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专题 2.5 幂函数与指、对数函数【九大题型】
【新高考专用】
1、幂函数与指、对数函数
幂函数、指数函数与对数函数是高中三类常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是
高考常考的热点内容.从近几年的高考情况来看，对幂函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函
数的性质为依托，结合指、对数的运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，
包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.在复习过程中要掌握相关知识，能对常见的指数型函数、对数
型函数进行灵活处理.
【知识点1 幂函数及其解题策略】
1．幂函数的解析式
幂函数的形式是 ( ∈R)，其中只有一个参数 ，因此只需一个条件即可确定其解析式.2．幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+ )上，幂
函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
3．比较幂值的大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各
个幂函数的图象和性质是解题的关键.
【知识点2 指数、对数运算的解题策略】
1．指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须
同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
2．对数运算的常用技巧
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，
然后用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数
的积、商、幂再运算.
(3)指对互化： (a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应
注意互化.
【知识点3 指数函数与对数函数的常见问题及解题思路】
1．指数函数的常见问题及解题思路
(1)比较指数式的大小
比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
(2)指数方程(不等式)的求解思路
指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
(3)指数型函数的解题策略
涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、
单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
2．对数函数的常见问题及解题思路
(1)对数函数图象的识别及应用
①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、
最低点等)排除不符合要求的选项.
②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
(2)对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问
题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与 1的大小关系；三是复合函数的构成，即
它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【题型1 指数幂与对数式的化简、求值】
【例1】（2024·青海·模拟预测）若a=log 5，5b=6，则ab−log 2=（ ）
3 3
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【解题思路】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用.
【解答过程】由5b=6 ⇒ b=log 6，
5
log 6 6
所以ab−log 2 =log 5⋅log 6−log 2 =log 5⋅ 3 −log 2 =log 6−log 2 =log =log 3=1
3 3 5 3 3 log 5 3 3 3 32 3
3
故选：A.
【变式1-1】（2024·河南·三模）若a≥0,b∈R，则化简2 log 2 3+(√a) 2+√b2的结果是（ ）
A．3+a+b B．3+a+|b|
C．2+a+b D．2+a+|b|
【解题思路】根据指数运算法则和对数运算法则化简求值即可.
【解答过程】由2log
2
3=3，(√a) 2=a，√b2=|b|可知，
2 log 2 3+(√a) 2+√b2=3+a+|b|.
故选：B.
【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）设a，b，c都是正数，且4a=6b=9c=t，那么（ ）．
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2
A． + = B． + = C． + = D． + =
a b c b c a a b c a c b
【解题思路】将指数式化为对数式，根据对数换底公式、对数运算法则逐项验证即可．
【解答过程】依题意设4a=6b=9c=t，则a=log t，b=log t，c=log t，
4 6 9
1 1 1 1 1 1
所以 = =log 4, = =log 6, = =log 9，
a log t t b log t t c log t t
4 6 9
1 1 1 1 1 2
则 + =log 4+log 6=log 24≠ =log 9， + =log 24≠ =2log 9=log 81故A，C错误；
a b t t t c t a b t c t t1 1 1
则 + =log 6+log 9=log 54≠ =log 4，故B错误；
b c t t t a t
1 1 2
则 + =log 4+log 9=log 36=2log 6= ，故D正确.
a c t t t t b
故选：D.
【变式1-3】（2024·辽宁丹东·一模）若2a=3，3b=5，5c=4，则log abc=（ ）
4
1 √2
A．−2 B． C． D．1
2 2
【解题思路】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解.
【解答过程】由2a=3，3b=5，5c=4，可得a=log 3,b=log 5,c=log 4，
2 3 5
lg3 lg5 lg4 1
所以abc=log 3×log 5×log 4= × × =2，则log abc=log 2= .
2 3 5 lg2 lg3 lg5 4 4 2
故选：B.
【题型2 指对幂函数的定义与解析式】
【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（ ）
A．y=log (5+x)（a>0且a≠1） B．y=log x
a (√3−1)
C．y=log (−x) D．y=log √3（x>0且x≠1）
3 x
【解题思路】利用对数函数的定义求解．
【解答过程】根据对数函数的定义f(x)=log x(a>0且a≠1),
a
分析A,B,C,D函数形式，
函数y=log x为对数函数.
(√3−1)
故选：B.
【变式2-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数f (x)的图象过点(4,81)，则f (x)的解析式为
（ ）
A．f (x)=x3 B．f (x)=3x
(1) x 1
C．f (x)=
2
D． f (x)=x3
【解题思路】设f (x)=ax，（a>0且a≠1），代入点(4,81)运算求解即可.
【解答过程】设f (x)=ax，（a>0且a≠1），
因为函数f (x)的图象过点(4,81)，则f (4)=a4=81，解得a=3，所以f (x)=3x .
故选：B.
【变式2-2】（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数f (x)=(m2−m−1)x2m−3在(0,+∞)上单调递增，则实
数m的值为（ ）
A．2 B．1 C．−1 D．−2
【解题思路】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果.
【解答过程】因为幂函数f (x)=(m2−m−1)x2m−3在(0,+∞)上是增函数，
所以¿，解得m=2.
故选：A.
【变式2-3】（2024高二下·安徽·学业考试）若函数y=(a2−5a+7)ax+4−2a是指数函数，则有（ ）
A．a=2 B．a=3
C．a=2或a=3 D．a>2，且a≠3
【解题思路】根据指数函数定义求参.
【解答过程】因为y=(a2−5a+7)ax+4−2a是指数函数，
所以a2−5a+7=1，a2−5a+6=0，(a−2)(a−3)=0，且4−2a=0
所以a=2.
故选：A.
【题型3 指对幂函数的定义域与值域问题】
【例3】（2024·四川成都·二模）已知函数f (x)=2ax2−x+1的值域为M．若(1,+∞)⊆M，则实数a的取值范
围是（ ）
( 1] [ 1] ( 1] [1 ) [1 )
A． −∞, B． 0, C． −∞,− ∪ ,+∞ D． ,+∞
4 4 4 4 4
【解题思路】对实数a分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.
【解答过程】当a=0时，f (x)=2−x+1∈(0,+∞)，符合题意；
当a≠0时，因为函数f (x)=2ax2−x+1的值域为M满足(1,+∞)⊆M，
由指数函数的单调性可知，即二次函数y=ax2−x+1的最小值小于或等于零；4a−1 1
若a>0时，依题意有y=ax2−x+1的最小值 ≤0，即00，得x<1，则f(x)的定义域为(−∞,1)，值域为R，故A,B均正确；
f(−1)+f(−4) =lg2+lg5=lg10=1，故C正确；
因为f (x2)=lg(1−x2)，所以y=lgu，外层函数为增函数，
u=1−x2，令1−x2>0，所以函数定义域为(−1,1)，
内层函数u=1−x2，在(−1,0)上单调递增，(0,1)上单调递减，
所以y=f (x2)的单调递增区间为(−1,0)不是(0,1)，故D错误．
故选：D.
( 1)
【变式3-2】（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数y=f (x)的图象过点 4, ，下列说法中正确
2
的是（ ）
A．f (x)是奇函数 B．f (x)的定义域是[0,+∞)
C．f (x)的值域是[0,+∞) D．f (x)在定义域上单调递减
【解题思路】由条件求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质判断即可.
( 1)
【解答过程】∵幂函数y=f (x)的图象过点 4, ，设f (x)=xα，
2
1 1
∴4α= ，即22α=2−1，得2α=−1,α=− ，
2 2
1
− 1
∴f (x)=x 2= ，其定义域为(0,+∞)，故B错误；
√x∵定义域关于原点不对称，∴f (x)为非奇非偶函数，故A错误；
1
∵定义域为(0,+∞)，f (x)= >0，∴f (x)的值域是(0,+∞)，故C错误；
√x
1
∵α=− <0，∴f (x)在定义域(0,+∞)上单调递减，故D正确.
2
故选：D.
【变式3-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知a>0且a≠1，若函数f(x)=¿的值域为R，则a的取值范围是
（ ）
( 1] [1 )
A． 0, B． ,1 C．(1,2] D．[2,+∞)
2 2
【解题思路】利用对数函数和指数函数的单调性，对a进行分类讨论，可得答案.
【解答过程】∵ f(x)=¿的值域为R，
当a>1时，
则x≤a，f(x)=ax−a为增函数，f(x)≤f(a)=1，
而x>a时，f(x)=log (x+a)+1为增函数，
a
此时，f(x)>f(a)=log 2a+1=log 2+2>2，不符题意；
a a
当0a时，f(x)=log (x+a)+1为减函数，
a
此时，f(x)1时，|x|− >0，lnx2>0，所以f (x)>0，当00，
|x| |x|
故排除B，C.
故选:D.
【变式4-2】（2024·四川南充·二模）已知函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可能是（ ）
1 1 1
A．
y=x2
B．
y=x
−
2
C．y=x3 D．
y=x3
【解题思路】根据幂函数的性质一一判断即可.
1
【解答过程】对于A：函数
y=x2=√x
的定义域为[0,+∞)，显然不符合题意，故A错误；
1
− 1
对于B：函数y=x 2= 的定义域为(0,+∞)，显然不符合题意，故B错误；
√x
对于C：函数y=x3的定义域为R，又y=x3为奇函数，
但是y=x3在(0,+∞)上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误；
1 1
对于D： y=x3=√3 x 定义域为R，又 y=x3 为奇函数，
1
且 y=x3在(0,+∞)上函数是上凸递增，故D正确.
故选：D.
【变式4-3】（2024·陕西·模拟预测）已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）2 x
A．f (x)=ex−e−xB．f (x)=1− C．f (x)=x√|x| D．f (x)=
ex+1 ln(x2+2)
【解题思路】结合指数函数的图象与性质即可判断AB选项错误，对C代入x=2判断C错误，则可得到D
正确.
【解答过程】根据函数 f(x) 的图象， 知 f(1)≈1， 而对A选项f (1)=e−e−1>2排除A；
2 2
对B选项f (x)=1− ，因为ex+1>1，则 ∈(0,2)，
ex+1 ex+1
2
则f (x)=1− ∈(−1,1)，但图象中函数值可以大于 1 ， 排除B；
ex+1
根据C选项的解析式， f(2)=2√2≈2.8， 而根据函数 f(x) 的图象， 知 f(2)≈1， 排除 C.
故选：D.
【题型5 指对幂函数的单调性问题】
【例5】（2024·辽宁·一模）若函数f (x)=3−2x2+ax在区间(1,4)内单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,4] B．[4,16] C．(16,+∞) D．[16,+∞)
【解题思路】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.
【解答过程】设f (u)=3u，u=−2x2+ax，则f (u)=3u在(−∞,+∞)上单调递增.
因为f
(x)=3−2x2+ax在区间(1,4)内单调递减，所以函数u=−2x2+ax在区间(1,4)内单调递减，
a
结合二次函数的图象和性质，可得： ≤1，解得a≤4.
4
故选：A.
【变式5-1】（2024·山西晋中·三模）下列函数中既是奇函数，又在(0,+∞)上单调递减的是（ ）
A．f (x)=2|x| B．f (x)=x3
1
C．f (x)= −x D．f (x)=¿
x
【解题思路】根据奇函数和单调性的定义，结合基本初等函数的图象逐项判断.
【解答过程】对于A：函数f (x)=2|x|的定义域为R，又f (−x)=2|−x|=f (x)，所以f (x)是偶函数，故A错误；
对于B：由幂函数f (x)=x3的图象可知，f (x)=x3在(0,+∞)上单调递增，故B错误；
1
对于C：函数f (x)= −x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
x
1
又f (−x)= −(−x)=−f (x)，所以f (x)是奇函数，
−x
1
又幂函数y= ,y=−x都在(0,+∞)上单调递减，
x
1
所以函数f (x)= −x在(0,+∞)上单调递减，故C正确；
x
对于D：因为对数函数y=lnx在(0,+∞)上单调递增，
所以函数f (x)=¿在(0,+∞)上单调递增，故D错误.
故选：C.
【变式5-2】（2024·江苏无锡·模拟预测）在下列函数中，是奇函数且在(0,+∞)上是增函数的是（ ）
1 1 2
A．
y=x2
B．
y=x3
C．
y=x3
D．y=x−1
【解题思路】运用幂函数奇偶性和单调性可解
【解答过程】根据幂函数性质知道，
1
y=x2定义域为[0,+∞)，(0,+∞)上单调递增，非奇非偶函数，故A错误；
1
y=x3奇函数且在(0,+∞)单调递增，故B正确；
2
y=x3为偶函数，且在(0,+∞)单调递增，故C错误；
1
y=x−1= 为奇函数，且在(0,+∞)单调递减，故D错误.
x
故选：B．
【变式5-3】（2024·海南·模拟预测）已知a>0且a≠1，若函数f (x)=ax与g(x)=log (x2+4ax+7)在
2
[−1,+∞)上的单调性相同，则a的取值范围是（ ）
( 1] [1 )
A． 0, B． ,1 C．(1,2) D．(1,+∞)
2 2
【解题思路】利用指数函数、对数函数及复合函数的单调性计算即可.
【解答过程】由题意知y=x2+4ax+7在[−1,+∞)上只能是单调递增，所以g(x)在[−1,+∞)上单调递增，所以¿
1
得 ≤a<2.
2
又f (x)=ax单调递增，所以a>1.
综上得1c>b B．a>b>c
C．b>a>c D．c>b>a
【解题思路】借助指数函数与对数函数的单调性借助中间量比较即可得.
【解答过程】a=0.23<0.20=1，b=30.2>30=1，c=log 31>a>0>c，故b>a>c.
故选：C.
【变式6-1】（2024·四川眉山·一模）若a=log 91.1，b=log 0.2，c=40.40，则（ ）
3 0.5
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
【解题思路】结合指数函数和对数的运算性质易得a=2.2，b=log 5，c<2，进而分析比较22.2与5的大小，
2
进而比较211与55的大小，进而判断即可.
1
【解答过程】a=log
3
91.1=1.1⋅log
3
9=2.2， c=40.40<40.5=42=2 ，
1
b=log 0.2=log =log 5>log 4=2，
0.5 1 5 2 2
2
则a>c，b>c，下面比较a与b的大小，
即比较2.2=log 22.2 与log 5的大小，
2 2
即比较22.2与5的大小，
即比较211与55的大小，而211=2048<55=3125，
则aa>c.
故选：B.
【变式6-2】（2024·贵州遵义·模拟预测）设a=log 2026，b=log 2026，2024c=2025.则（ ）
2024 2023A．a>c>b B．a>b>c
C．b>c>a D．b>a>c
【解题思路】根据指对互化，结合对数函数f (x)=log x的单调性可比较a,c大小，根据对数函数
2024
g(x)=log x的单调性，结合对数的运算即可比较a,b的大小，从而得结论.
2026
【解答过程】因为2024c=2025，所以c=log 2025，
2024
又因为函数f (x)=log x在x∈(0,+∞)上递增，所以log 2025 ，即log 2026>log 2026，即b>a，
log 2023 log 2024 2023 2024
2026 2026
综上可得：b>a>c.
故选：D.
【变式6-3】（2024·陕西铜川·模拟预测）设a=2√2，b=log 3，c=√3，则（ ）
2
A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．a>c>b
【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小.
【解答过程】因为y=2x在R上单调递增，又√2>1，所以2√2>21=2，即a>2，
5
因为32>27，所以√332>√327，即 23>3 ，
因为y=log x在(0,+∞)上单调递增，
2
5 5
所以 log 23>log 3 ，所以 3 >log 2 3，
2 2
5
因为√3> ，所以2>√3>log 3，即2>c>b，
3 2
所以a>c>b．
故选：D．
【题型7 解不等式问题】
【例7】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=3x−2−32−x，则满足f (x)+f (8−3x)>0的x的取值范围是
（ ）
A．(−∞,4) B．(−∞,2) C．(2,+∞) D．(−2,2)
【解题思路】设g(x)=3x−3−x，即可判断g(x)为奇函数，又f (x)=g(x−2)，可得f (x)图象的对称中心为
(2,0)，则f (x)+f (4−x)=0，再判断f (x)的单调性，不等式f (x)+f (8−3x)>0，即f (8−3x)>f (4−x)，
结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可.【解答过程】设g(x)=3x−3−x，x∈R，则g(−x)=3−x−3x=−g(x)，所以g(x)为奇函数．
又f (x)=3x−2−32−x=3x−2−3−(x−2)=g(x−2)，
则f (x)的图象是由g(x)的图象向右平移2个单位长度得到的，
所以f (x)图象的对称中心为(2,0)，所以f (x)+f (4−x)=0．
因为y=3x在R上单调递增，y=3−x在R上单调递减，
所以g(x)在R上单调递增，则f (x)在R上单调递增，
因为f (x)+f (8−3x)>0=f (x)+f (4−x)，
所以f (8−3x)>f (4−x)，所以8−3x>4−x，解得x<2，
故满足f (x)+f (8−3x)>0的x的取值范围为(−∞,2)．
故选：B.
【变式7-1】（2024·广东肇庆·一模）已知定义在R上的函数g(x)=ex−e−x+f (x)，其中g(x)是奇函数且在
f(log x) 2
，解得02，则t的取值范围是（ ）( 1) (1 )
A．(−∞,−1)∪ 0, B．(−∞,−1)∪ ,1
9 9
( 1) ( 1)
C． −1, D． −∞,
9 9
【解题思路】分t≤0和t>0两种情况进行求解即可得答案.
【解答过程】当t≤0时，则f (t)=2−t>2，解得t<−1；
1 1
当t>0时，则f (t)=log t>2=log ，解得00,a≠1)互为反函数．
a
若f(x)=lnx的反函数为g(x)，则g(2)=（ ）
A．ln2 B．2e C．e2 D．2
【解题思路】根据题意，得到g(x)=ex，代入x=2，即可求解.
【解答过程】由函数f(x)=log x与g(x)=ax(a>0,a≠1)互为反函数，
a若f(x)=lnx的反函数为g(x)=ex，则g(2)=e2
.
故选：C.
【变式8-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知函数f(x)在定义域[1,3]上满足f (x)f (y)=f(x+ y)，
f(1)=2，函数f(x)的反函数为f−1(x)，则g(x)=f(x)+f−1(x)的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
【解题思路】根据反函数及指数函数的性质，可令f(x)=2x，进而有f−1(x)=log x，根据指对数的定义域
2
和单调性判断g(x)定义域和单调性，利用单调性求最小值.
【解答过程】由题意，令f(x)=2x∈[2,8]，满足[1,3]上f(x)f(y)=f(x+ y)且f(1)=2，
此时f−1(x)=log x且定义域为[2,8]，
2
所以g(x)=2x+log x定义域为[2,3]，且单调递增，
2
所以g(x) =g(2)=4+log 2=5.
min 2
故选：C.
【变式8-2】（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知函数f (x)=ax (a>0，且a≠1)的图象过点(2,4),g(x)是
(2+x)
f (x)的反函数，则函数g （ ）
2−x
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．既是偶函数又是减函数 D．既是偶函数又是增函数
(2+x)
【解题思路】首先代入点的坐标求出a，即可求出g(x)的解析式，从而求出g 的解析式，再根据奇
2−x
偶性的定义及对数型复合函数的单调性判断即可.
【解答过程】因为函数f (x)=ax (a>0，且a≠1)的图象过点(2,4)，所以a2=4，解得a=2（负值已舍去），
所以f (x)=2x，又g(x)是f (x)的反函数，所以g(x)=log x，
2
(2+x) (2+x) 2+x
则g =log ，令 >0，解得−20，得到单调性.
1 2 1 2 1 2
（3）根据单调性确定x∈(0,1]时f (x)的值域A=[3,+∞)，设t=log x,t∈[1,3]，换元得到二次函数，
2
计算g(x)最大值和最小值，根据值域的包含关系得到答案.
【解答过程】（1）由已知函数需满足2x+a≠0，当a≥0时，函数的定义域为R，
2x+1
函数f (x)= 为奇函数，所以f (−x)=−f (x)，
2x+a
2−x+1 2x+1
即 =− 在R上恒成立，即(a+1)(2x+1)=0，a=−1（舍），
2−x+a 2x+a
当a<0时，x≠log (−a)，函数的定义域为(−∞,log (−a))∪(log (−a),+∞)，
2 2 2
2x+1
又函数f (x)= 为奇函数，所以log (−a)=0,a=−1，
2x+a 2
2x+1
此时f (x)= ，函数定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
2x−1
2−x+1 2x+1
f (−x)= = =−f (x)，函数为奇函数，满足，
2−x−1 −2x+1
综上所述：a=−1；
（2）f (x)在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减，证明如下：
2x+1 2
f (x)= =1+ ，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
2x−1 2x−1
设∀x ,x ∈(0,+∞)，且x 0,2x 2−1>0,2x 2−2x 1>0，
1 2 1 2
所以f (x )>f (x )，所以f (x)在(0,+∞)上单调递减，
1 2同理可证，所以f (x)在(−∞,0)上单调递减；
所以f (x)在(0,+∞)，(−∞,0)上单调递减.
（3）函数f (x)在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减，
且当x∈(−∞,0)时，f (x)<0，当x∈(0,+∞)时，f (x)>0，
x ∈(0,1]时，f (x)≥f (1)=3，所以当x∈(0,1]时f (x)的值域A=[3,+∞)，
2
x x
又g(x)=log ⋅log +m=(log x−1)(log x−2)+m,x∈[2,8]，
22 24 2 2
设t=log x,t∈[1,3]，则y=(t−1)(t−2)+m=t2−3t+2+m，
2
3 1
当t= 时，取最小值为− +m，当x=3时，取最大值为2+m，
2 4
[ 1 ]
即g(x)在x∈[2,8]上的值域B= − +m,2+m ，
4
又对任意的x ∈[2,8]，总存在x ∈(0,1]，使得g(x )=f (x )成立，
1 2 1 2
1 13 [13 )
即B⊆A，所以− +m≥3，解得m≥ ，即m∈ ,+∞ .
4 4 4
【变式9-1】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数f (x)=log (9x+1)+kx(x∈R)是偶函数，其中k
9
为实数.
(1)求k的值；
(2)若函数g(x)=9f(x)⋅3x−2m⋅3x+1(0≤x≤2)，是否存在实数m，使得g(x)的最小值为0？若存在，求
出实数m的值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）根据偶函数性质得到恒等式，求参数值即可；
（2）由题设有g(x)=32x−2m⋅3x+2，应用换元法，令t=3x且t∈[1,9]，结合二次函数性质，讨论对称
轴与区间[1,9]的位置研究最小值，即可得参数值.
【解答过程】（1）因函数f (x)=log (9x+1)+kx（k∈R）是偶函数，
9
故f (−x)−f (x)=[log (9−x+1)−kx]−[log (9x+1)+kx]
9 9
9−x+1
=log −2kx=log 9−x−2kx=−(2k+1)x=0，
9 9x+1 9
1
因x∈R且不恒为0，故2k+1=0，得k=− .
21
（2）由（1），得f (x)=log (9x+1)− x=log (3x+3−x)，
9 2 9
则g(x)=9f(x)⋅3x−2m⋅3x+1=(3x+3−x)⋅3x−2m⋅3x+1=32x−2m⋅3x+2，
设t=3x，因0≤x≤2，则t∈[1,9]，ℎ(t)=t2−2mt+2，其对称轴为t=m，
83
①当m≥9时，ℎ(t)在区间[1,9]上单调递减，则ℎ(t)
min
= ℎ(9)=83−18m=0，解得m=
18
<9，不符题意，
舍去；
②当11，不符题意，舍
去.
故存在m=√2，使得g(x)的最小值为0.
[ 1]
【变式9-2】（24-25高三上·上海·期中）已知函数f (x)=log k⋅9x−(k−2)⋅3x+k+ .
3 3
(1)当k=0时，解不等式f (x)>0；
(2)若函数f (x)的最大值是−1，求k的值.
【解题思路】（1）根据复合型对数函数的单调性解不等式求解集；
1 1 1
（2）令t=k⋅32x−(k−2)⋅3x+k+ ，问题化为t=km2−(k−2)m+k+ 在m∈(0,+∞)上最大值为 ，
3 3 3
利用二次函数性质研究最值并列方程求参数.
[ 1] 1
【解答过程】（1）由题意f (x)=log 2⋅3x+ >0，则2⋅3x+ >1，可得3x>3−1，即x∈(−1,+∞)；
3 3 3
1
（2）令t=k⋅32x−(k−2)⋅3x+k+ ，而y=log t在定义域内单调性递增，
3 3
1
所以，f(x)最大值是−1，则只需t = ，令m=3x∈(0,+∞)，
max 3
1 1
所以t=km2−(k−2)m+k+ 在m∈(0,+∞)上最大值为 ，
3 3
k−2
根据二次函数性质有k<0，则函数t的图象开口向下，对称轴为m= >0，
2k
k−2 2 k−2 1 1 (k−2) 2
所以k×( ) −(k−2)× +k+ = ，则− +k=0，
2k 2k 3 3 4k
2
整理得3k2+4k−4=(3k−2)(k+2)=0，可得k=−2或k= （舍）.
3a−x
【变式9-3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知非常数函数f(x)=log 是定义域为(−2,2)的奇函
1 2+bx
9
数．
(1)求实数a,b的值；
(2)判断并证明函数f(x)的单调性；
1
(3)已知g(x)=m⋅4x−2x+2+3，且∀x ∈(1,2),∃x ∈[−1,1],f(x )−g(x )>− ，求m的取值范围．
1 2 1 2 2
【解题思路】（1）根据给定条件，利用奇函数的性质求出a,b.
（2）由（1）求出函数f(x)，结合对数函数单调性及单调函数的定义判断推理即可.
1
（3）根据给定条件，将不等式转化为[f(x )] >g(x )− ，再结合函数的单调性求出最值即可.
1 min 2 2
【解答过程】（1）函数f(x)为(−2,2)上的奇函数，则f(−x)+f(x)=0，且f(0)=0，
a+x a−x a2−x2
即log +log =0，整理得log =0，
1 2−bx 1 2+bx 1 4−b2x2
9 9 9
即a2−x2=4−b2x2，于是¿，解得a=±2，b=±1，
−2−x
当a=−2，b=−1时，f(x)=log ，此时x=0，函数f(x)无意义；
1 2−x
9
a−x
当a=−2，b=1时， =−1，函数f(x)无意义；
2+bx
a−x
当a=2，b=−1时， =1，函数f(x)为常数函数，不符合要求；
2+bx
2−x 2+x
当a=2，b=1时，f(x)=log =log ，定义域为(−2,2)，符合题意，
1 2+x 92−x
9
所以a=2，b=1.
2+x 4 4
（2）由（1）知，f(x)=log =log ( −1)，函数y= −1在(−2,2)上单调递增，
92−x 9 2−x 2−x
而函数y=log x在(0,+∞)上单调递增，所以函数f(x)在(−2,2)上单调递增，
9
4 4
∀x ,x ∈(−2,2),x 2−x >2−x >0，1< < ，
1 2 1 2 1 2 2−x 2−x
1 2
4 4
于是0< −1< −1，而函数y=log x在(0,+∞)上单调递增，
2−x 2−x 9
1 2
4 4
因此log ( −1)f(1)= ，
2
1 1 1 1
由∀x ∈(1,2)，∃x ∈[−1,1]，f(x )−g(x )>− ⇔f(x )>g(x )− ，得 ≥g(x )− ，
1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2
4 2
因此∃x∈[−1,1]，g(x)≤1⇔m⋅4x−2x+2+3≤1⇔m≤ − ，
2x 22x
1 1 1 4 2 1 2
当x∈[−1,1]时， ≤2x≤2， ≤ ≤2， − =−2( −1) +2≤2，
2 2 2x 2x 22x 2x
当且仅当x=0时取等号，于是m≤2，
所以m的取值范围是m≤2.
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（ ）
1
A．f(x)=−lnx B．f(x)=
2x
1
C．f(x)=− D．f(x)=3|x−1|
x
【解题思路】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【解答过程】对于A，因为y=lnx在(0,+∞)上单调递增，y=−x在(0,+∞)上单调递减，
所以f (x)=−lnx在(0,+∞)上单调递减，故A错误；
1
对于B，因为y=2x在(0,+∞)上单调递增，y= 在(0,+∞)上单调递减，
x
1
所以f (x)= 在(0,+∞)上单调递减，故B错误；
2x
1
对于C，因为y= 在(0,+∞)上单调递减，y=−x在(0,+∞)上单调递减，
x
1
所以f (x)=− 在(0,+∞)上单调递增，故C正确；
x
|1 | 1
对于D，因为f
(1)
=32
−1
=32=√3，f (1)=3|1−1|=30=1,f (2)=3|2−1|=3，
2
显然f (x)=3|x−1|在(0,+∞)上不单调，D错误.
故选：C.2．（2023·全国·高考真题）已知函数f (x)=e−(x−1)2．记a=f
(√2)
,b=f
(√3)
,c=f
(√6)
，则（ ）
2 2 2
A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
【解题思路】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【解答过程】令g(x)=−(x−1) 2，则g(x)开口向下，对称轴为x=1，
因为 √6 −1− ( 1− √3) = √6+√3 − 4 ，而(√6+√3) 2 −42=9+6√2−16=6√2−7>0，
2 2 2 2
√6 ( √3) √6+√3 4 √6 √3
所以 −1− 1− = − >0，即 −1>1−
2 2 2 2 2 2
√6 √3
由二次函数性质知g( )g( )，
2 2 2 2
√2 √6 √3
综上，g( )c>a.
故选：A.
xex
3．（2023·全国·高考真题）已知f(x)= 是偶函数，则a=（ ）
eax−1
A．−2 B．−1 C．1 D．2
【解题思路】根据偶函数的定义运算求解.
xex xex (−x)e−x x[ex−e(a−1)x]
【解答过程】因为f (x)= 为偶函数，则f (x)−f (−x)= − = =0，
eax−1 eax−1 e−ax−1 eax−1
又因为x不恒为0，可得ex−e(a−1)x=0，即ex=e(a−1)x，
则x=(a−1)x，即1=a−1，解得a=2.
故选：D.
4．（2023·天津·高考真题）设a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5，则a,b,c的大小关系为（ ）A．ac=0.60.5.
所以b>a>c.
故选：D.
5．（2023·全国·高考真题）设函数f (x)=2x(x−a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−2] B．[−2,0)
C．(0,2] D．[2,+∞)
【解题思路】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【解答过程】函数y=2x在R上单调递增，而函数f (x)=2x(x−a)在区间(0,1)上单调递减，
a 2 a2 a
则有函数y=x(x−a)=(x− ) − 在区间(0,1)上单调递减，因此 ≥1，解得a≥2，
2 4 2
所以a的取值范围是[2,+∞).
故选：D.
6．（2024·北京·高考真题）已知(x ,y )，(x ,y )是函数y=2x的图象上两个不同的点，则（ ）
1 1 2 2
y + y x +x y + y x +x
A．log 1 2< 1 2 B．log 1 2> 1 2
2 2 2 2 2 2
y + y y + y
C．log 1 2x +x
2 2 1 2 2 2 1 2
【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【解答过程】由题意不妨设x √2x 1·2x 2=2 x 1 + 2 x 2 ，即 y 1 + y 2>2 x 1 + 2 x 2 >0，
2 2
y + y x 1 +x 2 x +x
根据函数y=log x是增函数，所以log 1 2>log 2 2 = 1 2，故B正确，A错误；
2 2 2 2 2
对于选项D：例如x =0,x =1，则y =1,y =2，
1 2 1 2
y + y 3 y + y
可得log 1 2=log ∈(0,1)，即log 1 2<1=x +x ，故D错误；
2 2 22 2 2 1 21 1
对于选项C：例如x =−1,x =−2，则y = ,y = ，
1 2 1 2 2 4
y + y 3 y + y
可得log 1 2=log =log 3−3∈(−2,−1)，即log 1 2>−3=x +x ，故C错误，
2 2 28 2 2 2 1 2
故选：B.
S−1
7．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 d= 是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河
lnN
流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
S没有变化，生物个体总数由N 变为N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）
1 2
A．3N =2N B．2N =3N
2 1 2 1
C．N2=N3 D．N3=N2
2 1 2 1
S−1 S−1
【解题思路】根据题意分析可得
=2.1, =3.15，消去S即可求解.
lnN lnN
1 2
S−1 S−1
【解答过程】由题意得 =2.1, =3.15，则2.1lnN =3.15lnN ，即2lnN =3lnN ，所以
lnN lnN 1 2 1 2
1 2
N3=N2
.
2 1
故选：D.
8．（2024·天津·高考真题）设a=4.2−0.2，b=4.20.2，c=log 0.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
4.2
A．a0,ln(x+b)<0，
此时f(x)<0，不合题意；
若−b<−a<1−b，当x∈(−a,1−b)时，可知x+a>0,ln(x+b)<0，
此时f(x)<0，不合题意；
若−a=1−b，当x∈(−b,1−b)时，可知x+a<0,ln(x+b)<0，此时f(x)>0；
当x∈[1−b,+∞)时，可知x+a≥0,ln(x+b)≥0，此时f(x)≥0；
可知若−a=1−b，符合题意；
若−a>1−b，当x∈(1−b,−a)时，可知x+a<0,ln(x+b)>0，
此时f(x)<0，不合题意；
综上所述：−a=1−b，即b=a+1，
则a2+b2=a2+(a+1) 2=2 ( a+ 1) 2 + 1 ≥ 1 ，当且仅当a=− 1 ,b= 1 时，等号成立，
2 2 2 2 2
1
所以a2+b2的最小值为 ；
2
解法二：由题意可知：f(x)的定义域为(−b,+∞)，
令x+a=0解得x=−a；令ln(x+b)=0解得x=1−b；
则当x∈(−b,1−b)时，ln(x+b)<0，故x+a≤0，所以1−b+a≤0；
x∈(1−b,+∞)时，ln(x+b)>0，故x+a≥0，所以1−b+a≥0；
故1−b+a=0， 则a2+b2=a2+(a+1) 2=2 ( a+ 1) 2 + 1 ≥ 1 ，
2 2 21 1
当且仅当a=− ,b= 时，等号成立，
2 2
1
所以a2+b2的最小值为 .
2
故选：C.
11．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数f(x)=¿在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,0] B．[−1,0] C．[−1,1] D．[0,+∞)
【解题思路】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【解答过程】因为f (x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)=ex+ln(x+1)单调递增，
则需满足¿，解得−1≤a≤0，
即a的范围是[−1,0].
故选：B.
12．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级
p
L =20×lg ，其中常数p (p >0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
p p 0 0
0
与声源的距离 声压级
声源
/m /dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽
10 50∼60
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p ,p ,p ，则（ ）．
1 2 3
A．p ≥p B．p >10p
1 2 2 3
C．p =100p D．p ≤100p
3 0 1 2
【解题思路】根据题意可知L ∈[60,90],L ∈[50,60],L =40，结合对数运算逐项分析判断.
p p p
1 2 3
【解答过程】由题意可知：L ∈[60,90],L ∈[50,60],L =40，
p p p
1 2 3
p p p
对于选项A：可得L −L =20×lg 1−20×lg 2=20×lg 1 ，
p 1 p 2 p p p
0 0 2p p
因为L ≥L ，则L −L =20×lg 1≥0，即lg 1≥0，
p 1 p 2 p 1 p 2 p p
2 2
p
所以 1≥1且p ,p >0，可得p ≥p ，故A正确；
p 1 2 1 2
2
p p p
对于选项B：可得L −L =20×lg 2−20×lg 3=20×lg 2 ，
p 2 p 3 p p p
0 0 3
p p 1
因为L −L =L −40≥10，则20×lg 2≥10，即lg 2≥ ，
p 2 p 3 p 2 p p 2
3 3
p
所以 2≥√10且p ,p >0，可得p ≥√10p ，
p 2 3 2 3
3
当且仅当L =50时，等号成立，故B错误；
p
2
p p
对于选项C：因为L =20×lg 3=40，即lg 3=2，
p 3 p p
0 0
p
可得 3=100，即p =100p ，故C正确；
p 3 0
0
p
对于选项D：由选项A可知：L −L =20×lg 1 ，
p 1 p 2 p
2
p
且L −L ≤90−50=40，则20×lg 1≤40，
p 1 p 2 p
2
p p
即lg 1≤2，可得 1≤100，且p ,p >0，所以p ≤100p ，故D正确；
p p 1 2 1 2
2 2
故选：ACD.
13．（2023·北京·高考真题）已知函数f(x)=4x+log x，则f
(1)
= 1 ．
2 2
1
【解题思路】根据给定条件，把x= 代入，利用指数、对数运算计算作答.
21
1 1
【解答过程】函数f(x)=4x+log x，所以f( )=42+log =2−1=1.
2 2 22
故答案为：1.
14．（2023·天津·高考真题）设a∈R,函数f (x)=ax2−2x−|x2−ax+1|,若f (x)恰有两个零点，则a的取
值范围为 (−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞) ．
【解题思路】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断a的取值范围．
【解答过程】（1）当x2−ax+1≥0时，f (x)=0⇔ (a−1)x2+(a−2)x−1=0，
即[(a−1)x−1](x+1)=0，
若a=1时，x=−1，此时x2−ax+1≥0成立；
1
若a≠1时，x= 或x=−1，
a−1
若方程有一根为x=−1，则1+a+1≥0，即a≥−2且a≠1；
1 ( 1 ) 2 1
若方程有一根为x= ，则 −a× +1≥0，解得：a≤2且a≠1；
a−1 a−1 a−1
1
若x= =−1时，a=0，此时1+a+1≥0成立．
a−1
（2）当x2−ax+1<0时，f (x)=0⇔ (a+1)x2−(a+2)x+1=0，
即[(a+1)x−1](x−1)=0，
若a=−1时，x=1，显然x2−ax+1<0不成立；
1
若a≠−1时，x=1或x= ，
a+1
若方程有一根为x=1，则1−a+1<0，即a>2；
1 ( 1 ) 2 1
若方程有一根为x= ，则 −a× +1<0，解得：a<−2；
a+1 a+1 a+1
1
若x= =1时，a=0，显然x2−ax+1<0不成立；
a+1
综上，
1 1
当a<−2时，零点为 ， ；
a+1 a−1
1
当−2≤a<0时，零点为 ，−1；
a−1
当a=0时，只有一个零点−1；1
当02时，零点为1,−1．
所以，当函数有两个零点时，a≠0且a≠1．
故答案为：(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)．
15．（2024·上海·高考真题）函数y=log x的定义域为 (0,+∞) .
2
【解题思路】由对数函数性质即可得.
【解答过程】由题意可得x>0，即y=log x的定义域为(0,+∞).
2
故答案为：(0,+∞).
1 1 5
16．（2024·全国·高考真题）已知a>1且 − =− ，则a= 64 ．
log a log 4 2
8 a
【解题思路】将log a,log 4利用换底公式转化成log a来表示即可求解.
8 a 2
1 1 3 1 5
【解答过程】由题 − = − log a=− ，整理得(log a) 2−5log a−6=0，
log a log 4 log a 2 2 2 2 2
8 a 2
⇒log a=−1或log a=6，又a>1，
2 2
所以log a=6=log 26 ，故a=26=64
2 2
故答案为：64.
