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专题31 一元一次方程应用之行程问题
1．甲、乙两地相距 千米，从甲地开出一辆快车，速度为 千米/时，从乙地开出一辆慢车，
速度为 千米/时，如果两车相向而行，慢车先开出 小时后，快车开出，那么再经过多长时间两
车相遇？若设再经过 小时两车相遇，则根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据两车相遇共行驶270千米列出方程即可．
【详解】解：设经过 小时两车相遇，依题意得 ．
故选 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解相遇问题中的等量关系．
2．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为
120千米/小时，乙车速度为80千米/小时，经过t小时两车相距50千米．则t的值是（ ）
A．2 B．2或2．25 C．2．5 D．2或2．5
【答案】D
【分析】有两种情况，第一次还没相遇时相距50千米，第二次相遇后相距50千米，根据路程=速
度×时间，可列方程求解．
【详解】解：设经过t小时两车相距50千米，
根据题意得 或 ，
解得 或 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是能够理解有两种情况，能根据路程=
速度×时间列方程．
3．在光明区举办的“周年艺术季”期间，小颖一家去欣赏了一台音乐剧，路上预计用时25分钟，
但由于堵车，所以实际车速比预计的每小时慢了10千米，且路上多用了5分钟．设预计车速为x
千米/时，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C．25x＝30x﹣10 D．
【答案】D【分析】由实际车速比预计的每小时慢了10千米可得出实际车速为 千米 时，利用路程
速度 时间，结合路程不变，即可得出关于 的一元一次方程，此题得解．
【详解】解： 预计车速为 千米 时，实际车速比预计的每小时慢了10千米，
实际车速为 千米 时．
依题意得： ，
即 ．
故选： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是
解题的关键．
4．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/小时，水
速为2千米/时，则A港和B港相距______千米．
【答案】504
【分析】根据时间关系列方程求解．此题考查了学生对顺水速度，逆水速度的理解，这与顺风逆
风类似．
【详解】解：设A港和B港相距x千米，
根据题意得： ，
解得：x＝504．
答：A港和B港相距504千米．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键是理解顺流与逆流的关系，顺水速度＝水流速
度＋静水速度，逆水速度＝静水速度−水流速度．
5．如图，在 中， ， ， ，蚂蚁甲从点A出发，以1.5cm/s的速度
沿着三角形的边按 的方向行走，甲出发1s后蚂蚁乙从点A出发，以2cm/s的速度
沿着三角形的边按 的方向行走，那么甲出发________s后，甲乙第一次相距2cm．
【答案】4【分析】根据题意，找出题目的等量关系，列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵ ， ， ，
∴周长为： （cm），
∵甲乙第一次相距2cm，则甲乙没有相遇，
设甲行走的时间为t，则乙行走的时间为 ，
∴ ，
解得： ；
∴甲出发4秒后，甲乙第一次相距2cm．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程．
三、解答题
6．列方程解应用题
一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是80千米 小时，
卡车的行驶速度是60千米 小时，客车比卡车早2小时经过B地，A、B两地间的路程是多少千米？
【答案】A、B两地间的路程是480千米．
【分析】设A、B两地间的路程为x千米，根据题意两车时间差为2小时即可列出方程，求出x的
值即可．
【详解】解：设A、B两地间的路程为x千米，
根据题意得 ，
解得 ．
答：A、B两地间的路程是480千米．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程在实际生活中的应用，根据两车所用时间之差为2小时列
出方程是解题的关键.
7．如图，点A从原点出发沿数轴向左运动，同时，点B也从原点出发沿数轴向右运动，3秒后，
两点相距15个单位长度．已知点B的速度是点A的速度的4倍(速度单位：单位长度/秒)．
(1)求出点A、点B运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；
(2)若A、B两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处在点A、点B的正中间？
(3)若A、B两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点C同时从
B点位置出发向A点运动，当遇到A点后，立即返回向B点运动，遇到B点后又立即返回向A点
运动，如此往返，直到B点追上A点时，C点立即停止运动.若点C一直以15单位长度/秒的速度
匀速运动，那么点C从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？
【答案】(1)点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒4个单位长度，图见解析
(2)运动1.8秒时，原点恰好处在A、B两点的正中间
(3)点C行驶的路程为75单位长度
【分析】（1）设点A的速度为每秒 个单位长度，则点B的速度为每秒 个单位长度．由甲的路
程+乙的路程=总路程建立方程求出其解即可；
（2）设 秒时，原点恰好处在点A、点B的正中间．根据两点离原点的距离相等建立方程求出其
解即可；
（3）先根据追及问题求出A，B相遇的时间就可以求出C行驶的路程．
（1）
设点A的速度为每秒t个单位长度，则点B的速度为每秒4t个单位长度．
依题意有：3t+3×4t=15，
解得t=1，
4t=4，
∴点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒4个单位长度．
画图，如图所示：
（2）
设x秒时，原点恰好处在点A、点B的正中间，
根据题意，得3+x=12-4x，
解得x=1.8，
即运动1.8秒时，原点恰好处在A、B两点的正中间．
（3）
设运动y秒时，点B追上点A，
根据题意，得4y-y=15，
解得y=5，即点B追上点A共用去5秒，而这个时间恰好是点C从开始运动到停止运动所花的时间，因此点
C行驶的路程为： （单位长度）．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，数轴的运用，行程问题的相遇问题和追
及问题的数量关系的运用，解答时根据行程问题的数量关系建立方程是关键．
8．甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起
点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈．
求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？ 列方程或者方程组解答
若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想
不超过 两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？
【答案】 甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米； 50米．
【分析】(1) 设乙的速度为每分钟 米，则甲的速度为每分钟 米，两人同向而行相遇属于
追及问题，等量关系：甲的路程与乙的路程之差等于环形场地的路程，即可列出方程．
（2）在环形跑道上两人背向而行属于相遇问题，等量关系：甲的路程加上乙的路程等于环形场地
的路程，列出算式即可．
【详解】解： 设乙的速度为每分钟 米，则甲的速度为每分钟 米，依题意有
，
解之得： ，
．
答：甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米．
（2）
，
答：乙的速度至少要提高每分钟50米．
【点睛】本题主要考查了环形跑道上的追及问题和相遇问题，明确相遇问题和追及问题的等量关
系（追及问题的等量关系：甲路程-乙路程=环形跑道的长度；相遇问题的等量关系：甲路程+乙路
程=环形跑道长度）是解题关键．
9．列方程解应用题如图，在数轴上的点A表示 ，点B表示5，若有两只电子蜗牛甲、乙分别从A、B两点同时出发，
保持匀速运动，甲的平均速度为2单位长度 秒，乙的平均速度为1单位长度 秒 请问：
两只蜗牛相向而行，经过______秒相遇，此时对应点上的数是______．
两只蜗牛都向正方向而行，经过多少秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙？
【答案】（1）3，2；（2）9秒．
【分析】 可设两只蜗牛相向而行，经过x秒相遇，根据等量关系：两只蜗牛的速度和 时间
，列出方程求解即可；
可设两只蜗牛都向正方向而行，经过y秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙，根据等量关系：两只蜗牛的
速度差 时间 ，列出方程求解即可．
【详解】解： 设两只蜗牛相向而行，经过x秒相遇，依题意有
，
解得 ．
．
答：两只蜗牛相向而行，经过3秒相遇，此时对应点上的数是2．
设两只蜗牛都向正方向而行，经过y秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙，依题意有
，
解得 ．
答：两只蜗牛都向正方向而行，经过9秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙．
【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，解题
关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
10．一列匀速前进的火车，通过列车隧道.
（1）如果通过一个长300米的隧道AB，从车头进入隧道到车尾离开隧道，共用15秒的时间（如
图1），又知其间在隧道顶部的一盏固定的灯发出的一束光垂直照射火车2.5秒，求这列火车的长度；
（2）如果火车以相同的速度通过了另一个隧道CD，从火车车尾全部进入隧道到火车车头刚好到
达隧道出口（如图2），其间共用20秒时间，求这个隧道CD的长.
【答案】（1）火车长度为60米；（2）CD的长为540米
【分析】（1）设这列火车的长度为 米，则火车通过隧道时的速度为 米/秒，而火车通过
灯光时的速度为 米/秒，根据这两个速度相等建立方程求出其解即可.
（2）先求出火车的速度，再用速度乘以通过另一个隧道所用的时间加上火车的长度即可求出答案.
【详解】（1）解：设这列火车的长度为 米，则有：
，
;
答：这列火车的长度为60米.
（2）火车的速度 米/秒，另一隧道的长 米.
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下:首先审题
找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含
x的式子表示相关的量，列出等式方程，即可解答.
11．列方程解应用题：某校组织七年级师生共300人乘车前往“故乡”农场进行劳动教育活动.
（1）他们早晨8：00从学校出发，原计划当天上午10：00便可以到达“故乡”农场，但实际上
他们当天上午9：40便达到了“故乡”农场，已知汽车实际行驶速度比原计划行驶速度快10km/h.
求汽车原计划行驶的速度.
（2）到达“故乡”农场后，需要购买门票，已知该农场门票票价情况如右表，该校购买门票时共
花了3100元，那么参加此次劳动教育的教师、学生各多少人？【答案】（1）汽车原速度为50km/h；（2）老师10人，学生290人
【分析】（1）设汽车原计划行驶的速度为x,根据路程不变得到一元一次方程，即可求解；
（2）设参加此次劳动教育的教师y人，则学生为（300-y）人, 根据题意得到一元一次方程，即可
求解.
【详解】（1）设汽车原计划行驶的速度为x,
根据题意得2x= (x+10)
解得x=50
∴汽车原速度为50km/h；
（2）设参加此次劳动教育的教师y人，则学生为（300-y）人,
根据题意得20y+10(300-y)=3100
解得y=10
答：参加此次劳动教育的老师10人，学生290人.
【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程求
解.
12．已知a是最大的负整数，b是-5的相反数，c= ，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对
应的数.若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点
P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度.
（1）求a、b、c的值；
（2）P、Q同时出发，求运动几秒后，点P可以追上点Q？
（3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒6
个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动，追上后点M再运动几秒，M到Q的距
离等于M到P距离的两倍？
【答案】（1）a=-1，b=5，c=-3；（2）t=3s；（3）t= 或 s
【分析】（1）由已知条件即可确定a、b、c的值；（2）由题意，可知A点表示的数是-1，B点表示的数是5，设运动t秒后，P点对应的数是-1+3t，
Q点对应的数是5+t，相遇时两点表示同一个数；
（3），t秒后，M点对应的数是-3+6t，可求M、Q相遇时间，当M向数轴负半轴运动后，M点对
应的数是6.6-6（t-1.6）=-6t+16.2，根据题意列出方程7t-11.2=2|9t-17.2|，再结合t的范围求解．
【详解】解：（1）∵a是最大的负整数，
∴a=-1，
∵b是-5的相反数，
∴b=5，
∵c=-|-3|，
∴c=-3；
（2）由题意，可知A点表示的数是-1，B点表示的数是5，
设运动t秒后，P点对应的数是-1+3t，Q点对应的数是5+t，
P点追上Q点时，两个点表示的数相同，
∴-1+3t=5+t，
∴t=3，
∴求运动3秒后，点P可以追上点Q；
（3）由（2）知，t秒后，M点对应的数是-3+6t，
当M点追上Q点时，5+t=-3+6t，
∴t=1.6，
此时M点对应的数是6.6，
此后M点向数轴负半轴运动，M点对应的数是6.6-6（t-1.6）=-6t+16.2，
MQ=5+t-（-6t+16.2）=7t-11.2，
MP=|-6t+16.2+1-3t|=|9t-17.2|，
由题意，可得7t-11.2=2|9t-17.2|，
当 时，7t-11.2=18t-34.4，
∴t=
当 时，7t-11.2=-18t+34.4，
∴t= ；
∴t= 或t= ，∴ ， ，
∴追上后，再经过 s或 s，M到Q的距离等于M到P距离的两倍．
【点睛】本题考查实数与一元一次方程的解法；能够由已知确定P、Q、M点运动后对应的数，利
用两点间距离的求法列出方程解题是关键．
13．小明每天早上要在 之前赶到距家 米的学校上学，小明以 的速度出发，
后，爸爸以 的速度去追小明，并且在途中追上了他.
（1）爸爸追上小明用了多长时间？
（2）追上小明时距离学校有多远？
【答案】（1） （2）
【分析】(1)可以设爸爸追上小明用了x分钟，根据爸爸追上小明时的行程＝小明5分钟的行程+x
分钟的行程列出方程求解即可；
(2)根据(1)中的时间可求得行程，即可得距离学校的距离＝总路程一已行路程
【详解】（1）设爸爸追上小明用了 .
依题意，得 ，
解得 .
答：爸爸追上小明用了 .
（2）
答：追上小明时，距离学校还有 远.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，
找出合适的等量关系，列出方程，再求解.
14．如图，AB=12cm，点C在线段AB上，AC=3BC，动点P从点A出发，以4cm/s的速度向右运动，
到达点B之后立即返回，以4cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动，
到达点B之后立即返回，以1cm/s的速度向左运动．设它们同时出发，运动时间为t秒，当第二次
重合时，P、Q两点停止运动．
（1）AC=______cm，BC=______cm；
（2）当t=______秒时，点P与点Q第一次重合；当t=______秒时，点P与点Q第二次重合；
（3）当t为何值时，AP=PQ？【答案】（1）9；3（2）3； （3）当t为 秒、 秒或7秒时，AP=PQ
【分析】（1）由题目中AB=12cm，点C在线段AB上，AB=3BC，可直接求得；
（2）根据运动过程，两点重合时他们走过距离之间的关系列方程即可求得；
（3）满足AP=PQ，则2AP=AQ，在整个运动过程中符合题意的位置存在三处，依次分析列出方程
即可求得．
【详解】（1）∵AB=12cm，AC=3BC
∴AC= AB=9，BC=12-9=3．
故答案为9；3．
（2）设运动时间为t，则AP=4t，CQ=t，
由题意，点P与点Q第一次重合于点B，
则有4t-t=9，解得t=3；
当点P与点Q第二次重合时有：
4t+t=12+3+24，解得t= ．
故当t=3秒时，点P与点Q第一次重合；当t= 秒时，点P与点Q第二次重合．
故答案为3； ．
（3）在点P和点Q运动过程中，当AP=PQ时，存在以下三种情况：
①点P与点Q第一次重合之前，可得：2×4t=9+t，解得t= ；
②点P与点Q第一次重合后，P、Q由点B向点A运动过程中，
可得：2×[12-（4t-12）]=12-（t-3），解得t= ；
③当点P运动到点A，继续由点A向点B运动，点P与点Q第二次重合之前，
可得：2×（4t-24）=12-（t-3），解得t=7．
故当t为 秒、 秒或7秒时，AP=PQ．【点睛】本题考查线段的和差运算，及线段中的动点问题，第一问及第二问是基础题，第三问关
键在于找准运动过程中符合题意的位置，找到等量关系列方程求解．
15．如图，点 A， B，C 在数轴上表示的数分别是3，3 和 1．动点 P ， Q 同时出发，动点
P 从点 A 出发，以每秒 6个单位的速度沿 A B向终点 B匀速运动；动点Q 从点C 出发，
以每秒 1个单位的速度沿C B 向终点 B 匀速运动，当P、Q都到达终点后停止运动．设点 P
的运动时间为t(s) ．
（1）当点 P 到达点 B 时，点Q 所表示的数是 ；
（2）当t 0.5时，线段 PQ 的长为 ；
（3）在整个运动过程中，当 P ， Q 两点到点C 的距离相等时，求t 的值．
【答案】（1）2；（2）1.5；（3） 或 或2．
【分析】（1）根据两点之间的距离公式，时间=路程÷速度，路程=速度×时间，列式计算即可求解；
（2）求出t=0.5时，P、Q点所表示的数，再根据两点间的距离公式可求线段PQ的长；
（3）分3种情况讨论可求t的值．
【详解】解：（1）∵点 P 到达点 B 所需时间=[3-（-3）]÷6=1，
∴点Q 所表示的数=1×1+1=2．
故答案是：2；
（2）当t 0.5时，点Q 所表示的数是（1×0.5+1）=1.5，
点P 所表示的数是（-3+6×0.5）=0．
∴线段PQ的长是1.5；
故答案是：1.5；
（3）①相遇前，依题意有
1-（-3+6t）=t，
解得t= ；
②当P追上Q时，依题意有
（6-1）t=1-（-3），
解得t= ；
③当P到达B停止运动后， Q到达B时，此时P ， Q 两点到点C 的距离相等，依题意有t=2．综上所述，t的值为 或 或2．
【点睛】考查了一元一次方程的应用及数轴上两点的距离，掌握路程问题等量关系和数轴知识是
解题的关键．
