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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.9二次函数与一元二次方程（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021秋•崇川区校级月考）二次函数 不具备的性质是
A．开口向上 B．对称轴是
C． 随 增大而增大 D．与 轴有交点
【分析】根据二次函数的性质可得出答案．
【解析】 、 ，开口向上，故 不符合题意；
、 对称轴为 ，故 不符合题意；
、因 对称轴为 ， 时 随 的增大而增大，故 符合题意；
、因为△ ，所以二次函数 与 轴有两个交点，故 不符合题意；
故选： ．
2．（2019秋•桐乡市校级期中）已知抛物线 与 轴交于点 ， ，则 、 两
点之间的距离是
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据题意得出抛物线对称轴，进而求出 的值，即可得出 、 两点之间的距离．
【解析】 抛物线 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
抛物线 与 轴交于点 ， ，
，、 两点之间的距离是：6．
故选： ．
3．（2020•霍邱县一模）抛物线 的对称轴为直线 ．若关于 的一元二次方程
为实数）在 的范围内只有一个解，则 的值是
A． B． C． 或 D． 或
【分析】根据抛物线 的对称轴为直线 ，可以求得 的值，然后再根据．于 的一元二
次方程 为实数）在 的范围内只有一个解，即可求得 的值，本题得以解决．
【解析】 抛物线 的对称轴为直线 ，
，
解得 ，
一元二次方程 可以写成 ，
当方程 有两个相等的实数根时， ，解得 ，此时 ，
关于 的一元二次方程 为实数）在 的范围内只有一个解，
当 ， 符合题意；
令 ，
则 或 ，
解得 ，
由上可得， 的值是 或7，
故选： ．4．（2020秋•西宁期末）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于
点 ，对称轴为直线 ．直线 与抛物线交于 、 两点， 点在 轴下方且横坐标小于3，
则下列结论错误的是
A． B．
C． D．当 时，
【分析】利用对称轴公式可对 进行判断；根据抛物线与 轴的交点情况则可对 进行判断；利用抛物线
的对称性得到抛物线与 轴的另一个交点在点 右侧，则当 时， ，于是可对 进行判断，
根据交点的横坐标可对 进行判断．
【解析】 抛物线的对称轴为直线 ，
，
，所以 正确，不符合题意；
抛物线与 轴有两个交点，
，所以 正确，不符合题意；
抛物线与 轴的一个交点在点 左侧，
而抛物线的对称轴为直线 ，
抛物线与 轴的另一个交点在点 右侧，当 时， ，
，所以 正确，不符合题意；
直线 与抛物线交于 、 两点， 点在 轴下方且横坐标小于3，
当 时，有一段是 ，所以 错误，符合题意，
故选： ．
5．（2019•雁塔区校级四模）对于抛物线 为常数，且 ，下列说法正确的是
A．对称轴为直线
B．当 时， 的值随 值的增大而增大
C．与 轴不可能只有一个交点
D．与 轴可能有位于 轴同侧的两个交点
【分析】根据题目中的抛物线解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以
解决．
【解析】 抛物线 ，
对称轴为直线 ，故选项 错误；
的正负没有说明，故当 时， 随 的增大如何变化不清楚，故选项 错误；
△ ，
为常数，且 ，
，故与 轴不可能只有一个交点，故选项 正确；
当 时，抛物线 与 轴两个交点，函数图象开口向下，两根之积为 ，则
此时两根位于 轴的两侧，
当 时，抛物线 与 轴没有交点，故选项 错误；
故选： ．
6．（2020秋•蒙城县期末）对抛物线 而言，下列结论正确的是A．开口向上 B．与 轴的交点坐标是
C．与两坐标轴有两个交点 D．顶点坐标是
【分析】根据△的符号，可判断图象与 轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中
，可求图象与 轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标．
【解析】 、二次项系数 ，抛物线开口向下，结论错误，不符合题意；
、当 时， ，抛物线与 轴交点坐标为 ，结论错误，不符合题意；
、△ ，抛物线与 轴有两个交点，与 轴有1个交点，即与两坐标轴有3个交
点，结论错误，不符合题意；
、由 知，抛物线顶点坐标为 ，结论正确，符合题意；
故选： ．
7．（2020秋•顺义区期末）已知抛物线 上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如下表：
0
1 0
有以下几个结论：
①抛物线 的开口向上；
②抛物线 的对称轴为直线 ；
③关于 的方程 的根为 和 ；
④当 时， 的取值范围是 ．
其中正确的是
A．①④ B．②④ C．②③ D．③④
【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【解析】由表格可知，
抛物线的对称轴是直线 ，故②正确；抛物线的顶点坐标是 ，有最大值，故抛物线 的开口向下，故①错误；
由抛物线关于直线 对称知，当 时， 或 ，故方程 的根为 和 ，故
③正确；
当 时， 的取值范围是 ，故④错误，
故选： ．
8．（2021秋•东城区校级期中）如图，已知顶点为 的抛物线 经过点 ，则下
列结论中正确的是
A．
B．
C．若点 ， 在抛物线上，则
D．关于 的一元二次方程 的两根为 和
【分析】由抛物线与 轴有两个交点则可对 进行判断；由于抛物线开口向上，有最小值则可对 进行判
断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对 进行判断；根据二次函数的对称性可对 进行判断．
【解析】 、图象与 轴有两个交点，方程 有两个不相等的实数根， ，故 选
项错误；
、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为 ，所以 ，故 选项正
确；、抛物线的对称轴为直线 ，因为 离对称轴的距离等于 离对称轴的距离，所以 ，故
选项错误；
、根据抛物线的对称性可知， 关于对称轴的对称点为 ，所以关于 的一元二次方程
的两根为 和 ，故 选项错误．
故选： ．
9．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点：则下列判断中正确的是
①图象的对称轴是过点 且平行于 轴的直线
②当 时， 随 的增大而减小
③一元二次方程 的两个根是 和3
④当 时，
A．①② B．①②④ C．①②③ D．④
【分析】根据二次函数的图象与 轴的交点，可求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质对各选项进
行逐一判断即可．
【解析】二次函数的图象与 轴的交点为 ， ，
抛物线的对称轴直线为： ，故①正确；
抛物线开口向下，对称轴为 ，
当 时， 随 的增大而减小，故②正确；
二次函数的图象与 轴的交点为 ， ，一元二次方程的两个根是 ，3，故③正确；
当 时，抛物线在 轴的上方，
当 时， ，故④错误．
综上，正确的选项有①②③．
故选： ．
10．（2020•长清区一模）如图，抛物线 的顶点坐标 ，与 轴的一个交点
，直线 与抛物线交于 ， 两点，下列结论：
① ；
② ；
③抛物线与 轴的另一个交点坐标是 ；
④方程 有两个相等的实数根；
⑤当 时，则 ．其中正确的是
A．①②③ B．①③⑤ C．①④⑤ D．②③④
【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到 ，由对称轴位置可得 ，
由抛物线与 轴的交点位置可得 ，于是可对②进行判断；根据抛物线的对称性对③进行判断；根据顶
点坐标对④进行判断；根据函数图象得当 时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．
【解析】 抛物线的顶点坐标 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
，所以①正确；
抛物线开口向下，，
，
抛物线与 轴的交点在 轴上方，
，
，所以②错误；
抛物线与 轴的一个交点为
而抛物线的对称轴为直线 ，
抛物线与 轴的另一个交点为 ，所以③错误；
抛物线的顶点坐标 ，
时，二次函数有最大值，
方程 有两个相等的实数根，所以④正确；
抛物线 与直线 交于 ， 点
当 时， ，所以⑤正确．
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•高平市期末）抛物线 的部分图象如图所示，其与 轴的一个交点坐标
为 ，对称轴为 ，则 时， 的取值范围 或 ．【分析】利用抛物线的对称性求出抛物线与 轴的另一个交点坐标，然后利用函数图形写出抛物线在 轴
上方所对应的自变量的范围即可．
【解析】 抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，对称轴为 ，
抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，
时， 的取值范围为 或 ．
故答案为 或 ．
12．（2020•东莞市一模）二次函数 的图象如图，对称轴是直线 ，有以下结论：①
；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的结论有 ①②③④ ．
【分析】由图象可知： ， ，根据对称轴及 与 的符号关系可得 ，则可判断①的正误；根
据抛物线与 轴有两个交点，可得△ ，则可判断②的正误；由对称轴是直线 ，可判断③的正误；
由当 时， ，可判断④的正误；由当 时， ，可判断⑤的正误．
【解析】由图象可知： ， ，
又 对称轴是直线 ，
根据对称轴在 轴左侧， ， 同号，可得 ，
，
故①正确；抛物线与 轴有两个交点，
△ ，
，
故②正确；
对称轴是直线 ，
，
，
，
故③正确；
当 时， ，
，
故④正确；
对称轴是直线 ，且由图象可得：当 时， ，
当 时， ，
，
故⑤错误．
综上，正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
13．（2019秋•荔湾区校级月考）如图是二次函数 与一次函数 的图象相交于点
、 ，试确定能使 成立的 取值范围为 ．
【分析】符合 的函数图象为点 与点 之间的图象，则使得该不等式成立的 的取值范围为点 和点 之间的横坐标范围．
【解析】 二次函数 与一次函数 的图象相交于点 、
位于点 和点 之间的函数图象符合
当 时，
故答案为： ．
14．（2021•滨江区校级开学）已知函数 的图象与坐标轴只有两个交点，则 0 或
1 或 2 ．
【分析】根据题意，分三种情况讨论：（1） 时，函数的图象是一条直线，它与 轴、 轴各有一个
交点，与坐标轴只有两个交点；
（2） 时，△ ，据此求出 的值是多少即可；
（3） 时，△ ，函数的图象一定经过原点，据此求出 的值是多少即可．
【解析】（1） 时，函数的图象是一条直线： ，
它与 轴、 轴各有一个交点，与坐标轴只有两个交点；
（2） 时，△ ，
，
，
解得 ；
（3） 时，△ ，
，
，
此时函数的图象一定经过原点，
，解得 ；
综上，可得 的值为0或1或2．
故答案为：0或1或2．
15．（2020秋•金昌期末）抛物线 的部分图象如图所示，若 ，则 的取值范围是
．
【分析】从函数的对称轴为 ，和函数与 轴一个交点是 ，可以求出函数与 轴另外一个交点，即
可求解．
【解析】从抛物线图象看，函数的对称轴为 ，与 轴一个交点是 ，则另外一个交点为 ，
从图象看，当 时， ，
故答案是： ．
16．（2020•新泰市一模）如图，抛物线 与直线 交于 ， 两点，则不等
式 的解集是 ．【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．
【解析】 抛物线 与直线 交于 ， 两点，
， ，
抛物线 与直线 交于 ， 两点，
观察函数图象可知：当 时，
直线 在抛物线 的上方，
不等式 的解集是 ．
故答案为 ．
17．（2021•姑苏区校级二模）已知二次函数 的图象与 轴没有公共点，且当
时， 随 的增大而减小，则实数 的取值范围是 ．
【分析】由题意得：△ ，解得 ，当 时， 随 的增大而减小，则 ，即可求解．
【解析】由题意得：△ ，解得 ，
，故抛物线开口向上，
当 时， 随 的增大而减小，则 ，
实数 的取值范围是 ，
故答案为： ．
18．（2019秋•广饶县期末）如图，一段抛物线： 记为 ，它与 轴交于两点 、 ；将 绕 旋转 得到 ，交 轴于 ；将 绕 旋转 得到 ，交 轴于 ； 如此进行下去，
直至得到 ．若点 在第1010段抛物线 上，则 ．
【分析】根据抛物线与 轴的交点问题，得到图象 与 轴交点坐标为： ， ，此时顶点坐标为
，再利用旋转的性质得到图象 与 轴交点坐标为： ， ，顶点坐标为 ，于是可推出
抛物线上的点的横坐标 为偶数时，纵坐标为0，横坐标是奇数时，纵坐标为1或 ，按照上述规律进行
解答，即可求解．
【解析】 一段抛物线 ，
图象 与 轴交点坐标为： ， ，此时抛物线顶点坐标为 ，
将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点 ；，
抛物线 ，
图象 与 轴交点坐标为： ， ，此时抛物线顶点坐标为 ，
将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点 ；
在抛物线 上，1010是偶数，
点 是抛物线 的顶点，且点 在 轴的下方，
．
故答案为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•昆明期末）如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，其中顶点为
．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若该抛物线与 轴的交点为 ，求 的面积．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）根据抛物线解析式求得点 、 的坐标，过点 作 轴于点 ，交直线 于 ，由直线
的解析式和一次函数图象上点的坐标特征求得点 的坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【解析】（1） 抛物线 与 轴相交于 ， 两点，
．
解得： ．
故该抛物线解析式为 ；
（2）由抛物线解析式 ，可得 ， ．
如图，过点 作 轴于点 ，交直线 于 ，则点 的横坐标是 ．
直线 经过点 ， ，
直线 的解析式是 ．
把 代入 ，得 ．则 ．
．
．
20．（2021•鹿城区校级三模）已知二次函数 的最小值为 ．其图象与 轴交于 ， 两
点（点 在点 右侧），与 轴交于 ．
（1）求二次函数表达式．
（2）将线段 向右平移 个单位，向上平移 个单位至 ， 均为正数），若点 ， 均落在此
二次函数图象上，求 ， 的值．
【分析】（1）用顶点式结合待定系数法可解答案；
（2）根据二次函数的对称性结合平移的规律可解答案．
【解析】（1） 二次函数 的最小值为 ，
对称轴为直线 ，顶点 ，
，
代入 ．解得 ，
．
（2） ，解得 或3，
， ，，
又 对称轴为直线 ， ， 均落在此二次函数图象上，
， 到对称轴的距离为 ，
， ．
21．（2021•凉州区校级二模）如图，已知抛物线 的图象与 轴交于 和 ，与
轴交于点 ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点 是直线 下方抛物线上的一点，当 的面积最大时，请求出点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 ，使得 的周长最小，请求出点 的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先确定 ，再利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，作 垂直于 轴交 于
， 如 图 1 ， 设 ， ， 则 ， 利 用 三 角 形 面 积 公 式 得 到
，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）先求出抛物线的对称轴为直线 ，连接 交直线 于 ，如图，根据两点之间线段最短可
判断此时 的值最小， 的周长最小，接着利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，然后计算 对应的函数值可得到点 的坐标．
【解析】（1）将 、 代入 得 ，解得 ，
抛物线解析式为 ；
（2）当 ， ，则 ，
设直线 的解析式我 ，
把 ， 代入得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
作 垂直于 轴交 于 ，如图1，
设 ， ，则 ，
，
，
，
当 时， 有最大值，
此时 点坐标为 ；
（3）抛物线的对称轴为直线 ，
连接 交直线 于 ，如图，
，
，
此时 的值最小， 的周长最小，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ．
22．（2020秋•任城区期中）如图，已知二次函数 与 轴交于 ， 两点（点 位于
点 的左侧），点 的坐标为 ，与 轴交于点 ．
（1）求 的值与 的面积；（2）在抛物线上是否存在一点 ，使 ．若存在请求出 坐标，若不存在请说明理由．
【分析】（1）由 ，令 ，即 ，可求出 、 坐标，结合点
的坐标为 ，解出 ，进而求出 的面积；
（2）根据题意得点 的纵坐标为 ，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得 的坐标．
【解析】（1） ，
令 ，则 ，
，
令 ，即
解得 ， ，
由图象知： ，
， ，
点 的坐标为 ，
， ，
，
；
（2） ，
，．
点的纵坐标为 ，
把 代入 得 ，解得 或 （与点 重合，舍去）；
把 代入 得 ，解得 或 ，
点的坐标为 或 ， 或 ， ．
23．（2021•工业园区校级模拟）已知抛物线 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于
点 ，且关于直线 对称，点 的坐标为 ．
（1）求抛物线 的解析式和顶点坐标；
（2）当 时，二次函数 的最小值为 ，求 的值．
【分析】（1）点 与点 关于直线 对称，则点 的坐标为 ，则 ，即可求
解；
（2）分① 、② 、③ 三种情况，分别表示出二次函数在最小值求解即可．
【解析】（1） 点 与点 关于直线 对称，
点 的坐标为 ，
则 ，
即抛物线 的表达式为 ；
顶点坐标为 ；
（2）①当 时，即 ，
则函数的最小值为 ，解得 （正值舍去）；
②当 时，即 ，
则函数的最小值为 ，
解得： （舍去）；
③当 时，
则函数的最小值为 ，解得 （负值舍去）．
综上， 的值为 或 ．
24．（2020•杭州模拟）已知抛物线 是常数）经过点 ．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）抛物线与 轴另一交点为点 ，与 轴交于点 ，平行于 轴的直线 与抛物线交于点 ， ，
， ，与直线 交于点 ， ．
①求直线 的解析式．
②若 ，结合函数的图象，求 的取值范围．
【分析】（1）把 代入 其凷 得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物
线的顶点坐标；
（2）①解方程 得 ，再确定 ，然后利用待定系数法求直线 的解析式；
②如图，利用对称性得到 ，则 ，所以 ，利用函数图象得到
，从而得到 ．
【解析】（1）把 代入 得 ，解得 ，
抛物线解析式为 ，
，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）①当 时， ，解得 ， ，则 ，
当 时， ，则 ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ；
②如图， ，
，
，
，即 ，
，
时， ，解得 ，
，
．
