文档内容
专题2.12 一元一次不等式组（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．已知三角形两边长分别为7、10，那么第三边的长可以是（ ）
A．2 B．3 C．17 D．5
2．关于 的不等式组 有解且不超过3个整数解，若 ，那么 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于x的不等式组 的解集中任意一个x的值均不在﹣1≤x≤3的范围内，
则a的取值范围是（ ）
A．﹣5≤a≤6 B．a≥6或a≤﹣5 C．﹣5＜a＜6 D．a＞6或a＜﹣5
4．若不等式组： 的解集是 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2014
5．如果关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解，且关于y的不等式组
有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知关于 的一元一次不等式组 有 个整数解，若 为整数，则 的值为（
）
A． B． C． 或 D． 或
7．若整数a使得关于x的方程 的解为非负数，且使得关于y的一元一次不等式组 至少有3个整数解．则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A．23 B．25 C．27 D．28
8．关于 、 的方程组 的解恰好是第二象限内一个点的坐标 ，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，
若运算进行了3次才停止，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，射线OA是第三象限角平分线，若点B(k－3，1－2k)在第三象限内且在射线OA
的下方，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．一群女生住若干间宿舍，若每间住4人，剩下16人无处住；若每间住6人，有一间宿
舍住人但不足4人，那么这群女生的人数是（ ）
A．52 B．56 C．60或56 D．60
二、填空题
12．如果直线 与直线 的交点在第二象限，那么b的取值范围是______．
13．已知 那么|x-3|+|x-1|=_____．14．若 是关于 的一元一次方程，则 的值是___________．
15．我们定义 ，例如 ．若 ，是整数，且
满足 ，则 的最小值是__________．
16．已知关于x、y的二元一次方程组 的解满足x＞y，且关于x的不等式组
无解，那么所有符合条件的整数a的和为 _____．
17．如果不等式组 有解，则 的取值范围是______．
18．从 ， ，0， ，1，2这六个数字中，随机抽取一个数记为 ，则使得关于 的不
等式组 只有三个整数解的概率是 __．
19．如果关于x的不等式组 的整数解只有1，2，3，那么a的取值范围是______，
b的取值范围是______．
20．若方程组 的解 ， 的值都不大于 ，则 的取值范围是______．
21．若关于x，y的二元一次方程组 的解满足 ，求m的取值范
围______．22．对于实数 ，用 表示不大于 的最大整数，例如 ， ， ，若
，则 的取值范围________．
三、解答题
23．解不等式组： ，并将其解集在数轴上表示出来．
24．解不等式组 ，并求出它的正整数解．
25．已知关于 ， 的方程组 的解满足 为非正数， 不大于 ．
（1）求 的取值范围；
（2）求当 为何整数时，不等式 的解集为 ．
26．感知：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．小亮
在解分式不等式 时，是这样思考的：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，
原分式不等式可转化为下面两个不等式组① 或②
解不等式组①，得x>3，解不等式组②，得 ．
所以原分式不等式的解集为x>3或 ．
探究：请你参考小亮思考问题的方法，解不等式
27．永辉超市计划购进甲、乙两种体育器材，若购进甲器材3件，乙器材6件，需要480
元，购进甲器材2件，乙器材3件，需要280元，销售每件甲器材的利润率为37.5%，销售
每件乙器材的利润率为30%．
（1）甲、乙两种体育器材进价分别为多少元/件？（列方程或方程组解答）
（2）该超市决定购进甲、乙体育器材100件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购进这
些体育器材的资金不少于6300元，同时又不能超过6430元，则该超市有哪几种进货方案？
那种方案获利最大？最大利润是多少元？
28．为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派小亮到文具店为获奖同学购买奖品．
小亮发现，如果买1个笔记本和3支钢笔，则需要18元；如果买2个笔记本和5支钢笔，
则需要31元．
（1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？
（2）班主任给小亮的班费是100元，需要奖励的同学是24名（每人奖励一件奖品），若
购买的钢笔数不少于笔记本数，求小亮有哪几种购买方案？参考答案
1．D
【分析】
根据三角形三边关系分析即可，三角形三边关系，两边之和大于第三边，三角形的两
边差小于第三边．
【详解】
解：设第三边长为x，由题意得：
∵三角形的两边分别为7，10，
∴10−7a+2；解不等式②，得：
∵不等式组的解集为 ，
∴原不等式组的解集为：
∴a+2=-1，
解得：a=-3，b=2
∴
故选：A．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组，求代数式的值，关键是根据已知不等式组
的解集及所求的不等式的解集求得a与b的值．
5．C
【分析】
先解关于y的不等式组可得解集为 ，根据关于y的不等式组有解可得
，由此可得 ，再解关于x的方程可得解为 ，根据关于x的方程ax﹣
3（x+1）＝1﹣x有整数解可得 的值为整数，由此可求得整数a的值，由此即可求得答
案．
【详解】解： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
∴不等式组的解集为 ，
∵关于y的不等式组有解，
∴ ，
解得： ，
∵ax﹣3（x+1）＝1﹣x，
∴ax﹣3x﹣3＝1﹣x，
∴ax﹣3x＋x＝1＋3，
∴(a﹣2)x＝4，
∵关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解，a为整数，
∴a﹣2＝4，2，1，﹣1，﹣2，﹣4，
解得：a＝6，4，3，1，0，﹣2，
又∵ ，
∴a＝4，3，1，0，﹣2，
∴符合条件的所有整数a的个数为5个，
故选：C
【点拨】此题考查了解一元一次不等式组、解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则
是解本题的关键．
6．D
【分析】
先解出每个不等式的解集，即可得到该不等式组的解集，然后根据该不等式组有2个
整数解确定a的取值范围，从而求出a的整数值．
【详解】解不等式①，得：x> 1，
解不等式②，得： ，
不等式组的解集为 ，
又 该不等式组有2个整数解，
2个整数解为2和3，
，
解得： ，
整数a的值为7或8，
故选：D．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，不等式组的整数解，属于基础题，难度
一般，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的
关键．
7．B
【分析】
表示出不等式组的解集，由不等式至少有四个整数解确定出a的值，再由分式方程的
解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．
【详解】
解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得：
∴不等式组的解集为： ，
∵由不等式组至少有3个整数解，
∴ ，即整数a＝2，3，4，5，…，
∵ ，
∴解得： ，
∵方程 的解为非负数，
∴ ，
∴
∴得到符合条件的整数a为3，4，5，6，7，之和为25．
故选B．
【点拨】此题考查了解一元一次方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则
是解本题的关键．
8．B
【分析】
先解不等式组求出x、y，然后根据第二象限内点坐标的特点列式求解即可．
【详解】
解：解不等式组 ，得
∵点 在第二象限
∴ ，解得： ．
故选B．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组和解不等式组，根据点的特点列出不等式
是解答本题的关键．
9．A
【分析】
根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组：
，解之即可得出x的取值范围．
【详解】
解：依题意，得：，
由①得：
，
由②得： ＞ ，
＞
＞ ，
所以不等式组的解集为： ．
故选： ．
【点拨】本题考查了程序框图中的一元一次不等式组的应用，找准不等关系，正确列
出一元一次不等式组是解题的关键．
10．D
【分析】
根据第三象限内点的符号特征确定k的取值范围，再根据射线OA所在的直线表达式
为y=x，根据题意可得B点的纵坐标小于其横坐标列式求解.
【详解】
解：如图，过点B作y轴的平行线交射线OA于C点，
∵射线OA为第三象限的角平分线，
∴射线OA所在到直线表达式为y=x，
∴C点坐标为B(k－3，k－3)
∵B(k－3，1－2k)在第三象限内且在射线OA的下方，即点B在点C正下方，
∴ ，
解得： .故选：D.
【点拨】本题考查平面直角坐标系内点坐标的符号特征，根据点的位置确定符号特征
后列式求解，即数形结合思想是解答此题的关键.
11．B
【分析】
设有x间宿舍，根据房间住人情况列不等式6（x-1）＜4x+16＜6（x-1）+4转化为不等
式组整理得 ，解不等式组求解集即可．
【详解】
解:设有x间宿舍，则有
6（x-1）＜4x+16＜6（x-1）+4，
整理得 ，
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∴x=10，
当x=10时4×10+16=56人，
故选择B．
【点拨】本题考查列一元一次不等式组解应用题，掌握列一元一次不等式组解应用题
的方法与步骤是解题的关键．
12．b＜
【分析】
联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第二象限列出不等式组求解即可．
【详解】
解：联立 ，解得 ，
∵交点在第二象限，
∴ ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴ 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了两直线相交的问题，解一元一次不等式组，联立两函数解析式求
交点坐标是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．
13．2
【分析】
先求出不等式组的解集，再根据x的取值化简绝对值即可求解．
【详解】
解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为： ，
∴x-3＜0，x-1＞0，
∴ ．
故答案为：2
【点拨】本题考查了求不等式组的解集和绝对值的化简，正确求出不等式组的解集，
正确化简绝对值是解题关键．
14．-2
【分析】
根据一元一次方程的定义列出关于m的方程组求解即可．
【详解】解：∵
∴ ，解得m=-2．
故答案为-2．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的定义和不等式组的解法，根据一元一次方程
的定义列出关于m的方程组成为解答本题的关键．
15．-5
【分析】
首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据x，y是整数即可确定x，y
的值，从而求解．
【详解】
解：根据题意得：1＜6-xy＜3，
则3＜xy＜5，
又∵x、y均为整数，
∴x=1，y=4；此时，x+y=5；
x=2，y=2；此时，x+y=4；
x=-1，y=-4；此时，x+y=-5；
x=-2，y=-2；此时，x+y=-4；
故x+y的最小值是-5，
故答案为-5．
【点拨】本题考查了不等式的整数解，正确确定x，y的值是关键．
16．
【分析】
解二元一次方程组，根据x＞y列出不等式，即可求得 ，解不等式组，根据不等
式组无解求得 ，进而根据题意求得符合条件的整数 ，求和即可
【详解】
解：
①+②得
解得 ，将 代入②得：
解得
解得
由
解不等式③得：
解不等式④得：
不等式组无解
解得
则所有符合条件的整数a为： ,其和为
故答案为：7
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，
根据题意求得符合题意的整数 是解题的关键．
17．
【分析】
先根据不等式的性质解不等式求出不等式的解集，再根据不等式组解集的情况：“大
小小大取中间”求参数的取值范围.
【详解】
解： ，
解不等式 ，解得 ，因为不等式组 有解，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
【点拨】本题主要考查由不等式组解集求参数取值范围，解决本题的关键是要熟练掌
握不等式组解集的确定方法.
18．
【分析】
解关于x的不等式组，由不等式组整数解的个数求出a的范围，再从6个数中找到同
时满足以上两个条件的情况，从而利用概率公式求解可得．
【详解】
解：解不等式组 ，得： a＜x≤2，
∵不等式组只有3个整数解，
∴不等式组的整数解为2、1、0，
则-1≤ a＜0，即-2≤a＜0
∴在所列的六个数字中，同时满足以上两个条件的只有-2，-1，
∴只有三个整数解的概率是
故答案为： ．
【点拨】题主要考查的是解一元一次不等式组的解集和概率的知识，解题的关键是熟
练掌握解一元一次不等式组的能力及概率公式的应用．
19．
【分析】先解不等式组可得解集为： 再利用整数解只有1，2，3，列不等式
再解不等式可得答案.
【详解】
解：
由①得：
由②得：
因为不等式组有整数解，所以其解集为：
又整数解只有1，2，3，
解得：
故答案为：
【点拨】本题考查的是一元一次不等式组的解法，一元一次不等式组是整数解问题，
解题过程中注意确定字母取值范围时的“等于号”的确定是解题的关键.
20．
【分析】
解关于x、y的二元一次方程组 得 ，根据 ， 的值都不大于 ，
得到关于 的不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】
解：解关于x、y的二元一次方程组 得
，∵ ， 的值都不大于 ，
∴ ，
解不等式组得 ．
故答案为：
【点拨】本题为二元一次方程组与不等式组综合题，正确解出关于x、y的方程组，根
据题意得到关于a的不等式组是解题关键．
21．－5＜m＜
【分析】
直接把方程①与②相加或相减可得x+y与x-y，再把原不等式组中的x+y与x-y整体代
换成含m的式子，而后解不等式组即可．
【详解】
解： ，
①-②，得x-y=-5m+1；
①+②，得3x+3y=-3m+9，
整理得x+y=-m+3；
∵ ，
∴ ，
解不等式③，得m＜ ，
解不等式④，得m＞-5，
所以-5＜m＜ ．
故答案为-5＜m＜ ．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解法、不等式组的解法，解含参数的方程组时，若求解的是两个未知数的和或差，要先观察方程组中未知数系数若成交错相等，则
可直接整体加或减．
22．
【分析】
根据 表示不大于 的最大整数可列不等式 ，解不等式即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查新定义最大整数问题，掌握 表示不大于 的最大整数的定义，抓
住 是解题关键．
23．﹣2＜x≤4，数轴见解析
【分析】
求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】
解： ，
由①得，x＞﹣2；
由②得，x≤4，
故此不等式组的解集为：﹣2＜x≤4．
在数轴上表示为：
．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
24． 不等式组的正整数解为：
【详解】
解：
由①得：
即 ，解得
由②得：
即 解得：
所以不等式组的解集为：
所以不等式组的正整数解为：
【点拨】本题考查的是一元一次不等式组的解法，求解不等式组的正整数解，掌握
“解一元一次不等式组的步骤”是解本题的关键，注意不等式组的解集是两个不等式解集
的公共部分.
25．（1） ；（2） ，
【分析】
（1）解方程组得， ， ；根据x为非正数，y为负数得 ，
，解之可得答案；
（2）由不等式2mx+x＜2m+1，即（2m+1）x＜2m+1的解集为x＞1知2m+1＜0，解之
得出m ，再从 中找到符合此条件的整数m的值即可．
【详解】
（1）解方程组得， ， ；
，
．
．
．
，．
．
．
．
（2） 的解集为
∴ ，
．
．
为整数，
， ．
【点拨】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等
式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则
是解答此题的关键．
26．
【分析】
先转化成不等式组，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．
【详解】
解：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等
式组：
① ，或② ，
解不等式组①，得 ，
解不等式组②得此不等式组无解．
所以原分式不等式的解集为 ．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组，能根据题意列出不等式组是解此题的关键．
27．
（1）甲、乙两种体育器材进价分别为80元/件，40元/件
（2）见解析【分析】
（1）设甲器材的进价为x元/件，乙器材的进价为y元/件，得出关于x，y的二元一次
方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲器材z件，根据题意列出不等式组，求出整数解，得到三种方案，分别
计算三种方案的利润，比较即可．
（1）
解：设甲器材的进价为x元/件，乙器材的进价为y元/件，
由题意可得： ，
解得： ，
∴甲、乙两种体育器材进价分别为80元/件，40元/件；
（2）
设购进甲器材z件，
由题意可得： ，
解得： ，
∴z的取值为58，59，60，
方案一：当z=58时，即甲器材58件，乙器材42件，
利润为： 元；
方案二：当z=59时，即甲器材59件，乙器材41件，
利润为： 元；
方案三：当z=60时，即甲器材60件，乙器材40件，
利润为： 元；
∴方案三的利润最大，最大利润为2280元．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关
键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正
确列出一元一次不等式组，由两种商品利润间的关系，找出获利最大的进货方案．
28．（1）设每个笔记本3元，每支钢笔5元；（2）有三种购买方案：①购买笔记本
10个，则购买钢笔14个；②购买笔记本11个，则购买钢笔13个；③购买笔记本12个，则购买钢笔12个．
【分析】
（1）每个笔记本x元，每支钢笔y元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购买笔记本m个，则购买钢笔(24-m)个利用总费用不超过100元和钢笔数不少
于笔记本数列出不等式组求得m的取值范围后即可确定方案．
【详解】
解：（1）设每个笔记本x元，每支钢笔y元
依题意得：
解得：
答：设每个笔记本3元，每支钢笔5元．
（2）设购买笔记本m个，则购买钢笔(24-m)个
依题意得：
解得：12≥m≥10
∵m取正整数
∴m＝10或11或12
∴有三种购买方案：①购买笔记本10个，则购买钢笔14个．
②购买笔记本11个，则购买钢笔13个．
③购买笔记本12个，则购买钢笔12个．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用及二元一次方程组的应用，解题的关键
是仔细的分析题意并找到等量关系列方程或不等关系列不等式．
