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专题 1.4 三角函数的计算（知识讲解）
【学习目标】
1. 会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；
2. 会进行有关三角函数的计算。
【要点梳理】
要点一、特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
锐角
30°
45° 1
60°
特别说明：
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用
就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若
，则锐角 ．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
、 、 的值依次为 、 、 ，而 、 、
的值的顺序正好相反， 、 、 的值依次增大，其变化规律可
以总结为：
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
要点二、锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：
，
；
(2)平方关系： ；(3)倒数关系： 或 ；
(4)商数关系： ．
特别说明：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的
计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
【典型例题】
类型一、特殊角三角函数计算
1． 计算：
（1） cos30°+ sin45°； （2）6tan230°﹣ sin 60°﹣2sin 45°．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】【分析】直接代入特殊角度的三角函数值进行运算即可.
解：（1）原式＝ × + × ＝ ；
（2）原式＝6× ﹣ × ﹣2× ＝ ．
【点拨】本题考查了含有特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角度的三角函数值
是解题关键.
举一反三：
【变式1】计算：(1)2sin30°＋4cos30°·tan60°－cos245°；
(2) sin45°＋6tan30°－2cos30°.
【答案】(1) .（2） ＋1.
【分析】（1）把特殊锐角三角函数值分别代入求值；（2）把特殊锐角三角函数值分
别代入求值；
解：(1)原式=2× ＋4× × －（ ）2=1＋6－
= .
(2) 原式= × ＋6× －2×
= ＋1.
【点拨】本题考查特殊锐角三角函数值的混合运算，熟记函数值是关键.
【变式2】.计算：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可；
（2）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是解决问题的
关键．
【变式3】计算：2|1﹣sin60°|+ ．【答案】2+
【分析】先代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，可得答案．
解：2|1﹣sin60°|＋
＝2（1﹣ ）＋
＝2﹣
＝2﹣
＝2＋ ．
【点拨】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算；熟记特殊角三角函数值
是解题关键．
类型二、特殊角三角函数计算
2． ．
【答案】2
【分析】根据绝对值的计算公式、正余弦公式、幂的计算公式，进行求解.
解：根据“负数的绝对值是它的相反数”可得 ，根据“ ”可得
，根据正切公式可得 ，则原式 ．
【点拨】本题综合考查绝对值的计算公式、正余弦公式、幂的计算公式.
举一反三：
【变式1】计算： ﹣2sin30°﹣|1﹣ |+（ ）﹣2﹣（π﹣2020）0．
【答案】 +3
【分析】先化简二次根式、代入三角函数值、去绝对值符号、计算负整数指数幂和零
指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得．解： ﹣2sin30°﹣|1﹣ |+( )﹣2﹣(π﹣2020)0
=2 ﹣2× ﹣( ﹣1)+4﹣1
=2 ﹣1﹣ +1+4﹣1
= +3．
【点拨】本题考查了实数的运算，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零
指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算以及熟记特殊角的三角函数值．
【变式2】.计算： ．
【答案】﹣1．
【分析】利用负整数指数幂、零指数幂、二次根式性质、特殊角的三角函数值分别进
行计算即可．
解：原式=﹣3﹣4+5+1=﹣1．
考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．
【变式3】先化简，再求代数式（1﹣ ）÷ 的值，其中a=4cos30°
+3tan45°．
【答案】
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
解：当a=4cos30°+3tan45°时，
所以a=2 +3
（1﹣ ）÷ =
=
= .
【点拨】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
类型三、三角函数计算
3． 已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋ ＝0.
(1)试判断△ABC的形状；
(2)求(1＋sinA)2－2 －(3＋tanC)0的值．
【答案】(1)△ABC是锐角三角形；(2) .
【分析】（1）根据绝对值的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值
求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论；
（2）根据（1）中∠A及∠B的值求出∠C的数，再把各特殊角的三角函数值代入进
行计算即可．
解：（1）∵|1-tanA）2+|sinB- |=0，
∴tanA=1，sinB= ，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°，
∴△ABC是锐角三角形；
（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°，
∴原式=（1+ ）2-2 -1
= ．
举一反三：
【变式1】计算：
（1） ；
（2） ．【答案】（1） ；（2）1．
【分析】（1）根据实数的性质进行化简即可求解；
（2）根据特殊三角函数值即可化简求解．
解：（1）
=
=
=
（2） ．
=
=
=1．
【点拨】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知特殊三角函数值的化简．
【变式2】.计算：
（1）2cos230°﹣2sin60°•cos45°；
（2）
【答案】（1） ；（2）1-2 ．
【分析】将三角函数特殊值代入即可求解．
将三角函数特殊值代入，化简求解．
解：（1）原式＝2×（ ）2﹣2× ×＝ ；
（2）原式＝ ﹣
＝ ﹣
＝ ﹣（ +1）
＝1﹣2 ．
【点拨】本题考查三角函数特殊值代入化简求值，属于经典题．
【变式3】计算：
（1）cos245° +tan245°−tan260°
（2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）直接代入特殊角的三角函数值进行计算即可解答；
（2）直接利用特殊角的三角函数值和二次根式的性质分别化简计算即可解答．
解：（1）原式=
=
= ；
（2）原式=
=
= ．
【点拨】本题考查了实数的运算、二次根式的性质、特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，正确计算各数是解答的关键．
类型四、三角函数计算
4． 已知：如图，矩形 的对角线 相交于点O，
．
（1）求矩形对角线的长．
（2）过O作 于点E，连结BE．记 ，求 的值．
【答案】（1）4；（2）
【分析】（1）根据矩形对角线的性质，得出△ABO是等腰三角形，且∠BOC=120°，
即∠AOB=60°，则△ABO为等边三角形，即可求得对角线的长；
（2）首先根据勾股定理求出AD，再由矩形的对角线的性质得出OA=OD,且OE⊥AD，
则AE= AD，在Rt△ABE中即可求得 ．
解：（1）∵四边形 是矩形
，
是等边三角形，
，
所以 ．
故答案为：4．
（2）在矩形 中， ．
由（1）得， ．又
在 中， ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形的对角线性质，等边三角形的判定，等腰三角形的三线合一
以及在直角三角形中求锐角正切的知识点，灵活应用矩形对角线的性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至
F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE，连接CE．
（1）判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论．
（2）连接DF，若BC＝ ，求DF的长．
【答案】（1）菱形，证明见解析；（2）
【分析】（1）证出GB=GC=GD=CF，由菱形的性质的CD=CF=DE，DE∥CG，则
DE=GC，证出四边形CEDG是平行四边形，进而得出结论；
（2）过点G作GH⊥BC于H，设DF交CE于点N，由等腰三角形的性质得CH=BH=
BC= ，证出△CDG是等边三角形，得∠GCD=60°，由三角函数定义求出CG=1，则
CD=1，由菱形的性质得DN=FN，CN⊥DF，∠DCE=∠FCE=60°，由三角函数定义求出DN=
，则DF=2DN= ．解：（1）四边形CEDG是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，
∴GB=GC=GD，
∵CF=GC，
∴GB=GC=GD=CF，
∵四边形DCFE是菱形，
∴CD=CF=DE，DE∥CG，
∴DE=GC，
∴四边形CEDG是平行四边形，
∵GD=GC，
∴四边形CEDG是菱形；
（2）过点G作GH⊥BC于H，设DF交CE于点N，如图所示：
∵CD=CF，GB=GD=GC=CF，
∴CH=BH= BC= ，△CDG是等边三角形，
∴∠GCD=60°，
∴∠DCF=180°﹣∠GCD=180°﹣60°=120°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD=90°，
∴∠GCH=90°﹣60°=30°，
∴CG= = =1，
∴CD=1，
∵四边形DCFE是菱形，
∴DN=FN，CN⊥DF，∠DCE=∠FCE= ∠DCF= ×120°=60°，在Rt△CND中，DN=CD•sin∠DCE=1×sin60°=1× = ，
∴DF=2DN=2× = ．
【点拨】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等
边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质和
菱形的性质是解题的关键．
【变式2】.如图，已知A、B两点的坐标分别为A（0， ），B（2，0），直线AB
与反比例函数y= 的图象交于点C和点D(-1，a）．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求∠ACO的度数．
【答案】（1）y＝－ x＋2 ，y＝－ ；（2）30°
【分析】试题分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A与B坐标代入
求出k与b的值，确定出直线AB的解析式，将D坐标代入直线AB解析式中求出a的值，
确定出D的坐标，将D坐标代入反比例解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；
（2）联立两函数解析式求出C坐标，过C作CH垂直于x轴，在直角三角形OCH中，由
OH与HC的长求出tan∠COH的值，利用特殊角的三角函数值求出∠COH的度数，在三角
形AOB中，由OA与OB的长求出tan∠ABO的值，进而求出∠ABO的度数，由∠ABO-
∠COH即可求出∠ACO的度数．
试题解析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A（0，2 ），B（2，0）代入得： ，解得： .
∴直线AB解析式为 .
将D（-1，a）代入直线AB解析式得： ，则D（-1， ）.
将D坐标代入 中，得：m= .
∴反比例解析式为 .
（2）联立两函数解析式得： ，解得： 或 .
∴C坐标为（3， ）.
过点C作CH⊥x轴于点H，
在Rt△OHC中，CH= ，OH=3，
∴ .∴∠COH=30°.
在Rt△AOB中， ，∴∠ABO=60°.
∴∠ACO=∠ABO-∠COH=30°．
考点：1.反比例函数与一次函数的交点问题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4. 锐角三角函数定义；5.特殊角的三角函数值．
【变式3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝ ，BC＝8，D是AB中点，过
点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
(1)求线段CD的长；
(2)求cos ∠ABE的值．
【答案】（1）5；（2） .
解：试题分析：（1）利用正弦定义很容易求得AB=10，然后由已知D为斜边AB上的
中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.（2）cos∠ABE= ，则求余弦值即
求BE，BD的长，易求得BD=5.再利用等面积法求BE的长.
试题解析：(1)在△ABC中，∵∠ACB＝90°，sinA＝ ，而BC＝8，∴AB＝
10.∵D是AB的中点，∴CD＝ AB＝5.
(2)在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝ ＝6.
∵D是AB中点，∴BD＝5，S ＝S ，∴S ＝ S ，即 CD·BE＝ ·
△BDC △ADC △BDC △ABC
AC·BC，∴BE＝ .
在Rt△BDE中，cos∠DBE＝ ＝ ＝ ，即cos∠ABE的值为 .
点睛：在直角三角形中求长度，一般可通过勾股定理或全等三角形来求；若已知角度
则可用锐角三角函数来求；若这些方法均不可行，又是求高或已知高的长度则可利用等面积法来求.
