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2021-2022 学年北师大版数学八年级下册压轴题专题精选汇编
专题 12 多边形的内角与外角和
一．选择题
1．（2021秋•黄石期末）将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不
可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．730°
【思路引导】根据多边形的内角和公式解决此题．
【完整解答】解：设将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形的边数分别为x、y．
∴这两个多边形的内角和之和为180°（x﹣2）+180°（y﹣2）＝180°（x+y﹣4）．
∴180°整除这两个多边形的内角和之和．
∵360°＝180°×2，540°＝180×3，720°＝180°×4，180°不整除730°，
∴这两个多边形的内角和之和不可能是730°．
故选：D．
2．（2021•连州市模拟）六角螺母的横截面是正六边形，这个正六边形的内角为（ ）
A．100° B．120° C．60° D．90°
【思路引导】根据多边形的外角和等于360°解答即可．
【完整解答】解：∵这个正六边形的外角和等于360°，
∴每个外角＝360°÷6＝60°．
∴故这个正六边形的每一个内角的度数为＝180°﹣60°＝120°．
故选：B．
3．（2021秋•赞皇县期中）一个多边形每个外角都等于36°，则从这个多边形的某个顶点画对角线，最多
可以画出几条（ ）
A．7条 B．8条 C．9条 D．10条
【思路引导】若要确定从这个多边形的某个顶点画对角线的条数，需确定该多边形的边数．由一个多边
形每个外角都等于36°，得这个多边形的边数为10，从而解决此题．
【完整解答】解：∵此多边形每个外角都等于36°，
∴该多边形的边数为 ＝10．
∴从这个多边形的某个顶点能画的对角线的条数为10﹣3＝7（条）．
故选：A．4．（2021•株洲）如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI＝（ ）
A．10° B．12° C．14° D．15°
【思路引导】分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论．
【完整解答】解：在正六边形ABCDEF内，正五边形ABGHI中，∠FAB＝120°，∠IAB＝108°，
∴∠FAI＝∠FAB﹣∠IAB＝120°﹣108°＝12°，
故选：B．
5．（2021•黄埔区二模）如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转45°，再沿直线前进6米，又
向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）米．
A．60 B．72 C．48 D．36
【思路引导】根据多边形的外角和即可求出答案．
【完整解答】解：根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，
所以一共走了8×6＝48（米）．
故选：C．
6．（2019秋•猇亭区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于
点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（ ）A．10° B．15° C．30° D．40°
【思路引导】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC＝150°．然后由角平分线的性质，邻补
角的定义求得∠PAB+∠ABP的度数，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P的度数即可．
【完整解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝150°．
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠ABP＝ ∠DAB+∠ABC+ （180°﹣∠ABC）＝90°+ （∠DAB+∠ABC）＝165°，
∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．
故选：B．
7．（2021•昆明模拟）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等于（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
【思路引导】利用全等三角形的性质和正六边形的定义可判断六边形花环为正六边形，根据多边形的内
角和定理可计算出∠ABD＝120°，然后把∠ABD减去90°得到∠ABC的度数．
【完整解答】解：如图，
∵六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，
∴六边形花环为正六边形，
∴∠ABD＝ ＝120°，
而∠CBD＝∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝120°﹣90°＝30°．
故选：A．二．填空题
8．（2021秋•德城区期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝68°，则∠CAD的度
数是 22° ．
【思路引导】通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得∠ABD＝∠ACD＝72°，由直角三角形的性
质可求解．
【完整解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴点A，点B，点C，点D四点共圆，
∴∠ABD＝∠ACD＝68°，
∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝22°，
故答案为：22°．
9．（2021秋•大洼区期末）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10m向左转30°再沿直线前进10m，又向
左转30°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 12 0 m．
【思路引导】根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用 360°除以30°求出边数，然后再乘以10m
即可．
【完整解答】解：∵小亮每次都是沿直线前进10m后向左转30度，
∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷30°＝12，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了12×10＝120m．
故答案为：120．
10．（2021•城固县二模）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、BD交于点O，则∠AOD的度数为 108°
．
【思路引导】由∠BOC与∠AOD是对顶角，欲求∠AOD，可求∠BOC．由五边形ABCDE是正五边形，得AB
＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，那么∠CBD＝∠CDB，∠CBD+∠CDB＝72°，故∠CBD＝∠CDB＝36°．
同理可得∠BCA＝∠BAC＝36°，根据三角形内角和定理求得∠BOC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCA＝108°．
【完整解答】解法1：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝180°﹣ ＝108°．
∴∠CBD＝∠CDB，∠CBD+∠CDB＝180°﹣108°＝72°．
∴∠CBD＝∠CDB＝36°．
同理可得：∠BCA＝∠BAC＝36°．
∴∠BOC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCA＝180°﹣36°﹣36°＝108°．
∵∠BOC与∠AOD是对顶角，
∴∠BOC＝∠AOD＝108°．
故答案为：108°．
解法2：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠E＝108°．
∴∠BCA＝∠BAC＝ ＝36°．
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝72°．
∴∠ACD+∠CDE＝180°．
∴AC∥DE．
同理可得：BD∥AE．
∴四边形AODE是平行四边形．∴∠AOD＝∠E＝108°．
故答案为：108°．
11．（2021•济南）如图，正方形AMNP的边AM在正五边形ABCDE的边AB上，则∠PAE＝ 18° ．
【思路引导】根据多边形内角和公式，计算出正五边形ABCDE中，∠EAB＝ ＝108°，正
方形AMNP中，∠PAM＝90°，∠PAE＝∠EAB﹣∠PAM即可．
【完整解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠EAB＝ ＝108°，
∵四边形AMNP为正方形，
∴∠PAM＝90°，
∴∠PAE＝∠EAB﹣∠PAM＝108°﹣90°＝18°．
故答案为：18°．
12．（2021春•安徽期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是 1260°，则原多边
形的边数是为 8 或 9 或 1 0 ． ．
【思路引导】根据多边形内角和公式求出截去一角后的多边形边数，再根据截去一角后多边形的边数变
化情况求解．
【完整解答】解：设截去一个角后，多边形的边数为n，
由题意得（n﹣2）×180°＝1260°，
解得n＝9．
因为多边形截去一角后边数可能不变，可能增加1，可能减小1，
∴原多边形可能为8或9或10．
故答案为：8或9或10．
13．外角和等于内角和的多边形一定是四边形． 对 ．（判断对错）
【思路引导】任意多边形的外角和为360°，然后依据多边形的内角和公式求得多边形的边数，从而可
作出判断．
【完整解答】解：设多边形的边数为n．根据题意得：（n﹣2）×180°＝360°．
解得：n＝4．
所以该多边形为四边形．
故答案为：对．
14．如果一个多边形的内角和等于1800°，则这个多边形是 十二 边形；如果一个n边形每一个内角都
是135°，则n＝ 8 ；如果一个n边形每一个外角都是36°，则n＝ 1 0 ．
【思路引导】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，
从而求出边数．
【完整解答】解：这个正多边形的边数是n，
则（n﹣2）•180°＝1800°，
解得：n＝12，
则这个正多边形是12．
如果一个n边形每一个内角都是135°，
∴每一个外角＝45°，
则n＝ ＝8，
如果一个n边形每一个外角都是36°，
则n＝ ＝10，
故答案为：十二，8，10．
15．（2021•温州开学）如图，∠1，∠2，∠3 是五边形ABCDE的 3 个外角，若∠A+∠B＝240°，则
∠1+∠2+∠3＝ 240° ．
【思路引导】延长EA、AB构造外角∠4、∠5，根据一个顶点上的外角和内角的关系与多边形的外角和，
计算得结论．
【完整解答】解：如图，延长EA、AB．
∵∠EAB+∠4+∠ABC+∠5＝360°，
又∵∠EAB+∠ABC＝240°，∴∠4+∠5＝120°．
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝240°．
故答案为：240°．
三．解答题
16．（2021秋•通榆县期末）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍还多180°，那么这个多边形的边数
是多少？
【思路引导】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1260
度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边
数．
【完整解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得
（n﹣2）•180＝360×3+180，
解得：n＝9．
则这个多边形的边数是9．
17．（2021春•淅川县期末）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处
【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是 ∠ 1 ＝ 2 ∠ A ；
【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明
理由．
【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A的大小为 28°
．
【思路引导】（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题．（2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题
（3）运用三角形的外角性质即可解决问题．
【完整解答】解：（1）如图①，∠1＝2∠A．
理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D＝∠A；
∵∠1＝∠A+∠EA′D，
∴∠1＝2∠A．
（2）如图②，2∠A＝∠1+∠2．
理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，
∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，
∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，
由折叠知识可得：∠A＝∠A′，
∴2∠A＝∠1+∠2．
（3）如图③，
∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A′+∠2，
∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，
∴2∠A＝∠1﹣∠2＝56°，
解得∠A＝28°．
故答案为：∠1＝2∠A；28°．
18．（2021秋•新罗区校级月考）一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角都等于它的相邻内角的
，求这个多边形的边数及内角和？
【思路引导】根据题意得出内角的度数，进而得出边长，即可得出答案．
【完整解答】解：设这个多边形的一个外角的度数为x，
由x＝ （180°﹣x）
解得：x＝36°，
360÷36＝10，（10﹣2）×180°＝1440°，
此多边形为十边形，内角和为1440°．
19．（2021春•太康县期末）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的 3倍还大
20°，
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
【思路引导】（1）设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，根据内角与其相邻的
外角的和是180度列出方程，求出α的值，再由多边形的外角和为 360°，求出此多边形的边数为
360°÷α；
（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．根据多边形的
内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案．
【完整解答】解：（1）设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，
由题意，得（3α+20）+α＝180°，解得α＝40°．
即多边形的每个外角为40°．
又∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的外角个数＝ ＝9．
∴多边形的边数＝9，
答：这个多边形的边数是9；
（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
当截线为经过对角2个顶点的直线时，多边形的边数减少了1条边，内角和＝（9﹣2﹣1）×180°＝
1080°；
当截线为经过多边形一组对边的直线时，多边形的边数不变，内角和＝（9﹣2）×180°＝1260°；
当截线为只经过多边形一组邻边的一条直线时，多边形的边数增加一条边，内角和＝（9﹣2+1）
×180°＝1440°．
答：将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是1080°或1260°或1440°．
20．（2021秋•连城县期中）一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？（要求：列方程解，要
有解题过程）
【思路引导】根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可．
【完整解答】解：设这个多边形是n边形，则根据题意，得：
（n﹣2）•180°＝3×360°，解得n＝8，
答：这个多边形是八边形；
21．（2021秋•上杭县期中）如图，四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD
的角平分线交于点F．
（1）若∠F＝70°，则∠ABC+∠BCD＝ 22 0 °；∠E＝ 11 0 °；
（2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E＝∠F，所添加的条件为 A B ∥ C D ．
【思路引导】（1）先根据三角形内角和定理求出∠FBC+∠BCF＝180°﹣∠F＝110°，再由角平分线定
义得出∠ABC＝2∠FBC，∠BCD＝2∠BCF，那么∠ABC+∠BCD＝2∠FBC+2∠BCF＝2（∠FBC+∠BCF）＝
220°；由四边形ABCD的内角和为360°，得出∠BAD+∠CDA＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝140°．由角
平分线定义得出∠DAE＝ ∠BAD，∠ADE＝ ∠CDA，那么∠DAE+∠ADE＝ ∠BAD+ ∠CDA＝
（∠BAD+∠CDA）＝70°，然后根据三角形内角和定理求出∠E＝180°﹣（∠DAE+∠ADE）＝110°；
（2）由四边形ABCD的内角和为360°得到∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD＝360°，由角平分线定义得出
∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF＝180°，又根据三角形内角和定理有∠DAE+∠ADE+∠E＝180°，
∠FBC+∠BCF+∠F＝180°，那么∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F＝360°，于是∠E+∠F＝360°﹣
（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）＝180°；
（3）由（2）可知∠E+∠F＝180°，如果∠E＝∠F，那么可以求出∠E＝∠F＝90°，根据三角形内角和
定理求出∠DAE+∠ADE＝90°，再利用角平分线定义得到∠BAD+∠CDA＝180°，于是AB∥CD．
【完整解答】解：（1）∵∠F＝70，
∴∠FBC+∠BCF＝180°﹣∠F＝110°．
∵∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F，
∴∠ABC＝2∠FBC，∠BCD＝2∠BCF，
∴∠ABC+∠BCD＝2∠FBC+2∠BCF＝2（∠FBC+∠BCF）＝220°；
∵四边形ABCD的内角和为360°，
∴∠BAD+∠CDA＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝140°．∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，
∴∠DAE＝ ∠BAD，∠ADE＝ ∠CDA，
∴∠DAE+∠ADE＝ ∠BAD+ ∠CDA＝ （∠BAD+∠CDA）＝70°，
∴∠E＝180°﹣（∠DAE+∠ADE）＝110°；
（2）∠E+∠F＝180°．理由如下：
∵∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD＝360°，
∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F，
∴∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF＝180°，
∵∠DAE+∠ADE+∠E＝180°，∠FBC+∠BCF+∠F＝180°，
∴∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F＝360°，
∴∠E+∠F＝360°﹣（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）＝180°；
（3）AB∥CD．
故答案为220°；110°；AB∥CD．
22．（2021秋•太和县校级月考）（1）如图①②，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；
（2）如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；
（3）用你发现的结论解决下列问题：
如图③，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C＝240°，求∠E的度数．
【思路引导】（1）根据四边形的内角和等于360°用∠5+∠6表示出∠3+∠4，再根据平角的定义用
∠5+∠6表示出∠1+∠2，即可得解；
（2）从外角的定义考虑解答；
（3）根据（1）的结论求出∠MDA+∠NAD，再根据角平分线的定义求出∠ADE+∠DAE，然后利用三角形的
内角和定理列式进行计算即可得解．【完整解答】（1）解：∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角，
∴∠3+∠4+∠5+∠6＝360°，
∴∠3+∠4＝360°﹣（∠5+∠6），
∵∠1+∠5＝180°，∠2+∠6＝180°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠5+∠6），
∴∠1+∠2＝∠3+∠4；
（2）答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；
（3）解：∵∠B+∠C＝240°，
∴∠MDA+∠NAD＝240°，
∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线，
∴∠ADE＝ ∠MDA，∠DAE＝ ∠NAD，
∴∠ADE+∠DAE＝ （∠MDA+∠NAD）＝ ×240°＝120°，
∴∠E＝180°﹣（∠ADE+∠DAE）＝180°﹣120°＝60°．
23．（2020秋•上杭县校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，且∠D+∠C＝220°，求
∠AOB的度数．
【思路引导】首先根据四边形内角和为360度计算出∠DAB+∠ABC＝360°﹣220°＝140°，再根据∠1
＝∠2，∠3＝∠4计算出∠2+∠3＝70°，然后利用三角形内角和为180度计算出∠AOB的度数．
【完整解答】解：∵∠D+∠C+∠DAB+∠ABC＝360°，∠D+∠C＝220°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣220°＝140°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝70°，
∴∠AOB＝180°﹣70°＝110°．
24．（2020秋•朝阳期中）已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°．（1）甲同学说，θ能取720°；而乙同学说，θ也能取820°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数
n，若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
【思路引导】（1）根据多边形内角和公式，列出方程求得θ的值，判断是否为整数即可；
（2）根据题意，列出方程（n﹣2）×180°+360°＝（n+x﹣2）×180°，求得x的值即可．
【完整解答】解：（1）甲对，乙不对．
理由：∵当θ取720°时，720°＝（n﹣2）×180°，
解得θ＝6；
当θ取820°时，820°＝（n﹣2）×180°，
解得θ＝ ；
∵n为整数，
∴θ不能取820°；
（2）依题意得，
（n﹣2）×180°+360°＝（n+x﹣2）×180°，
解得x＝2．
25．（2020秋•恩施市期中）从一个五边形中切去一个三角形，得到一个三角形和一个新的多边形，那么
这个新的多边形的内角和等于多少度？请画图说明．
【思路引导】从一个五边形中切去一个三角形，得到的可能是四边形、可能是五边形、可能是六边形．
再根据多边形的内角和的公式求解．
【完整解答】解：分三种情况：①若新多边形为四边形，则内角和为360°；
②若新多边形为五边形，则内角和为（5﹣2）×180°＝540°；
③若新多边形为六边形，则内角和为（6﹣2）×180＝720°．
26．（2019春•永年区期末）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分
别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）
①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．
（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．
【思路引导】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；
②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解；
③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．
【完整解答】解：（1）如图所示：
（2）设新多边形的边数为n，
则（n﹣2）•180°＝2520°，
解得n＝16，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
故原多边形的边数可以为15，16或17
