文档内容
专题1.5 分式与分式方程
知识归纳
知识点1：分式的概念与基本性质
1. 分式：形如 (A,B是整式，B中含有字母，且B≠0)的式子叫做分式，其有意义的条件是分母不为0，
值为0的条件是分子为0，但分母不为0.
与分式有关的条件：
要求 表示
分式有意义 分母≠0
分式无意义 分母=0
分式值为0 分子为0且分母不为0
分式值为正或大于0 分子分母同号 ① A>0,B>0
② A<0,B<0
分式值为负或小于0 分子分母异号 ①A>0,B<0
②A<0,B>0
分式值为1 分子分母值相等 A=B
分式值为-1 分子分母值互为相反数 A+B=0
2. 分式的基本性质： (M是不为零的整式).
3. 约分：把分式的分子与分母中的公因式约去，叫做分式的约分.
4. 通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化成
同分母的分式，这一过程叫做分式的通分.
注：约分与通分的相同点：
5. 最简公分母：一般取各分式分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母.
6. 最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，这个分式叫做最简分式.1．（2020·四川遂宁市）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不为0，列不等式组可求得自变量
x的取值范围．
【详解】根据题意得： ，解得：x≥﹣2且x≠1．故选：D．
2．（2020·湖北黄石市·中考真题）函数 的自变量x的取值范围是（ ）
A． ，且 B． C． D． ，且
【答案】A
【分析】根据分式与二次根式的性质即可求解．
【详解】依题意可得x-3≠0，x-2≥0，解得 ，且 故选A．
3．（2019·甘肃中考真题）使得式子 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4
【答案】D
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：使得式子 有意义，则：4﹣x＞0，解得：x＜4
即x的取值范围是：x＜4故选D．
4．（2020·四川雅安市·中考真题）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1【答案】B
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0列式进行计算即可得.
【详解】∵分式 的值为零，∴ ，解得：x=1，故选B．
5．（2020·贵州贵阳市·中考真题）当 时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可.
【详解】 ,当x=1时,分母为零,分式无意义.故选B.
6．（2019·山东聊城市·中考真题）如果分式 的值为0，那么 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-1或1 D．1或0
【答案】B
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】
根据题意，得|x|-1=0且x+1≠0，解得，x=1．故选B．
7．（2020·河北中考真题）若a不等于b，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
【详解】∵a≠b，∴ ，选项A错误；
，选项B错误；，选项C错误；
，选项D正确；故选：D．
8．（2020·河北邯郸市模拟）将分式 中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍
【答案】B
【分析】将原式中的x、y分别用3x、3y代替，化简，再与原分式进行比较．
【详解】解：∵把分式 中的x与y同时扩大为原来的3倍，
∴原式变为： ＝ ＝9× ，
∴这个分式的值扩大9倍．
故选：B．
9．（2020·山东威海市·中考真题）分式 化简后的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据异分母分式相加减的运算法则计算即可．异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相
加减的法则计算．
【详解】解：故选：B．
10．（2020·天津中考真题）计算 的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】本题可先通分，继而进行因式约分求解本题．
【详解】
，
因为 ，故 ．
故选：A．
知识点2：分式的运算法则
（1） ； （2） ；
（3） （n为整数）； （4） ；（5） 。
1．（2020•河南）先化简，再求值： ，其中a ．
【考点】分式的混合运算顺序和运算法则与化简
【解析】原式
当a 时，
原式
2．（2020•达州）求代数式 的值，其中x ．
【考点】分式的混合运算顺序和运算法则与化简．
【解析】原式＝
=
=＝﹣x（x﹣1）
当x 时，
原式＝﹣（ ）（ ﹣1）
＝﹣（ ）
＝﹣2
3．（2020•乐山）已 ，且x≠y，求 的值．
【分析】直接将括号里面通分运算进而结合分式的混合运算法则计算得出答案．
【解析】原式 2x x2y
= ÷
(x+ y)(x−y) x2−y2
2x x2−y2
= ×
x2−y2 x2y
2
= ，
xy
2
∵y= ，
x
2
= =1
∴原式 2
x⋅
x
2
解法2：同解法1，得原式= ，
xy
2
∵y= ，
x
∴xy＝2，
2
∴原式= =1．
2
4．（2020•德州）先化简： ，然后选择一个合适的x值代入求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．x−1 x+2 4−x
【解析】( − )÷
x−2 x x2−4x+4
x(x−1) (x−2)(x+2) (x−2) 2
=[ − ]×
x(x−2) x(x−2) 4−x
4−x (x−2) 2
= ⋅
x(x−2) 4−x
x−2
= ，
x
x−2 1−2
把x＝1代入 = =−1．
x x
5．先化简 ，再将 代入求值．
【解答】解：原式
，
将 代入得：
原式 ．
知识点3：分式方程
1. 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2. 分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路:将分式方程化为整式方程.
（2）常用方法:①去分母;②换元法.
（3）去分母法的步骤:①去分母,将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根作答.
（4）换元法的步骤:①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③把辅助未知
数的值代回原式中,求出原来未知数的值;④检验作答.
（5）解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们把这个根叫做方
程的增根),所以解分式方程时要验根.
3
1．（2020•甘孜州）分式方程 −1＝0的解为（ ）
x−1A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
3
【解析】分式方程 −1＝0，
x−1
去分母得：3﹣（x﹣1）＝0，
去括号得：3﹣x+1＝0，
解得：x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解．
故选：D．
2．（2020·四川遂宁）关于x的分式方程 ﹣ ＝1有增根，则m的值（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
【详解】解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
x k
3．（2020•黑龙江）已知关于x的分式方程 −4= 的解为正数，则k的取值范围是（ ）
x−2 2−x
A．﹣8＜k＜0 B．k＞﹣8且k≠﹣2 C．k＞﹣8 且k≠2 D．k＜4且k≠﹣2
【分析】表示出分式方程的解，根据解为正数确定出k的范围即可．
x k
【解析】分式方程 −4= ，
x−2 2−x
去分母得：x﹣4（x﹣2）＝﹣k，
去括号得：x﹣4x+8＝﹣k，
k+8
解得：x= ，
3
k+8 k+8
由分式方程的解为正数，得到 ＞0，且 ≠2，
3 3解得：k＞﹣8且k≠﹣2．
故选：B．
3 x
4．（2020•湘潭）解分式方程： +2= ．
x−1 x−1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
3 x
【解析】 +2=
x−1 x−1
去分母得，3+2（x﹣1）＝x，
解得，x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解．
所以，原方程的解为：x＝﹣1．
x−2 3
5．（2020•陕西）解分式方程： − =1．
x x−2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
x−2 3
【解析】方程 − =1，
x x−2
去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，
4
解得：x= ，
5
4
经检验x= 是分式方程的解．
5
知识点4：分式方程的应用
解分式方程应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出分式方程,最后要验根.
1．（2020湖南长沙市）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型
5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500
万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（ ）
A． B． C． D．
【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间=
工作总量÷工作效率，再结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，
即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，依题意，得：
．故选：B．
2．（2020辽宁本溪市）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快
件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，
求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件 件，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快
递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据快递公
司的快递员人数不变列出方程，得： ，
故选：D．
3．（2020辽宁朝阳市）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键
球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受
批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有
多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零
售价与批发价即可列出方程．
【详解】设班级共有x名学生，依据题意列方程得，
故选：B．
4．（2020•襄阳）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．
4
改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的 ，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少
5
吨？
4
【分析】设原来每天用水量是x吨，则现在每天用水量是 x吨，根据现在120吨水比以前可多用3天，
5
即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
4
【解析】设原来每天用水量是x吨，则现在每天用水量是 x吨，
5
120 120
− =
依题意，得： 4 x 3，
x
5
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
4
∴ x＝8．
5
答：现在每天用水量是8吨．
5．（2020广东）某社区拟建A、B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类
摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的 ．
（1）求每个A、B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A、B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个
摊位的最大费用．
【解答】
解：（1）设每个B类摊位占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米.
解得x=3
经检验x=3是原方程的解
∴x+2=5（平方米）
答：每个A、B类摊位占地面积各为5平方米和3平方米.
（1）设A类摊位数量为a个，则B类摊位数量为（90-a）个，最大费用为y元.
由90-a≥3a，解得a≤22.5
∵a为正整数
∴a的最大值为22
y=40a+30（90-a）=10a+2700
∵10＞0
∴y随a的增大而增大
∴当a=22时，y=10×22+2700=2920（元）
答：这90个摊位的最大费用为2920元.
