可得△AOB ≌△AOB，∠ABA =90°，
1 1 1
∴∠ABO=∠A BO，∠BOA=∠AOB=90°，OA=O A= ，OB=OB=4，
1 1 1 1 1 1 1
∴∠OBO=90°，
1
∴OB∥x轴，
1
∴点A 的纵坐标为OB-OA的长，即为4 = ；
1
横坐标为OB=OB=4，
1
故点A 的坐标是（4， ），
1
故答案为：（4， ）．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结
合图形进行推理是解题的关键．19．(4，2)
【分析】画出平面直角坐标系，作出新的AC，BD的垂直平分线的交点P，点P即为旋转
中心．
【详解】
解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2），
故答案为：（4，2）．
【点拨】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线
的交点即为旋转中心．
20．
【分析】根据题意画出图形，易证明 ，求出OE、BE的长即可求出B的坐
标．
【详解】
解：如图所示，点 绕点 顺时针旋转 得到点 ，
过点A作x轴垂线，垂足为D，过点B作x轴垂线，垂足为E，∵点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴CD=2，AD=3，
根据旋转的性质，AC=BC，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴AD=CE=3，CD=BE=2，
∴OE=2，BE=2，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查旋转变换和三角形全等的判定与性质，证明 是解题
关键．
21．
【分析】计算出△AOB的各边，根据旋转的性质，求出OB，BB，...，得出规律，求出
1 1 3
OB ，再根据一次函数图像上的点求出点B 的纵坐标即可．
21 21
【详解】
解：∵AB⊥y轴，点B（0，3），∴OB=3，则点A的纵坐标为3，代入 ，
得： ，得：x=-4，即A（-4，3），
∴OB=3，AB=4，OA= =5，
由旋转可知：
OB=OB=OB=OB=…=3，OA=OA=OA=…=5，AB=AB=AB=AB=…=4，
1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2
∴OB=OA+AB=4+5=9，BB=3+4+5=12，
1 1 1 3
∴OB =OB+BB =9+（21-1）÷2×12=129，
21 1 1 21
设B （a， ），则OB = ，
21 21
解得： 或 （舍），
则 ，即点B 的纵坐标为 ，
21
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出
△OAB的各边，计算出OB 的长度是解题的关键．
21
22．
【分析】根据正六边形的性质和旋转的性质以及扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：∵在边长为3的正六边形ABCDEF中，∠DAC=30°，∠B=∠BCD=120°，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∵CD=3，
∴AD=2CD=6，
∴图中阴影部分的面积=S +S -S ，
四边形ADEF 扇形DAD′ 四边形AF′E′D′
∵将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处，
∴S =S
四边形ADEF 四边形AD′E′F′∴图中阴影部分的面积=S =
扇形DAD′
故答案为：3π．
【点拨】本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，扇形的面积的计算，正确的识别图形是
解题的关键．
23．（1）见解析；（2）11
【分析】（1）延长 至 ,使得 ；延长 至 ,使得 ；延长 至 ,
使得 ；再连接 即得旋转后对应的 ；
（2）根据平移的规律求出 ，再连接点 ，得 ，将三角形分
割乘两个三角形的面积之和，求出公共边 的长即可求解．
【详解】
解：（1）延长 至 ,使得 ；延长 至 ,使得 ；延长 至 ,使得
；再连接 即得旋转后对应的 ，如下图所示：
（2）由题意 ， ， ，平移后得到 ，其中 ，根据平移的
规律知，平移过程是向下和向右分别移动两个单位可得： ，再连接点 ，得 ，其中 交 轴于点 ,如上图所示：
由 得出直线 的方程如下：
直线 ：
当 时， ，
，
,
故 ．
【点拨】本题考查了图象的旋转和平移，求三角形面积，解题的关键是：掌握图象旋转和
平移的性质，求不规则三角形面积可以分割为两个规则的三角形面积之和．
24．（1）点 在直线 上，见解析；（2）18
【分析】（1）根据 ， ，得到 ，可得线段
逆时针旋转 落在直线 上，即可得解；
（2）作 于 ，得出 ，再根据平行线的性质得到 ，再根
据直角三角形的性质计算即可；
【详解】
解：（1）结论：点 在直线 上；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ．
∴线段 逆时针旋转 落在直线 上，即点 在直线 上．（2）作 于 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即以 、 为邻边的正方形面积 ．
【点拨】本题主要考查了旋转综合题，结合平行线的性质计算是解题的关键．
25．(1)见解析；(2)①见解析；② 或
【分析】(1)证明△AMO≌△BNO即可；
(2)①连接BN，证明△AMO≌△BNO，得到∠A=∠OBN=45°，进而得到∠MBN=90°，且
△OMN为等腰直角三角形，再在△BNM中使用勾股定理即可证明；
②分两种情况分别画出图形即可求解．
【详解】
解：(1)∵ 和 都是等腰直角三角形，∴ ，
又 ，
,
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(2)①连接BN，如下图所示：
∴ ，
，
且 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
且 为等腰直角三角形，
∴ ，在 中，由勾股定理可知：
，且
∴ ；
②分类讨论：
情况一：如下图2所示，设AO与NB交于点C，过O点作OH⊥AM于H点，
, 为等腰直角三角形，
∴ ,
在 中， ,
∴ ；
情况二：如下图3所示，过O点作OH⊥AM于H点，, 为等腰直角三角形，
∴ ,
在 中， ,
∴ ；
故 或 ．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的
性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
26．（1）见详解；（2）①见详解；②当 的长度为2或 时， 为等腰三角形
【分析】（1）由旋转的性质得AH=AG，∠HAG=90°，从而得∠BAH=∠CAG，进而即可得
到结论；
（2）①由 ，得AH=AG，再证明 ，进而即可得到结论；②
为等腰三角形，分3种情况：（a）当∠QAG=∠QGA=45°时，（b）当
∠GAQ=∠GQA=67.5°时，（c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，分别画出图形求解，即可．
【详解】
解：（1）∵线段 绕点A逆时针方向旋转 得到 ，
∴AH=AG，∠HAG=90°，
∵在等腰直角三角形 中， ，AB=AC，
∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG，
∴ ；
（2）①∵在等腰直角三角形 中，AB=AC，点 ， 分别为 ， 的中点，
∴AE=AF， 是等腰直角三角形，
∵AH=AG，∠BAH =∠CAG，
∴ ，∴∠AEH=∠AFG=45°，
∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即： ；
②∵ ，点 ， 分别为 ， 的中点，
∴AE=AF=2，
∵∠AGH=45°， 为等腰三角形，分3种情况：
（a）当∠QAG=∠QGA=45°时，如图，则∠HAF=90°-45°=45°，
∴AH平分∠EAF，
∴点H是EF的中点，
∴EH= ；
（b）当∠GAQ=∠GQA=（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则∠EAH=∠GAQ=67.5°，
∴∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠EHA=∠EAH，
∴EH=EA=2；
（c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，点H与点F重合，不符合题意，舍去，
综上所述：当 的长度为2或 时， 为等腰三角形．【点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，
勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题
的关键．
27．（1）相等， ；（2） 是等边三角形，理由见解析；（3） 面积的最
大值为 .
【分析】（1）根据＂ 点 分别为 的中
点＂，可得MN BD，NP CE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出 ．
（2）先求出 ，得出 ，根据MN BD，NP CE ，和三角
形外角和定理，可知MN=PN，再等量代换求出 ，即可求解．
（3）根据 ，可知BD最大值，继而求出 面积的最大值．
【详解】
由题意知：AB=AC，AD=AE，且点 分别为 的中点，
∴BD=CE，MN BD，NP CE，MN= BD，NP= EC
∴MN=NP
又∵MN BD，NP CE，∠A= ，AB=AC，
∴∠MNE=∠DBE，∠NPB=∠C，∠ABC=∠C=
根据三角形外角和定理，
得∠ENP=∠NBP+∠NPB
∵∠MNP=∠MNE+∠ENP，∠ENP=∠NBP+∠NPB，∠NPB=∠C，∠MNE=∠DBE，
∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C
=∠ABC+∠C = ．
是等边三角形．
理由如下：
如图，由旋转可得
在 ABD和 ACE中
．
点 分别为 的中点，
是 的中位线，
且
同理可证 且
．
在 中
∵∠MNP= ，MN=PN
是等边三角形．
根据题意得:
即 ，从而
的面积 ．∴ 面积的最大值为 ．
【点拨】本题主要考查了三角形中点的性质、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理
以及图形旋转的相关知识；正确掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形
旋转的相关知识是解题的关键．
28．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 的面积的最大值为 ，旋转
角 的度数为
【分析】（1）利用 “SAS”证得△ACE △ABD即可得到结论；
（2）利用 “SAS”证得△ACE △ABD，推出∠ACE=∠ABD，计算得出AD=BC=
，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；
（3）观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时， 的面积取得最大值，利用
等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．
【详解】
（1）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90 ，
∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90 ，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中， ，
∴△ACE △ABD(SAS)，
∴CE=BD；
（2）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90 ，
在△ACE和△ABD中， ，
∴△ACE △ABD(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC=90 ，且∠AEC=∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB=90 ，∴∠EFB=90 ，
∴CF⊥BD，
∵AB=AC= ，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90 ，
∴BC= AB = ，CD= AC+ AD= ，
∴BC= CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是线段BD的垂直平分线；
（3） 中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时 的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时， 的面积取得最大值，如图：
∵∵AB=AC= ，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90 ，DG⊥BC于G，
∴AG= BC= ，∠GAB=45 ，
∴DG=AG+AD= ，∠DAB=180 -45 =135 ，
∴ 的面积的最大值为： ，
旋转角 ．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和
性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
