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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.2二次函数的图象与性质（1）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021秋•新洲区月考）二次函数 的图象的开口方向是
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
【分析】根据二次函数二次项的系数的符号确定开口方向即可．
【解析】 二次函数 的 ，
开口向上，
故选： ．
2．（2020秋•射阳县期末）若二次函数 的图象经过点 ，则该图象必经过点
A． B． C． D．
【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为 轴，再根据二次函数的对称性解答．
【解析】 二次函数 的对称轴为 轴，
若图象经过点 ，则该图象必经过点 ．
故选： ．
3．（2019秋•西湖区期末）若二次函数 的图象经过点 ，则该图象必经过点
A． B． C． D．
【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为 轴，再根据二次函数的对称性解答．
【解析】 二次函数 的对称轴为 轴，若图象经过点 ，则该图象必经过点 ．
故选： ．
4．（2019秋•江城区期中）关于函数 的叙述，错误的是
A．图象的对称轴是 轴 B．图象的顶点是原点
C．当 时， 随 的增大而增大 D． 有最大值
【分析】根据二次函数的性质得出函数 的对称轴及其增减性即可得出结论．
【解析】 函数 的顶点在原点，
其对称轴是 轴，顶点是原点，故 、 正确；
函数 的开口向上，顶点是原点，
当 时， 随 的增大而增大， 有最小值，故 正确， 错误．
故选： ．
5．（2020春•兴庆区校级月考）下列抛物线的图象，开口最大的是
A． B． C． D．无法确定
【分析】根据二次函数中 的值越小，函数图象的开口越大作答．
【解析】 二次函数中 的值越小，函数图象的开口越大，
又 ，
抛物线 的图象开口最大，
故选： ．
6．（2020•新宾县三模）在同一平面直角坐标系中， ，函数 与 的图象可能正确的有
个A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】分 和 时，分别判断两函数的图象即可求得答案．
【解析】当 时，则函数 中， 随 的增大而增大，函数 开口向上，故①正确，④错误；
当 时，则函数 中， 随 的增大而减小，函数 开口向下，故③不正确，②正确；
两函数图象可能是①②，
故选： ．
7．（2020秋•成都期末）如图，当 时，函数 与函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数和二次函数的图象得出 、 的范围，看看是否相同且 即可．
【解析】 、根据一次函数得出 ， ，根据二次函数得出 ，则 ，故本选项错误；
、根据一次函数得出 ， ，根据二次函数得出 ，则 ，故本选项错误；
、根据一次函数得出 ， ，根据二次函数得出 ，则 ，故本选项正确；
、根据一次函数得出 ， ，根据二次函数得出 ，则 ，故本选项错误；
故选： ．
8．（2020秋•临沭县期末）二次函数 与一次函数 在同一坐标系中的大致图象可能是A． B．
C． D．
【分析】由一次函数 可知，一次函数的图象与 轴交于点 ，即可排除 、 ，然后根据二
次函数的开口方向，一次函数经过的象限，与 轴的交点可得相关图象进行判断．
【解析】由一次函数 可知，一次函数的图象与 轴交于点 ，排除 、 ；
当 时，二次函数 开口向上，一次函数 经过一、三、四象限，当 时，二次函数开
口向下，一次函数经过一、二、四象限，排除 ；
故选： ．
9．（2020•东莞市一模）如图在同一个坐标系中函数 和 的图象可能的是
A． B．
C． D．
【分析】分两种情况进行讨论： 与 进行讨论即可．
【解析】当 时，函数 的图象经过一、三、四象限；函数 的开口向上，对称轴在 轴
上；当 时，函数 的图象经过二、三、四象限；函数 的开口向下，对称轴在 轴上，故
正确．
故选： ．
10．（2020•嘉兴）已知二次函数 ，当 时 ，则下列说法正确的是
A．当 时， 有最小值 B．当 时， 有最大值
C．当 时， 无最小值 D．当 时， 有最大值
【分析】方法 1、①当 时，当 ， 同号时，先判断出四边形 是矩形，得出
， ， 进 而 得 出 ， 即 ， 再 判 断 出
，即可得出 的范围，当 ， 异号时， ，当 ， 时， 最小 ，
即可得出 的范围；
②当 时，当 ， 同号时，同①的方法得出 ， ，进而得出
，而 ，再判断出 ，当 ， 异号时， ，则 ，
即可求出 ， ，即可得出结论．
方法2、根据抛物线的性质判断，即可得出结论．
【解析】方法1、①当 时，当 ， 同号时，如图1，
过点 作 于 ，
，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
在 中， ，
点 ， 在抛物线 上，且 ， 同号，
，，
，
当 ， 异号时， ，
当 ， 时， ，此时， ，
，
即 ，
即 无最大值，有最小值，最小值为 ，故选项 ， 都错误；
②当 时，如图2，
当 ， 同号时，过点 作 于 ，
同①的方法得， ， ，
，
在 中， ，
点 ， 在抛物线 上，
，
当 时， ，
点 ， ，
，
此时， ，
，
，
，
当 ， 异号时， ，
，， ，
即 ，
无最小值，有最大值，最大值为2，故选项 错误；
故选： ．
方法2、当 时，
当 ， 在 轴同侧时， ， 都越大时， 越接近于0，但不能取0，即 没有最小值，
当 ， 异号时，当 ， 时， 最大，
当 时，当 ， 在 轴同侧时， ， 离 轴越远， 越大，但取不到最大，
当 ， 在 轴两侧时，当 ， 时， 取到最小，最小值为 ，
因此，只有选项 正确，
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021秋•南部县校级月考）二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大，则
．
【分析】根据二次函数的性质，列出方程及不等式，即可解得答案．
【解析】由 是二次函数，且当 时， 随 的增大而增大，得：
，
解得： ，
故答案为： ．
12．（2019秋•奉贤区期末）如果二次函数 的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那
么 的取值范围是 ．
【分析】由于二次函数的图象在对称轴 的右侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为
正数．
【解析】 二次函数的图象在对称轴 的右侧部分是上升的，
这个二次函数的二次项系数为正数，
，
故答案为 ．
13．（2019秋•顺河区校级月考）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作
出函数 与 的图象，则阴影部分的面积是 8 ．【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，
由此可以求出阴影部分的面积．
【解析】 函数 与 的图象关于 轴对称，
图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
而边长为4的正方形面积为16，
所以图中的阴影部分的面积是8．
故答案为8．
14．（2019秋•灞桥区校级月考）若二次函数 ，当 时， ；则当 时，
的值是 ．
【分析】根据题意把当 时， 代入二次函数 求 的值， 然后再把 代
入函数解析式求 值 ．
【解析】 当 时， ，
，
解得， ．当 时， ．
15．（2019•南关区校级一模）已知点 ， ， 在抛物线 ，则 ，
， 的大小关系是 （用 “ ” 连接） ．
【分析】把点的坐标代入抛物线解析式， 可分别求得 ， ， 的值， 再比较大小即可 ．
【解析】
点 ， ， 在抛物线 ，
， ， ，
，
，
故答案为： ．
16．（2019秋•城厢区月考）如图所示三个二次函数的图象中，分别对应的是：① ；② ；
③ ；则 、 、 的大小关系是 ．【分析】抛物线 的开口大小由 决定． 越大，抛物线的开口越窄； 越小，抛物线的开口越
宽，据此即可得到结论．
【解析】如图所示：① 的开口小于② 的开口，则 ，
③ ，开口向下，则 ，
故 ．
故答案为 ．
17．（2020•石景山区一模）在平面直角坐标系 中，函数 的图象与函数 的图
象组成图形 ．对于任意实数 ，过点 且与 轴平行的直线总与图形 有公共点，写出一个满足条
件的实数 的值为 答案不唯一，如： （写出一个即可）．
【分析】求得两个函数的图象的交点，根据图象即可求得．
【解析】由 解得 或 ，
函数 的图象与函数 的图象的交点为 和 ，
函数 的图象与函数 的图象组成图形 ．
由图象可知，对于任意实数 ，过点 且与 轴平行的直线总与图形 有公共点，则 ，故答案为答案不唯一，如： ，
18．（2019•南关区二模）如图，垂直于 轴的直线 分别与抛物线 和抛物线
交于 ， 两点，过点 作 轴分别与 轴和抛物线 交于点 、 ，过点 作
轴分别与 轴和抛物线 交于点 、 ，则 的值为 ．
【分析】可以设 、 横坐标为 ，易求得点 、 、 的坐标，即可求得 、 、 、 的长度
即可解题．
【解析】设点 、 横坐标为 ，则点 纵坐标为 ，点 的纵坐标为 ，
轴，
点 纵坐标为 ，
点 是抛物线 上的点，
点 横坐标为 ，
轴，点 纵坐标为 ，
点 是抛物线 上的点，
点 横坐标为 ，
， ， ， ，
则 ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋•惠阳区校级月考）已知抛物线 经过点 ．
（1）求 的值；
（2）若点 在此抛物线上，求点 的坐标．
【分析】（1）把点 代入 求得 即可；
（2）再把点 代入抛物线解析式中即可得出 的值，从而得出点 坐标．
【解析】（1）把点 代入 ，
得 ，
；
（2）把点 代入 中，
得 ，
，
， ．20．已知抛物线 经过点
（1）判断点 是否在此抛物线上？
（2）求点 在此抛物线上，求点 的坐标．
【分析】（1）先将点 代入抛物线 求出 的值，再将 代入抛物线的解析式，求出对
应的 值即可判断；
（2）将 代入抛物线的解析式，求出 的值，即可得到点 的坐标．
【解析】（1）将点 代入抛物线 ，
可得 ，即 ，
则 ，
当 时， ，
所以点 不在此抛物线上；
（2）将 代入 ，
得 ，
解得 ，
则点 的坐标为 ， 或 ， ．
21．已知直线 与抛物线 都经过点 ．
（1）求直线及抛物线的解析式；
（2）判断点 是否在抛物线上；
（3）若点 在抛物线上，求 的值．【分析】（1）将 代入直线解析式求出 的值，代入抛物线解析式求出 的值，即可确定出直线及抛
物线解析式；
（2）由 与 的值确定出此点坐标，代入抛物线解析式检验即可；
（3）将 ， 代入抛物线解析式求出 的值即可．
【解析】（1）将 代入直线 中得： ，即 ，
直线解析式为 ；
将 代入抛物线 中得： ，
抛物线解析式为 ；
（2）由（1）得： ， ，即 ，
将 代入抛物线解析式得： ，即 不在抛物线上；
（3）将 ， 代入抛物线解析式得： ，
解得： 或 ．
22．根据下列条件求 的取值范围：
（1）函数 ，当 时， 随 增大而减小，当 时， 随 增大而增大；
（2）函数 有最大值；
（3）抛物线 与抛物线 的形状相同；
（4）函数 图象是开口向上的抛物线．
【分析】（1）根据二次项的系数小于0，对称轴左边 随 增大而减小，对称轴右边 随 增大而增大，
可得答案；
（2）根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0；
（3）根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反数；
（4）根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系．
【解析】（1）由 ，得 ．当 时，函数 ，当 时， 随 增大而减小，当 时， 随 增大而增大；
（2）由 ，得 ．
当 时，函数 有最大值；
（3）当 或 时，抛物线 与抛物线 的形状相同；
（4）当 时，函数 图象是开口向上的抛物线．
23．如图，直线 过 轴上一点 ，且与抛物线 相交于 ， 两点， 点的坐标为 ．
（1）求直线 的表达式及抛物线 的表达式；
（2）求点 的坐标；
（3）求 ；
（4）若抛物线上有一点 （在第一象限内），使得 ，求点 的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求直线 的解析式为 ；然后把 代入 得 ，从而
得到抛物线解析式；
（2）通过解方程组 可得 点坐标；
（3）根据三角形面积公式，利用 进行计算；
（4）根据二次函数图象上点的坐标特征，可设 ， ，利用三角形面积公式得到 ，然后解出 的值即可得到 点坐标．
【解析】（1）设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得 ，解得 ，
所以直线 的解析式为 ；
把 代入 得 ，
所以抛物线解析式为 ；
（2）解方程组 得 或 ，
所以 ；
（3） ；
（4）设 ， ，
，
，解得 或 （舍去），
， ．
24．如图，直线 经过点 ，与抛物线 交于点 ， ，且 点坐标为 ．
（1）求直线 的解析式及抛物线解析式；
（2）在抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出 点坐标；若不存在，
请说明理由．【分析】（1）将 、 两点坐标代入 中，可求直线解析式，将 点坐标代入
中，可求抛物线解析式；
（2）联立直线与抛物线解析式，可求 点坐标，用 ，可求 的面积，
又已知 ，可求 点的纵坐标．
【解析】（1）设直线 所表示的函数解析式为 ，
它过点 和点 ，
，
解得 ．
直线 所表示的函数解析式为 ，
抛物线 过点 ，
，
解得 ，
抛物线所表示的函数解析式为 ；（2）解方程组 ，
得 ， ，
点坐标为 ，
点坐标为 ， 点坐标为 ，
， ，
，
，
设 ，
，
，
，
代入 ，
得 ，
点坐标为 ， 或 ， ．
