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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题1.5三角函数的应用—俯角仰角问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021•十堰一模）如图，某地修建高速公路，要从 地向 地修一条隧道（点 ， 在同一水平面
上）．为了测量 ， 两地之间的距离，一架直升飞机从 地出发，垂直上升900米到达 处，在 处观
察 地的俯角为 ，则 ， 两地之间的距离为
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【分析】由题意知 ， ， 米，由 可知 ，据
此计算可得．
【解析】由题意知 ， ， 米，
，
（米 ，
故选： ．
2．（2021•双阳区一模）某课外数学兴趣小组的同学进行关于测量楼房高度的综合实践活动．如图，他们
在距离楼房35米的 处测得楼顶的仰角为 ，则楼房 的高为A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【分析】根据三角函数的定义即可得到答案．
【解析】在 中， ， ， 米，
（米 ，
答：楼房 的高为 米．
故选： ．
3．（2021•鹿城区校级二模）小艺同学在数学实践活动中测量树的高度，如图，她站在 处看树顶端 的
仰角为 ，眼睛到地面的距离 为1.6米，点 到树的距离 为7米，则树的高 为 （已知
， ，
A．4.9米 B．5.8米 C．6.5米 D．7.2米
【分析】过 作 于 ，则 米， 米，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解析】过 作 于 ，
则 米， 米，
在 中， ，
（米 ，（米 ，
答：树的高 为6.5米，
故选： ．
4．（2021•海港区模拟）如图，要得到从点 观测点 的俯角，可以测量
A． B． C． D．
【分析】根据俯角的定义直接回答即可．
【解析】从点 观测点 的俯角即从点 观测点 的仰角，即 ．
故选： ．
5．（2021•宁波模拟）如图，天封塔是宁波港城的重要建筑物．小王在高台上的点 处测得塔底点 的俯
角为 ，塔顶点 的仰角为 ，已知塔高 ，则此时测量点 与塔的水平距离 为
A． B．C． D．
【分析】利用直角三角形的边角关系，用含有 的代数式表示 、 ，再根据 ，列方程求解
即可．
【解析】设 ，
在 中有， ，
在 中有， ，
又 ，
，
，
即 ，
故选： ．
6．（2021•济南）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人
机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为 的 处测得试验田右侧边界 处俯角为 ，无人
机垂直下降 至 处，又测得试验田左侧边界 处俯角为 ，则 ， 之间的距离为 （参考
数据： ， ， ， ，结果保留整数）
A． B． C． D．【分析】首先分析图形：根据题意得两个直角三角形 、 ，通过解这两个直角三角形求得 、
的长度，进而可解即可求出答案．
【解析】由题意得： ， ， ， ，
在 中，
，
，
在 中，
，
，
．
故选： ．
7．（2021•日照）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔 的高度，他
从古塔底部点 处前行 到达斜坡 的底部点 处，然后沿斜坡 前行 到达最佳测量点 处，
在点 处测得塔顶 的仰角为 ，已知斜坡的斜面坡度 ，且点 ， ， ， ， 在同一平面
内，小明同学测得古塔 的高度是
A． B． C． D．
【分析】过 作 于 ， 于 ，得到 ， ，设 ，， 根 据 勾 股 定 理 得 到 ， 求 得 ， ，
，于是得到结论．
【解析】过 作 于 ， 于 ，
， ，
斜坡的斜面坡度 ，
，
设 ， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
故选： ．
8．（2020•肥城市四模）如图，学校环保社成员想测量斜坡 旁一棵树 的高度，他们先在点 处测
得树顶 的仰角为 ，然后在坡顶 测得树顶 的仰角为 ，已知斜坡 的长度为 ， 的长为，则树 的高度是 ．
A．10 B．15 C． D．
【分析】先根据 ， 得出 ，故可得出 ，再由 可知
，由 可得出 ，故 ，所以 ，再由锐角三
角函数的定义即可得出结论．
【解析】在 中，
， ，
，
．
， ，
， ．
，
，
，
，
．
故选： ．
9．（2021•九龙坡区校级模拟）重庆实验外国语学校某数学兴趣小组，想测量华岩寺内七佛塔的高度，他
们在点 处测得七佛塔顶部 处的仰角为 ，再沿着坡度为 的斜坡 向上走了5.2米到达点 ，
此时测得七佛塔顶部 的仰角为 ，七佛塔 所在平台高度 为0.8米，则七佛塔 的高约为米．（参考数据： ， ，
A．20.8 B．21.6 C．23.2 D．24
【分析】根据题意可得， ， ， ，根据 ， ，
可得 ， ，设 ，垂足为 ，在 中， ，根据锐角三角函数即
可求出 的大约高度．
【解析】根据题意可知：
， ，
，
， 米，
米， 米，
设 ，垂足为 ，
在 中， ，
，
又 ，
，
，解得 （米 ，
答：碧津塔 的高约为21.6米．
故选： ．
10．2022年北京冬季奥运会日益临近，国家跳台滑雪中心建设已初具规模，国家跳台滑雪中心的赛道 线
剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的 形曲线契合，被形象地称为“雪如意”．“雪如意”的剖面示意
图如图：跳台由顶部的顶峰平台 、中部的大跳台腾空起点 、赛道 、底部的看台区 组成．为有
效进行工程施工监测，现在 处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计）， 赛道可近似视作坡度为
的一段坡面，通过 高程测量仪测得 点、 点的海拔高度差（即 是160米，从顶峰平台
点俯视 处的标志旗，俯角约为 ．由 处释放的遥控无人机竖直上升到与平台 水平位置 后，遥
感测得 之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则 赛道长度约为 米．（参考数据：
， ，
A．116.2 B．118.4 C．119.6 D．121.2
【分析】根据题意可得四边形 是矩形，再利用 的正切可得 的长度，根据坡度可得 的长
度，最后由勾股定理可得答案．
【解析】由题意可得：四边形 是矩形，
米，
中， ，
米，
米，
的坡度为 ，
， ，米．
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021•梅州模拟）如图，数学学习小组要测量一棵树 的高度，一名小组成员站在距离树10米的
点 处，测得树的顶部 的仰角为 ．已知测角仪的架高 米，则这棵树的高度约为 7.7 米．
（结果保留一位小数，参考数据： ， ，
【分析】在 中，求出 ，再利用矩形的性质得到 米，由此即可解决问题．
【解析】如图，由题意得，四边形 是矩形， 米，
在 中， 米， ，
，
（米 ．
（米 ．
答：这棵树的高度约为7.7米．
故答案为：7.7．
12．（2021•开福区校级二模）如图，某同学在楼房的 处测得荷塘的一端 处的俯角为 ，荷塘另一端
点 与点 ， 在同一直线上，已知楼房 米， 米，则荷塘的宽 为 米．【分析】根据已知条件转化为直角三角形 中的有关量，由锐角三角函数的定义可求出 ，根据
可得出答案．
【解析】由题意知， ， ， 米，
，
（米 ，
米，
（米 ．
答：荷塘的宽 为 米，
故答案为： ．
13．（2021•开江县模拟）我校兴趣小组同学为测量校外的一栋电梯高层 的楼高，从校前广场的 处测
得该座建筑物顶点 的仰角为 ，沿着 向上走到 米处的 点．再测得顶点 的仰角为 ，已知
的坡度： ， 、 、 、 在同一平面内，则高楼 的高度为 60 米 （参考数据；
， ，【分析】作 交 的延长线于 ，根据坡度的概念分别求出 、 ，根据正切的定义求出
．
【解析】作 交 的延长线于 ，
设 米，
的坡度： ，
米，
由勾股定理得， ，即 ，
解得， （负值舍去），
则 米， 米，
设 米，则 米，
米，
，
，
，
在 中， ，
则 ，
解得， ，
高楼 的高度为60米，
故答案为：60米．
14．（2021 春•沙河口区期末）如图，从一艘船 上测得海岸上高为 42 米的灯塔顶部 的仰角，求船离灯塔的水平距离 的长度是 7 1 米（参考数据： ， ，结果取整
数）．
【分析】由含 角的直角三角形的性质得 （米 ，再由勾股定理即可求解．
【解析】由题意得： ， ， 米，
（米 ，
（米 ，
故答案为：71．
15．（2021•百色）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到
点 处时，与平台中心 点的水平距离为15米，测得塔顶 点的仰角为 ，塔底 点的俯角为 ，则
电视塔的高度为 米．
【分析】由三角函数的定义求出 和 的长，即可得出答案．
【解析】在 中， 米， ，（米 ，
在 中， 米， ，
（米 ，
（米 ，
故答案为： ．
16．河的对岸有一电线杆 ，从点 测得电线杆顶端的仰角为 ，前进 ，到 处测得电线杆顶端
的仰角为 （如图），则电线杆的高度为 ．（结果用含有 、 ， 的代数式表示）
【分析】根据锐角三角函数列式计算即可．
【解析】在 中， ， ，
，
在 中， ，
，
，
．
故答案为： ．
17．（2020春•新泰市期中）如图，某建筑物的顶部有一块标识牌 ，小明在斜坡上 处测得标识牌顶
部 的仰角为 ，沿斜坡走下来，在地面 处测得标识牌底部 的仰角为 ，已知斜坡 的坡角为， 米．则标识牌 的高度是 米．
【分析】过点 作 于点 ， 于点 ，根据题意可得 ， ， ，
四边形 是矩形，再根据三角函数即可求得标识牌 的高度．
【解析】如图，过点 作 于点 ， 于点 ，
根据题意可知：
，
，
， ，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，，
，
（米 ．
所以标识牌 的高度是 米．
故答案为： ．
18．（2020•太和县模拟）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从 1号楼和2号楼的地面正中
间 点垂直起飞到高度为50米的 处，测得1号楼顶部 的俯角为 ，测得2号楼顶部 的俯角为
．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为 米（结果保留根号）．
【分析】过点 作 于 ，过点 作 于 ，可得四边形 ， 是矩形，在
中，根据三角函数求得 ，在 中，根据三角函数求得 ，再根据线段的和差关系
即可求解．
【解析】过点 作 于 ，过点 作 于 ，
则四边形 ， 是矩形，
， ，
为 的中点，
，
由已知得： ， ．
在 中， 米，
米，在 中， 米，
（米 ．
答：2号楼的高度为 米．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021•辽宁模拟）如图，甲乙两名同学在万达广场上观测商场墙上的大屏幕 ，点 是甲同学的眼
睛，测得屏幕下端 处的仰角为 ，然后他正对屏幕方向前进了6米到达 处，又测得该屏幕上端 处
的仰角为 ，继续向前行走到墙壁的下端，乙同学负责测量，测得 米，请你计算出该屏幕的高度
．（结果保留根号）
【分析】易得 ，利用 的正切值即可求得 长，进而可求得 长， 减去 长即为广告
屏幕上端与下端之间的距离．
【解析】在 中， ， ，
米，
在 中， 米，
，米，
（米 ．
答：该屏幕的高度 为 米．
20．（2021•雁塔区校级模拟）如图，大楼 高10米，远处有一雕像（含底座）．某人在楼顶 测得雕
像顶 点的仰角为 ，此人从楼底 向雕像水平方向前进2米到达点 ，在 处测得 点的仰角为 ．
已知雕像底座 的高是8米，求雕像 的高．（参考数据： ， ， ，
，计算结果精确到 ．
【分析】过点 作 于 ，根据矩形的性质和三角形函数值得出 ，进而解答即可．
【解析】如图，过点 作 于 ，设 ，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
，
，即 ，，
解得： ，
（米 ，
答：雕像 的高为12米．
21．（2021•宛城区二模）如图，为了测量河对岸古塔 的高度，在坡度 的斜坡底 处测得古塔
顶端 的仰角为 ，沿斜坡上行26米到达 处，测得古塔顶端 的仰角为 （已知 、 、 、 在
同一竖直平面内），求古塔 的高度．（结果精确到0.1米，参考数据： ， ，
，
【分析】过 作 于 ， 于 ，则 ， ，先由坡度的定义和勾股定理求
出 米， 米，再由锐角三角函数定义求出 ，设 米，则 米，
米， 米，然后由锐角三角函数求出 的值，即可解
决问题．
【解析】过 作 于 ， 于 ，如图所示：
则 ， ，
的坡度 ，
，
设 米，则 米，由勾股定理得： ，
解得： ，
米， 米，
， ，
，
，
设 米，则 米， 米， 米，
在 中， ，
，
，
解得： ，
（米 ，
答：古塔 的高度约为49.4米．
22．（2021•高新区校级三模）某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点 处测得塔帽 的仰角为
，在点 的正下方23米处的点 处测得塔帽 的仰角为 ，请你依据相关数据计算塔帽与地面的距
离 的高度．（计算结果精确到 0.1 米，参考数据： ， ， ，【分析】连接 ，先证四边形 是矩形，得 ， 米，再由含 角的直角三角
形的性质得 ，然后求出 ，设 米，则 米， 米，由
得出方程，解得： ，即可求解．
【解析】连接 ，如图所示：
由题意得： ， ， ， 米，
，
四边形 是矩形，
， 米，
，
，
在 中， ，
，
设 米，则 米， 米，
，
，
解得： ，
（米 ，
答：塔帽与地面的距离 的高度约为40.6米．23．（2021•胶州市一模）2020年6月23日，北斗卫星最后一颗全球组网卫星发射成功．运载火箭从地面
处（忽略发射塔高度）竖直向上发射，当运载火箭到达点 处时，地面 处的雷达站测得 处仰角为
， ．10秒后，运载火箭直线上升到达点 处，此时地面 处一观测点测得 处的仰角为
，已知点 ， ， 在同一条直线上，并且 ， 两处相距 ，求运载火箭从 处到 处时的平
均速度（单位： ．
（参考数值： ， ， ， ， ，
【分析】在两个直角三角形中求出 、 ，进而计算出 ，最后求出速度即可．
【解析】由题意得， ， ， ， ，
在 中，
， ，
， ，
，
在 中， ，
，，
火箭的速度为 ，
答：运载火箭从 处到 处时的平均速度约为 ．
24．（2021•漳浦县模拟）某中学到天福石雕园开展研学实践活动，在参观了“民族英雄郑成功”雕像后．
小颖想测量“民族英雄郑成功”雕像 的高度，如图，她在雕像前 处用测倾器测得顶端 的仰角为
，底端 的俯角为 ；又在同一水平线上的 处用测倾器测得顶端 的仰角为 ，已知 ，
求雕像 的高度． ，结果精确到
【分析】设 ，解 与 ，用含 的代数式表示出 、 ，然后根据 是含
30度角的直角三角形列出方程，解方程即可求 的值，进而可得 ．
【解析】设 ，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
解得 ，
．答：该雕像 的高度约为 ．
