文档内容
专题1.5 勾股定理的应用（知识讲解）
【学习目标】
（1）利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题。
（2）通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．
【要点梳理】
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直
角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不
加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 本专题分类进行巩固
解决以下生活实际问题
类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题
类型二、应用勾股定理解决旗杆高度
类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离
类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度
类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题
类型六、应用勾股定理解决航海问题
类型七、应用勾股定理解决河的宽度
类型八、应用勾股定理解决台阶上地毯问题
类型九、应用勾股定理解决汽车是否超速问题
类型十、应用勾股定理解决是否受台风影响问题
类型十一、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题
类型十二、应用勾股定理解决选扯距离相离问题
【典型例题】
类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题
1．如图，一架云梯 长 米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面
米．
（1）这个梯子底端离墙有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了 米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了 米吗？【答案】（1）7；（2）不是
【分析】（1）由题意得a=24米，c=25米，根据勾股定理a2+b2=c2，可求出梯子底端
离墙有多远．
（2）由题意得此时a=20米，c=25米，由勾股定理可得出此时的b，继而能和（1）的b进
行比较．
解：（1）由题意得此时a=24米，c=25米，根据a2+b2=c2，
∴b=7米；
（2）不是．设滑动后梯子的底端到墙的距离为b米，
得方程，b2+（24-4）2=252，
解得b=15，
所以梯子向后滑动了8米．
综合得：如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向不是滑4米．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，有一定难度，注意两问线段的变化．
举一反三：
【变式1】如图：5米长的滑梯AB开始时B点距墙面水平距离3米，当B向后移动1
米，A点也随着向下滑一段距离，求A下滑的距离．
【答案】1米
【解析】试题分析：直接利用勾股定理得出AO的长，进而求出OA′的长，即可得出
答案．
解：由题意可得：AB=5m，BO=3m，∵当B向后移动1米，
∴OB′=4m，
则AA′=1m，
答：A下滑的距离为1m．
【变式2】一架梯子长 米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了 米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了 米吗？
【答案】（1）梯子的顶端距地面有2.4米；（2）梯子的底部在水平方向不是滑动了
米
【分析】（1）根据Rt△ABC的勾股定理求出AB的长度，从而得出答案；
（2）根据题意得出A′C′和A′B的长度，然后根据勾股定理求出BC`的长度，从而得出
答案．
解：（1）根据题意可得：AC=2.5米，BC=0.7米，∠ABC=90°，
答：梯子的顶端距地面有2.4米；
（2）梯子的底部在水平方向不是滑动了 米，理由如下
根据题意可得：A′C′=2.5米，A′B=2.4-0.4=2米，则CC′=1.5-0.7=0.8米，
即梯子的底端在水平方向滑动0.8米，不是0.4米．
【点拨】本题主要考查的就是直角三角形勾股定理的应用问题，属于简单题
型．在解决这个问题的时候首先要明白直角三角形中有哪些线段，然后找出已知
的线段和未知的线段，从而利用勾股定理得出线段的长度．
类型二、应用勾股定理解决旗杆高度
2．数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗
用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根
据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？
【答案】旗杆的高度为15米．
【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度AB=x米，则绳
子的长度AC=(x+2)米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
解：设旗杆高AB=xm，则绳子长为AC=(x+2)m.
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
由勾股定理得AB2+BC2=AC2，
所以x2+82=(x+2)2.
解得x=15m.
所以旗杆的高度为15米．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量
关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.当题目中出现直角三角形，且该直角
三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解这在几何的计算问题中是经常用到的，
请同学们熟记并且能熟练地运用它.
举一反三：
【变式1】八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳
子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面．你能将
旗杆的高度求出来吗？【答案】12米
【解析】本题考查了勾股定理的实际应用，由题可以知道,旗杆,绳子与地面构成直角三
角形,根据题中数据,用勾股定理即可解答.
设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，
∵旗杆垂直于地面，
∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，
由题意列式为x2+52=（x+1）2，
解得x=12m，
所以旗杆的高度为12米．
【变式2】如图，为了测量旗杆AB的高度，可以利用从旗杆顶端垂下的绳子，当绳子
垂直地面时，量得绳子比旗杆多1m，将绳子拉直到地面的C点，测得CB的长为5m，求
旗杆AB的高度．
【答案】12m
【分析】设旗杆的高度是x米，绳子长为（x+1）米，旗杆，拉直的绳子和BC构成直
角三角形，根据勾股定理可求出x的值，从而求出旗杆的高度．
解：设旗杆AB的高度为xm，则AC=（x+1）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2+BC2=AC2
即52+x2=（x+1）2
解得：x=12．
答：旗杆AB的高度为12m．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，关键看到旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求解．
类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离
3．如图，有两棵树 和 米， 米，两树之间的距离
米，一只鸟从 处飞到 处，则小鸟至少飞行多少米?
【答案】小鸟至少飞行 米．
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所
行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解：连接 ，
作 于 ，
则 (米)
米．即小鸟至少飞行 米．
【点拨】本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
【变式1】在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝
AC，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新
建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH
＝2.4千米，HB＝1.8千米．
（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
【答案】（1）是，理由见解析；（2）2.5米．
【分析】
（1）先根据勾股定理逆定理证得Rt△CHB是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，
垂线段最短即可解答；
（2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8，在Rt△ACH中，根据勾股定理列方程求得x即可．
解：（1）∵ ，即 ，
∴Rt△CHB是直角三角形，即CH⊥BH，
∴CH是从村庄C到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；
（2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8，
∵在Rt△ACH，
∴ ，即 ，解得x＝2.5，
∴原来的路线AC的长为2.5米．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解答本题
的关键．
【变式2】如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？
（先画出示意图，然后再求解）．【答案】小鸟飞行的最短路程为13m．
【详解】根据题意画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．
解：如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E
∵AB=13，CD=8
又∵BE=CD，DE=BC
∴AE=AB-BE=AB-CD=13-8=5
∴在Rt△ADE中，DE=BC=12
∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169
∴AD=13（负值舍去）
答：小鸟飞行的最短路程为13m．
类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度
4．如图所示，一棵大树高8米，一场大风过后，大树在离地面3米处折断倒下，
树的顶端落在地上，则此时树的顶端离树的底部有多少米．
【答案】4【分析】设此时树的顶端离树的底部有 x 米，再由勾股定理即可得出结论．
解：设此时树的顶端离树的底部有 x 米，由勾股定理得：x2＝（8﹣3）2﹣32＝42
解得：x＝4，x＝﹣4（舍去）
答：此时树的顶端离树的底部有4米．
【点拨】考查了勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．
举一反三：
【变式】今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、
葭长各几何？译文：有一个边长为 10 尺的正方形水池正中间长有一棵芦苇，高出水面
1 尺，把芦苇拉向岸边，刚好到岸.问：池水有多深？芦苇有多高？
【答案】池水有12尺深，芦苇有13尺高.
【分析】设水池深x尺．根据勾股定理即可得出结论．
解：设水池深x尺．根据题意得：
x2+（ ）2=（ x+1） 2
解得：x=12
x+1=12+1=13．
答：池水有12尺深，芦苇有13尺高．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题
5．"引葭赴岸“是《九章算木》中的- -道题:”今有池一丈,葭生其中央,出水一尺，引
葭赴岸,迺与岸芥.伺水深,葭氏各几何?"题意是:有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇
AB生长在它的中央,高出水面BC为1尺.如果把该芦苓沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那
么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'.向芦苇长多少? (画出几何图形并解答)
【答案】13尺【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则B'C＝5尺，
设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到
芦苇的长和水深．
解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x−1）尺，
因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，52＋（x−1）2＝x2，
解之得x＝13，
即水深12尺，芦苇长13尺．
故芦苇长13尺.
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
举一反三：
【变式1】小芳在喝易拉罐饮料的时候，发现如果沿着罐内壁 竖直放置吸管，露在外
面部分 厘米；如果尽最大长度往里放置，吸管正好和罐顶持平，已知易拉罐的底
部是直径 为8厘米的圆，请你求出吸管的长度.
【答案】17cm
【分析】当吸管竖直放置时，吸管高度与罐内壁相差2厘米，故可设吸管长度为x，则易
拉罐高为x-2，根据吸管斜置时的剖面图为直角三角形，根据勾股定理列出关于x的方程即
可求出x的值即吸管的长度.
解：设吸管长度为x,则易拉罐高BC为x-2,
在 中，由勾股定理可得：即：
解得：
即吸管的长度为17厘米.
【点拨】本题主要考查勾股定理，根据图形正确设出未知数，利用勾股定理列出方程是解
决本题的关键.
【变式2】如图所示，水池中离岸边 点1.5米的 处直立着一根芦苇，露出水面部分
的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 恰好落在 点，求水池中水的深度.
【答案】2米.
【分析】首先设水池中水的深度 为 米，，则 米，然后再利用
勾股定理可得方程 ，再解即可．
解：设水池中水的深度 为 米，
则 米.
在 中，根据勾股定理，
得 ，
即 .
解得 .
所以水池中水的深度为2米.
【点拨】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于理解题意列出方程.类型六、应用勾股定理解决航海问题
6．中日钓鱼岛争端持续，我国海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度.如图，
， 海里， 海里，钓鱼岛位于 点，我国海监船在点 处发现有
一不明国籍的渔船自 点出发沿着 方向匀速驶向钓鱼岛所在地点 ，我国海监船立即
从 处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点 处截住了渔船.
（1）请用直尺和圆规作出 处的位置.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求我国海监船行驶的航程 的长.
【答案】(1)见详解(2)25海里
【分析】(1)由题意得，我渔政船与不明船只行驶距离相等，即在 上找到一点，使
其到A点与B点的距离相等，所以连接 ，作 的垂直平分线即可．
(2)利用第(1)题中的 设BC=x海里，则AC=x海里．在直角三角形 中，
海里、 海里，利用勾股定理列出方程 ，解得即
可．
解：(1)作AB的垂直平分线与OA交于点C；(2)连接BC，设BC为x海里，则CA也为x海里，OC为 海里
∵∠O=90°，
∴在 中, ，
即： ，
解得： ，
答：我国渔政船行驶的航程BC的长为25海里.
【点拨】本题主要考查尺规作图以及勾股定理的应用.
【变式1】如图，某港口 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船
同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 海里，“海天”号每小
时航行 海里.它们离开港口一小时后分别位于点 处，且相距 海里.如果知道“远
航”号沿北偏东 方向航行,你能判断“海天”号沿哪个方向航行吗?请说明理由.
【分析】利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案．
解：由题意可得：RP＝12海里，PQ＝16海里，QR＝20海里，∵ ，即
∴△RPQ是直角三角形，
∴∠RPQ＝90°，
∵“远航”号沿北偏东50°方向航行，
∴“海天”号沿北偏东40°方向航行．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的逆定理以及解直角三角形的应用，正确得出各线
段长是解题关键．
【变式2】一只渔船在灯塔C的正西方向10海里的A处，以20海里/时的速度沿北偏
东30°方向行驶．
（1）多长时间后，渔船距灯塔最近？
（2）多长时间后，渔船行驶到灯塔的正北方向？此时渔船距灯塔有多远？（其中：
202-102=17.32）
【答案】（1）0.25小时后，船距灯塔最近；（2）1小时后，船到灯塔的正北方向，
此时船距灯塔有17.3海里．
【分析】（1）根据方向角可知∠CAD=60°，由三角函数可求AD的长，根据时间=路
程÷速度，列式计算即可求解；
（2）根据题意求出AB的长，再根据时间=路程÷速度，列式计算即可求解．
解：（1）如图所示，
由题意可知，当船航行到D点时，距灯塔最近，此时，CD⊥AB．
因为∠BAC=90°-30°=60°，
所以∠ACD=30°．
所以AD= AC= ×10=5（海里）．
又因为5÷20=0.25（小时），
所以0.25小时后，船距灯塔最近．
（2）当船到达灯塔的正北方向的B点时，BC⊥AC．
此时∠B=30°，
所以AB=2AC=2×10=20（海里）．
所以20÷20=1（小时）．
所以BC2=AB2-AC2=202-102=17.32．
所以BC≈17.3（海里）．
即1小时后，船到灯塔的正北方向，此时船距灯塔有17.3海里．
【点拨】本题主要考查了方向角含义，三角函数，解直角三角形的应用，正确记忆三
角函数的定义是解决本题的关键．
类型七、应用勾股定理解决河的宽度
7．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地
点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度AB为多
少米？
【答案】1200米
【解析】由题可看出，A,B,C三点构成一个直角三角形，AB,BC为直角边，AC，是斜
边，可设AB=X,AC=10+X
因为BC=50根据勾股定理可知
考点：勾股定理，三角函数的值
点评：本题属于勾股定理的基本运算和求解方法，在解题中需要合理的作图
举一反三：
【变式1】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 ，
较小的直角边长都为 ，斜边长都为 ），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为
，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 ， ，
斜边长为 ，则 ．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 ， ，其中 ，由于某种原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定
在河边新建一个取水点 （ 、 、 在同一条直线上），并新修一条路 ，且
，测得 千米， 千米，求新路 比原路 少多少千米？
（3）在第（2）问中若 时， ， ， ， ，设
，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）新路CH比原路CA少0.05千米；（3） ．
【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积
求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）设CA ，则AH ，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；
（3）在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2=CA2-AH2=CB2-BH2，列出方程
求解即可得到结果．
解：（1）梯形ABCD的面积为 ，
也可以表示为 ，∴ ，
整理得： ；
（2）∵CA ，
∴AH ，
在Rt△ACH中， ，
即 ，
解得x=1.25，
即CA=1.25，
CA-CH=1.25-1.2=0.05（千米），
答：新路CH比原路CA少0.05千米；
（3）设AH ，则BH ，
在Rt△ACH中， ，在Rt△BCH中， ，
∴ ，
即 ，
解得： ．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的证明与应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾
股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，
【变式2】印度数学家什迦罗在其著作中提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，
面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
此题的大致意思是：湖水中一枝荷花高出湖面半尺，被风一吹，荷花倾斜，正好与湖
面持平，且荷花与原来位置的水平距离为二尺，问湖水有多深．
【答案】3.75尺
【分析】先根据题意构造出直角三角形（即荷花的折断与不断时恰好构成直角三角
形），再根据已知条件求解．
解：设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5，
根据勾股定理得：
解得：x=3.75.
答：湖水深3.75尺.
故答案为：3.75尺.
【点拨】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于结合题意列出一元二次方程.
类型八、应用勾股定理解决台阶上地毯问题
8．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A、B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁
沿台阶面爬行到B点最短路程是多少米？
【答案】蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为2.5米.
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，则蚂蚁沿台阶面爬
行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=22+[（0.2+0.3）
×3]2=2.52，解得：x=2.5．
【点拨】本题用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
举一反三：
【变式1】 如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，
10cm，6cm，点 和点 是这个台阶的两个相对的端点， 点处有一只蚂蚁，那么这只蚂
蚁从点 爬到点 的最短路程是多少？
【答案】73cm
【分析】首先把楼梯展开得到平面几何图，根据“两点之间，线段最短”得到蚂蚁所
走的最短路线为AB，则问题是求AB的长，根据已知数据得出AC、BC的长，再利用勾股
定理求出AB的长，即可完成解答.解：如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段
的长.
在 中， ， .
由勾股定理，得 .所以 .
因此，蚂蚁从点 爬到点 的最短路程是73cm.
【点拨】此题考查勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问
题是解题的关键.
【变式2】如图，小明准备把一支笔放入铅笔盒 ，竖放时笔的顶端E比铅笔盒
的宽 还要长 ，斜着放入时笔的顶端F与铅笔盒的边缘 距离为 ，求铅笔
盒的宽 的长度．
【答案】铅笔盒的宽 的长度为 ．
【分析】设铅笔盒的宽 的长度为 ，则笔长 ，然后根据勾股定理列
方程解答即可．解：设铅笔盒的宽 的长度为 ，则笔长 ，
由题意得 ，
解得 ．
答：铅笔盒的宽 的长度为 ．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意、根据勾股定理列出方程是解答本题
的关键．
类型九、应用勾股定理解决汽车是否超速问题
9。“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速
度不得超过60千米／时．这时一辆小汽车在一条城市街道直路上行驶，某一时刻刚好行驶
到路对面车速检测仪A正前方50米C处，过了8秒后，测得小汽车位置B与车速检测仪A
之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
【答案】汽车没有超速，理由见解析
【解析】直接利用勾股定理得出BC的长，进而得出汽车的速度，即可比较得出答案．
由题意：在Rt△ABC中 AC2+BC2=AB2
∵AC=50 AB=130，
∴BC=120米，
汽车速度=120÷8=15（米/秒）
限速60千米/时≈16.67米/秒，
汽车速度＜限速，
故汽车没有超速．
考点：勾股定理的应用．
【变式1】如图，居民楼 与公路 相距60米，在距离汽车100米处就会受到汽车噪
音影响，在公路上以20米/秒的速度行驶的汽车，会给 楼的居民带来多长时间的噪音影响？
【答案】8秒.
【分析】设汽车行驶到点P′处噪音影响结束，则AP′=AP．由勾股定理得到BP的长，
然后求得BP′长，利用速度路程时间之间的关系求得时间即可．
解：如图所示，假设汽车行至点 时，居民恰好受到噪音影响，行至点 时，居民恰
好脱离噪音影响.
根据题意，得 米.
又因为 .
所以 和 均为直角三角形.
根据勾股定理，得 .
所以 米.
同理，得 米.
因此汽车从点 行至点 所需时间为 （秒）.
即会给 楼居民带来8秒的噪音影响.
【点拨】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于得到BP的长.
【变式2】《中华人民共和国道路交通安全法》规定，汽车在公路上行驶，要遵守道
路限速规定．菜海路限速70千米/小时，小明的爸爸驾车在这条路上行驶，某一时刻刚好驶到车速检测仪 的正前方30米的 处，过2秒后，测得小汽车与车速检测仪距离为50
米，请问，小明的爸爸超速了吗？为什么？
【答案】超速
【解析】【分析】在直角三角形ABC中，已知AB，AC根据勾股定理即可求出小汽
车2秒内行驶的距离BC，根据小汽车在两秒内行驶的距离BC可以求出小汽车的平均速度，
求得数值与70千米/时比较，即可计算小汽车是否超速．
解：超速，理由如下：
由题意知，
在 中，
由勾股定理知
解得：
（米/秒）
20米/秒 72千米/时
72千米/时 70千米/时
答：小明爸爸超速.
【点拨】本题考查勾股定理，熟练掌握计算法则是解题关键.
类型十、应用勾股定理解决是否受台风影响问题
10．如图， 城气象台测得台风中心在 城正西方向 的 处，以每小时
的速度向南偏东 的 方向移动，距台风中心 的范围内是受台风影响的区域.
（1）求 城与台风中心之间的最小距离；（2）求 城受台风影响的时间有多长？
【答案】（1） 城与台风中心之间的最小距离是 ；（2） 城遭受这次台风
影响的时间为 小时.
【分析】（1） 城与台风中心之间的最小距离即为点A到OB的垂线段的长，作
，根据直角三角形中 所对的直角边等于斜边的一半求解即可；
（2）设 上点 ， 千米，则还有一点 ，有 千米,则在DG范
围内， 城遭受这次台风影响，所以求出DG长，除以台风移动的速度即为时间.
解： 作
在 中，
，则
答： 城与台风中心之间的最小距离是
设 上点 ， 千米，则还有一点 ，有
千米
是等腰三角形，
是 的垂直平分线，
在 中， 千米， 千米由勾股定理得，
千米，遭受台风影响的时间是： （小时）
答： 城遭受这次台风影响个时间为 小时
【点拨】本题考查了含 直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，正确
理解题意是解题的关键.
举一反三：
【变式1】28．如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是重庆市第九十四中
学，AP＝160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受
到噪音影响．
（1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？
【答案】（1）学校会受到影响，理由见解析；（2）学校受到影响的时间是2.4秒．
【分析】（1）过点A作AE⊥MN于点E，由点A到铁路MN的距离为80米可知AE＝
80m，再由火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；
（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则
AB＝AC＝100m，在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE的长，进而可得出BC的长，根据火
车的速度是180千米/时求出火车经过BC是所用的时间即可．
解：（1）会受到影响．
过点A作AE⊥MN于点E，∵点A到铁路MN的距离为80米，
∴AE＝80m，
∵周围100米以内会受到噪音影响，80＜100，
∴学校会受到影响；
（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则
AB＝AC＝100m，
在Rt△ABE中，
∵AB＝100m，AE＝80m，
∴BC＝2BE＝120m，
∵火车的速度是180千米/时＝50m/s，
∴t＝ ＝ ＝2.4s．
答：学校受到影响的时间是2.4秒．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，
构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．
【变式2】如图，某居民楼A与公路MN相距60m（AB=60m），在公路MN上行驶
的汽车在距居民楼A100m的点P处就可使其受到噪音的影响，求在公路上以10m/s的速度
行驶的汽车给居民楼A的居民带来多长时间的噪音影响．
【答案】16秒
【解析】设汽车行驶到点P′处噪音影响结束，连接AP′，则AP′=AP．由勾股定理得到
AP的长，然后求得PP′长，利用速度路程时间之间的关系求得时间即可．解：如图，设汽车行驶到点P′处噪音影响结束，连接AP′，则AP′=AP．
∵由勾股定理得到：
∴PP′=2PB=2×80=160米，
∴影响时间为160÷10=16秒，
答：影响时间为16秒．
类型十一、应用勾股定理解决选扯距离相离问题
11．某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km的 ， 两站之间 点修
建一个土特产加工基地，使 点到 ， 两村的距离相等．如图， 于点 ，
于点 ， ， ，土特产加工基地 应建在距离 站多少
千米的地方？
【答案】土特产加工基地 应建在距离 站10千米的地方．
【分析】已知AB=25km，设AE= ，则BE=（25- ）km，根据勾股定理可以分别表
示出DE和CE的长度，根据题目条件DE=EC，列出方程求解即可.
解：设 ，则 ．
在 中， ，
在 中， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得 ．
答：土特产加工基地 应建在距离 站10千米的地方．
【点拨】本题考查的是勾股定理的实际应用，利用勾股定理表示出相应的线段，再根
据题目的已知条件列出方程是解本题的关键.
【变式1】 铁路上A,B两站（视为直线上的两点）相距50km，C,D为两村庄（视为
两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km,CB=10km,现在要在
铁路AB上建一个土特产收购站E,使得C,D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计
出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.
【答案】收购站E到A站的距离为22km
解：连接CD,并作线段CD的垂直平分线,垂直平分线到端点距离相等，再利用勾股定
理求EA长.
连接DE,CE ，设AE=x km, 则BE=(50-x) km ,
在Rt△ADE中, ,
∴ ,
在Rt△BCE中, ,
∴ ,又DE=CE, ∴ ,
