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专题 3.9 确定圆的条件（知识讲解）
【学习目标】
1．知识目标：了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外
心、圆的外接三角形的概念.
2．能力目标：会过不在同一直线上的三点作圆.
【要点梳理】
确定圆的条件
（1）经过一个已知点能作无数个圆；
（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；
(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.
(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个
三角形叫做圆的内接三角形.
如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.
外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相
等.
特别说明：
（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.
（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.
【典型例题】
1．已知：不在同一直线上的三点A、B、C，求作： ⊙O使它经过点A、B、C.
【思路点拨】作圆的关键是找圆心得位置及半径的大小，经过两点的圆的圆心一定在连接
这两点的线段的垂直平分线上，进而可以作出经过不在同一直线上的三点的圆.
作法：1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；
2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；
3、以O为圆心，OB为半径作圆.
所以⊙O就是所求作的圆.【点拨】通过这个例题的作图可以作出锐角三角形的外心（图一），直角三角形的外心
（图二），钝角三角形的外心（图三）.探究各自外心的位置.
【变式1】一个圆形零件的部分碎片如图所示，请你利用尺规作图找到圆心 ．（要求：
不写作法，保留作图痕迹）
【解析】试题分析：首先在圆周上任取三个点 A、B、C，然后连接AC和AB，分别作AC和
AB的中垂线，两条中垂线的交点就是圆心．
试题解析：解：如图，点O即为所求．【变式2】如图，已知BD是四边形ABCD的一条对角线.请利用直尺和圆规在AB边上作一点
P，使得∠BPC＝∠BDC.（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】作△BDC的外接圆,△DBC的外接圆与AB的交点P，即为所作的点P.
解：（1）作△BDC的外接圆
（2）如图，△DBC的外接圆与AB的交点P，即为所作的点P.
【点拨】本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结
合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【变式3】如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．
已知：AB , CD .（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求（1）中所作圆的半径
【答案】（1）图见解析；（2）13．
【分析】
（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则
点O是弧ACB所在圆的圆心；
（2）在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长．
解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径
作圆O就是此残片所在的圆，如图．
（2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm，
则根据勾股定理列方程：
x2=122+（x-8）2，
解得：x=13．
答：圆的半径为13cm．
2．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点
A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆．
【答案】A，B，C三点可以确定一个圆．
【分析】先设出过A，B两点函数的解析式，把A（2，3），B（-3，-7）代入即可求出其解析式，再把C（5，11）代入解析式看是否与A，B两点在同一条直线上即可．
解：设经过A，B两点的直线解析式为y=kx+b，
由A（2，3），B（-3，-7），
得 ，
解得 ．
∴经过A，B两点的直线解析式为y=2x-1；
当x=5时y=2x-1=2×5-1=9≠11，
所以点C（5，11）不在直线AB上，即A，B，C三点不在同一直线上，
所以A，B，C三点可以确定一个圆．
【点拨】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式及三点能确定圆的条件,解题的关
键是熟练掌握用待定系数法求一次函数的解析式．
【变式】已知锐角△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D．
（1）请借助无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线并说明理由；
（2）若∠BAC=60°，BC= ，求OD旳长．
【答案】(1)见解析;(2)1.
【分析】（1）延长OD交⊙O于E，连接AE，射线AE即为∠BAC的角平分线．
（2）连接OB，OC．解直角三角形OBD即可．
解：（1）延长OD交⊙O于E，连接AE，射线AE即为∠BAC的角平分线．（2）连接OB，OC．
∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OD⊥BC，
∴BD＝CD＝ ，∠BOD＝ ∠BOC＝60°，
∴OD＝1.
【点拨】本题考查作图−复杂作图，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，三角形的外接圆
与外心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．对于一个三角形，设其三个内角度数分别为 ， 和 ，若 x，y，z 满足
，我们定义这个三角形为美好三角形.
(1)△ABC中，若 ， ，则△ABC (填”是”或”不是”)美好三角形;
(2)如图，锐角△ABC是⊙O的内接三角形， ， ，⊙O直径为 ，求
证：△ABC为美好三角形;
(3)已知△ABC为美好三角形， ，求 的度数.
【解析】（1）利用美好三角形的定义得出△ABC的形状进而求出即可；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC的形状进而得出答案；（3）利用美好三角形的定义进而分别得出∠C的度数．
解：∵△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，
∴∠C＝60°
∵402+602≠802，
∴△ABC不是美好三角形；
故答案为：不是；
（2）证明：连接OA、OC，
∵AC＝2，OA＝OC＝ ，
∴△OAC是直角三角形，即∠AOC＝90°，
∴∠B＝45°，
∵∠C＝60°，
∴∠A＝75°，
∵即三个内角满足关系：452+602＝5625＝752，
∴△ABC是美好三角形；
（3）解：设∠C＝x°，则∠B＝（150﹣x）°，
若∠C为最大角，则x2＝（150﹣x）2+302，
解得x＝78，
若∠B最大角，则（150﹣x）2＝x2+302，
解得x＝72，
综上可知，∠C＝78°或72°
【点拨】本题考查圆周角定理及其推论、三角形的外接圆与外心和解直角三角形，解题的
关键是掌握圆周角定理及其推论、三角形的外接圆与外心和解直角三角形.
举一反三：
【变式】如图， 内接于 ， ， ，则 的直径等于多少？
【答案】12【分析】连接OB、OC，如图，利用圆周角定理得到∠BOC＝60°，则可判断△OBC为等边三
角形，从而得到OB＝6．
解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝6，
∴⊙O的直径等于12．
故答案为：12．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平
分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理，掌握这些知识点是解题关键．
