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专题 3.10 《函数》单元测试卷
考试时间：120分钟 满分：150
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．（2021·辽宁沈阳市·沈阳二中高三其他模拟）设集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据指数函数的单调性求解出不等式 的解集为集合 ，根据对数函数的定义域求解出
的定义域为集合 ，再根据交集的概念求解出 的结果.
【详解】
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ．
故选：C．
2．（2021·北京高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数，又满足值域为 的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由函数的奇偶性和值域直接判断可排除A、B、D，对C，采用导数法，函数函数图象可判断正确
【详解】
对A， 为奇函数，值域为 ，故A错；
对B、 ，函数为“对勾函数”因为 ，所以 ，故B错误；
对C， 为奇函数，当 时，因为 ，故 在 为增函数， 时，
函数值为0，当 时， ， ，画出图形如图：
所以 ，故C正确；
对D， ，函数为奇函数，值域为 ，故D错误；
故选：C
3．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）函数 的图象向右平移1个单位长度得到函数
的图象，则 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
根据函数图象的变换，求得函数 ，根据当 时，得到 ，可排除A、B；当
时，得到 ，可排除C，进而求解.
【详解】
由题意，可得 ，其定义域为 ，
当 时， ，函数 ，
故排除A、B选项；
当 时，0 ，故函数 ，故排除C选项；
当 时，函数 ，
该函数图象可以看成将函数 的图象向右平移一个单位得到，选项D符合.
故选：D.4．（2021·重庆一中高三其他模拟）已知函数 在定义域 上单调，且 时均有
，则 的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．﹣1
【答案】A
【解析】
先求出函数 的解析式，将 代入计算即可.
【详解】
因为函数 在定义域 上单调，且 时均有 ，
所以 为常数，不妨设 ，则
由 得 ，解得： ，
所以 ，
所以 .
故选：A
5．（2021·四川宜宾市·高三三模（文））牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：
（ 为时间，单位分钟， 为环境温度， 为物体初始温度， 为冷却后温度），假设一杯开水温度
℃，环境温度 ℃，常数 ，大约经过多少分钟水温降为40℃？（结果保留整数，参
考数据： ）（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【解析】
根据题设的温度冷却模型有 ，应用对数的运算性质即可求值.【详解】
由题意知： 分钟，
故选：C.
6．（2021·全国高三其他模拟（理））已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
先判断 ，然后判断 ，由此确定正确选项.
【详解】
由 ， ，可得 ， ，则有 ，所以
； ，则 .
故选:C
7．（2020·全国高三其他模拟（文））已知 是定义在R上的奇函数，且满足 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】
根据 是R上的奇函数，且 即可得出 的周期为2，从而可求出 ，
并且可得出 ，这样即可得出答案.
【详解】
解：∵ 是R上的奇函数，且 ，∴ ，
∴ ，
∴ 的周期为2，
∴ ，
且 ，
∴ .
故选：B.
8．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考（理））已知函数 ，若函数
与 的图像相交于 ， 两点，且 ， 两点的横坐标分别为 ， ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
作出图象，求出 ，利用对称性把 转化为 ，结合函数
的单调性可求范围.
【详解】
作出函数 ， 的图象如图，不妨设 ，当 经过点 时， ，
联立 得 ，所以 ；
因为 与 的图象关于直线 对称，而 与 垂直，
所以 ，且 .
令 ，且 ，
则易知 为增函数，所以 ，
因为 ，
所以 .
故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2021·全国高三二模）已知实数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
利用幂指对函数的性质比较大小即可.
【详解】
∵ .
∴
即 ，
故 项正确， 选项不正确；
∵
∴ ，
故 选项正确.
故选：AC
10．（2021·江苏连云港市·高三其他模拟）函数 的定义域为 ，且 与 都为奇函数，则
（ ）
A． 为奇函数 B． 为周期函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
【答案】ABC
【解析】由题设可得 ，进而可得 、 ，即可判断A、B、D
的正误，又 可判断C的正误.
【详解】
由题意知： 且 ，
∴ ，即 ，可得 ，
∴ 是周期为2的函数，且 、 为奇函数，故A、B正确，D错误；
由上知： ，即 为奇函数，C正确.
故选：ABC.
11．（2021·江苏南京市·高三一模）若直线 与函数 （ ，且 ）的图象有两个公
共点，则 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】AB
【解析】
对 分类讨论，利用数形结合分析得解.
【详解】
（1）当 时，由题得 ，
因为 ，所以此种情况不存在；（2）当 时，由题得 ，
因为 ，所以 .
故选：AB
12．（2021·重庆南开中学高三其他模拟）已知函数 的图象关于直线 对称，且对
有 .当 时， .则下列说法正确的是（ ）
A． 的周期 B． 的最大值为4
C． D． 为偶函数
【答案】ABD
【解析】
由函数 的图象关于直线 对称，得 ，又 ，所以 ， ，从而可得 ，进而根
据周期性、对称性、 时 的解析式即可求解.
【详解】
解： 函数 的图象关于直线 对称，
函数 的图象关于直线 对称，
对 有 ，
函数 的图象关于 中心对称，
，即 ，
又 ，即 ，
，
，即 ， ，
的周期 ，选项A正确； 为偶函数，选项D正确；
当 时， ， ，
当 时， ， ，即 ，
当 时， ，
又函数 的图象关于直线 对称，
在一个周期 上， ，
在 上的最大值为4，选项B正确；，选项C错误.
故选：ABD.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2021·吉林长春市·高三其他模拟（文））已知函数 ，则
___________.
【答案】
【解析】
利用指数、对数的运算以及分段函数求函数值即可求解.
【详解】
.
故答案为：
14．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数 ，若对于任意的 ，
，则 _______________.
【答案】0
【解析】
分 和 两种情况求解 即可得答案
【详解】
当 时， ，即 恒成立，则有 ；
当 时， ，即 恒成立，则有 ，
所以 .
故答案为：015．（2021·湖南高三月考）若函数 的单调递减区间是 ，则
___________.
【答案】0或1
【解析】
根据方程 两根的大小、正负性，结合对数复合型函数单调性的性质进行求解即可.
【详解】
，当 时，显然符合题意；当 时，因为 ，所以 的单
调递减区间为 ，由 ，得 或2，均不合题意；当 时，因为 ，所以
的单调递减区间为 ，由 ，得 (舍去)或1.综上， 或1.
故答案为：0或1
16．（2021·天津高三二模）设函数 ，若 ，则 的最小值为
___________；若 恰有2个零点，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
在 上的取值范围，从而确定出 的最小值；
利用指数函数的图象和性质，考察函数 在 上的零点个数的不同情况，对应研究
在 上的零点个数情况，从而求解出 的取值范围.
【详解】
，当 时， ；
当 时， 的对称轴为 ，
所以 ，
所以 的最小值为 ；
若 恰有2个零点，
当 在 上有 个零点时，即 ，即 时，
此时必须且只需 在 上有 个零点，即 ，
所以 ，所以此时 ；
当 在 上没有零点，即 或 时，
此时必须且只需 在 上有 个零点，所以 ，
所以此时 .
综上， 的取值范围是 ，
故答案为： ； .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·浙江高一期末）计算求值：
（1）（2）
【答案】(1) ；(2)
【解析】
(1)利用指数运算公式进行化简求值；
(2)利用对数的加法运算以及对数恒等式进行化简求值.
【详解】
解：(1)
(2)
18．（2021·浙江高一期末）最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古基”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为 年（即：每经
过 年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为 （参考数据：
）.
（1）写出该元素的存量 与时间 （年）的关系；
（2）经检测古生物中该元素现在的存量为 ，请推算古生物距今大约多少年？
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
（1）根据半衰期的定义可得出函数解析式；
（2）利用指数与对数式的互化解方程 ，求得 即可得解.
【详解】
（1）由半衰期的定义可知，每年古生物中该元素的存量是上一年该元素存量的 ，
所以，该元素的存量 与时间 （年）的关系式为 ， ；
（2）由 可得 ，
所以， ， .
因此，该古生物距今大约 年.
19．（2021·浙江高一期末）已知函数 在 上的最大值与最小值之和为．
（1）求实数 的值；
（2）对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
（1）根据指对数函数的单调性得函数 在 上是单调函数，进而得
，解方程得 ；
（2）根据题意，将问题转化为对于任意的 ， 恒成立，进而求函数的最值即可.
【详解】
解：（1）因为函数 在 上的单调性相同，
所以函数 在 上是单调函数，
所以函数 在 上的最大值与最小值之和为 ，
所以 ，解得 和 （舍）
所以实数 的值为 .
（2）由（1）得 ，
因为对于任意的 ，不等式 恒成立，
所以对于任意的 ， 恒成立，
当 时， 为单调递增函数，所以 ，所以 ，即
所以实数 的取值范围
20．（2021·上海高三二模）设 且 ， ，已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解；
（2）若函数 在区间 上有零点，求 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2） 或 .
【解析】
（1）根据题意得 ，进而分 和 两种情况求解即可；
（2）由题知 ，进而根据已知条件得 ，再结合
对勾函数性质即可得 或 ，进而求得答案.
【详解】
解：（1） ，不等式 可化为
若 ，则 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
若 ，则 ，解得 ，所以不等式 的解集为 .
综上所述： ， 的解集为 ； ， 的解集为 .
（2） .
令 ，即 ，
∵ ，∴ ，∴ ；
∴ .
设 ，则 ，
∴ 或 ，
解得 或 .
21．（2021·全国高一课时练习）已知函数 .
（1）求 在 上的值域；
（2）解不等式 ；
（3）若关于 的方程 在 上有解，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】（1）令 ，将问题转化为二次函数值域的求解问题，由二次函数性质可求得结果；
（2）将不等式整理为 ，可得 ，由指数函数单调性可解不等式求得结果；
（3）令 ，将问题转化为 与 在 时有交点，由 的值域可构造不
等式 ，解不等式求得结果.
【详解】
（1）令 ，当 时， ，则可将原函数转化为 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上的值域为 ；
（2） ，即 ， ，
解得： ， ，即不等式 的解集为 ；
（3）令 ，当 时， ，
在 上有解等价于 与 在 时有交点，
由（1）知： 在 时的值域为 ，
，解得： ，即 的取值范围为 .
22．（2021·浙江高一期末）已知函数 ．（1）当 时，求函数 的单调增区间（写出结论即可）；
（2）在（1）的条件下，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
（3）当 ，求函数 在 上的最小值 ．
【答案】（1）函数 的单调递增区间为 、 ；（2） ；（3）
.
【解析】
（1）将函数解析式表示为分段函数的形式，即可写出函数的单调递增区间；
（2）由已知可得不等式 对任意的 恒成立，由基本不等式可求得 的最小值，由
此可求得实数 的取值范围；
（3）对实数 的取值进行分类讨论，分析函数 在 上的单调性，可求得 关于 的表达式.
【详解】
（1）当 时， .
所以，函数 的单调递增区间为 、 ；
（2）当 时，由 可得 ，
可得 ，
由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立， .
因此，实数 的取值范围是 ；
（3）①当 且 时，
，
因为 ，故函数 在区间 上单调递增，
故 ；
②当 时， ，
因为 ，所以，函数 在 上单调递减，
在 上单调递增，故 ；
③当 时，由（1）可知， ，
在 上单调递减，此时 ；
④当 且 时， 且 ，
所以，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
，故 .
综上所述， .【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .
