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专题12 已知等腰求坐标
1．如图，点 的坐标是 ，若点 在 轴上，且 是等腰三角形，则点 的坐标不可能是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据勾股定理求出OA的长度，再分类讨论 ， ，
，算出P点坐标即可判断．
【详解】
如图，
点A的坐标是
根据勾股定理可得
①若 ，可得
②若 ，可得③若 ，可得 或
所以，点 的坐标不可能是
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，熟练掌握知识点并能够运用分类讨
论的思想是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中，A（2，3），O为原点，若点B为坐标轴上一点，且△AOB为等腰三角
形，则这样的B点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点B，再作线段OA
的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点B，作出图形，利用数形结合求解即可．
【详解】解：如图，满足条件的点B有8个，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，对于底和腰不等的等腰三角形，若
条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
3．如图，O为坐标原点，四边形OABC为长方形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，
点P在边BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则CP=（ ）A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】ABD
【分析】此题分三种情况（1）OP=PD；（2）OP=OD；（3）OD=DP时，进行讨论求解再选择即
可．
【详解】解：由题意，D（5，0），BC∥x轴，OC=4，OD=5，
（1）OP=PD时，点P为OD的垂直平分线与BC的交点，
则点P坐标为（ ，4），
∴CP= ，则OP=PD= ≠5，不符合题意，舍去；
（2）当OD=OP时，OP=5，则 ；
（3）当OD=DP时，DP=5，
如图，过D作DM⊥BC于点M，则DM=4，CM=5，
在Rt PDM中， ，
△
∴ 当P在M的左边时，CP=5－3=2，
当P在M的右侧时，CP=5+3=8，
综上，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则CP的长为2或3或8，
故选：ABD．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质和等腰三角形的性质、勾股定理，根据△ODP是腰长
为5的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．
4．在平面直角坐标系中，点D的坐标为 ，点P在第一象限且点P的纵坐标为3，当 是
腰长为5的等腰三角形时点P的横坐标为__________．
【答案】1或4或9
【分析】分三种情况（1）PD=OD=5，点P在点D左侧；（2）OP=OD=5；（3）PD=OD=5，点P在点D的右侧，分别进行讨论求出点P坐标．
【详解】解：（1）当PD=OD=5，点P在点D左侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE=3，
如图所示：
在Rt PDE中，由勾股定理得，DE= ，
△
∴OE=OD-DE=5-4=1，
∴此时点P的横坐标为1；
（2）当OP=OD=5，过点P作PE⊥x轴与点E，则PE=3，如图所示：
在Rt POE中，由勾股定理得，OE= ，
△
∴此时点P的横坐标为4；
（3）当PD=OD=5，点P在点D的右侧，过点P作PE⊥x轴与点E，则PE=3，如图所示：
在Rt PDE中，由勾股定理得，DE= ，
△
∴OE=OD+DE=5+4=9，
∴此时点P的横坐标为9；
综上分析可知，点P的横坐标为：1或4或9．
故答案为：1或4或9．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的定义，解题时需要分别讨论等腰三角形三种情
况，然后利用勾股定理求出边长，进而求出点P的坐标.
5．如图，在直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点B的坐标为（8，4），点D的坐标为（3，
0），在边BC上找一点P，使得△DCP是以CD为腰的等腰三角形．则点P的坐标为______．【答案】（6，4）或（5，4）
【分析】先求解C的坐标，设 ，而 再利用勾股定理表示
再分两种情况建立方程无解即可．
【详解】解：∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（8，4），
∴
设 ，而
∴
∵△DCP是以CD为腰的等腰三角形．
∴ 或
当 时，
解得： （ 舍去），此时
当 时，
解得：
解得： 或
经检验： 不合题意，舍去，此时
∴ 或
故答案为：（6，4）或（5，4）
【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的定义，坐标与图形，勾股定理的应用，利用平
方根的含义解方程，清晰的分类讨论是解本题的关键．6．在平面直角坐标系中，长方形ABCD按如图所示放置，O是AD的中点，且A、B、C的坐标分
别为(5，0)，(5，4)，(－5，4)，点P是BC上的动点，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则点
P的坐标为_______．
【答案】(－2，4)或(3，4)或(－3，4)
【分析】先根据题意得到OD=OA=5，CD=4，然后分当 时和当 时进行讨论
求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，A、B、C的坐标分别为(5，0)，(5，4)，(－5，4)，
∴OD=OA=5，CD=4，
如图所示，当 时，过点 作 轴于E，
∴ ，
∴ ，
∴ 的坐标为（-3，4），
同理可求出 的坐标为（3，4）；
如图所示，当 时，设CD与y轴交于F，则CF=5，OF=4，
，
∴ ，
∴ 的坐标为（-2，4），
综上所述，点P的坐标为(－2，4)或(3，4)或(－3，4)，故答案为：(－2，4)或(3，4)或(－3，4)．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的定义，解题的关键在于能够熟练
掌握等腰三角形的定义．
7．如图，平面直角坐标系xOy中，已知定点A（1，0）和B（0，1），动点C在坐标轴上运动，
则使△ABC为等腰三角形的点C有______个．
【答案】7
【分析】当C在x轴上分为三种情况：①AB=AC，②AC=BC，③AB=BC，画出图形，即可得出答
案；当C在y轴上也分三种情况①AB=AC，②AC=BC，③AB=BC．
【详解】∵A（1，0），B（0，1），
∴AO=OB=1，如图：
①以A为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C 、C ，此时两点符合；
1 2
②当C 和O重合时，AC=BC=1，此点符合；
3
③以B为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C ，此时点符合；
4
共2+1+1=4个点符合．同理当C在y轴上也有四个点符合题意，但是 与 重合，
∴综上所述，一共有7个点符合题意；
故答案为：7．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及分类讨论思想．分类讨论是解答本题的关键．
8．如图、在平面直角坐标系中，点 、 、 ，点D在第二象限，且
，在坐标系中画草图分析可得：
（1）点D的坐标是__________．
（2）若点P在y轴上，且 为等腰三角形，则满足要求的点P有_______个．【答案】 4
【分析】（1）根据全等三角形的性质可得∠AOB=∠OCD=90°，CD=OB，再由B（0，3），C
（0，2），得到CD=OB=3，OC=2，由此求解即可；
（2）分当PC=AC时，当AC=AP时， 当PC=PA时， 三种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵△AOB≌△OCD，
∴∠AOB=∠OCD=90°，CD=OB，
∵B（0，3），C（0，2），
∴CD=OB=3，OC=2，
又∵D在第二象限，
∴D的横坐标为-3，纵坐标为2，
∴D（-3，2）
故答案为：（-3，2）
（2）如图所示，当PC=AC时，即图中所示的 和 点满足题意；
当AC=AP时，即图中所示的 点满足题意；
当PC=PA时，即图中所示的 （与原点O重合）点满足题意；
∴一共有4个点满足题意，
故答案为：4．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质，等腰三角形的定义，解题的关键在于
能够熟练掌握相关知识进行求解．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(5，0)，点M的坐标为(0，4)，过点M作MN x轴，
点P在射线MN上，若 MAP为等腰三角形，则点P的坐标为___________．
【答案】( ，4)或( ，4)或(10，4)
【分析】分三种情况：①PM＝PA，②MP＝MA，③AM＝AP，分别画图，根据等腰三角形的性质
和两点的距离公式，即可求解．
【详解】解：设点P的坐标为（x，4），
分三种情况：①PM＝PA，
∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴PM＝x，PA＝ ，∵PM＝PA，
∴x＝ ，解得：x＝ ，
∴点P的坐标为（ ，4）；
②MP＝MA，
∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴MP＝x，MA＝ ＝ ，
∵MP＝MA，
∴x＝ ，
∴点P的坐标为（ ，4）；
③AM＝AP，
∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴AP＝ ，MA＝ ＝ ，
∵AM＝AP，
∴ ＝ ，解得：x＝10，x＝0（舍去），
1 2
∴点P的坐标为（10，4）；
综上，点P的坐标为（ ，4）或（ ，4）或（10，4）．
故答案为：( ，4)或( ，4)或(10，4)．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，熟练掌握坐标与图形特征，利用坐
标特征和勾股定理求线段的长是解题的关键．
10．平面直角坐标系中有点A（0，4）、B（3，0），连接AB，以AB为直角边在第一象限内作等
腰直角三角形ABC，则点C的坐标为_____．
【答案】（4，7）或（7，3）
【分析】根据等腰直角三角形的性质，分AC为直角边和斜边两种情况进行讨论即可.
【详解】解：如图，观察图象可知，满足条件的点C的坐标为（4，7）或（7，3）．
故答案为：（4，7）或（7，3）．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，点的坐标，解题的关键在于能够分类讨论AC是
直角边还是斜边.
11．如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，0），以AB为腰作等腰 ，点C在y轴
上，则C点坐标为_____．
【答案】(0， +1)，(0，1- )，(0，-1)
【分析】根据勾股定理求出AB的长，分别得到以A为圆心、AB长为半径的圆与y轴的交点，以B
为圆心、AB长为半径的圆与y轴的交点，即为所求的C点坐标．
【详解】解：∵A (0，1)，B(4，0)，
∴OA=1，OB=4，∴AB= = ，
则以A为圆心、AB长为半径的圆与y轴的交点为(0， +1)，(0，1- )．
以B为圆心、AB长为半径的圆与y轴的交点为(0，-1)；
故答案为：(0， +1)，(0，1- )，(0，-1)．
【点睛】本题考查了勾股定理、坐标与图形性质和等腰三角形的性质．关键是分两种情况得到C
点坐标．
12．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，A（8，0），D（5，7），点P是边AB或边
OA上的一点，连接CP，DP，当△CDP为等腰三角形时，点P的坐标为_____．
【答案】（8，3）或（ ，0）
【分析】分两种情形分别讨论即可解决问题；
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，A（8，0），D（5，7），
∴B（8，7），OA＝BC＝8，OC＝AB＝7，
∴CD＝5，BD＝3，
∵点P是边AB或边OA上的一点，
∴当点P在AB边时，CD＝DP＝5，∴BP＝ ＝4，
∴PA＝AB﹣BP＝3，
∴P（8，3）．
当点P在边OA上时，只有PC＝PD，
此时P在CD的垂直平分线上，
∴P（ ，0）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（8，3）或（ ，0）．
故答案为（8，3）或（ ，0）．
【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会
用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为
OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为
_________．
【答案】（2.5，4）或（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【详解】试题解析：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，
∵D为OA的中点，
∴OD=AD=5，
①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，
∴点P的坐标为：（2.5，4）；
②当OP=OD时，如图1所示：则OP=OD=5，PC= =3，
∴点P的坐标为：（3，4）；
③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，
则∠PED=90°，DE= =3；
分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：
OE=5-3=2，
∴点P的坐标为：（2，4）；
当E在D的右侧时，如图3所示：
OE=5+3=8，
∴点P的坐标为：（8，4）；
综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）
考点：1.矩形的性质；2.坐标与图形性质；3.等腰三角形的判定；4.勾股定理．
14．如图是规格为8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，请在所给网格中按下列要求操
作：
(1)在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（4，2），B点坐标为（1，-1）；
(2)在第一象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB构成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长
是无理数，则C点坐标是 ；(3) ABC的周长= ；（结果保留根号）
(△4)若△A'B'C'与△ABC关于y轴对称，写出点A'和点B'的坐标．
【分析】（1）根据A点和B点的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理确定C点位置，然后再写出C点坐标即可；
（3）利用勾股定理求出AB、AC、BC，即可得出 ABC的周长；
（4）根据关于y轴对称的点的坐标特点可得答案．△
（1）
解：建立的平面直角坐标系如图所示：
（2）
点C如图所示，C点坐标是(2，1)，腰长AC＝BC＝ ，是无理数，
故答案为：(2，1)；
（3）
∵AB= ，AC＝BC＝ ，
∴△ABC的周长＝ ，
故答案为： ；
（4）
∵A（4，2），B（1，－1），
∴点 和点 的坐标分别是： （－4，2）， （－1，－1）．
【点睛】本题考查平面直角坐标系，等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形性质等知识，解
题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，a），点B（b，0），且有b＝ + +
8．(1)连接AB，求线段AB的长；
(2)若点C为y轴上的一个动点，当△ABC为等腰三角形时，求点C的坐标；
(3)若点D为坐标轴上的一个动点，当△ABD为直角三角形时，求点D的坐标．
【答案】(1)AB＝10
(2)点C的坐标为（0，16）或（0，－4）或（0，－6）或（0，－ ）
(3)点D的坐标为（0，0），（－ ，0），（0，－ ）
【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b，根据勾股定理计算求出AB；
（2）分AC＝AB、BA＝BC、CA＝CB三种情况，根据勾股定理计算即可；
（3）分∠ADB＝90°、∠BAD＝90°、∠ABD＝90°三种情况，根据勾股定理计算，得到答案．
（1）
解：由题意得，a－6≥0，6－a≥0，
∴a＝6，
把a＝6代入b＝ + + 8，得b＝8，
∴A（0，6），B（8，0），即OA＝6，OB＝8，
在 中，由勾股定理得，AB＝10；
（2）
解：当AC＝AB＝10，点C在y轴的正半轴上时，OC＝OA+AC＝16，此时点C的坐标为（0，
16）；
当AC＝AB＝10，点C在y轴的负半轴上时，OC＝AC－OA＝4，此时点C的坐标为（0，－4）；
当BA＝BC时，OC＝OA＝6，此时点C的坐标为（0，－6）；
如图1所示：当CA＝CB时，设OC＝x，则CB＝CA＝x+6，
在Rt OCB中，OC2+OB2＝BC2，即x2+82＝（x+6）2，解得：x＝ ，此时点C的坐标为（0，－
△
）；
综上所述，当△ABC为等腰三角形时，点C的坐标为（0，16）或（0，－4）或（0，－6）或
（0，－ ）；
（3）
解：当∠ADB＝90°时，点D与点O重合，点D的坐标为（0，0）；
如图2所示：
当∠BAD＝90°时，设OD＝x，则BD＝x+8，
由勾股定理得，AD2+AB2＝BD2，即x2+62+102＝（x+8）2，解得：x＝ ，
点D的坐标为（－ ，0）；
如图3所示：当∠ABD＝90°时，设OD＝y，则AD＝6+y，
由勾股定理得，BD2+AB2＝AD2，即y2+82+102＝（y+6）2，解得：y＝ ，
点D的坐标为（0，－ ）；
综上所述，当△ABD为直角三角形时，点D的坐标为（0，0），（－ ，0），（0，－ ）．
【点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的概念、非负数的性质，灵活运用分类讨论思想是解
题的关键．
16．如果一个三角形的所有顶点都在网格的格点上，那么这个三角形叫做格点三角形，如图，请
在下列给定网格（每个小方格边长均为1）中按要求解答下面问题：
(1)方格图1中格点△ABC的面积为 ；
(2)已知某格点三角形有两条边长分别为 、 且面积与△ABC相等，则这个三角形第三边长为
；
(3)以图2中C为顶点， 为边长构造等腰直角三角形，顶点均为格点，则这样的格点三角形有
种（全等算一种），共有 个．
【答案】(1)
(2)(3)2；30
【分析】（1）利用切割法求得△ABC的面积；
（2）画出所有的两条边长分别为 、 的格点三角形，然后找到与△ABC的面积相等的三角
形，最后求得第三边的长度；
（3）分情况讨论，①边长为 的边为直角边时，求得斜边的长为2 ；②边长为 的边长为
斜边时，求得直角边为 ，得到满足条件的三角形有2种，然后得到满足条件的三角形个数．
（1）解：S ABC＝3×3 3×2 3×1 2×1 ，故答案为： ．
△
（2）作出有两条边长分别为 、 的三角形，如图①，
S ＝2×3 2×1 1×3 2×1 ，不符合题意；S ＝2×3 2×1 1×3 4×1
① ②
，不符合题意；S ＝2×5 2×5 2×2 5×1 ，不符合题意；S ＝4×3
③ ④
3×1 1×4 4×3 ，不符合题意；S ＝3×3 2×1 2×3 3×1 ，符合题意，
⑤
此时，第三边的长为 ，故答案为： ．
（3）①边长为 的边为直角边时，斜边的长为2 ，如图②，图③，图④，可以作出10个三
角形；②边长为 的边长为斜边时，直角边为 ，如图⑤，图⑥，图⑦，可以作出20个三角
形，∴满足条件的格点三角形有2种，共30个．【点睛】本题主要考查坐标与图形、等腰三角形的性质、三角形三边关系的应用，掌握相关知识
是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 ， ，且 、 满足
．同时将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移2个单位，分别得到点
A，B的对应点D，C，连接AC，BD，AB，如图1．
(1)求点C，D的坐标；
(2)同时将（1）点C，D分别向右平移2个单位，得到如图2四边形ABCD，且点E是CD的中点，
点G在边AB上， 是腰长为5的等腰三角形，求点G的坐标．
【答案】(1) ，
(2) 或 或【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论；
（2）分两种情形：OG=5，EG=5，分别利用勾股定理求解即可．
（1）解：∵（a-4）2+|b-10|=0， ∴a=4，b=10， ∴A（0，4），B（10，4）， ∵将点A，B分别
向下平移4个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点D，C， ∴D（-2，0），C
（8，0）；
（2）如图， 则
∵点C，D分别向右平移2个单位，∴C（10，0）， OE=EC， ∴DE=5， 当OG=5时，
∴G（3，4）， 当EG=5时，设 即
或 ，解得： G（2，4）或（8，4）， 综上所述，点G的坐标为
（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，非负数的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题
的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
18．如图，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A(10，0)，
点C(0，6)，在边AB上任取一点D，将 AOD沿OD翻折，使点A落在BC边上，记为点E．
△
(1) AD的长=______；
(2)若在x轴正半轴上存在点P，使得 OEP为等腰三角形，求点P的坐标．
△
【答案】(1)
(2)点P的坐标为(16，0)或( ，0)或(10，0)．【分析】（1）在Rt CEO中，利用勾股定理求得CE 8，设AD=x，在Rt BDE中，利用勾股定
理即可求解； △ △
（2）分①当OE=OP，②PE=OP，③OE=EP时，三种情况讨论，画出图形，利用勾股定理求解即
可．
(1)
解：∵点A(10，0)，点C(0，6)，且四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=10，AB=OC=6，
由折叠的性质得OA=OE=10，AD=DE，
在Rt CEO中，CE= 8，
△
∴BE=2，
设AD=x，则DE=x，DB=6-x，
在Rt BDE中， DE2=BD2+BE2，
∴x2=△(6-x)2+22，
解得：x= ，即AD的长= ；
故答案为： ；
(2)
解：①当OE=OP=10时，
∵OE=10，
∴OP=10，
此时点P与点A重合，∴点P的坐标为(10，0)；
②当PE=OP时，
过点E作EM⊥x轴于点M，
则EM=AB=6，在Rt OEM中，OM= 8，
△
设OP=a，则PE=a，PM=8-a，
在Rt PEM中， PE2=PM2+EM2，
∴a2=△(8-a)2+62，
解得：a= ，
∴点P的坐标为( ，0)；
③当OE=EP时，过点E作EM⊥x轴于点M，
∴OM=MP，
同②得OM=8，
∴MP=8，
∴点P的坐标为(16，0)；
综上，点P的坐标为(16，0)或( ，0)或(10，0)．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，分类
讨论思想的运用是解题的关键．
19．如图①，在平面直角坐标系中， ， ， ，且a，b满足 ，(1)求点A、点B的坐标．
(2)在图①的基础上如图②，现有一动点P从点B出发，以1米/秒的速度沿x轴的正方向运动到点
C停止，设P的运动时间为t，连接AP，过点C作AP的垂线交射线AP于点M，交y轴于点N，请
用含t的式子表示线段ON的长度．
(3)在（2）的条件下， 米，以AB为腰作等腰三角形ABP，直接写出符合题意t的值和P的
坐标．
【答案】(1) ；
(2)0≤t≤6时， ；当6＜t≤14时，
(3) ， 或 ，
【分析】（1）由非负数的性质可得 再解方程，从而可得答案；
（2）分两种情况：判断出△AOP≌△CON，利用全等三角形的性质即可得出结论；
（3）分两种情况讨论：当 时，当 时，再结合等腰三角形的性质可得答
案.
(1)
解： ，
解得：
(2)
解：由（1）得：
①当点P在x轴非正半轴时，即0≤t≤6时， 如图1，由运动知，BP=t， ∴OP=6-t，
∵CM⊥AP， ∴∠CMA=90°=∠AOP=∠AOC，
∵∠ANM=∠CNO， ∴∠OAP=∠OCN，
∵OA=OC， ∴△AOP≌△CON（AAS），
∴ON=OP=6-t；
②当点P在x轴正半轴时，即6＜t≤14，如图2，
由运动知，BP=t， ∴OP=t-6，
同①的方法得，△AOP≌△CON（AAS），
∴ON=OP=t-6；
(3)
解： 为等腰三角形，且 为腰，
当 时，如图3，
当 时，而 如图4，【点睛】本题考查的是非负数的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定
义与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键.
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣2），点P是x轴上的一个动点．
（1）A，A 分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A，A 的坐标，并在
1 2 1 2
图中描出点A，A．
1 2
（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．
【答案】（1）A（﹣2，2），A（﹣2，﹣2），见解析；（2）P点坐标为（﹣2 ，0）或（2
1 1
，0）或（4，0）或（2，0）
【分析】（1）利用关于原点对称和y轴对称的点的坐标特征写出点A，A 的坐标，然后描点；
1 2
（2）先计算出OA的长，再分类讨论：当OP＝OA或AP＝AO或PO＝PA时，利用直角坐标系分
别写出对应的P点坐标．
【详解】解：（1）A（﹣2，2），A（﹣2，﹣2），如图，
1 1（2）如图，设P点坐标为（t，0），
，
当OP＝OA时，P点坐标为 或 ；
当AP＝AO时，P点坐标为 （4，0），
当PO＝PA时，P点坐标为 （2，0），
综上所述，P点坐标为 或 或（4，0）或（2，0）．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，中心对称的性质，坐标与图形，等腰三角形的定义，清晰
的分类讨论是解本题的关键.
21．如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，且点A坐标为（5，5），P是x轴上的一点，若以
O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，求P点的坐标．【答案】P点的坐标为 或 或 或 ．
【分析】由勾股定理得 ，①当 为腰时，以 为圆心， 为半径画弧交 轴于两点；
以A为圆心， 为半径画弧交 轴于一点；②当 为底时，作线段 的垂直平分线交 轴于一
点，分别得出 的坐标即可．
【详解】解：由勾股定理得 ，分两种情况进行讨论：
①当 为腰时，以 为圆心， 为半径画弧交 轴于两点，
即 ， ；
以A为圆心， 为半径画弧交 轴于一点，即 ；
②当 为底时，作线段 的垂直平分线交 轴于一点，即 ；
∴符合条件的点 有 个，坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形，围绕着线段 为腰或底，分类讨论，运用圆规画弧法，形象易懂，充分运用等腰三角形的性质解题．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为 ， ， （如图所
示），其中a，b，c满足关系式 ， ．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果在第二象限内有一点 ，是否存在点P，使 的面积与 的面积相等？若
存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在y轴上是否存在一点M，使 为等腰三角形，若存在，求出M的坐标，若不存在，请
说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在点 使 的面积与 的面积相等；
（3）存在，当 为等腰三角形，则 或 或 或 ．
【分析】（1）根据绝对值、偶次幂及算术平方根的非负性可直接进行求解；
（2）由题意易得 ，则有 ， ，然后问题可求解；
（3）由题意可分：①当AB=AM时，②当AB=BM时，③当AM=BM时，然后根据等腰三角形的性
质可求解．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）存在，理由如下：由（1）可得： ，
∴ ，
∵点 在第二象限，
∴点P到线段OA的距离为-m，m＜0，
∴ ，
∵点A到线段BC的距离为3，
∴ ，
∵ 的面积与 的面积相等，
∴ ，解得： ，
∴存在点 使 的面积与 的面积相等；
（3）在y轴上存在一点M，使 为等腰三角形，由（2）可得： ，则
可分：
①当AB=AM时，则有 ，
∴ ，或 ，
∴ 或
②当AB=BM时，则有OA=OM=2，
∴ ；
③当AM=BM时，如图所示：
设点 ，由图可知 ，∴ ， ，
∴在Rt BOM中，由勾股定理可得： ，
△
解得： ，
∴ ；
综上所述：当 为等腰三角形，则 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查坐标与图形、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握坐标与图形、等腰
三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，四边形 是边长为6正方形， 点在 轴负半轴上， 点在
轴负半轴上，有一动点 自 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿 运动，
设运动时间为 秒．
（1）直接写出点 的坐标为________．
（2）求 为多少秒时， 为等腰三角形？并直接写出此时 点的坐标．
（3）设 的面积为 ，当 时，求 与 之间的函数关系式？
【答案】（1）(-6，0)；（2）t=6或7.5或9；点P的坐标分别为(-6，-6)或(-3，-6)或 (0，-6)；
（3）S=36-6t
【分析】（1）根据正方形的边长及点A在x轴负半轴上即可得点A的坐标；
（2）当点P在B或C点时， 为等腰直角三角形，易得点P的坐标；点P在BC边的中点时，
为等腰三角形，易得点P的坐标；
（3）当 时，点P在线段AB上运动（不包括两个端点），则易得PB的长，从而可求得
的面积．
【详解】（1）∵四边形 是边长为6正方形
∴OA=AB=BC=OC=6，∠OAB=∠B=∠BCO=90°
∵点A在x轴负半轴上
∴点A的坐标为(－6，0)
故答案为：(－6，0)（2）显然点P只能在边AB、BC、OC三边上运动才有可能使得 为等腰三角形
当点P在边AB上运动时
则必有PA=OA=6
故此时点P的运动距离为12个单位长度，运动时间为：12÷2=6（秒），点P的坐标为(－6，－6)
同理，当点P在OC边上运动时，点P与点C重合满足条件，此时点P的运动距离为18个单位长
度，运动时间为：18÷2=9（秒），点P的坐标为(0，-6)
当点P在边BC上运动时（不含端点），则此时点P是线段OA的垂直平分线与BC的交点，如图，
则PA=PO
∵D(-3，0)，PD⊥OA
∴PD=6
∴P(－3，－6)
此时点P的运动距离为6+6+3=15个单位长度，运动时间为：15÷2=7.5（秒）
综上所述，t=6或7.5或9；点P的坐标分别为(－6，－6)或(－3，－6)或 (0，－6)
（3）当 时，点P在线段AB上运动（不包括两个端点），如图
点P运动到AB上时，运动的距离为2t个单位长度，则PB=OA+AB-2t=12-2t
∵BC=6
∴
【点睛】本题坐标平面上的动点问题，它考查了矩形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，
三角形的面积，函数解析式等知识，用到了分类讨论思想，处理动点问题要善于化动为静．
24．如图，已知在平面直角坐标系中，A（0，﹣1）、B（﹣2，0）C（4，0）
（1）求△ABC的面积；
（2）在y轴上是否存在一个点D，使得△ABD为等腰三角形，若存在，求出点D坐标；若不存，说明理由．
【答案】（1）3；（2）存在，点D坐标为（0， ），（0，-1- ），（0，1）.
【分析】（1）根据AO=1，BC=6，求得 ABC的面积；
（2）分AB为底边和腰两种情况进行分类△讨论，i)以AB为底边，设D（0，a），则AD=1+a，
OD=a，根据BD=AD=1+a，∠BOD=90°，可得Rt BOD中，OD2+OB2=BD2，即a2+22=（a+1）2，
进而得出点D坐标；ii)以AB为腰，求出AB的长△，在y轴即可确定点D的坐标.
【详解】（1）∵A（0，-1）、B（-2，0）、C（4，0），
∴AO=1，BC=6，
∴△ABC的面积= ×6×1=3；
（2）存在一个点D，使得 ABD是等腰三角形．
i)如图所示，以AB为底边，△
设D（0，a），则AD=1+a，OD=a，
∵BD=AD=1+a，∠BOD=90°，
∴Rt BOD中，OD2+OB2=BD2，
∴a2+△22=（a+1）2，
解得a= ，
∴D（0， ）;
ii) 如图所示，以AB为腰，∵A（0，﹣1）、B（﹣2，0）
∴BO=2，AO=1，
∵∠BOA=90゜
∴AB= ,
若AB=AD，则有AD=
∴D点坐标为（0，-1- ），
若AB=BD，则OD=OA=1，
∴D点坐标为（0，1）.
故存在一个点D，使得 ABD是等腰三角形．D点坐标为（0， ），（0，-1- ），（0，1）.
△
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及坐标与图形性质，解决问题的关键是根据勾股定
理列出方程进行求解．
25．正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，在平面内找点P，使△PAB，△PBC，
△PCD，△PDA同时为等腰三角形，作出符合要求的点P，并写出点P的坐标．
【答案】见解析
【分析】根据等腰三角形的判定和正方形的性质，分别以AB、BC、CD、DA为边作等边三角形，
即可得到点P的位置，另外，正方形的中心也是符合条件的点，根据图形求得点P的坐标即可．【详解】解：如图，符合要求的点P共有9个，分别是P(－ －1,0)，P(－ ＋1,0)，P( －
1 2 3
1,0)，P( ＋1,0)，P(0，－ －1)，P(0，－ ＋1)，P(0， －1)，P(0， ＋1)和原点．
4 5 6 7 8
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，正方形的性质，考虑利用等边三角形的性质求解是解题
的关键，要注意正方形的中心也是符合条件的点．
