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专题 2.6 幂函数与指、对数函数
【新高考专用】
题型一 指数幂与对数式的化简、求值
1．（2024·天津河西·三模）已知2a=5，log 3=b，则4a−3b=（ ）
8
25 5
A． B． C．25 D．5
9 9
2．（2024·全国·模拟预测）已知m，n，p是均不等于1的正实数， ， xy ，则mn2
mx=n2y=p3z z= =
x+ y p3
（ ）
3 1
A．2 B． C．1 D．
2 2
2
3．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知2a=32,log 2⋅log x= a，则log x+log 5= ．
a 4 5 5 x
4．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知实数x，y满足2x= (4) log 2 x −31+log 2 x ,3 y= (4) log 3 y −21+log 3 y ，则 x =
3 3 y
．
题型二 指对幂函数的定义与解析式
5．（2024高一·江苏·专题练习）给出下列函数：①y=−3x；②y=3x+1；③y=3x；④y=x−3；⑤
．其中，指数函数的个数是（ ）
y=(−2) x
A．0 B．1 C．2 D．4
6．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知幂函数 的图象过点 ，则（ ）
y=f (x) (2,√2)
A． f (x)=x 1 2 B． f (x)=x2
C． 3 D． − 1
f (x)=x2 f (x)=x 27．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数 是对数函数，则 ．
f (x)=log x+(a2−3a−10) a=
(a−1)
8．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数 是指数函数，则实数a的取值范围为 .
y=(4−3a) x
题型三 指对幂函数的定义域与值域问题
9．（2024·甘肃庆阳·一模）函数 的值域为（ ）
f (x)=lg√10−2x2
( 1] ( 1]
A．(−∞,1] B．(0,1] C． 0, D． −∞,
2 2
e2x−4−1
10．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数f (x)= +x−1在区间[a,b]上的值域为[m,M].若
ex−2
a+b=4，则m+M的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
1+x
11．（2024·上海宝山·一模）函数y=log 的定义域是 .
21−x
12．（2024·全国·模拟预测）函数f (x)=¿的值域为 ．
题型四 指对幂函数的图象问题
13．（2024·四川成都·一模）已知函数 2|x| ，则函数 的图象的可能是（ ）
f (x)= f (x)
ex−e−x
A． B．
C． D．
14．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数y=xa,y=xb,y=xc在(0,+∞)上的图象分别是下降，
急速上升，缓慢上升，则（ ）A．c0且a≠1，若函数f(x)=¿在(−∞,+∞)上具有单调性，则实数a的取值范
围是 ．
题型六 指对幂数比较大小
2 (1)− 1
21．（2024·天津河西·三模）若a=log
π
e，
b=(√π)3
，c=
e
3，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．bb>d>c B．a>b>c>d C．b>d>a>c D．a>d>b>c
1
23．（2024·北京通州·三模）已知a=2−1.1，b=log ，c=log 3，则三者大小关系为 （按从小到
1 3 2
4
大顺序）
24．（2024·全国·模拟预测）已知
a=log
√2，
b=
(√2)− √
3
3，
c=ln
√1，则a，b，c的大小关系为
√3 2 2 e
3
．题型七 解不等式问题
(1) |x|
25．（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)= ，则使得f (2a)1)与它的反函数y=log x(a>1)的图像没有公共点；
a
②若函数y=f (x)有反函数，则它一定是单调函数；
③若函数 存在反函数 ，则必有 成立；
y=f (x) y=f−1(x) f [f−1(x)]=f−1[f (x)]=x
④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
30．（23-24高一上·广东茂名·期末）若指数函数f(x)经过点(2,4)，则它的反函数g(x)的解析式为（ ）
A． B． C． D．
g(x)=log x g(x)=log x g(x)=2x g(x)=x2
2 0.5
31．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）若函数y=f(x)是函数y=ax（a>0,a≠1）的反函数，且f(x)
的图象经过点(√a,a)，则f(4)= ．32．（24-25高三上·全国·自主招生）函数y=f (x)的反函数y=f−1(x)，且y=f (x−1)的图象过点(3,3)，
则函数y=f−1(x+3)−1的图象一定过点
.
题型九 指数函数与对数函数的综合应用
33．（2024·山西·模拟预测）记 表示 ， 二者中较大的一个，函数 ，
max{a,b} a b f(x)=−x2−7x−5
，若 ， ，使得 成立，
g(x)=max {31−x,log (x+2)} ∀x ∈[a−1,a+1] ∃x ∈[0,+∞) f (x )=g(x )
3 1 2 1 2
则a的取值范围是（ ）
[ 9 5] [ 11 7]
A．[−5,−2] B．[−4,−3] C． − ,− D． − ,−
2 2 2 2
1
34．（2024·湖北·模拟预测）已知函数f (x)=log (3x−1+3)− x，若f (a−1)≥f (2a+1)成立，则实数a
3 2
的取值范围为（ ）
A．(−∞,−2] B．(−∞,−2]∪[0,+∞)
[ 4] [4 )
C． −2, D．(−∞,−2]∪ ,+∞
3 3
x
35．（23-24高一上·天津·期末）已知函数f (x)=log ⋅log (2x)，函数g(x)=4x−2x+1−3．
28 2
(1)求不等式g(x)≤5的解集；
(2)求函数f (x)的值域；
(3)若不等式f (x)−g(a)≤0对任意实数a∈[1,2]恒成立，试求实数x的取值范围．
36．（23-24高一下·广东汕头·期中）已知函数 2x+1为奇函数．
f (x)=
2x+a
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f (x)的单调性（不用证明）；
x x
(3)设函数g(x)=log ⋅log +m，若对任意的x ∈[2,8]，总存在x ∈(0,1]，使得g(x )=f (x )成立，
22 24 1 2 1 2求实数m的取值范围．
一、单选题
1．（2024·河南·模拟预测）函数 图象的对称中心是（ ）
f (x)=lg(√x2−2x+11+x−1)
( 1) ( 1)
A．(1,1) B． 1, C．(2,1) D． 2,
2 2
2．（2024·广东广州·模拟预测）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的
1 O
游速v（单位：m/s）可以表示为v= log ，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为
2 3100
W
2m/s时耗氧量的单位数为U，游速为3m/s时耗氧量的单位数为W，则 =（ ）
U
A．3 B．6 C．9 D．12
3．（2024·四川南充·模拟预测）已知幂函数
f (x)=x
m
n(m,n∈Z)
，下列能成为“
f (x)
是R上的偶函数”的
充分条件的是（ ）
A．m=−3,n=1 B．m=1,n=2
C．m=2,n=3 D．m=1,n=3
4．（2024·海南海口·模拟预测）已知a=log 3，b=20.1，c=ln2，则a，b，c的大小关系为（ ）
0.2
A．b>c>a B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
xcosx sinx
5．（2024·新疆·模拟预测）函数f (x)= + 的部分图象大致为（ ）
ex+e−x x2+1
A． B．C． D．
6．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在[0,+∞)上单调递减，满足
f(log a)−f(log a)≤2f(3)，则实数a的取值范围为（ ）
2 1
2
( 1) [1 ]
A． 0, B． ,8 C．(0,8] D．[8,+∞)
8 8
7．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数y=log (x−1)+1（a>0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A
a
4 1
在直线mx+ny−1=0(m>0,n>0)上，则 + 的最小值为（ ）
m n
A．13 B．8√2 C．9+4√2 D．8
1
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=¿（01，则下列不等式一定成立的是（ ）
a
1 1 1 1
A．aa+b C．a− >b− D．a+ 0，且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直
a1 1
线mx+ny+2=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为 .
m n
1
14．（2024·北京通州·三模）已知函数f(x)=¿的值域是[−1,1]，若n∈[0, )，则m的取值范围是
2
．
四、解答题
15．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数 为奇函数，且在区间 上是严格
f (x)=xm2−2m−3(m∈Z) (0,+∞)
减函数.
(1)求函数y=f (x)的表达式；
[1 ]
(2)对任意实数x∈ ,1 ，不等式f (x)≤t+4x恒成立，求实数t的取值范围.
2
16．（2024·广东湛江·一模）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温
度有关.研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事
情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是θ ℃，室温是θ ℃，那么tmin后茶水的温
1 0
度 单位： ，可由公式 求得，其中 是常数，为了求出这个 的值，某数学建模
θ( ℃) θ(t)=θ +(θ −θ )e−kt k k
0 1 0
兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用85℃的水泡制成85℃的茶水，利用温度传感器，测量并
记录从t=0开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：
t(min)0 1 2 3 4 5
θ(℃) 85.00 79.19 74.75 71.19 68.19 65.00
(1)请你利用表中的一组数据t=5，θ=65.00求k的值，并求出此时θ(t)的解析式(计算结果四舍五入精确到
0.01)；
(2)在25℃室温环境下，王大爷用85℃的水泡制成85℃的茶水，想等到茶水温度降至55℃时再饮用，
根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间?(计算结果四舍五入精确到1分钟)．
参考数据：ln3≈1.0986，ln2≈0.693，e是自然对数的底数，e≈2.71828⋯a
17．（2024·山东·模拟预测）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)= −3x ，且
3x
8
f(1)= ．
3
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)是否存在正实数m，n，使得当 时，函数 的值域为[ 7 7 ]．若存在，求出m，
x∈[m,n] f(x) 5− ,5−
3m 3n
n的值；若不存在，请说明理由．
ex−1
18．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数f(x)= ．
ex
(1)求函数y=f(2x)−f(x),x∈[0,1]的值域；
(2)若不等式f(2x)≤kf(x)在x∈R上恒成立，求k的取值范围；
(3)当 时，函数 的值域为 ，求正数 的取
x∈[−lna2,−lnb2 ](a>b>0) g(x)=mf(x)+1 [2−3a,2−3b] m
值范围．
19．（2024·广东湛江·一模）已知函数 是偶函数， 是自然对数的底数，
f (x)=ln(1+eax)−bx e
e≈2.71828⋯
(1)求 的最小值
√a2+b2−2a+1 ;
(2)当b=1时，（i）令g(x)=f (1−x)+f (1+x)，x∈[−1，1]，求g(x)的值域;
（ii）记 n ，已知 ， ，且1000 ，当1000 取最大
∑a =a +a +...+a −1≤x ≤2 (i=1,2,...,1000) ∑ x =1000 ∑ f (x )
i 1 2 n i i i
i=1 i=1 i=1
值时，求 的值．
x2+x2+...+x2
1 2 1000
