专题21空间点、直线、平面之间的位置关系（学生版）_02高考数学_通用版（老高考）复习资料_2024年复习资料_完备战2024年高考数学一轮复习考点帮（全国通用）_核心考点讲练

专题 21 空间点、直线、平面之间的位置关系 （核心考点精讲精练） 1. 近几年真题考点分布 空间点、直线、平面之间的位置关系近几年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2023年全国乙（文科），第16题,5分 已知三棱锥外接求半径，求线段长 1、证明线面平行； 2023年全国乙（文科），第19题,12分 2、求三棱锥的体积； 2023年全国乙（理科），第3题,5分 通过三视图求几何体的表面积 2023年全国乙（文科），第3题,5分 2023年全国乙（理科），第8题,5分 圆锥体积相关计算 证明面面垂直，由二面角求线段长，从而求线 2023年全国乙（理科），第9题,5分 面角的正切值 1、证明线面平行； 2023年全国乙（理科），第19题,12分 2、证明面面垂直； 3、求二面角 2023年全国甲（文科），第10题,5分 证明线面垂直，求三棱锥的体积 2023年全国甲（文科），第16题,5分 正方体的外接球、棱切球问题 1、证明面面垂直； 2023年全国甲（文科），第18题,12分 2、求四棱锥的高 余弦定理解三 2023年全国甲（理科），第11题,5分 四棱锥表面积有关计算 角形 2023年全国甲（理科），第15题,5分 正方体的棱切球问题 1、已知点面距，证明线面垂直，从而得到线 2023年全国甲（理科），第18题,12分 线相等； 2、已知平行线间的距离，求线面角的正弦值 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】1.本节内容为高考常考内容，常以选填题形式出现，偶尔会在解答题中考查证明共面问题；2.考查判断点、线、面的位置关系； 3.考查基本事实的应用以及共面的条件； 【备考策略】1.了解平面的含义,理解空间点、直线、平面的位置关系及符号表示； 2.能用基本事实和定理判断或证明位置关系； 3.会求异面直线所成的角； 【命题预测】1.考查判断点、线、面的位置关系； 2.考查基本事实的应用以及共面的条件； 知识讲解 一、平面的基本事实 三个基本事实的“图形语言”“文字语言”“符号语言” 图形语言 文字语言 符号语言 基 本 过不在一条直线上的三点,有且只 事 A,B,C不共线⇒A,B,C确定平面α 有一个平面 实 1 基 本 如果一条直线上的两个点在一个 事 平面内,那么这条直线在这个平面 A∈l,B∈l,A∈α,B∈α l α 实 内 2 ⇒⊂基 本 如果两个不重合的平面有一个公 事 共点,那么它们有且只有一条过该 P∈α,P∈β α∩β=l,P∈l 实 点的公共直线 3 ⇒ 三个推论: 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 二、空间中线、面之间的位置关系 1.空间中两条直线的位 {共面{ 平行 直线:在同一平面内没有公共点. 置关系 直线 相交 直线:在同一平面内只有一个公共点. 异面 直线:不同在任何一个平面内,没有公共点. 2.空间中直线与平面的 直线在平面内:直线与平面有 公共点. { 位置关系 直线与平面相交:直线与平面 公共点. 直线与平面平行:直线与平面 公共点. 3.空间中两个平面的 {平行平面:两个平面 公共点. 位置关系 相交平面:两个平面不 . 唯一性定理: (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.三、异面直线 1.异面直线 过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线. 2.异面直线所成的角 过空间任一点 O 分别作异面直线a与 b 的平行线a' 与b' ,那么直线a' 与b' 所成的 叫作异面直线 π (0， ] a与 b 所成的角,其范围是 2 . 四、直线与直线平行 基本事实4:平行于同一条直线的两条直线 . 等角定理:空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 . 1.证明线共面或点共面的常用方法 (1)直接法:证明直线平行或相交,从而证明线共面. (2)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. (3)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合. 2.证明点共线问题的常用方法 (1)基本性质法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本性质证明这些点都在这两个 平面的交线上. (2)纳入直线法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上. 一、空间中位置关系的判断 空间中点、线、面位置关系的判断,常常需要进行文字语言、图形语言、符号语言的转换和交替使用, 特别要注意“构造法”的运用,通过构造长方体等模型,化抽象为直观,快速判断. 二、异面直线的判定方法 (1)定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾, 从而否定假设,肯定两条直线异面. 求异面直线所成角的步骤 一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角.二证:证明所作的角是异面直线所成的角.三求:解三角 形,求出所作的角. 常用平移法来作异面直线所成的角:①利用图中已有的平行线平移;②利用特殊点(线段的端点或中点)作 平行线平移;③补形平移.由于异面直线所成的角α的取值范围是0°<α≤90°,故若所作的角为钝角,则其补角为 异面直线所成的角. 确定截面的主要依据:(1)平面的四个公理及推论;(2)直线和平面平行的判定和性质;(3)两个平面平行的性 质;(4)球的截面的性质. 考点一、基本事实的应用 1．如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不 正确的是（ ）A．M，N，P，Q四点共面 B． C． D．四边形MNPQ为梯形 2．如图,已知空间四边形 ABCD , E , F分别是 AB , AD 的中点, G , H 分别是 BC , CD 上的点,且 1 1 CG= BCCH= DC 3 3 , .求证: (1) E , F , G , H 四点共面; FH EGAC (2)直线 , , 共点. 3．如图所示,已知在正方体 ABCD−A 1 B 1 C 1 D 1中, E , F分别是 AB , AA 1的中点.求证: D (1) E , C , 1, F四点共面; CE D F DA (2) , 1 , 三线共点.1．（2023届吉林省适应性测试数学试题）在长方体 中，直线 与平面 的交点为 为线段 的中点，则下列结论错误的是（ ） A． 三点共线 B． 四点异不共面 C． 四点共面 D． 四点共面 2．在正方体中， 、 、 、 分别是该点所在棱的中点，则下列图形中 、 、 、 四点共面的是 （ ） A． B． C． D． 3．（2023年湖北省阶段性测试数学试题）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中 点， 分别在BC，CD上，且 则下面几个说法中正确的个数是（ ） ①E，F，G，H四点共面；② ③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3考点二、空间位置关系的判断 1．（2023年河南名校联考模拟数学试题）已知空间三条直线 l ,m,n.若 l 与m垂直, l 与n垂直,则（ ） A．m与n异面 B．m与n相交 C．m与n平行 D．以上均有可能 2．如图,两个正方形 ABCD , ADEF 不在同一个平面内,点P , Q 分别为线段 EF , CD 的中点,则直线 FQ 与 PB 的位置关系是（ ） A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定 3．已知平面 ，直线 、 ，若 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷））已知m，n表示两条不同直线， 表 示平面，下列说法正确的是（ ） A．若 则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 1．（2023年广东省模拟数学试题）已知a，b为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面，则 的一 个充分条件是（ ） A． ， B． ， C． ， 且 D． ， ，2．若直线 l 1和 l 2是异面直线, l 1在平面α 内, l 2在平面 β 内, l 是平面α与平面 β 的交线,则下列结论正确的 是（ ）. l l l A. 与 1, 2都不相交 l l l B. 与 1, 2都相交 l l l C. 至多与 1, 2中的一条相交 l l l D. 至少与 1, 2中的一条相交 3．若a, b 是异面直线, b ,c是异面直线,则（ ） A． a//c B．a,c是异面直线 C．a,c相交 D．a,c平行或相交或异面 4．（2023年内蒙古自治区模拟数学试题）已知直线m、n，平面、，给出下列命题： ①若m，n，且mn，则 ②若m//，n，则m//n ③若m，n//，且m//n，则 ④若m，n//，且mn，则 其中正确的命題是（ ） A．①③ B．①② C．①④ D．③④考点三、异面直线所成的角 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体 中，P为 的中点，则直线 与 所成的角为（ ） A． B． C． D． 2．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成的角均为 ，则（ ） A． B．AB与平面 所成的角为 C． D． 与平面 所成的角为 3．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的 圆锥为直角圆锥.如图，若 都是直角圆锥 底面圆的直径，且 ，则异面直线 与 所 成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 1．在正方体 中， 是正方形 的中心，则直线 与直线 所成角大小为 （ ） A．30° B．45° C．60° D．90°2．（2023年浙江省模拟数学试题）在正方体 中，E是 的中点，则异面直线DE与AC 所成角的余弦值是（ ） 1 A．0 B． C． D． 2 3．已知直三棱柱 的所有棱长都相等， 为 的中点，则 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 考点四、空间几何体的截面问题 1．（2023年贵州模拟数学试题）在正三棱柱 ABC−A 1 B 1 C 1中, AB=3 , AA 1 =√6 , D , E 分别在 AB , BC C 上,且 BD=BE=1 ,则过 D , E , 1三点的平面截此棱柱所得截面的面积为（ ） A．4 B．2√6 C．6 D．2√10 2．已知正方体ABCDABCD 的棱长为4，E，F分别是棱AA ，BC的中点，则平面DEF截该正方体所 1 1 1 1 1 1 得的截面图形周长为（ ） 2 139 525 A．6 B．10 C． D． 2 132 5 3 3．（2023年普通高等学校招生全国统一考试·押题卷数学试题）如图，在正方体ABCDABCD 中，E， 1 1 1 1 F分别为棱BC，CC 的中点，过点A，E，F作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、 1 下两部分几何体的体积比为（ ）15 17 19 A．2 B． C． D． 7 7 7 1．如图，在三棱柱 中，过 的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成 体积相等的两部分，则 （ ） A． B． C． D． 2．在正方体ABCDABCD 中，棱长为3，E为棱BB 上靠近B 的三等分点，则平面AED 截正方体 1 1 1 1 1 1 1 ABCDABCD 的截面面积为（ ） 1 1 1 1 A．2 11 B．4 11 C．2 22 D．4 22 3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））已知正方体的棱长为1，每条棱所 在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A． B． C． D．【基础过关】 1．（2023年贵州省文化水平测试数学试题）下列说法正确的是（ ） A．三个点可以确定一个平面 B．两条平行直线一定能确定一个平面 C．两条直线没有公共点则一定平行 D．若直线a不在平面内，则a与无交点 2．下列命题中正确的命题为 . ①若 在平面 外，它的三条边所在的直线分别交 于 ，则 三点共线； ②若三条直线 互相平行且分别交直线 于 三点，则这四条直线共面； ③若直线 异面， 异面，则 异面； ④若 ，则 . 3．（2023年湖南省模拟数学试题）下列命题正确的为（ ） ①若 在平面 外，它的三条边所在的直线分别交 于P、Q，R，则P，Q，R三点共线； ②若三条直线a，b、c互相平行且分别交直线 于A、B、C三点，则这四条直线共面； ③已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面； ④已知a，b，c为三条直线，若 ， ，则 . A．①③ B．②③ C．②④ D．①② 4．已知,是两个不同的平面，直线l，且，那么“l//”是“l ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））在正方体ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 中，E为棱 CC 的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（ ） 1 2 3 7 A． B． C． 5 D． 2 2 2 2 6．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知直三棱柱CC 中， 1 1 1 C120，2，CCC 1 1，则异面直线 1 与C 1 所成角的余弦值为（ ） 3 15 10 3 A． B． C． D． 2 5 5 37．（2023年江苏省模拟数学试题）正方体 的棱长为1，当 ， ， 分别是 ， ， 的中点时，平面 截正方体所截面的周长为 . 8．（2023届云南省教学质量监测数学试题）如下图所示，在正方体ABCDABCD 中，如果点E是AA 1 1 1 1 1 的中点，那么过点D 、B、E的截面图形为（ ） 1 A．三角形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 9．如图，在正四棱柱ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 中，AA 1 2AD2，点E为棱BB 1 的中点，过A，E，C 1 三点的平 面截正四棱柱ABCDABCD 所得的截面面积为（ ） 1 1 1 1 A．2 B．2 2 C．2 3 D． 3 10．正方体ABCDABCD 的棱长为2，E是棱DD 的中点，则平面ACE截该正方体所得的截面面积为 1 1 1 1 1 1 （ ）A．5 B．2 5 C．4 6 D．2 6 11．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））如图，点N 为正方形ABCD的中心，ECD 为正三角形，平面ECD平面ABCD,M 是线段ED的中点，则（ ） A．BM EN，且直线BM,EN 是相交直线 B．BM EN ，且直线BM,EN 是相交直线 C．BM EN，且直线BM,EN 是异面直线 D．BM EN ，且直线BM,EN 是异面直线 【能力提升】 1．（2023年河北省模拟数学试题）一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为 PA，PD，PD，PC，PC的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论： 2 1 4 4 3 ①直线AF 与直线BQ是异面直线；②直线BE与直线MN是异面直线； ③直线BQ与直线MN共面；④直线BE与直线AF 是异面直线. 其中正确结论的个数为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知a、b表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是（ ） r r ①若a//b，b，则a//； ②若ab，a，则b//； r r ③若a//b，a，则b； ④若a，b//，则ab． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 3．如图正方体ABCDABCD ，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC 上的动点，过A､P､Q的平面截该 1 1 1 1 1   正方体所得的截面记为 .若CQCC ，则下列结论错误的是（ ）  1  1 1 A．当0, 时， 为四边形 B．当 时， 为等腰梯形  2  2  3  6 C．当 ,1时， 为六边形 D．当 时， 的面积为 4   1  2 4．在长方体ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 中，点E，F 分别是棱A 1 D 1 ，A 1 A的中点，点O为对角线AC，BD的交点， 若平面EOF 平面ABCDl，lABG，且AGkGB，则实数k（ ）A． 1 B． 1 C．1 D． 2 4 3 2 3 5．如图，在边长为 的正方体 中， 、 分别为棱 、 的中点，则平面 截该 正方体所得截面的面积为 . 6．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）在正方体 中，E，F分别为 的中点， 则（ ） A．平面 平面 B．平面 平面 C．平面 平面 D．平面 平面 7．如图，正方体ABCDABCD 的棱长为4，点M是棱AB的中点，点P是底面ABCD内的动点，且P 1 1 1 1 到平面ADDA的距离等于线段PM的长度，则线段BP长度的最小值为 ． 1 1 1 8．如图所示，在棱长为 的正方体 中， 、 分别是 、 的中点，过直线 的 平面 平面 ，则平面 截该正方体所得截面的面积为（ ）.A． B． C． D． 9．已知长方体 中 ， ，M为 的中点，N为 的中点，过 的平 面 与DM， 都平行，则平面 截长方体所得截面的面积为（ ） A． B． C． D． 10．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜 边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最大值为60°. 其中正确的是 .（填写所有正确结论的编号） 【真题感知】 1．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 为等腰直角三角形，AB为斜边， 为等边三角形，若二面角 为 ，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ） A． B． C． D． 2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）在三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形， ，则该棱锥的体积为（ ） A．1 B． C．2 D．3 3．（2023年新高考天津数学高考真题）在三棱锥 中，线段 上的点 满足 ，线段 上的点 满足 ，则三棱锥 和三棱锥 的体积之比为（ ） A． B． C． D． 4．（2023年北京高考数学真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可 以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形， 两个面是全等的等腰三角形．若 ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平 面与平面 的夹角的正切值均为 ，则该五面体的所有棱长之和为（ ） A． B． C． D．