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专题 1.5 四边形存在性问题
【例题精讲】
【例1】如图，以 的各边，在边 的同侧分别作三个正方形 ， ，
．
（1）求证： ；
（2）求证：四边形 是平行四边形．
（3）直接回答下面两个问题，不必证明：
①当 满足什么条件时，四边形 是矩形？
②当 满足什么条件时，四边形 是正方形？
【题组训练】
菱形存在性
1．在 中， 是 的中点， 是 的中点，过点 作 交 的延长线于
点 ．
（1）求证： ；
（2）当 满足什么条件时，四边形 是菱形，并证明．
2．如图，在 中， 是 边上的中点，连接 ，并延长 交 的延长线于点
．
（1）求证： ；（2）连接 、 ，当 平分 时，求证：四边形 是菱形．
3．已知：如图，在 中， ， 平分 ， ，垂足为 ，
．连接 ，交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）点 在 上，连接 ， ．现有三个论断：① ；② ；③
．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形 是菱形．
4．如图，已知 ， ，且 ．
（1）请你判断 是 的中线还是角平分线？请证明你的结论；
（2）连接 ， ，是否可以在 中添加一个条件，使四边形 是菱形？如果
可以，试写出这个条件；若不可以，请说明理由．
矩形存在性
5．如图， 中，点 是边 的中点，过 作直线 ， 的平分线交直线 于点 ，点 是 的边 延长线上的点， 的平分线交直线 于点 ．
求证：四边形 是矩形．
6．已知：如图， 中， 平分 交 于点 ， 为 中点，过点 作
，交 延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）当 满足什么条件时，四边形 是矩形？请证明你的结论．
7．已知在四边形 中，作 交 于 点且 ，交 于点 ，连接
， ， ．求证：四边形 为矩形．
8．如图， ，且 ， 是 的中点，线段 和 相交于 点
（1）求证： ；
（2）连接 、 ，若要使四边形 是矩形，则需要给 添加什么条件，请说
明理由．9．如图，在 中，点 是边 上一个动点，过点 作直线 分别交 、
外角 的平分线于点 、 ．
（1）若 ， ，求 的长；
（2）连接 、 ．问：当点 在边 上运动到什么位置时，四边形 是矩形？
并说明理由．
10．如图，在 中， 是边 上的一个动点，过点 作直线 ，交 的平分
线于点 ，交 的外角 的平分线于点 ．给出下列信息：① ；②
；③ ．
（1）请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明： ；
（2）在（1）的条件下，连接 、 ，当点 在边 上运动到什么位置时，四边形
是矩形？请说明理由．
11．如图， 中，点 是边 上一个动点，过 作直线 ．设 交
的平分线于点 ，交 的外角平分线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长；
（3）当点 在边 上运动到什么位置时，四边形 是矩形？并说明理由．12．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发向点 运动，运动
到点 停止，同时，点 从点 出发向点 运动，运动到点 即停止，点 、 的速度都
是 ．连接 、 、 ．设点 、 运动的时间为 ．
（1）当 为何值时，四边形 是矩形；
（2）当 为何值时，四边形 是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形 的周长和面积．
正方形存在性
13．如图， 中，点 是边 上一个动点，过 作直线 ，设 交
的平分线于点 ，交 的外角平分线于点 ．
（1）探究：线段 与 的数量关系并加以证明；
（2）当点 在边 上运动时，四边形 会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说
明理由；
（3）当点 运动到何处，且 满足什么条件时，四边形 是正方形？
14．如图， 中， 交 于 ， 、 的平分线分别交 于 、
．（1）求证： ；
（2）当 与 的交点 在什么位置时，四边形 是矩形，说明理由；
（3）在（2）条件中，当 满足什么条件时，四边形 是正方形．（不需要证
明）
15．如图，在 中，点 是 边上的一个动点，过点 作直线 ，设 交
的角平分线于点 ，交 的外角平分线于点 ．
（1）求证： ；
（2）当点 运动到何处时，四边形 是矩形？并证明你的结论．
（3）当点 运动到何处，且 满足什么条件时，四边形 是正方形？并说明理由．
16．如图，在 中， ， ，垂足为点 ， 是 外角
的平分线， ，垂足为点 ，连接 交 于点 ．
（1） ．
（2）求证：四边形 是一个矩形．
（3）当 满足什么条件时，四边形 是一个正方形？请给出证明．17．如图， 是等腰 底边 上的高，点 是 中点，延长 到 ，使
，连接 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）①若 ， ，则四边形 的面积 ．
②若 ，则 时，四边形 是正方形．
