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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题3.9圆内接正多边形
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021•大东区二模）已知一个正六边形的边心距为 ，则它的外接圆的面积为
A． B． C． D．
【分析】过 作 于 ，连接 、 ，证 是等边三角形，得 ，再由锐角三角
函数定义求出 ，然后由圆的面积公式求解即可．
【解析】如图， 为正六边形六边形 的中心，过 作 于 ，连接 、
则 为正六边形 的外接圆的半径， 为正六边形 的边心距，
即 ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
它的外接圆的面积 ，
故选： ．2．（2020•南开区二模）如图，五边形 是 的内接正五边形， 是 的直径，则 的
度数是
A． B． C． D．
【分析】正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解析】 是 的直径，五边形 是 的内接正五边形，
， ， ，
，
，
，
故选： ．
3．（2021•雁塔区校级模拟）如图，正方形 内接于 ．点 为 上一点，连接 、 ，若
， ，则 的长为A． B． C． D．
【分析】连接 ， ， ，由圆内接四边形的性质可得到 ， ，
， ，进而证得 是等边三角形，得到 ，根据勾股定理求出 ，即
可得到 ．
【解析】连接 ， ， ，
正方形 内接于 ，
， ， ， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故选： ．
4．（2019秋•南充期末）如图，将边长相等的正方形、正五边形、正六边形纸板，按如图方式放在桌面上，
则 的度数是A． B． C． D．
【分析】根据正多边形的内角，角的和差，可得答案．
【解析】正方形的内角为 ，
正五边形的内角为 ，
正六边形的内角为 ，
，
故选： ．
5．（2021•西昌市模拟）如图， 的周长等于 ，则它的内接正六边形 的面积是
A． B． C． D．
【分析】根据 的周长等于 ，可得 的半径为2，可以求出三角形 的面积，进而根据圆内
接正六边形 的面积等于6倍三角形 的面积即可解答．
【解析】如图，连接 、 ，作 于点 ，
的周长等于 ，
的半径为： ，
是 的内接正六边形，，
，
，
，
．
它的内接正六边形 的面积是 ．
故选： ．
6．（2021•宁德模拟）已知四个正六边形如图摆放在圆中，顶点 ， ， ， ， ， 在圆上．若两
个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是
A． B． C． D．
【分析】在边长为2的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出 和半径 ，进而得出小正六
边形对应点的距离 ，再根据正六边形的性质求出半径 ，即边长 即可．
【解析】连接 交 于 ，则点 是圆心，过点 作 于 ，连接 ，取 的中点 ，连
接 ， ，
由对称性可知， ，由正六边形的性质可得 ，
，
，
由正六边形的性质可知， 、 、 都是正三角形，
，
故选： ．
7．（2020•南充模拟）如图，把正六边形 ABCDEF和正五边形ABGHI的AB边重合叠放在一起，连接
EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（ ）
A．90° B．85° C．84° D．80°
【分析】根据正五边形的内角，可得∠I，∠BAI的值，根据正六边形，可得∠ABC的度数，根据正六
边形的对角线，可得∠BAK的度数，根据四边形的内角和公式，可得答案．
【解析】由正五边形内角，得
∠I＝∠BAI＝ ＝108°，
由正六边形内角，得
∠ABC＝ ＝120°，∵BE平分∠ABC，
∴∠ABK＝60°，
∴由四边形的内角和，得
∠BKI＝360°﹣∠I﹣∠BAI﹣∠ABK
＝360°﹣108°﹣108°﹣60°
＝84°．
故选：C．
8．（2021•滨城区二模）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1， ， ， ， 为格点．
为大正方形的内切圆， 交 于点 ，则
A． B． C． D．
【分析】证明 ，求出 即可．
【解析】在 中， ， ，
，
，
，
，
故选： ．
9．（2021•永嘉县校级模拟）如图，在正五边形 中，连接 ，以点 为圆心， 为半径画圆弧
交 于点 ，连接 ．则 的度数是A． B． C． D．
【分析】证明四边形 是菱形，推出 可得结论．
【解析】 五边形 是正五边形，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是菱形，
，
，
，
故选： ．
10．（2020秋•荔湾区期末）如图，已知正六边形 的边长为2， ， 分别是 和 的中点，
是 上的动点，连接 ， ，则 的值最小时， 与 的夹角（锐角）度数为
A． B． C． D．
【分析】如图，连接 ， ， 交 于点 ，连接 ．首先证明当点 与点 重合时，
的值最小，利用等腰三角形的性质求出 即可解决问题．
【解析】如图，连接 ， ， 交 于点 ，连接 ．正六边形 中， ， 分别是 和 的中点，
是正六边形的对称轴，
，
，
，
当点 与点 重合时， 的值最小，
， ，
，
，
，
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021•崇明区二模）正五边形的中心角的度数是 ．
【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正 边形的圆中心角为 ，则代入求解即可．
【解析】正五边形的中心角为： ．
故答案为： ．
12．（2021秋•天心区期中）如图， 的内接正六边形 边长为 ，则该正六边形的面积为
．【分析】首先过点 作 于点 ，连接 ， ，由 的内接正六边形 边长为 ，
可得 的半径，进而可得出结论．
【解析】过点 作 于点 ，连接 ， ，
的内接正六边形 边长为 ，
，
，
．
故答案为： ．
13．（2019秋•宝应县期中）如图，正六边形 内接于 其边长为2，则 的内接正三角形
的边长为 ．
【分析】连接 交 于 ．首先证明 ，解直角三角形求出 即可解决问题．
【解析】连接 交 于 ．在正六边形 中， ， ，
，
，
， ，
，
，
故答案为 ．
14．（2021•南通一模）如图， 、 、 、 为一个正多边形的相邻四个顶点， 为正多边形的中心，
若 ，则这个正多边形的边数为 1 5 ．
【分析】根据圆周角定理可得正多边形的边 所对的圆心角 ，再根据正多边形的一条边所对
的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．
【解析】如图，设正多边形的外接圆为 ，连接 ， ，
，
，
而 ，
这个正多边形为正十五边形，
故答案为：15．15．（2020•东莞市校级二模）如图，要拧开一个边长为 的正六边形螺料，扳手张开的开口 至少
为 ．
【分析】设正六边形的中心是 ，其一边是 ，连接 、 、 、 ， 交 于 ，则
，得出 ，则四边形 是菱形，得出 ，
，由 ，即可得出结果．
【解析】设正六边形的中心是 ，其一边是 ，连接 、 、 、 ， 交 于 ，如图所
示：
，
，
四边形 是菱形，
， ，
， ，
，
，
，
故答案为： ．
解法2：连接 、 ，过 作 于 ，如图1所示：则 ，
， 是等边三角形，
，
，
， ，
，
故答案为： ．
16．（2021•上海）六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正
六边形的面积 ．
【分析】利用 得到 ，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到 ，接
着证明 可得结论．
【解析】如图， ，
，
，，
即 ，
，
中间正六边形的面积 ，
故答案为： ．
17．（2021•奉贤区二模）如图， 的半径为6，如果弦 是 内接正方形的一边，弦 是 内接
正十二边形的一边，那么弦 的长为 ．
【分析】连接 、 、 ，作 于点 ，根据 是 内接正方形的一边，弦 是 内
接 正 十 二 边 形 的 一 边 得 到 ， ， 从 而 得 到
，然后求得 的长即可．
【解析】连接 、 、 ，作 于点 ，
是 内接正方形的一边，弦 是 内接正十二边形的一边，
， ，
，
，
，
，，
，
故答案为： ．
18．（2021•长安区二模）如图，正方形 和正六边形 均内接于 ，连接 ；若线段
恰好是 的一个内接正 边形的一条边，则 1 2 ．
【分析】连接 、 、 ，如图，利用正多边形与圆，分别计算 的内接正四边形与内接六三角形
的中心角得到 ， ， ，然后计算 ．
【解析】连接 、 、 ，如图，
正方形 和正六边形 均内接于 ，
，
，
，，
即 恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故答案为12．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋•镇江期末）如图，正方形 内接于 ， 为 上一点，连接 ， ．
（1） 4 5 ；
（2）若 ， ，求 的长．
【分析】（1）连接 ，根据正方形 内接于 ，可得 ；
（2）作 于 ，因为 ， ，可得 ，因为 ，所以
，即 ．
【解析】（1）如图，连接 ，
正方形 内接于 ， 为 上一点，
，
，
．
故答案为：45；
（2）如图，作 于 ，
， ，
，
，
，．
20．（2020•江岸区校级模拟）如图， ， ， ， 是 上的四个点， ．
（1）求证： 是等边三角形．
（2）若 的半径为2，求等边 的边心距．
【分析】（1）利用圆周角定理可得 ， ，而 ，所以
，从而可判断 的形状；
（2）过 作 于 ，连接 ，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：在 中，
与 是 对的圆周角， 与 是 所对的圆周角，
， ，
又 ，
，
，
，
为等边三角形；
（2）过 作 于 ，连接 ，
则 ， ，
，
，等边 的边心距为1．
21．（2019秋•下城区期中）（1）已知：如图1， 是 的内接正三角形，点 为劣弧 上一动
点．求证： ；
（2）已知：如图 2，四边形 是 的内接正方形，点 为劣弧 上一动点．求证：
．
【分析】（1）延长 至 ，使 ，连接 ，证明 是等边三角形．利用 ，
， ，得到 ，所以 ；
（2）过点 作 交 于 ，证明 ，所以 ，可得 ；
【解析】证明：（1）延长 至 ，使 ，连接 ，如图1，
、 、 、 四点共圆，，
，
，
，
是等边三角形，
， ；
又 ， ，
，
、 为等边三角形，
， ，
在 和 中，
，
，
；
（2）过点 作 交 于 ，连接 ， ．如图2，
，
，
，
，在 和 中，
，
，
，
；
22．（2020秋•庐阳区期末）已知，正方形 内接于 ，点 是弧 上一点．
（1）如图1，若点 是弧 的中点，求证： ；
（2）如图2，若图中 ，求 的值．
【分析】（1）连接 ，由是正方形的性质得到 ， ，由等腰直角三角形的性质得
到 ， ， ，
由圆周角的性质得到 ，进而得到 ， ，根据等腰三角形
的判定即可得到 ；
（2）根据正方形的性质和圆周角定理及角平分线的性质证得 ，由三角形内角和定理求出
，根据含 直角三角形的性质和勾股定理得到 ， ，进而得到
， ， ，代入即可得到结果．
【解析】（1）证明：如图1，连接 ，
四边形 是正方形，， ，
， ，
，
点 是弧 的中点，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，连接 ， ，
四边形 是正方形，
， ，
，
， ，
，
，由（1）知 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，．
23．（2021•河北）如图， 的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为 为
的整数），过点 作 的切线交 延长线于点 ．
（1）通过计算比较直径和劣弧 长度哪个更长；
（2）连接 ，则 和 有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长 的值．
【分析】（1）利用弧长公式求解即可．
（2）利用圆周角定理证明即可．
（3）解直角三角形求出 即可．
【解析】（1）由题意， ，的长 ，
比直径长．
（2）结论： ．
理由：连接 ， ， ．
是 的直径，
，
．
（3） 是 的切线，
，
，
， ，
．
24．（2021•太原二模）请阅读下面的材料，并完成相应的任务、
仅用圆规三等分、六等分圆是容易的，而四等分、五等分 则有一定难度，历史上卡尔 弗雷德里希 高斯首次解决了将圆十七等分的难题．拿破仑 波拿巴当年曾向数学家提出这样一个问题：只用圆规，不用直
尺，如何把一个圆周四等分？这个难题最终由意大利数学家马斯凯罗尼解决了．为此，他还写了名为《圆
规几何》的书献给拿破仑，书中还包含了更深刻的作图理论．他给出的作图步骤和部分证明如下：
如图1，第一步：在 上任取一点 ，以点 为一个分点，将 六等分，其他分点依次为 ， ， ，
， ；
第二步：分别以 ， 两点为圆心，以 为半径作弧，两弧交于点 ；
第三步：以点 为圆心， 为半径作弧，与 交于 ， 两点．
则点 ， ， ， 是 的四等分点．
证明：如图2，连接 ， ， ， ， ， ， ， ， ．
点 ， ， ， ， ， 是 的六等分点，
．
．
任务：
（1）完成证明；
（2）若 的半径为2，则 的长为 ， 的长为 ．
【分析】（1）想办法证明 ，可得结论．
（2）在 中，利用勾股定理求出 ，再利用弧长公式求出 的长．
【解析】（1）证明：如图2，连接 ， ， ， ， ， ， ， ， ．
点 ， ， ， ， ， 是 的六等分点，
．
．是 直径，
，
，
，
设 的半径为 ．
在 中， ，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
是直角三角形且 ，
，
点 ， ， ， 是 的四等分点．
（2）解：在 中， ， ，
，
， ，
的长 ．
故答案为： ， ．
