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专题5.10 分式的加减（知识讲解）
【学习目标】
1．能利用分式的基本性质通分；
2．会进行同分母分式的加减法运算；
3．会进行异分母分式的加减法运算。
【要点整理】
要点一、同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
上述法则可用式子表为：
a b ab
c c c .
特别说明：
（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，
当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，
括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.
要点二、异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
上述法则可用式子表为：
a c ad bc ad bc
b d bd bd bd
.
特别说明：
（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母
分
式的加减法.
（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结
果化成最简分式.
【典型例题】
类型一、最简公分母
1、分式 ， ， 的最简公分母是_____________________
【答案】ab(a+b)(a-2b)
【分析】根据确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡
单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，
得到的因式的积就是最简公分母即可求出答案．
解：分式 ， ， 的分母依次为： ，
，
故最简公分母是ab(a+b)(a-2b)
故答案为：ab(a+b)(a-2b)
【点拨】此题考查了最简公分母，解题的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分
母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
举一反三：
【变式】把分式 进行通分时，最简公分母为____．
【答案】12a2b
【分析】由于几个分式的分母分别是3a、2a2、4ab，首先确定3、2、4的最小公倍数，
然后确定各个字母的最高指数，由此即可确定它们的最简公分母．
解：分式 的分母分别是3a、2 、4ab，
最简公分母为12 b．
故答案为：12 b．
【点拨】本题考查了分式通分的最简公分母,熟练掌握最简公分母确定的基本原则是解
题的关键．
类型二、通分
2、将分式 和 进行通分时，分母 可因式分解为_________，分
母 可因式分解为_________，因此最简公分母是_________．
【答案】【分析】根据平方差公式即可分解a2－9，再提取公因式可分解9－3a，找系数的最小
公倍数，字母的最高次幂，即可得出最简公分母．
解：∵a2－9＝（a＋3）（a－3），
9－3a＝3（3－a）＝－3（a－3），
∴分式 和 的最简公分母为－3（a＋3）（a－3）．
故答案为：（a＋3）（a－3），－3（a－3），－3（a＋3）（a－3）．
【点拨】本题考查了分式的通分，通分的关键是分解各个分母，找出最简公分母．
举一反三：
【变式】定义新运算：a⊕b ，若a⊕（﹣b）＝2，则 的值是___．
【答案】
【分析】根据a⊕b 求出a和b的值，代入 计算即可
解：
∴b-a=2ab．
即a-b=-2ab．
故答案为：
【点拨】此题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据题意掌握新运算的规
律．
类型三、同分母分式相加减
3、．计算： ．【答案】
【分析】利用同分母分式的减法法则计算即可求出值．
解： ．
【点拨】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
举一反三：
【变式】
【答案】
【分析】直接利用同分母分式加减法的运算法则进行计算即可得答案．
解：原式=
=
= ．
【点拨】本题考查了同分母分式加减法，熟练掌握同分母分式加减法的法则“同分母
分式相加减，分母不变，分子相加减”是解题的关键．
类型四、异分母分式相加减
4．计算
（1） ； （2）
【答案】（1） ；（2）2
【分析】（1）先利用提公因式法和公式法先进行因式分解，化简之后再进行分式的加法运算即可；
（2）括号里的式子先进行通分，进行加法运算，然后再利用分式的除法法则进行计算即可．
解：（1）原式（2）原式
【点拨】本题考查了分式的混合运算，涉及分式的加法，分式的除法，因式分解等知识．熟练掌握
各个运算法则是解题的关键．
举一反三：
【变式】 计算：（1） ；（2）
【答案】（1） ； （2）
【分析】（1）先将分子分母因式分解，然后再约分；
（2）先通分，再根据同分母分式的减法进行计算即可.
解：（1）原式
（2）原式
【点拨】考查分式的乘法以及减法，熟练掌握分式运算的法则是解题的关键.
类型五、整式与分式相加减
5、计算
【答案】a
【分析】根据分式的减法和乘法可以解答本题.
解：原式=
==a
【点拨】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法.
举一反三：
【变式】 化简： ；
【答案】 .
【分析】根据分式的加减运算法则计算.
解：
=
=
=
= .
【点拨】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是按照分式的加减运算法则，先把
异分母的分式化成同分母的分式细心进行运算.
类型六、已知分式的恒等式，确定分子或分母
6、若 ，求 、 的值．
【答案】
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条
件即可求出A与B的值．
解：∵ ，
∴x-5=(A+B)x+(-A+B)，
∴ ，解得： ．
【点拨】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式运算法则，本题属于基础
题型．
举一反三：
【变式】 已知 ，求 的值.
【答案】
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件
求出A与B的值，再代入计算即可．
解：∵
左边= ，
右边=
所以
解得： .
把 ， 代入， ．
【点拨】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
类型七、分式加减混合运算
7、（1）计算：
（2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是
____________________或填为_____________________________；
②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是
_____________________________________；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的
事项给其他同学提一条建议．
【答案】（1）1；（2）任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或
除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“ ”号，去掉括号后，括
号里的第二项没有变号；任务二： ；任务三：最后结果应化为最简分式或整式，
答案不唯一，详见解析．
【分析】（1）先分别计算乘方，与括号内的加法，再计算乘法，再合并即可得到答案；
（2）先把能够分解因式的分子或分母分解因式，化简第一个分式，再通分化为同分母
分式，按照同分母分式的加减法进行运算，注意最后的结果必为最简分式或整
式．解：（1）原式
（2）任务一：
①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分
式的值不变；
故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的
整式，分式的值不变；
②五；括号前是“ ”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
故答案为：五；括号前是“ ”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
任务二：
解；
．
任务三：
解：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式
的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆，等．
【点拨】本题考查的是有理数的混合运算，分式的化简，掌握以上两种以上是解题的
关键．
举一反三：【变式】 先化简，再求值： ，将 代入求值．
【答案】 ，
【分析】先根据分式的加减法法则化简，然后设a=3k，b=2k，代入化简结果计算即可．
解：原式＝
=
＝ ，
∵ ，
∴设a=3k，b=2k，
∴原式= = ．
【点拨】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加
减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要
化为最简分式或者整式．
类型八、分式加减实际应用
8、小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为v，所用时间为t；第二阶段的平
1
均速度为 v，所用时间为t．下山时，小明的平均速度保持为4v，已知小明上山的路程和
2
下山的路程是相同的，那么小明下山用了多长时间？
【答案】
【分析】根据速度×时间=路程先求出总路程，然后用路程除以速度即可求出答案．
解：小明上山的总路程=vt+ vt，
1 2
则小明下山用的时间是： ．【点拨】本题考查了分式运算的应用，正确理解题意、熟知速度、路程与时间的关系、
熟练掌握分式运算的法则是解题关键．
举一反三：
【变式】 有两个熟练工人甲和乙，他们每小时制作零件a件、b件．现要赶制一批零
件，若甲单独完成需要m小时．如果甲、乙两人同时工作，那么比甲单独完成任务提前多
长时间？
【答案】 小时．
解：试题分析：首先表示需要赶制的零件数量为ma件，再表示甲、乙两人合作的完
成任务的时间是 ，求出甲独做需要的时间与合作需要的时间的差即可．
解：甲单独完成任务的时间是m小时，甲、乙两人合作的完成任务的时间是 ．
所以提前完成任务的时间是：
= = =
答：甲、乙两人同时工作，可以提前 小时完成任务．
考点：列代数式解应用题．
类型九、分式加减乘除混合运算
9、先化简，再求值： ，其中x=2 ﹣1．
【答案】
分析：直接分解因式，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
解：
=
= ，
把x=2 -1代入得，原式= = ．点拨：此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键．
举一反三：
【变式】 计算：（1） ； （2）
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）先将原式展开，然后合并同类型即可;(2)先对括号内的进行运算并将除
法转换成乘法，然后运用分式乘法即可.
解：（1）原式= =
（2）原式=
【点拨】本题主要考查了整数、分式的的四则混合运算，其中在分式运算中，将除法
转变成乘法是解答本题的关键.
类型十、分式的化简求值
10、先化简，再求值： ，且x为满足﹣3＜x＜2的
整数．
【答案】-5
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
解：原式=[ + ]÷
=（ + ）•x
=x﹣1+x﹣2=2x﹣3
由于x≠0且x≠1且x≠﹣2，
所以x=﹣1，
原式=﹣2﹣3=﹣5
【点拨】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属
于基础题型．
举一反三：
【变式1】 先化简，再求值： ，其中 满足 .
【答案】3.
【分析】先将括号里面进行通分，然后对分子分母进行因式分解，最后约分得到最简
形式，再由x2+3x－1=0得到x2+3x=1，将x2+3x整体带入化简后的式子求值.
解：原式= ÷
= ×
= ×
=3x2+9x，
∵x2+3x－1=0，
∴x2+3x=1，
∴原式=3x2+9x=3（x2+3x）=3×1=3.
【点拨】（1）掌握分式的化简；（2）掌握整体的思想.
【变式2】 请将式子 化简后，再从0，1，2三个数中选择一个你喜
欢且使原式有意义的 的值代入求值．
【答案】 ；当 时，原式值为2或当 时，原式值为4
【分析】先计算括号内的分式的加法运算，再计算乘法运算，结合分式有意义的条件
确定 的值，再代入计算即可.解：原式
．
依题意，只要 就行，
当 时，原式=
或当 时，原式= ．
【点拨】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算是解题的关键.
