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专题 1.5 三角函数的计算（专项练习）
一、单选题
1． 的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
2．如图是一个2×2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则a可以是（ ）
A．tan60° B．-1 C．0 D．12019
3．如果α是锐角，且 ，那么cos（90°﹣α）的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB交于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，
则tan∠BFE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
5．计算 的值等于( )
A． B．
C． D．
6．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△AB C ，则点B 的坐标为（ ）
1 1 1 1
A．（ ， ）或（﹣ ，﹣ ） B．（ ， ）或（﹣ ，﹣ ）
C．（﹣ ，﹣ ）或（ ， ） D．（﹣ ，﹣ ）或（ ， ）
7．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，（ ，点A、B、C、D、O在同一平面
内），已知 ， ， .则点A到OC的距离等于（ ）
A． B． C． D．
8．下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．在 中， ，则 的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
10．在△ABC中，若 ,则△ABC是（ ）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
11．已知α是锐角，sinα＝cos60°，则α等于( )
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
12．已知∠A为锐角，且sinA＝ ，那么∠A等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
二、填空题
13．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的
东西，互相以长补短．在菱形 中， ．如图，建立平面直角坐标
系 ，使得边 在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是_________．
14．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 =14cm，则阴影部分的面积是___cm2
15．计算： _____．
16． = ______.
17．计算：
（1） ______；（2） ______；（3） ______．18．如图，在 中， ，在同一平面内，将 绕 点逆时
针旋转 得到 ，连接 ，则 的值是_____．
19．计算： 的值为_____．
20．计算：（﹣ ）﹣2﹣2cos60°=_____．
21．在 中， ，则 的形状是__________．
22．在△ABC中，（cosA﹣ ）2+|tanB﹣1|＝0，则∠C＝_____．
23．在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝ ，则∠C的度数是_____．
24．在 中， ，则 的大小是_________．
三、解答题
25．计算：
26．计算： ．27．计算：
28．计算：
29．如图矩形ABCD中，AB=20，点E是BC上一点，将 沿着AE折叠，点B刚好
落在CD边上的点G处，点F在DG上，将 沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H
处，此时 ．
（1）求证：
（2）求AD的长；
（3）求 的值．参考答案
1．B
分析：根据特殊角的三角函数值直接求解即可．
解：cos30°= ．
故选B．
点拨：本题考查特殊角的三角函数值的记忆情况．特殊角三角函数值计算在中考中经
常出现，要熟练掌握．
2．D
【分析】根据每行、每列的两数和相等列方程求解即可.
解：由题意得
,
解之得
a=1,
∵. tan60°= ，12019=1，
∴a可以是12019.
故选D.
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，立方根的意义，特殊角的三角函数值，零
指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.
3．B
【分析】根据互为余角三角函数关系, 解答即可.
解： α是锐角，且sin ，
cos（90°﹣α）=sina= .
故选B.【点拨】本题主要查考同角三角函数的关系.
4．D
【分析】首先利用菱形的性质得出AB=BC，即可得出∠ABC=60°，再利用三角函数得
出答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵CE⊥AB，点E是AB中点，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBF=30°，
∴∠BFE=60°，
∴tan∠BFE= ．
故选：D
【点拨】此题考查菱形的性质，关键是根据含30°的直角三角形的性质和三角函数解
答．
5．D
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
解：∵ ，
∴ .
故选：D．
【点拨】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
6．C
【分析】由A（1，﹣1），B（2，﹣2），可得O、A、B在同一条直线上，且为一、
三象限的平分线，△ABC绕着原点O旋转75°，可分顺时针和逆时针两种情况讨论，结合
三角函数可得B
1
解：如图由A（1，﹣1），B（2，﹣2），可得直线OA的解析式为：y=-x，
OB的解析式为：y=-x，可得O、A、B三点位于同一直线上，即y=-x，
且OAB为第二、四象限的平分线，与x轴、y轴的夹角为 ，
OB= =
当△ABC绕着原点O旋转75°，当为逆时针旋转时， 与x轴的夹角为 ，
= = ，
，此时 点坐标为 ，
同理可得当为顺时针旋转时， 与y轴的夹角为 ,
可得 点坐标为 ，
故选C.
【点拨】本题主要考查一次函数与旋转及三角函数的综合，需灵活运用所学知识求解.
7．C
【分析】根据矩形的性质可得BC＝AD＝b，∠ABC＝90°，再根据三角函数可得答案.
解：过点A作AE⊥OB于点E，
因为四边形ABCD是矩形，且AB＝a，AD＝b
所以BC＝AD＝b，∠ABC＝90°
所以∠BAE＝∠CBO＝x
因为 ，
所以 ，
所以点A到OC的距离
故选C.【点拨】本题考查矩形的性质和三角函数，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和三角
函数.
8．A
【分析】根据特殊角三角函数值, 可得答案.
解：A. sin -sin = ，故A符合题意;
B. ,故B不符合题意;
C. , 故 C不符合题意;
D. ,故D不符合题意;
故选: A.
【点拨】本题主要考查三角函数的定义及运算，注意运算的准确性.
9．B
【分析】计算出∠A和∠C的角度来即可确定．
解：∵sinA=cos（90°-C）= ，
∴∠A=45°，90°-∠C=45°，
即∠A=45°，∠C=45°，
∴∠B=90°，
即△ABC为直角三角形，
故选：B．
【点拨】本题考查特殊角三角函数，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．
10．B
【分析】根据 得到∠B的度数，进一步求出∠C的度数，利用
三角形内角和180°求出∠C度数即可判断
解：∵ ,
∴∠B与∠C均为锐角∴∠B=60°，90°-∠C=30°
∴∠C=60°
∴∠A=180°－∠B-∠C=60°
∴该三角形为等边三角形
所以答案为B选项
【点拨】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握相关角度的三角函数值是解
题关键
11．A
【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．
解：∵sinα=cos60°= ，
∴α=30°．
故选A．
【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
12．C
解：∵sinA＝ ，∴A=45°．故选C．
13．(2， )
【分析】根据菱形的性质可知AD=AB=CD=2，∠OAD=60°，由三角函数即可求出线
段OD的长度，即可得到答案．
解：∵四边形 为菱形，
∴AD=AB=CD=2，
∵
∴
在Rt△DOA中，
∴OD=
∴点C的坐标是(2， )．故答案为：(2， )．
【点拨】本题考查了平面直接坐标系中直角三角形的计算问题，以及菱形的性质，熟
练掌握特殊三角函数值是解题关键．
14．
解：∵∠B=30°，∠ACB=90°， =14cm，
∴AC= AB=7cm,
在ΔAFC中，∠AFC=∠D=45°，
∴CF=AC=7cm，
则阴影部分的面积是 (cm)
故答案为：
15．
【分析】根据二次根式的乘法运算的法则和特殊角的三角函数值计算即可．
解： ，
故答案为 .
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟记法则是解题的
关键．
16． .
【分析】根据特殊角的三角函数值填空即可.
解：由特殊角的三角函数值，能够确定 = .
故答案是
【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角
函数值.17．1 -1
【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，乘方运算法则分别计算即可.
解： 1，
2× = ，
-1，
故答案为：1， ，-1.
【点拨】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，乘方运算，掌握运算法则是关
键.
18．1
【分析】根据旋转的性质可得 ，然后根据等腰三角形的性质及
三角形内角和求出∠DEC的度数，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
解：由旋转的性质可知： ，
，
又 ，
，
，
，
故答案为
【点拨】本题考查旋转的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练运用旋转的
性质，本题属于中等题型．
19．
【分析】先计算立方根、代入三角函数值、计算负整数指数幂，再计算乘法，最后计
算加减可得．
解：原式 ．故答案为： ．
【点拨】本题考查立方根、特殊角的三角函数值和负整数指数幂，解题的关键是掌握
这些计算方法．
20．3
【分析】按顺序先进行负指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再进行减法
运算即可.
解：（﹣ ）﹣2﹣2cos60°
=4-2×
=3，
故答案为3.
【点拨】本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握
相关的运算法则是解题的关键.
21．钝角三角形
【分析】根据非负数的性质得到 ， ，从而求出∠A与∠B的度
数，即可判断△ABC的形状．
解：∵
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴
∴ 是钝角三角形
故答案为：钝角三角形
【点拨】本题考查了非负数的性质，三角形的分类与特殊角度的三角函数值，熟记特
殊角度的三角函数值是解题的关键．22．75°．
【分析】先根据非负数的性质确定cosA= ，tanB=1，再根据特殊角的三角函数解答．
解：∵（cosA﹣ ）2+|tanB﹣1|＝0，
∴cosA﹣ ＝0，tanB﹣1＝0，
则cosA＝ ，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故答案为75°．
【点拨】熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，同时还考查了三角形内角和定理
23．75°
解：已知在△ABC中°，cosA＝ ，可得∠A=60°，又因∠B＝45，根据三角形的内角
和定理可得∠C=75°.
24． ．
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求出∠B、∠C的大小，然后根据三角形的内角
和即可求出 的大小.
解： ，
， ，
，
的大小是： ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，熟记特殊角的三角函
数值是解答本题的关键.
25．-2
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指
数幂的性质分别代入化简即可．
解：原式＝=-2
【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
26．
【分析】根据特殊角的三角函数值代入求值即可．
解：原式
．
【点拨】本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题的关键熟记特殊角的三角函数值．
27．
【分析】根据特殊三角函数值即可解题.
解：
=
【点拨】本题考查了特殊的三角函数值得化简求值,属于简单题,熟悉三角函数值是解题
关键.
28．
【分析】利用特殊锐角三角函数值计算求解即可.
解：原式= .
【点拨】本题考查了特殊锐角三角函数值的计算，熟知特殊锐角三角函数值是解题的
关键.
29．（1）见解析；（2）12；（3）【分析】（1）由矩形的性质得出∠B=∠D=∠C=90°，由折叠的性质得出
∠AGE=∠B=90°，∠AHF=∠D=90°，证得∠EGC=∠GFH，则可得出结论；
（2）由面积关系可得出GH：AH=2：3，由折叠的性质得出AG=AB=GH+AH=20，求
出GH=8，AH=12，则可得出答案；
（3）由勾股定理求出DG=16，设DF=FH=x，则GF=16-x，由勾股定理得出方程
，解出x=6，由锐角三角函数的定义可得出答案．
解：（1）证明：因为四边形ABCD是矩形
所以
，
(2)解：
(3)解：在直角三角形ADG中，
由折叠对称性知 ，
解得：x=6，
所以：HF=6
在直角三角形GHF中，．
【点拨】本题考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数，相似三角形的判定和性
质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
