专题3.1函数的概念及其表示2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题3.1 函数的概念及其表示 1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域. 新课程考试要求 2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法. 3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题. 培养学生数学抽象（例1.3）、数学运算（例2--12）、数学建模（例9）、直观想象 核心素养 （例5.10）等核心数学素养. 1.分段函数的应用,要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和 考向预测 性质． 2．函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查. 【知识清单】 1．函数的概念 函数 两个集合 设A，B是两个 A，B 非空数集 对应关系 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数 f：A→B x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 2．函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做 函数值，函数值的 集合 { f ( x ) | x ∈ A }叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 3．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段 函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几 个部分组成，但它表示的是一个函数. 【考点分类剖析】 考点一 函数的概念 【典例1】【多选题】（2021·浙江高一期末）在下列四组函数中， 与 不表示同一函数的是（ ） A． ， B． ，C． ， D． ， 【答案】ACD 【解析】 根据同一函数的要求，两个函数的定义域和对应法则应相同，对四个选项中的两个函数分别进行判断，得 到答案. 【详解】 A选项， 定义域为 ， 的定义域为 ，所以二者不是同一函数，故A符合 题意； B选项， ，与 定义域相同，对应法则也相同，所以二者是同一函数， 故B不符合题意； C选项， 定义域为 ， 的定义域为 ，所以二者不是同一函数， 故C符合 题意； D选项， 定义域为 ， 的定义域为 ，所以二者不是同一函数，故D符合题意； 故选：ACD. 【规律方法】 函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定 义域、对应关系是否分别相同． 【变式探究】 （2021·浙江高一期末）下列函数中，与函数 是相等函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 依次判断各个选项的解析式和定义域是否和 相同，二者皆相同即为同一函数，由此得到结果. 【详解】的定义域为 ； 对于A， 定义域为 ，与 定义域不同，不是同一函数，A错误； 对于B， ，与 定义域相同，解析式相同，是同一函数，B正确； 对于C， 定义域为 ，与 定义域不同，不是同一函数，C错误； 对于D， ，与 解析式不同，不是同一函数，D错误. 故选：B. 【易混辨析】 1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同． 2.从图象看，直线x=a与图象最多有一个交点. 考点二：求函数的定义域 y  76xx2 【典例2】（2019·江苏高考真题）函数 的定义域是_____. [1,7] 【答案】 . 【解析】 76xx2 0 由已知得 , x2 6x70 即 1 x7 解得 ， [1,7] 故函数的定义域为 . 【典例3】（2021·全国高一课时练习）（1）已知 的定义域为 ，求函数 的定 义域； （2）已知 的定义域为 ，求 的定义域；（3）已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域． 【答案】（1） ；（2） ；（3） . 【解析】 利用抽象函数的定义域求解. 【详解】 （1）∵ 中的 的范围与 中的x的取值范围相同． ∴ ， ∴ ， 即 的定义域为 ． （2）由题意知 中的 ， ∴ . 又 中 的取值范围与 中的x的取值范围相同， ∴ 的定义域为 ． （3）∵函数 的定义域为 ， 由 ，得 ， ∴ 的定义域为 ． 又 ，即 ， ∴函数 的定义域为 . 【规律方法】1.已知函数的具体解析式求定义域的方法 (1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的 取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 2．抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 【变式探究】 1 f(x)  2x 1.函数 lg(x1) 的定义域为（ ） [2,2] [2,0)(0,2] A． B． (1,0)(0,2] (-1,2] C． D． 【答案】C 【解析】  x10 x1 1  f(x)  2x lg(x1)0 x0 x(1,0)(0,2] lg(x1)  2x0 x2  故答案选C y  f(x1) [2,3] y  f(2x1) 2．（2020·河南省郑州一中高二期中（文））已知函数 定义域是 ，则 的定义域是（ ） 5 A．[0,2 ] B．[1,4] C．[5,5] D．[3,7] 【答案】A 【解析】 y  f(x1) [2,3] 因为函数 定义域是 1 x14 所以 5 0 x 所以12x14，解得： 25 故函数y  f(2x1)的定义域是[0,2 ] 故选：A 【特别提醒】 求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解 法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要 用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达． 高频考点三：求函数的解析式 【典例4】（2021·全国高一课时练习）已知f =x2+ ，则函数f(x)=_______，f（3）=_______． 【答案】 11 【解析】 利用换元法可求出 ，进一步可得 . 【详解】 令 ，则 ， 所以 ，所以 ， 所以 . 故答案为： ； . 【典例5】（2021·全国高三专题练习）如图所示，函数 的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标 分别为(0，4)、(2，0)、(6，4)，求函数 的解析式．【答案】 【解析】 根据图象分段求出解析式，再写成分段的形式即可得解. 【详解】 设线段 所对应的函数解析式为 ， 将 与 代入 ， 得 ，得 ， 所以 ， 同理，线段 所对应的函数解析式为 ， 所以 . 【规律方法】 1.已知函数类型，用待定系数法求解析式． 2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示． f(x) f[g(x)] f[g(x)] f(x) 3.已知 求 ，或已知 求 ，用代入法、换元法或配凑法． 1 f( ) 4.若 f(x) 与 x 或 f(x) 满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解． 【变式探究】 1.已知单调函数f(x)，对任意的x∈R都有f [f(x)−2x]=6，则f(2)=( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C 【解析】 设t=f(x)−2x，则f (t)=6，且f (x)=2x+t， 令x=t，则f (t)=2t+t=3t=6， 解得t=2， ∴f (x)=2x+2， ∴f (2)=2×2+2=6． 故选C． 2．（2021·全国高一课时练习）已知二次函数 满足 ， ． （1）求 的解析式． （2）求 在 上的最大值． 【答案】（1） ；（2）3． 【解析】 （1）设 ， ，代入求解 ，化简求解系数． （2）将二次函数配成顶点式，分析其单调性，即可求出其最值． 【详解】 （1）设 ， ，则 ， ∴由题 ， 恒成立 ∴ ， ， 得 ， ， ， ∴ . （2）由（1）可得 ，所以 在 单调递减，在 单调递增，且 ， ∴ . 考点四：求函数的值域 1 f x x x0 【典例6】函数 x 的值域为（ ） 2, ,2  2, ,2 A． B． C． D．R 【答案】C 【解析】  1 1 1  f x  x  2 x 2 x 当 时， ， （当且仅当 ，即 时取等 x0 x0  x x x x1 号），  f x ,2 的值域为 . C 故选： . 【典例7】【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则（ ） A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为 C．函数 的定义域和值域都是 D．函数 的定义域和值域都是 【答案】BC 【解析】 根据抽象函数的定义域即可判断选项A，根据 值域为 ，即可判断选项B，令 ，求 得范围即为定义域，由 可得值域，即可判断选项C，由 的值域为 可得 ， 但无法判断定义域，可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】 对于选项A：令 可得 ，所以函数 的定义域为 ， 故选项A不正确； 对于选项B：因为 值域为 ， ，所以 的值域为 ，可得函数 的值 域为 ，故选项B正确； 对于选项C：令 ，因为 可得 恒成立，所以函数 的定义域为 ，因为 ，所以函数 的值域为 ，故选项C正确； 对于选项D：若函数 的值域是 ，则 ，此时无法判断其定义域是否为 ，故选项D不正 确， 故选：BC 【典例8】（2021·浙江高一期末）函数 的定义域是_________，函数 的值域为__________． 【答案】 【解析】 ①由 解不等式，即可求出定义域；②利用换元法，令 ， ，将原函数转化 为关于 的二次函数，求值域即可. 【详解】 ①由 ，得 ，解得 ，故函数 的定义域是 . ②令 ， ，则 ， 所以原函数可化为 ，其对称轴为 ， 所以函数 在 上单调递增，所以 ， 所以函数 的值域为 . 故答案为：① ；② 【规律方法】 函数值域的常见求法： (1)配方法 配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的值域问 题，均可使用配方法． (2)数形结合法 若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法． (3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题） (4)利用函数的单调性 ①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值， 即 若y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则y ＝f(a)，y ＝f(b)； 最小 最大 若y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则y ＝f(b)，y ＝f(a)． 最小 最大 ②形如y＝ax＋b＋的函数，若ad＞0，则用单调性求值域；若ad＜0，则用换元法． ③形如y＝x＋(k＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x＞0时，函数y＝x＋ (k＞0)的单调减区间为(0，]，单调增区间为[，＋∞)．一般地，把函数y＝x＋(k＞0，x＞0)叫做对勾函 数，其图象的转折点为(，2)，至于x＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决． *(5)导数法 利用导函数求出最值，从而确定值域． 高频考点五：分段函数及其应用 【典例9】（2021·河南新乡市·高三月考（理））如图，在正方形 中， 点 从点 出发， 沿 向，以每 个单位的速度在正方形 的边上运动；点 从点 出发，沿方向，以每秒 个单位的速度在正方形 的边上运动.点 与点 同时出发，运 动时间为 (单位：秒)， 的面积为 (规定 共线时其面积为零，则点 第一次到达点 时， 的图象为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 根据题意，分别求出当 , ， ， 对应的函数解析式，进而得答案. 【详解】 根据题意，当 , 的面积为 ； 当 , 的面积为 ； 当 , 的面积为 ；当 , 的面积为 ； 所以 所以根据分段函数的解析式即可得在区间上的函数图像为选项A. 故选:A. 【典例10】（2021·四川达州市·高三二模（理））已知函数 若 ，则 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 设 ，且 ，结合图象有 ，从而得到 求解. 【详解】 函数 的图象如图所示：设 ，且 ， 则 ， 所以 ， ， ， 令 ，则 ， 其对称轴为 ， 所以 在 上递增，在 上递增， 所以 ， ， 所以 的取值范围是 ，故答案为： 【典例11】（2021·全国高一课时练习）对于任意的实数 ， 表示 中较小的那个数， 若 ， ，则集合 _______； 的最大值是 _______. 【答案】 1 【解析】 作出函数 的图象，解出方程 可得 ，由图可得 ，然后可得其最大值. 【详解】 函数 的图象如下， 令 ，即解得 或 则集合 由题意及图象得 由图象知，当 时， 最大，最大值是1. 故答案为： ，1 【典例12】（江苏高考真题）已知实数 ，函数 ，若 ，则a 的值为________ 【答案】 【解析】 分当 时和当 时两种分别讨论求解方程，可得答案. 【详解】 当 时， ，所以 ， 解得 ，不满足，舍去； 当 时， ，所以 解得 ，满足. 故答案为： . 【总结提升】 1.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则； 2.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”.【变式探究】 1.（2021·全国高一课时练习）已知a> ，则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是（ ） A．a2+1 B．a+ C．a- D．a- 【答案】D 【解析】 先化简函数的解析式得 再分类讨论，求出每一段的最小值，即得函数的最小值. 【详解】 函数f(x)=x2+|x-a|= 当x≥a> 时， 函数f(x)=x2+x-a的对称轴方程为x=- ，函数在[a，+∞)上单调递增，其最小值为a2； 当x0. 所以a2>a- . 所以函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是a- . 故选：D2.（2021·全国高一课时练习）已知函数f(x) 则f（1）=_______，若f(f(0))=a，则实数 a=_______. 【答案】5 【解析】 结合函数 由内到外逐层计算 ，可得出关于 的等式，进而可解得实数 的值． 【详解】 ， ， 所以 ， 解得 故答案为：5，