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专题1.5 分式与分式方程
知识归纳
知识点1：分式的概念与基本性质
1. 分式：形如 (A,B是整式，B中含有字母，且B≠0)的式子叫做分式，其有意义的条件是分母不为0，
值为0的条件是分子为0，但分母不为0.
与分式有关的条件：
要求 表示
分式有意义 分母≠0
分式无意义 分母=0
分式值为0 分子为0且分母不为0
分式值为正或大于0 分子分母同号 ① A>0,B>0
② A<0,B<0
分式值为负或小于0 分子分母异号 ①A>0,B<0
②A<0,B>0
分式值为1 分子分母值相等 A=B
分式值为-1 分子分母值互为相反数 A+B=0
2. 分式的基本性质： (M是不为零的整式).
3. 约分：把分式的分子与分母中的公因式约去，叫做分式的约分.
4. 通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化成
同分母的分式，这一过程叫做分式的通分.
注：约分与通分的相同点：
5. 最简公分母：一般取各分式分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母.
6. 最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，这个分式叫做最简分式.1．（2020·四川遂宁市）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1
2．（2020·湖北黄石市·中考真题）函数 的自变量x的取值范围是（ ）
A． ，且 B． C． D． ，且
3．（2019·甘肃中考真题）使得式子 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4
4．（2020·四川雅安市·中考真题）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
5．（2020·贵州贵阳市·中考真题）当 时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·山东聊城市·中考真题）如果分式 的值为0，那么 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-1或1 D．1或0
7．（2020·河北中考真题）若a不等于b，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·河北邯郸市模拟）将分式 中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍9．（2020·山东威海市·中考真题）分式 化简后的结果为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·天津中考真题）计算 的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
知识点2：分式的运算法则
（1） ； （2） ；
（3） （n为整数）； （4） ；
（5） 。
1．（2020•河南）先化简，再求值： ，其中a ．
2．（2020•达州）求代数式 的值，其中x ．3．（2020•乐山）已 ，且x≠y，求 的值．
4．（2020•德州）先化简： ，然后选择一个合适的x值代入求值．
5．先化简 ，再将 代入求值．
知识点3：分式方程
1. 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2. 分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路:将分式方程化为整式方程.
（2）常用方法:①去分母;②换元法.
（3）去分母法的步骤:①去分母,将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根作答.
（4）换元法的步骤:①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③把辅助未知
数的值代回原式中,求出原来未知数的值;④检验作答.
（5）解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们把这个根叫做方
程的增根),所以解分式方程时要验根.3
1．（2020•甘孜州）分式方程 −1＝0的解为（ ）
x−1
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
2．（2020·四川遂宁）关于x的分式方程 ﹣ ＝1有增根，则m的值（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
x k
3．（2020•黑龙江）已知关于x的分式方程 −4= 的解为正数，则k的取值范围是（ ）
x−2 2−x
A．﹣8＜k＜0 B．k＞﹣8且k≠﹣2 C．k＞﹣8 且k≠2 D．k＜4且k≠﹣2
3 x
4．（2020•湘潭）解分式方程： +2= ．
x−1 x−1
x−2 3
5．（2020•陕西）解分式方程： − =1．
x x−2
知识点4：分式方程的应用
解分式方程应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出分式方程,最后要验根.
1．（2020湖南长沙市）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型
5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500
万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意
得（ ）
A． B． C． D．
2．（2020辽宁本溪市）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快
件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，
求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件 件，根据题意可列方程为（ ）A． B．
C． D．
3．（2020辽宁朝阳市）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键
球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受
批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有
多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020•襄阳）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．
4
改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的 ，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少
5
吨？
5．（2020广东）某社区拟建A、B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类
摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，
用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的 ．
（1）求每个A、B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A、B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个
摊位的最大费用．
