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专题 30 利用相似三角形测高(基础题型)
1．小华同学的身高为 米，某一时刻他在阳光下的影长为 米，与他邻近的一棵树的影
长为 米，则这棵树的高为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】B
【分析】
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太
阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】
据相同时刻的物高与影长成比例，
设这棵树的高度为xm，
则可列比例为
解得，x=4.8．
故选：B
【点睛】
本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力．
2．身高1.8米的人在阳光下的影长是1.2米，同一时刻一根旗杆的影长是6米，则它的高
度是（ ）
A．10米 B．9米 C．8米 D．10.8米
【答案】B
【解析】
试题分析：设旗杆的高度约为hm，再根据同一时刻物高与影长成正比求出h的值即可．
解：设旗杆的高度约为hm，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴ = ，
解得：h=9（米）．
故选：B．考点：相似三角形的应用．
3．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测
得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m
【答案】A
【详解】
根据在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，
设小刚举起的手臂超出头顶是xm，则有 ，
解得：x=0.5．
故选：A
4．使用测倾器测量倾斜角的步骤有：（1）记下此时铅垂线所指的度数；（2）使支杆的中
心线、铅垂线和度盘的 刻度线重合；（3）转动度盘，使度盘的直径对准目标M；（4）
把支杆竖直插入地面.则正确的步骤应为（ ）
A．（1）（2）（3）（4） B．（4）（3）（2）（1）
C．（4）（2）（3）（1） D．（3）（4）（2）（1）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据基本测量理论知识，由测量的基本步骤顺序，即可得到答案.
【详解】
解：使用测倾器测量倾斜角的步骤有：把支杆竖直插入地面；使支杆的中心线、铅垂线和
度盘的 刻度线重合；转动度盘，使度盘的直径对准目标M；记下此时铅垂线所指的度数；
所以正确的顺序是：（4）（2）（3）（1）；
故选择：C.
【点睛】
本题考查基本的测量理论，要求学生根据几何知识，结合实际操作，做出判断．
5．某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m.同一时刻同一地点，测得某旗杆的
影长是5m，则该旗杆的高度是 （ ）
A．1.25m B．10m C．20m D．8m【答案】C
【详解】
设该旗杆的高度为xm，根据题意得，1.6：0.4=x：5，解得x=20（m）．
即该旗杆的高度是20m．故选C．
6．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树
立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为
A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米
【答案】A
【详解】
试题分析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶
部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．因此，
∵ ，即 ，∴楼高=10米．故选A．
7．一斜坡长 米，它的高为 米，将重物从斜坡起点推到坡上 米处停下，停下地点的
高度为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，利用相似三角形对应线段成比例求解即可.
【详解】
如图所示，AD=20m，AB=70m，BC=5m，
过D作DE⊥AC于E，则DE∥BC，
故 AED∽△ACB，
△∴ ，即 ，
∴DE= ，
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，正确画出图形，明确在此类题型中，重物在不同位
置时，它的垂直高度的比值，和坡面距离的比值是相等的是解题的关键
8．如图，在 中， ，若 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
分析：由DE∥BC得到 ABC∽△ADE，所以 ，再求BC．
△
解：∵DE∥BC（已知），
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等），
在△ABC和△ADE中
∴△ABC∽△ADE（AAA），∴ ，
又∵AD:AB=1:3（已知），
∴ ，
又∵DE=4，
∴BC＝12;
故选B．
9．如图， 中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由中线的性质可得 ， ，由角平分线的定义可得
；由AF是 的高，可得 ．
【详解】
解： 是中线，
， ，故A、D说法正确；
是角平分线，
，
，故C说法错误；是 的高，
，
，故B说法正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线，中线和高，明确概念是本题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，AH是高，AM是中线，那么在结论①∠B=∠BAM，
②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH中错误的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得出∠B＝∠BAM，根据已知条件判
断∠B＝∠MAH不一定成立；根据三角形的内角和定理及余角的性质得出∠B＝∠CAH．
【详解】
①∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AH是高，AM是中线，
∴AM＝BM，
∴∠B＝∠BAM，①正确；
②∵∠B＝∠BAM，不能判定AM平分∠BAH，
∴∠B＝∠MAH不一定成立，②错误；
③∵∠BAC＝90°，AH是高，
∴∠B＋∠BAH＝90°，∠CAH＋∠BAH＝90°，
∴∠B＝∠CAH，③正确．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质
等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行推理是解此题的关键．11．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（
）
A．BF＝CF B．∠C＋∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．
【答案】C
【分析】
根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
【详解】
解：∵AF是△ABC的中线，
∴BF=CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，
∴∠BAE=∠CAE，C说法错误，符合题意；
∵BF=CF，
∴S =2S ，D说法正确，不符合题意；
△ABC △ABF
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．
12．如图，在 中， ，过点C作 于点D，已知 ，
，则 的长是（ ）A．5 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】
先根据勾股定理求出BC的长度，然后利用等面积法即可求出CD的长度．
【详解】
解：在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查勾股定理和直角三角形的面积，掌握勾股定理和直角三角形面积的求法是解
题的关键．
13．小明和小红在太阳光下行走，小明身高1.5m，他的影长2.0m，小红比小明矮30cm，
此刻小红的影长为______m．
【答案】1.6
【解析】
【分析】
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光
线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】
解：根据题意知，小红的身高为150-30=120（厘米），
设小红的影长为x厘米
则 ，解得：x=160，
∴小红的影长为1.6米，
故答案为1.6
【点睛】
此题主要考查了平行投影，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，
列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想．
14．如图， 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚 距离墙脚 ，梯上点 距墙 ，
长 ，则梯子的长为________ ．
【答案】3.5
【解析】
【分析】
根据梯子、墙、地面三者构成的直角三角形与梯子、墙、梯上点D三者构成的直角三角相
似，利用相似三角形对应边成比例解答即可．
【详解】
因为梯子每一条踏板均和地面平行，所以构成一组相似三角形，
即 ABC∽△ADE，则 ，
△
设梯子长为x米，则
，
解得，x=3.5，
故答案为：3.5．【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例
列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
15．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为____cm2.（结果保留一位小数）
【答案】1.9
【分析】
过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求
出 ABC的面积．
【△详解】
解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．
经过测量，AB=2.2cm，CD=1.7cm，
（cm2）．
故答案为1.9．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．
16．如图所示的网格是正方形网格，正方形网格边长为1，点A，B，C均在格点上，则=_________．
【答案】3
【分析】
由网格是正方形网格，正方形网格边长为1，可得三角形的AC的长度为3，而点B到边AC
的距离为2，根据三角形的面积公式即可算出 的值．
【详解】
解：∵ 每个网格是正方形网格，正方形网格边长为1
∴
∴
故填：3．
【点睛】
本题主要考查高在三角形外部的钝角三角形的面积计算，找准高线，是解答本题的关键．
17．如图所示的网格是正方形网格， ABC的面积__△DEF的面积．（填“＞”，“＝”或
“＜”）． △【答案】=
【分析】
根据三角形面积公式：S= ah，列出算式计算即可求解．
【详解】
解：∵△ABC的面积 2×3＝3，
△DEF的面积 2×3＝3，
∴△ABC的面积＝△DEF的面积．
故答案为：＝．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，关键是熟悉正方形网格特点以及三角形面积公式．
18．我军侦察员在距敌方100m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近
建筑物物测量，机灵的侦察员将自己的食E指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后
移动，使食指恰好将该建筑物遮住，如图所示.若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指
的长约为8cm，则敌方建筑物的高度约是_______m.
【答案】20
【解析】
【分析】由题意知△ABC∽△ADE，然后根据相似三角形对边的比与对应高的比相等列式求解即可.
【详解】
解：∵40cm=0.4m，8cm=0.08m
∵BC∥DE，AG⊥BC，AF⊥DE．
∴△ABC∽△ADE，
∴BC：DE=AG：AF，
∴0.08：DE=0.4：100，
∴DE=20m．
故答案为：20．
【点睛】
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，
列出方程，通过解方程求解即可．此题是实际应用题，解题时首先要理解题意，将实际问
题转化为三角形相似问题求解；相似三角形的对应边成比例．
19．如图，AB∥CD，BO∶CO＝2∶5，AB＝a，则CD＝____．
【答案】
【详解】
试题解析：∵AB∥CD
∴ΔABO∽ΔDCO
∴∵BO∶CO＝2∶5，AB＝a
∴
解得：CD=
20．为测量池塘边两点A， B之间的距离，小明设计了如下的方案：在地面取一点O ，
使AC、BD交于点O ， 且CD∥AB ． 若测得OB：OD=3：2，CD=40米，则A ， B两点
之间的距离为_____米．
【答案】60
【详解】
试题解析：∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CD0，
∴ ，
∵CD=40米，
∴AB=60米．
21．如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD=DC，DE∥AB交AC于点E，BF⊥AC于F，交AD于
P，PM⊥AB于M，下面五个结论中，正确的有__．（只填序号）
①PM=PF；②S =2S ； ③四边形AMPF是正方形； ④∠BPD=∠BPM；⑤
△ABD △DCE
．【答案】①②⑤
【解析】
解：①∵在△ABC中，AB=AC，BD=DC，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC,∵BF⊥AC,PM⊥AB，
∴PM=PF，故正确；②∵BD=DC，∴S =S ，∵DE∥AB，∴E是AC的中点，所有
△ABD △ACD
S =S =2S ，故正确；③∵∠BAC不一定为直角，∴四边形AMPF不一定是正方形，
△ABD △ACD △DCE
故错误；④∵BF不是角平分线，∵∠ABP≠∠DBP，∵∠BMP=∠BDP=90°，所有
∠BPM≠∠BPD，故错误；⑤∵∠AMP=∠BDP=90°，又
∵∠APM=∠APF=∠BPD,∴△APM∽△BPD，∴ ，故正确.
22．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则
球拍击球的高度h为________米．（已知网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米）
【答案】1.4
【解析】
试题分析：根据三角形相似可得： 解得：h=1.4
考点：三角形相似的应用
23．如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似
的三角形是________．
【答案】△PBA∽△PAC.
【解析】试题分析：如图，根据勾股定理求出各边长，根据三边对应成比例的两三角形相似的判定，
可得△PBA∽△PAC.
考点：1. 网格问题；2.勾股定理；3.相似的三角形的判定.
24．如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度 ，用长为 的竹竿 作测
量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点 ，且点
， ， 在同一直线上．已知 ， ，求这棵树的高度 ．
【答案】这棵树的高度 为
【分析】
利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
答：这棵树的高度 为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似三角形是解题的关键．
25．如图，某测量工作人员眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼
睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC＝1米，CD＝5米，求电视塔的高ED．
【答案】电视塔高ED为11.2 m.
【详解】
试题分析：此题考查了相似三角形的性质，通过构造相似三角形．利用相似三角形对应边
成比例解答即可
考点：相似三角形的应用
点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程，
通过解方程求解即可
26．如图，光明中学九年级（2）班的同学用自己制作的侧倾器测量该校旗杆的高度，已知
测倾器CD的高度为1.54米，测点D到旗杆的水平距离BD=20米，测得旗杆顶A的仰角
α=35°，求旗杆AB的高度（精确到0.01米）.
【答案】15.54米
【解析】
【分析】
在Rt△ACE中，已知角的邻边求对边，可以用正切求AE，再加上BE即可．
【详解】
解：在Rt△ACE中，∠ACE=α=35°，CE=BD=20，
AE
∴tan∠ACE= ，
CE
∴AE=CE•tan∠ACE=20•tan35°≈14.004，
∴AB=AE+BE= 14.004+1.54≈15.54（米）．【点睛】
本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
27．一位同学想利用树影测出树高，他在某时刻测得直立的标杆高1米，影长是0.9米，
但他去测树影时，发现树影的上半部分落在墙CD上，（如图所示）他测得BC=2.7米，
CD=1.2米．你能帮他求出树高为多少米吗？
【答案】4.2米
【详解】
试题分析：根据同一时刻物高与影长成比例即可列式求解．
由题意得
解得AB=4.2米
答：树高为4.2米.
考点：相似三角形的应用
点评：本题是相似三角形的基础应用题，体现了“数学来源于生活，服务于生活”，难度
一般.
28．有点光源S在平面镜上方，若在P点初看到点光源的反射光线，并测得AB=10cm，
BC=20cm.PC⊥AC,且PC=24cm,试求点光源S到平面镜的距离即SA的长度．
【答案】12cm
【解析】
试题分析：先根据反射的性质得到△ABS∽△CBP，再根据相似三角形的性质即可求得结果.
由题意得∠ABS=∠CBP，∠SAB=∠PCB=90°
∴△ABS∽△CBP
∴即
解得
考点：相似三角形的判定与性质
点评：本题把物理知识与数学知识结合应用，体现了学科渗透的特点，很有新意，难度不
大.
29．如图， 中，高为AD，∠BAC角平分线为AE，若∠B=28°，∠ACD=60°，求
∠EAD的度数．
【答案】50°
【分析】
由题意易得∠BAD=62°，则有∠BAC=∠ACD﹣∠B=24°，进而可得∠BAE= BAC=12°，然后
根据角的和差关系可求解．
【详解】
解：∵AD为高，∠B=28°，
∴∠BAD=62°，
∵∠ACD=52°，
∴∠BAC=∠ACD﹣∠B=24°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAE= BAC=12°，
∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=50°．
【点睛】
本题主要考查三角形的高线、角平分线及三角形外角的性质，熟练掌握三角形的高线、角平分线及三角形外角的性质是解题的关键．
30．如图所示，在 中， 是高， 、 是角平分线，它们相交于点 ，
， ，求 、 的度数.
【答案】 ，
【分析】
由AD是高易得∠DAC与∠C互余，即可求出∠DAC，由三角形内角和定理求出∠ABC，再
根据角平分线的定义求出∠ABO与∠BAO，最后根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的
度数.
【详解】
解： 是 的高
在 中
在 中
、 是角平分线
在 中，【点睛】
本题考查了三角形中的角度计算，熟练掌握高和角平分线的定义以及三角形内角和定理是
解题的关键.
