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专题 2.2 二次函数（基础篇）（专项练习）
一、单选题
知识点一、二次函数的判断
1．下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝3x＋1 B．y＝3x2﹣6 C． D．y＝﹣2x3＋x﹣1
2．下列是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝6x2+1 B．y＝6x+1 C．y＝ D．y＝﹣ +1
4．以x为自变量的函数：① ；② ；③ ；④
．是二次函数的有（ ）
A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
知识点二、根据二次函数定义求参数
5．若函数 是二次函数，那么 的值是（ ）
A．2 B．-2或2 C．-2 D．0或2
6．若函数 是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．2 B． 或3 C．3 D．
7．若 是二次函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若函数 是二次函数，则m的值为（ ）
A．3 B． C． D．9
知识点三、列二次函数解析式
9．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加 厘米，则面积随之增加 平方厘米，那么 与 之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
10．下列问题中的两个变量成反比例关系的是（ ）
A．汽车以80千米/时的速度行驶s千米，用时t时
B．正方形的周长C与它的面积S
C．有一水池的容量为100立方米，每小时的灌水量q（立方米）与灌满水池所需要的时间
t（小时）
D．圆的面积S与它的半径r
11．在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为
ycm2，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
12．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为
18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y=36（1﹣x） B．y=36（1+x） C．y=18(1﹣x)2 D．y=18（1+x2）
二、填空题
知识点一、二次函数的判断
13．像y＝－5x²＋100x＋60000， ， ，函数都是用自变量的_____次式
表示的．
一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成 （a，b，c是常数，
a≠0）的形式，则称y是x的______函数．其中，x是______，a为_______， 叫做
________；b为_______，bx叫做________；c为_______．
14．观察：① ；② ；③ ；④ ；⑤
；⑥ ．这六个式子中二次函数有___________________．
（只填序号）
15．关于 的二次函数 ，当 时，它是______函数；当时，它是______函数.
16．给出下列函数：① ；② ；③ ；④ .其
中是二次函数的有______，若把它写成 的形式，则 ______， ______，
______.
知识点二、根据二次函数定义求参数
17．已知函数 是二次函数，则m＝________．
18．已知y＝ +3是x的二次函数，则m＝_____．
19．二次函数 的图像经过原点，则 __________．
20．已知二次函数 的图像经过原点，则 的值是_______．
知识点三、列二次函数解析式
21．将长为 的铁丝首尾相连围成扇形（忽略铁丝的粗细），扇形面积为 、扇
形半径为 且 ，则 与 之间的函数关系式为__________．
22．已知 ，则 ___________
23．在实数范围内定义一种运算“※”，其运算法则为 ※ = ，根据这个法则，
若 ※ ，则 ________（写成一般式）．
24．在一幅长60cm,宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图
所示,如果要使整个挂图的面积是ycm2,设金色纸边的宽度为xcm,那么y关于x的函数是
___________．三、解答题
25．如果函数y=（m﹣3） +mx+1是二次函数，求m的值．
26．已知 是 关于 的二次函数，试确定 的值．
27．当m为何值时，函数 是二次函数．
28．如图2所示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S(cm2)与它的
一边长x(cm)之间的函数关系式．
29．某农科所研究出一种新型的花生摘果设备，一期研发成本为每台6万元，该摘果机的
销售量 (台)与售价 (万元/台)之间存在函数关系： ．
（1）设这种摘果机一期销售的利润为 (万元)，问一期销售时，在抢占市场份额(提示：
销量尽可能大)的前提下利润达到32万元，此时售价为多少？
（2）由于环保局要求该机器必须增加除尘设备，科研所投入了7万元研究经费，使得环保
达标且机器的研发成本每台降低了1万元，若科研所的销售战略保持不变，请问在二期销售中利润达到63万元时，该机器单台的售价为多少？
30．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上一个动点，过点
P作AB的垂线交AC边与点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边与点E.
（1）当点D为AC边的中点时，求BE的长；
（2）当PD=PE时，求AP的长；
（3）设AP 的长为 ，四边形CDPE的面积为 ，请直接写出 与 的函数解析式及自变
量 的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】根据二次函数的定义：形如 的函数，判断即可．
解：A、该函数是一次函数，故本选项不符合题意；
B、该函数二次函数，故本选项符合题意；
C、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意．
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
2．B
【分析】根据二次函数的定义，形如 ，其中 是常数 的函数是二
次函数，据此分析即可．
解：A. ，不是二次函数，故该选项不符合题意；B. ，是二次函数，故该选项符合题意；
C. ，是一次函数，故该选项不符合题意；
D. ，不是函数，故该选项不符合题意．
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
3．A
【分析】根据二次函数的定义求解．
解：A．是二次函数，故本选项符合题意；
B．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．等式的右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数的基础知识，熟练掌握二次函数的意义是解题关键．
4．C
【分析】根据二次函数的定义进行判断．
解：① ，符合二次函数的定义，故①是二次函数；
② ，符合二次函数的定义，故②是二次函数；
③ ，符合二次函数的定义，故②是二次函数；
④ ，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数．
所以，是二次函数的有①②③，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．
5．A
【分析】根据二次函数的定义得出 且 ，继而即可求解．
解：∵函数 是二次函数，∴ 且 ，
∴
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数的定义，解题的关键是根据二次函数的定义得出： 且
．
6．C
【分析】根据二次函数的定义条件列出方程与不等式即可得解．
解：∵函数 是关于x的二次函数，
∴ ，且 ，
由 得， 或 ，
由 得， ，
∴m的值是3，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的定义、解一元一次不等式、解一元二次方程等知识，解答
本题的关键是根据二次函数的定义列出方程与不等式．
7．A
【分析】根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a的不等式，解不等式即得答案．
解：由题意得： a-2 ≠0，则a≠2．
故选择：A．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，属于基础题型，掌握二次函数的概念是关键．
8．C
【分析】根据二次函数的定义即可得．
解：由题意得： ，
解得 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，熟记定义是解题关键．
9．D
【分析】根据题意列出增加的面积与原面积的关系式，即可解题．解：由题意得，
与 之间满足的函数关系是二次函数，
故选：D．
【点拨】本题考查列二次函数的表达式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关
键．
10．C
【分析】根据题意逐一写出两个变量之间的函数关系，逐一分析即可得到答案．
解：A、汽车以80千米/时的速度行驶s千米，用时t时，则 ， 是 的正比例函数，
故本选项错误；
B、正方形的面积 是 的二次函数，故本选项错误；
C、有一水池的容量为100立方米，每小时的灌水量q（立方米）与灌满水池所需要的时间
t（小时）的函数关系为： ，所以 是 的反比例函数，故本选项正确；
D、圆的面积S与它的半径r的函数关系为： 所以 是 的二次函数，故本选项错
误．
故选： ．
【点拨】本题考查的是列函数关系式，同时考查正比例函数，反比例函数，二次函数的含
义，掌握反比例函数的含义是解题的关键．
11．A
【分析】先求出原来的圆的面积，再用x表示挖去的圆的面积，相减得到圆环的面积．
解：圆的面积公式是 ，
原来的圆的面积= ，
挖去的圆的面积= ，
∴圆环面积 ．
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数的列式，解题的关键是根据题意用x表示各个量，然后列出函
数关系式．12．C
【分析】原价为18，第一次降价后的价格是18×（1-x），第二次降价是在第一次降价后的
价格的基础上降价的为：18×（1-x）×（1-x）=18（1-x）2，则函数解析式即可求得．
解：原价为18，
第一次降价后的价格是18×（1-x）；
第二次降价是第一次降价后的价格的基础上降价：18×（1-x）×（1-x）=18（1-x）2，
则函数解析式是：y=18（1-x）2，
故选：C．
【点拨】本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．
13．二 二次 自变量 二次项系数 二次项 一次项系数 一次项 常
数项
解：略
14．①②③④
【分析】根据二次函数的定义可得答案．
解：这六个式子中，二次函数有：①y=6x2；②y=-3x2+5；③y=200x2+400x+200；④
．
故答案为：①②③④．
【点拨】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．
15．二次 一次
【分析】将 和 代入到 中即可.当 时， ，
是二次函数；当 时， ，是一次函数.
解：当 时， ，是二次函数；当 时， ，是一次函数.
故答案为二次 一次
【点拨】本题主要考查二次函数与一次函数的定义，掌握一次函数与二次函数的定义是解
题的关键.
16．④ 1 0
【分析】根据二次函数的概念： 逐一进行判断即可.①②③都不满足二次函数的形式，④是二次函数
解：①不满足二次函数的形式，所以不是二次函数；
② ，是一次函数，也不满足要求；
③不满足二次函数的形式，所以不是二次函数；
④ 是二次函数
所以二次函数只有④
其中
故答案为 ④ 1 0
【点拨】本题主要考查二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键.
17．
【分析】根据二次函数的定义得出 且 ，求出即可．
解： 函数 是二次函数，
且 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是能熟记二次函数的定义即：表示形式
为 ．
18．-1
【分析】根据二次函数定义可得m2﹣m＝2，且m﹣2≠0，再解出m的值即可．
解：由题意得：m2﹣m＝2，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点拨】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握一般地，形如
（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a
是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做
二次函数的一般形式．
19．3【分析】根据二次函数图像过原点，把 代入解析式，求出m的值，还需要考虑二次项
系数不能为零．
解：根据二次函数图像过原点，把 代入解析式，
得 ，整理得 ，解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【点拨】本题考查二次函数图像的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的
隐藏条件．
20．
【分析】根据二次函数图像经过原点、并结合二次项系数不为零进行解答即可．
解：∵二次函数 的图像经过原点
∴
∴ ．
故答案是：
【点拨】本题考查了根据二次函数的定义求参数、解一元一次不等式、解一元二次方程等，
熟练掌握相关知识点是解题的关键．
21．
【分析】根据扇形的面积公式即可得．
解：扇形的面积公式： ，其中 为扇形的弧长， 为扇形半径，
由题意得：扇形的弧长为 ，
则 ，
即 ，故答案为： ．
【点拨】本题考查了扇形的面积公式、列二次函数关系式，熟记公式是解题关键．
22．2．
【分析】求 的值，即是求当 时， 的值，从而进行计算即可得到答案．
解：∵
∴
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了函数在某一点的函数值，解题的关键是把该点的 值代入函数解
析数进行运算求解．
23．
【分析】先根据新定义列出关系式，然后改写成一般式即可．
解：由题意可得：
整理，得：
故答案为：
【点拨】本题考查新定义问题，正确理解题意列出关系式并准确计算是解题关键．
24．y=(60+2x)(40+2x)
解：试题分析：整个挂图仍是矩形，长是：60＋2x，宽是：40＋2x，
由矩形的面积公式得
y＝(60＋2x)(40＋2x)．
故答案为y＝(60＋2x)(40＋2x)．
点睛：本题考查了根据实际题意列函数解析式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决
问题的关键．本题需注意长和宽的求法．
25．0
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数
是二次函数，即可答题．
解：根据二次函数的定义：m2﹣3m+2=2，且m﹣3≠0，解得：m=0．
【点拨】本题考查二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．
26．
【分析】根据二次函数的定义：最高次数是2，二次项系数不能是0，求出m的值．
解：根据题意得 ， ，解得 ， ，
∵ ，即 ，
∴ ．
【点拨】本题考查二次函数的定义，解题的关键是二次函数的定义．
27．m=3
【分析】根据二次函数的定义即可求出结论．
解：∵函数 是二次函数
∴
解得：m=3
即当m=3时，函数 是二次函数．
【点拨】此题考查的是根据二次函数的定义，求参数，掌握二次函数的定义是解题关键．
28．S＝- x2＋30x（0＜x＜30）
【分析】由铁丝的长是60cm，一边长xcm，可知另一边长是（30-x）cm，然后根据长方形
的面积公式即可求出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式．
解：∵铁丝的长是60cm，一边长xcm，
∴另一边长是（30-x）cm，
∴S=x（30-x）＝- x2＋30x（0＜x＜30）.
【点拨】本题考查了列二次函数解析式，解决本题的关键得到所求矩形的等量关系，易错
点是得到另一边的长度；注意求自变量的取值应从线段的长为正数入手考虑．
29．（1）在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台；（2）要
使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．
【分析】（1）先根据等量关系式：总利润=（售价-成本） 销售量，列出函数关系式，再
将 代入函数关系式得出方程求解即得；（2）先根据等量关系式：总利润=（售价-新成本） 销售量-7，列出函数关系式，再将
代入函数关系式得出方程求解即得．
解：（1）根据题意列出函数关系式如下：
当 时， ，
解得 ， ．
∵要抢占市场份额
∴ ．
答：在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台．
（2）降低成本之后，每台的成本为5万元，每台利润为 万元，销售量 ．
依据题意得 ，
当 时， ，解得 ， ．
∵要继续保持扩大销售量的战略
∴
答：要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．
【点拨】本题考查函数解析式及解一元二次方程，解题关键是正确找出等量关系式：总利
润=（售价-成本） 销售量．
30．（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出 的长，从而求出BP
的长，然后求出BE的长；
（2）设AP= ，则BP=4— ，根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出PD和
PE的长，再根据PD=PE列出方程即可.
（3）分别用AP表示PD、PE、BE,再根据 即可求出.解：
（1）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∵点D为AC边的中点
,
∵∠DPE=60°，过点P作AB的垂线交AC边与点D，
∴∠EPB=30°，∴EB
（2）设AP= ，则BP=4— ，在两个含有30°的 中得出：
AD=2DP，BP=2BE，由勾股定理解得： ，
∵PD=PE，∴ 解得 即有AP=
（3）由（2）知：AP= ，
【点拨】本题主要考查了含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理，以及二次函数，熟
练掌握相关知识是解题的关键.
