文档内容
专题 12 相似三角形的性质
考点一 利用相似三角形的性质求解 考点二 相似三角形应用举例
考点三 利用相似求坐标 考点四 在网格中画已知三角形相似的三角形
考点五 相似三角形——动点问题 考点六 相似三角形的综合问题
考点一 利用相似三角形的性质求解
例题：（2022·河北·泊头市教师发展中心九年级期中）若 ，且周长比为4：9，则其对应边上
的高的比为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2021·湖南·永州柳子中学九年级期中）已知 ABC~ DEF，若∠A=50°，∠E=70°，则∠F的度数为（
） △ △
A．30° B．60° C．70° D．80°
2．（2022·全国·九年级专题练习）两个相似三角形的面积之比为3：4，则这两个三角形的周长之比为
_______．
3．（2021·广西·北师大平果附属学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，
且DE//BC，AD=CE，DB=1cm，AE=4cm．
(1)求CE的长；
(2)若△ABC的面积为 ，求△ADE的面积．考点二 相似三角形应用举例
例题：（2021·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）如图，已知零件的外径为 ，现用个交叉卡钳
（两条尺长 和 相等， ）测量零件的内孔直径 ．若 ，且量得 ，
则零件的厚度 （ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【变式训练】
1．（2022·山东青岛·九年级期末）如图，路灯A与地面的距离 米，身高1.6米小明与路灯底部的距
离 米，则小明影子长 _______米．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，为了测量一栋楼的高度，小王在他的脚下放了一面镜子，然后向
后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如果小王身高1.55m，他的眼睛距地面1.50m，同时量得BC＝
0.3m，CE＝2m，则楼高DE为______m．考点三 利用相似求坐标
例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，
，则点 坐标为___________．
【变式训练】
1．（2020·江苏·景山中学九年级阶段练习）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三
角形叫格点三角形．在如图 的方格中，作格点 和 相似（相似比不为1），则点 的坐标是
_________．
2．（2020·江苏泰州·九年级阶段练习）已知点A(2，0)，点B(b，0)(b＞2)，点P是第一象限内的动点，且点
P的纵坐标为 ，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P坐标为_________．
考点四 在网格中画已知三角形相似的三角形
例题：（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，在8×8的正方形网格中， ABC是格点三角形，
请按以下要求作图． △(1)在图1中画出格点 EDP，使得 EDP∽ ABC，且面积比为 ；
△ △ △
(2)在图2中将 ABC绕着某格点逆向时针旋转90°得到格点 PFG，其中C与P对应．
△ △
【变式训练】
1．（2022·河南洛阳·九年级期末）如图，在5×5的边长为1小的正方形的网格中，如图1△ABC和△DEF
都是格点三角形（即三角形的各顶点都在小正方形的顶点上）．
(1)判断：△ABC与△DEF是否相似？并说明理由；
(2)在如图2的正方形网格中，画出与△DEF相似且面积最大的格点三角形，并直接写出其面积．
2．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，在 方格纸中，点A，B，C都在格点上（ ABC称为格点三角
形，即格点 ABC），用无刻度直尺作图． △
△(1)在图1中的线段AC上找一个点D，使 ；
(2)在图2中作一个格点 CEF，使 CEF与 ABC相似．
△ △ △
考点五 相似三角形——动点问题
例题：（2022·山东烟台·八年级期末）如图， 中， ， ， ，动点P从
点A出发在线段 上以每秒 的速度向O运动，动直线 从 开始以每秒 的速度向上平行移动，
分别与 交于点E，F，连接 ，设动点P与动直线 同时出发，运动时间为t秒．当t为
__________时， 与 相似．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝6厘米，OB＝8厘米．点P从点
B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移
动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．当t为何值
时，△APQ与△AOB相似？2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出
发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，
P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为t（s）．
(1)当t为何值时，△PBQ的面积为9？
(2)当△PBQ与△ABC相似时，t的值是多少？
考点六 相似三角形的综合问题
例题：（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，
AD上，且∠EFD＝∠BDF．
（1）求证：△AFE∽△ADC．
（2）若 ， ，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系．【变式训练】
1．（2021·安徽·九年级专题练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E
作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证EG2＝ GF•AF；
（3）若AG＝3，EG＝ ，求BE的长．
2．（2021·福建省诏安第一中学九年级期中）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点， ，
交BD于点F．
(1)如图1，直按写出 的值_______；
(2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你
的结论；
(3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为 ，当 为
何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出 的值．一、选择题
1．（2020·北京市第五十六中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且
，AD=1，BD=2，DE=2那么BC的值为 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2021·甘肃·武威第三中学九年级期中）已知 ，若△ABC与△DEF的对应边之比为
3∶4，则△ABC与△DEF的面积之比为 （ ）
A．4∶3 B．3∶4 C．16∶9 D．9∶16
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图平行四边形ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：
3，连接EF交DC于点G，若 DEG的面积是1，则五边形DABFG的面积是（ ）
△
A．11 B．12 C． D．
4．（2021·湖南·李达中学九年级阶段练习）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点， ，
若 ＝1：3，则 的值为（ ）A． B． C． D．
5．（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图
3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从闭合到打开B，D之间的距离减少了（ ）
A．25 mm B．20mm C．15 mm D．8mm
二、填空题
6．（2022·吉林吉林·九年级期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，∠ADE=∠C，四边形
DBCE的面积是△ADE面积的3倍．若DE=3，则BC的长为_______．
7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影
子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，
CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于______m．
8．（2022·湖南·衡阳市第十七中学九年级期中）如图，在△ABC中，BC＝10，D、E分别为AB、AC的中点，连接BE、CD交于点O，OD＝3，OE＝4，则△ABC的面积为 _____．
9．（2021·湖北襄阳·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕点C按顺时针
方向旋转α角，得到矩形A′B′CD′，B′C与AD交于点E，AD的延长线与A′D′交于点F．当矩形A'B'CD'的顶
点A'落在CD的延长线上时，则EF＝_____．
10．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在 ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D为AB边上一点，AD＝
△
3BD，CD＝2 ，点E在直线AC上，∠CDE＝45°，则AE＝______．
三、解答题
11．（2021·黑龙江·肇东市第七中学校九年级阶段练习）小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：
如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20m．当她与镜子的距离CE＝2.5m
时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC＝1.5m，请你帮助小红计算大
楼的高度．12．（2021·黑龙江·肇东市第七中学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P
从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度运动，如果
P、Q分别从A、B同时出发，4秒后停止运动．则在开始运动后第几秒，△BPQ与△BAC相似？
13．（2022·安徽·合肥市庐阳中学二模）已知 ， 平分 交 于 ，交 于 ．
(1)求证： ；
∽
(2)连接 ，若 ， ， ，求 的长度．
14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在 ABC中，点D，F，E分别在AB，BC，AC边上，DF
AC，EF AB． △
(1)求证： BDF∽△FEC．
△(2)设 ．
①若BC＝15，求线段BF的长；
②若 FEC的面积是16，求 ABC的面积．
△ △
15．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，D
为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC于点E，F．
(1)当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，如图①， ______．
(2)①若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图②位置时， ______．
②若改变点D的位置，且 时，求 的值，请就图③的情形写出解答过程．
(3)如图③连接EF，当BD＝______时，△DEF与△ABC相似．
16．（2022·山东·东营市垦利区郝家镇中学八年级期中）如图 ，在 中， ， ，
，点 、 分别是边 、 的中点，连接 ，将 绕点 逆时针方向旋转，记旋转角为
．(1)问题发现
①当 时， ______；②当 时， ______．
(2)拓展探究
试判断：当 时， 的大小有无变化？请仅就图 的情形给出证明．
(3)问题解决
绕点 逆时针旋转至 、 、 三点在同一条直线上时，如图3-1，图3-2，求线段 的长．
（3）①如图3-1中，当点E在AB的延长线上时， ②如图3-2中，当点E在线段AB上时，
