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专题 31 圆锥曲线存在性问题的五种类型大题 100 题
类型一:存在性问题---角度关系1-20题
1．已知双曲线 的右焦点为 ，离心率为2，直线 与C的一条渐近线交于
点P，且 ．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设Q为双曲线C右支上的一个动点在x轴上是否存在定点M，使得 ？若存在，求
出点M的坐标；若不存在请说明理由．
2．已知双曲线 ： ， ， ， ， ，
五点中恰有三点在 上.
（1）求 的方程；
（2）设 是 上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点 ，使得 ,
若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
3．已知椭圆C： （a>b>0）的离心率为 ，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆
C上，直线PA交x轴于点M．
（1）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；
（2）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得
∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．4．设点A、F分别是双曲线 的左顶点和右焦点，点P是双曲线右支上的动点.
(1)若 是直角三角形，求点P的坐标；
(2)是否存在常数 ，使得 对任意的点P恒成立？证明你的结论．
5．已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， 为坐标原点，点 在椭
圆 上，且满足 ， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知过点 且不与 轴重合的直线 与椭圆 交于 两点，在 轴上是否存在定点 ，使得
. 若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
6．已知椭圆 的上、下焦点分别为 ，离心率为 ，点 是椭圆上一点，
的周长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的动直线 交 于 两点， 轴上是否存在定点 ，使得 总成立？
若存在，求出定点 ；若不存在，请说明理由．7．已知双曲线 的实半轴长为1，且 上的任意一点 到 的两条渐近线的距离
乘积为
（1）求双曲线 的方程；
（2）设直线 过双曲线 的右焦点 ，与双曲线 相交于 两点，问在 轴上是否存在定点 ，使得
的平分线与 轴或 轴垂直？若存在，求出定点 的坐标；否则，说明理由．
8．已知点 ， ，动点 满足直线 和 的斜率之积为 ，记 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）问在第一象限内曲线 上是否存在点 使得 ，若存在，求出点 的坐标，若不存在，
请说明理由．
9．已知椭圆 ，点 为焦点，过 且垂直于 轴的直线交椭圆于S，T两点，
且 ，点 为x轴上一点，直线 与椭圆C交于不同的两点A，B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线PA、PB分别交y轴于M、N两点，O为坐标系原点，问：x轴上是否存在点Q，使得
？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
10．已知双曲线 ( ， )的离心率为2，过点 且斜率为 的直线 交双曲线 于， 两点.且 .
（1）求双曲线 的标准方程.
（2）设 为双曲线 右支上的一个动点， 为双曲线 的右焦点，在 轴的负半轴上是否存在定点 .使
得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）动圆 圆心 的轨迹为曲线 ，求曲线 的方程；
（2）直线 交曲线 于 ， ， 轴上是否存在一点 ，使得当 变动时，都有
？说明理由.
12．已知抛物线 ： 与离心率为 的椭圆 ： 的一个交点为 ，
点 到抛物线 的焦点的距离为2.
（Ⅰ）求 与 的方程；
（Ⅱ）设 为坐标原点，在第一象限内，椭圆 上是否存在点 ，使过 作 的垂线交抛物线 于点 ，
直线 交 轴于点 ，且 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
13．椭圆E： ＋ ＝1(a＞b＞0)经过点A(－2，0)，且离心率为 .
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(4，0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM＋
∠PQN＝180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知 分别是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上，且 的垂心
为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 （斜率为 ）交椭圆 于 ， 两点，在 轴上是否存在定点 ，使得射线
平分 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
15．已知椭圆 的短轴长和焦距都为2，直线 与椭圆 交于不同的两点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知 ，直线 分别交 轴于 两点，问： 轴上是否存在点 ，使得
？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
16．已知椭圆 与双曲线 有两个相同的顶点，且 的焦点到其渐近线
的距离恰好为 的短半轴的长度．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作不垂直于坐标轴的直线 与 交于 ， 两点，在 轴上是否存在点
，使得 平分 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．17．在平面直角坐标系 中，已知 ， ，动点 满足 ，动点 的轨
迹记为 .
（1）求曲线 的方程；
（2）若点 也在曲线 上，且 ，求 的面积；
（3）是否存在常数 ，使得对动点 恒有 成立？请给出你的结论和理由.
18．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交 于 ， 两点，当 与 轴
垂直时， 的周长为 .
（1）求 的方程：
（2）在 轴上是否存在点 ，使得 恒成立( 为坐标原点)？若存在求出坐标，若不存在说
明理由.
19．已知双曲线 的离心率为 ，点 为 上位于第二象限的动点，
（1）若点 的坐标为(-2，3 ，求双曲线 的方程；
（2）设 分别为双曲线 的右顶点､左焦点，是否存在常数 ，使得 如果存在，请求
出 的值；如果不存在，请说明理由.20．已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切且与圆 内
切，设圆心 的轨迹为曲线 .
（1）求 的方程；
（2）若 ， 是曲线 上的动点，且直线 过点 ，问在 轴上是否存在定点 .使得
( 为坐标原点).若存在，请求出定点 的坐标；若不存在，请说明理由.
类型二:存在性问题---面积关系1-20题
1．设直线 与双曲线 交于M，N两个不同的点，F为右焦点.
（1）求双曲线C的渐近线方程及两条渐近线所夹的锐角；
（2）当 时，设直线 与C交于M，N，三角形 面积为S，判断：是否存在k使得成立？若存在求出k的值，否则说明理由.
2．已知椭圆 ， ， 为左、右焦点，直线 过 交椭圆于 ， 两点．
（1）若直线 垂直于 轴，求 ；
（2）当 时， 在 轴上方时，求 、 的坐标；
（3）若直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ，是否存在直线 ，使得 ，若存在，求出直
线 的方程；若不存在，请说明理由．
3．已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，椭圆上任意一点 到焦点距离的最小值
与最大值之比为 ，过 且垂直于长轴的椭圆 的弦长为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 的直线与椭圆 相交的交点 、 与右焦点 所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？
若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．
4．已知平面直角坐标系上一动点 到点 的距离是点 到点 的距离的 倍．
（1）求点 的轨迹方程：
（2）若点 与点 关于点 对称，求 、 两点间距离的最大值；
（3）若过点 的直线 与点 的轨迹 相交于 、 两点， ，则是否存在直线 ，使 取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由．
5．在直角坐标系 中，已知点 ， ，直线 ， 交于 ，且它们的斜率满足：
.
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）设过点 的直线 交曲线 于 ， 两点，直线 与 分别交直线 于点 ， ，是否存
在常数 ，使 ，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
6．在①离心率 ，②椭圆 过点 ，③ 为椭圆上一点， 面积的最大值为 ，这三个条件
中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.设椭圆 的左、右
焦点分别为 、 ，已知椭圆 的短轴长为 ，______.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 的直线 交椭圆 于 、 两点，请问 的内切圆 的面积是否存在最大值？若存在，求出
这个最大值及直线 的方程，若不存在，请说明理由.
7．双曲线 的中心在原点 ，焦点在 轴上，且焦点到其渐近线 的距离为2．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）过点 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 ， 两点，与其渐近线分别交于 ，
（从左至右）两点．①证明： ；
②是否存在这样的直线 ，使得 ，若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
8．已知椭圆 的离心率 ，点A，B，N分别为椭圆的左右顶点和上顶点，且
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设不过原点 直线 与椭圆 交于不同的 ， 两点，且直线 的斜率依次成等比数列.椭
圆 上是否存在一点 ，使得以 为邻边的平行四边形 的面积为定值？若存在，求出该定值；
若不存在，请说明理由.
9．已知抛物线 ，椭圆 ，若抛物线过点 ，抛物线与椭圆有
共同的焦点 ，且椭圆 的离心率 ．
（I）求椭圆与抛物线的方程；
（II）直线 的方程为 ，若不经过点 的直线 与抛物线交于 ， （ ， 分别在 轴两侧），与
直线 交于点 ，与椭圆交于点 ， ，设 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，若 ．
（i）证明：直线 恒过定点；
（ii）点 关于 轴的对称点为 ，试问 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不
存在，请说明理由．10．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的四个顶点围成的四边形的面积为 ，
左、右焦点分别为 、 ，且 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 的直线 与椭圆 相交于 、 两点， 的内切圆 的面积是否存在最大值？若存在，求出
这个最大值及直线 的方程，若不存在，请说明理由.
11．已知椭圆C： 的左顶点为 离心率 ，过点A的直线 与椭圆交于点
B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设AB的中点为 ，射线 与椭圆 交于点 ，是否存在直线 使 的面积是 面积的3
倍？若存在，求直线 的方程，若不存在，请说明理由.
12．已知圆 ，动圆M过点 且与圆C相切.
（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程；
（2）假设直线l与轨迹E相交于A，B两点，且在轨迹E上存在一点P，使四边形OAPB为平行四边形，
试问平行四边形OAPB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.13．已知A，B分别为椭圆 的左、右顶点， 为椭圆 的上顶点，
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知动点 在椭圆 上，两定点 ， ．
①求 的面积的最大值；
②若直线 与 分别与直线 交于 两点，问：是否存在点 ，使得 与 的面积相等？
若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
14．在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，2），B（2，2），直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：
k ﹣k ＝﹣2．
AD BD
（1）求点D的轨迹C的方程；
（2）设过点（0，2）的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线y＝﹣1于点M，N，是
否存在常数入，使 ＝λ ，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
OPQ OMN
15．已知椭圆 ： 的左、右顶点分别是 ， ，右焦点为 ，点 是椭圆 上一动点（异于 ，
），点 与点 关于原点对称，分别连接 ， 并延长交于点 ，连接 并延长交椭圆 于点 ，
记 的面积与 的面积分别为 ， ．（1）当 的坐标为 时，求 的值．
（2）是否存在点 使得 ？若存在，求出点 的坐标：若不存在，请说明理由．
16．已知椭圆 ，拋物线 ，点 ，斜率为 的直线 交拋物线于
两点，且 ，经过点 的斜率为 的直线 与椭圆相交于 两点.
（1）若拋物线的准线经过点 ，求拋物线的标准方程和焦点坐标：
（2）是否存在 ，使得四边形 的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及 的值；若不存在，
请说明理由.
17．如图所示，已知 、 分别是椭圆 ： 的左、右顶点，点 是椭圆 上位于 轴上方的动点，
点 与点 关于 轴对称，直线 ， 与 轴分别交于 ， 两点.
（1）求线段 的长度的最小值；（2）当线段 的长度最小时，在椭圆 上是否存在这样的点 ，使得 的面积为1？若存在，确定
点 的个数，若不存在，请说明理由.
18．如图，已知抛物线 的焦点为 ，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，在
A，B两点处的切线相交于N，再分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为C，D.
（1）求证：点N在定直线上；
（2）是否存在点N，使得 的面积是 的面积和 的面积的等差中项，若存在，请求出点N
的坐标，若不存在，请说明理由.
19．已知椭圆C 的左，右焦点分别为 ， ，离心率为 ，M为C上一点，
面积的最大值为 .
（1）求C的标准方程；
（2）设动直线l过 且与C交于A，B两点，过 作直线l的平行线 ，交C于R，N两点，记 的面
积为 ， 的面积为 ，试问： 是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由.
20．已知椭圆C∶ ( )的左，右焦点分别为 ， ，离心率为 ，M为C上一点，
面积的最大值为 .
（1）求C的标准方程；
（2）已知点 ，O为坐标原点，不与x轴垂直的直线l与C交于A，B两点，且 .试问
∶ 的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由.
类型三:存在性问题---向量关系1-20题
1．已知椭圆C： 的离心率为 ，且 是C上一点．（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点 作直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使 为定值？若存在，
求出点M的坐标及该定值；若不存在，试说明理由．
2．已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴，长轴长为 ，离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）经过椭圆的左焦点 作直线 ，且直线 交椭圆 于 ， 两点，问 轴上是否存在一点 ，使得
为常数，若存在，求出 坐标及该常数，若不存在，说明理由．
3．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的长半轴长为2，且经过点 ；过点 的直线l与椭
圆C相交于不同的两点A，B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，满足 ，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．4．椭圆 与抛物线 有一个公共焦点且经过点 .
（1）求椭圆 的方程及其离心率；
（2）直线 与椭圆 相交于 ， 两点， 为原点，是否存在点 满足 ，
，若存在，求出 的取值范围，若不存在，请说明理由
5．已知曲线C上的动点M到y轴的距离比到点 的距离小1.
（1）求曲线C的方程；
（2）过F作弦 ， ，设 ， 的中点分别为A，B，若 ，求 最小值并求弦 ，
所在直线的方程；
（3）是否存在一定点T，使得 ？若存在，求出T的坐标；若不存在，试说明理由.
6．已知椭圆 的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴
长为 .
（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点 的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足 （O为坐标原
点）若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
7．已知椭圆 的离心率为 ，两焦点 ， 与椭圆上的顶点 构成边长为2的等边
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与 相交于 ， 两点，在 轴上是否存在点 ，使得 为定值？如果有，
求出点 的坐标及定值；如果没有，请说明理由.
8．设直线 ： 与双曲线 ： 相交于A，B两点， 为坐标原点．
（1） 为何值时，以 为直径的圆过原点？
（2）是否存在实数 ，使 且 ？若存在，求 的值，若不存在，说明理由．
9．已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，长轴端点和短轴端点的距离为 ．（1）求椭圆 的方程；
（2）若 为椭圆 上异于椭圆 端点的任意一点，过点 且平行于 的直线 与椭圆 相交于 ，
两点（点 为坐标原点），是否存在实数 ，使得 成立？若存在，求出 的值；若不存
在，请说明理由．
10．已知椭圆 的右焦点F 是抛物线 的焦点，过点 垂直于 轴的直线被椭圆
2
所截得的线段长度为3．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设动直线 与椭圆有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 ．请问：在x轴上是
否存在定点，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
11．双曲线 ： 的顶点与椭圆 ： 长轴的两个端点重合，且一条渐近线
的方程为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）过双曲线 右焦点 作直线 与 分别交于左右两支上的点 ， ，又过原点 作直线 ，使 ，且与双曲线 分别交于左右两支上的点 ， ．是否存在定值 ，使得 ？若存在，请求
的值；若不存在，请说明理由．
12．椭圆 的上下焦点分别为 ， ，离心率为 ， 为椭圆 上的一个动点，
的面积最大值为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作直线与椭圆 相交于 ， 两点，是否存在 轴上的点 ，使得 为定值？
若存在，求出 ；若不存在，说明理由．
13．已知椭圆 过 ， 两点，直线 交椭圆 于 ， 两点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 过点 ，是否存在常数 ，使得 为定值，若存在，求 的值及定值；若不
存在，请说明理由.
14．已知椭圆 的左、右焦点 ， 恰好是双曲线 的左右顶点，过
点 的直线交直线 交椭圆于A，B两点（点A在x轴上方），当 轴时，直线 在y轴上的截距为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上是否存在点M满足： ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
15．已知椭圆 的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆 的短轴为直径的
圆与直线 相切．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设过椭圆 右焦点且不重合于 轴的动直线与椭圆 相交于 、 两点，探究在 轴上是否存在定点
，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
16．已知动点P到点 的距离与到直线 的距离之比为 .
（1）求动点 的轨迹 的标准方程；
（2）过点 的直线l交 于M，N两点，已知点 ，直线BM，BN分别交x轴于点E，F.试问
在 轴上是否存在一点G，使得 ？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.
17．已知椭圆C： ，过点 的直线l交椭圆C于点A，B.
（1）当直线l与x轴垂直时，求 ；（2）在x轴上是否存在定点P，使 为定值？若存在，求点P的坐标及 的值；若不存在，说
明理由.
18．已知双曲线 的离心率为 ，点 在 上．
（1）求双曲线 的方程；
（2）设过点 的直线l与曲线 交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得 为常数？
若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．
19．已知椭圆 的离心率 ，过右焦点 的直线 与椭圆交于 ，
两点， 在第一象限，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）在 轴上是否存在点 ，满足对于过点 的任一直线 与椭圆 的两个交点 ， ，都有 为
定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．20．已知双曲线 ，直线 交双曲线于 两点.
（1）求双曲线 的顶点到其渐近线的距离；
（2）若 过原点， 为双曲线上异于 的一点，且直线 的斜率 均存在，求证： 为
定值；
（3）若 过双曲线的右焦点 ，是否存在 轴上的点 ，使得直线 绕点 无论怎样转动，都有
成立？若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由.类型四:存在性问题---数量关系1-20题
1．已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，P为椭圆C上的一个动点.
当P是C的上顶点时，△ 的面积为 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设斜率存在的直线 与C的另一个交点为Q，是否存在点 ，使得 ?若存在，求出t
的取值范围；若不存在，请说明理由.
2．如图所示，已知椭圆 ，与 轴不重合的直线 经过左焦点 ，且与椭圆 相交于 ， 两
点，弦 的中点为 ，直线 与椭圆 相交于 ， 两点．
（1）若直线 的斜率为 ，求直线 的斜率．
（2）是否存在直线 ，使得 成立？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．3．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，椭圆 的离心率为 ，椭圆 上的一点
满足 轴，且 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知点 为椭圆 的左顶点，若点 为椭圆 上异于点 的动点，设直线 的斜率分别为
，且 ，过原点 作直线 的垂线，垂足为点 ，问：是否存在定点 ，使得线段 的
长为定值？若存在，求出定点 的坐标及线段 的长；若不存在，请说明理由．
4．平面内两个动圆的圆心分别为 ，半径分别为 ，其中 满足 ，且
．
（1）求证：圆 与圆 相交，并求两圆的交点的轨迹E的方程；
（2）过点 的动直线l与曲线E相交于C，D两点．在平面直角坐标系 中，是否存在与点P不
同的定点M，使得 恒成立？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由．
5．已知点 ， 分别是直线 及抛物线 ： ( )上的点，且 的最小值为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）若直线 与抛物线 交于点 ， ，线段 中点为 ，判断 轴上是否存在点 ，使得
为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由.6．已知点 ，点 是圆 上的动点，线段 的垂直平分线与 相交于点 ，点
的轨迹为曲线 .
（1）求 的方程；
（2） 为曲线 上不同两点， 为坐标原点，线段 的中点为 ，当△ 面积取最大值时，是否
存在两定点 ，使 为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.
7．已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，且过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 ： 与椭圆 交于 ， 两点（不同于点 ），记直线 ， 的斜率分别为 ， ，
试判断是否存在定值 ，使当 变化时 总成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
8．已知双曲线 与 有相同的渐近线，点 为 的右焦点，
为 的左，右顶点.
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若直线 过点 交双曲线 的右支于 两点，设直线 斜率分别为 ，是否存在实数入
使得 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.9．在平面直角坐标系中，已知椭圆 的其中一个焦点 是抛物线 的焦点，
且椭圆 的离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过左焦点 且斜率不为零的动直线 与椭圆 交于 两点，试问在 轴上是否存在一个定点 ，若
设焦点 到两直线 距离分别为 ，则 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理
由.
10．已知椭圆 的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，在x轴上是否存在点P，使出 ？若
存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
11．已知抛物线C：x2＝8y，点F是抛物线的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，点M的坐标为
（2，﹣2）．
（1）分别过A，B两点作抛物线C的切线，两切线的交点为M，求直线l的斜率；
（2）若直线l过抛物线的焦点F，试判断是否存在定值λ，使得 ＝12．已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为抛物线 上的一点，且 .
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，点 在抛物线 上，记直线 的斜率为 ，直线
的斜率为 ，试判断是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的个数；若不存在，请说明理由.
13．已知点 ， 分别是直线 及抛物线 ： ( )上的点，且 的最小值为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）若直线 与抛物线 交于点 ， ，线段 中点为 ，判断 轴上是否存在点 ，使得
为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由.
14．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的右顶点为 ，且其两个焦点与短
轴顶点相连形成的四边形为正方形.过点 且与 轴不重合的直线 与椭圆 交于 ， 两点.（1）求椭圆 的方程；
（2）设 的中点为 ，试判断是否存在实数 ，使得 为定值.若存在，求出 的值，并求出
该定值；若不存在，请说明理由.
15．如图，在平面直角坐标 系中，已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交 于
两点，设 的准线与 轴的交点为 当 时， ．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）若点 过点 的直线 与 交于 两点，是否存在 轴上的定点 使得
恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，分别过椭圆 左、右焦点 、 的动直线 、 相交于 点，与椭圆 分别交于 、 与 、 不同四点，直线 、 、 、 的斜率 、 、 、 满足 ．
已知当 与 轴重合时， ， ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）是否存在定点 、 ，使得 为定值？若存在，求出 、 点坐标并求出此定值；若不存
在，说明理由．
17．已知抛物线 的焦点为 ，半径为1的圆 的圆心位于 轴的正半轴上，过圆心 的动直线
与抛物线交于 、 两点，如图所示．
（1）若圆 经过抛物线 的焦点 ，且圆心位于焦点的右侧，求圆 的方程；
（2）是否存在定点 ，使得 为定值，若存在，试求出该定点 的坐标，若不存在，则说明
理由．18．已知椭圆 的离心率 ，直线 被以椭圆C的短轴为直径的圆
截得的弦长为 .
（1）求椭圆C的方程.
（2）过点M(4，0)的直线交椭圆于A，B两个不同的点，问：是否存在实数 ，使得
，若存在，求出 的范围，若不存在，请说明理由.
19．已知 分别是椭圆 的左、右焦点，动点 在椭圆 上， 面积最大
值为 ，离心率
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若过点 的直线 与椭圆 交于 两点，问:是否存在实数，使得 恒成立.如
果存在.求出 的值.如果不存在，说明理由.
20．已知椭圆 的离心率为 ，左顶点为A，右焦点F， .过F且斜率存在的直
线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，请求出
的值，若不存在，请说明理由.类型五:存在性问题---几何关系1-20题
1．已知椭E： 的右顶点为A，右焦点为F，上､下顶点分别为B，C， ，直
线CF交线段AB于点D，且 .
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）是否存在直线l，使得l交E于M，N两点.且F恰是△BMN的垂心？若存在，求出l的方程；若不存在，
请说明理由.
2．已知抛物线 ，直线 交抛物线C于M、N两点，且线段 中点的纵坐标
为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）是否存在正数m，对于过点 ，且与抛物线C有两个交点A，B，都有抛物线C的焦点F在以
为直径的圆内？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
3．已知双曲线 过点 ，焦距为 ， ．（1）求双曲线C的方程；
（2）是否存在过点 的直线 与双曲线C交于M，N两点，使△ 构成以 为顶角的等腰
三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由．
4．已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，且椭圆的离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点， ,求直线方程；
（3）椭圆 上是否存在关于直线 对称的两点 、 ，若存在，求出直线 的方程；若不存在，
请说明理由.
5．设动点 的坐标为 （ 、 ），向量 ， ，且 ．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过点 作直线 与曲线 交于 、 两点，若 （ 为坐标原点），是否存在直线 ，
使得四边形 为矩形，若存在，求出直线 的方程，若不存在，请说明理由．6．已知椭圆 的离心率 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆交于 两点．是否存在直线 使得以 为直径的圆过点 ？若
存在，求出直线 的方程，若不存在，说明理由．
7．已知椭圆 ： 的焦距为8，且椭圆经过点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点，试问在直线 上是否存在一点 ，使得
为正三角形？若存在，求出相应的直线 的方程；若不存在，说明理由．
8．已知椭圆 的右顶点为 ，右焦点为 ，上、下顶点分别为 ， ， ，
直线 交线段 于点 ，且 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）是否存在直线 ，使得 交 于 ， 两点，且 恰是△ 的垂心？若存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由．
9．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 是椭圆 上的一个动点，以 为圆心过椭
圆左焦点 的圆与直线 相切， 的周长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知点 ，过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 两点，以 ， 为邻边作平行四边形
，是否存在常数 ，使得点 的轨迹在椭圆 上？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
10．已知椭圆 ： ， ， 分别为椭圆长轴的左、右端点， 为直线 上异于点 的任意一
点，连接 交椭圆于 点.
（1）求证： （其中 为坐标原点）为定值；
（2）是否存在 轴上的定点 ，使得以 为直径的圆恒通过 与 的交点．
11．如图所示，A，B分别是椭圆 的左右顶点，F为其右焦点，且
.点P是椭圆C上异于A､B的任一动点，过点A作直线 轴.以线段 为直
径的圆交直线 于点A､M，连接 交直线l于点Q.（1）求椭圆C的方程；
（2）试问在x轴上是否存在一个定点N，使得直线 必过该定点N？若存在，求出N点的坐标，着不存
在，说明理由.
12．已知椭圆 的左右焦点分别为 ，长轴长为 ，A､B为椭圆上的两个动点，
当A､B关于原点对称时， 的最大值为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）若存在实数 使得 ，过点A作直线 的垂线，垂足为N，直线 是否恒过某点？若
恒过某点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.
13．已知椭圆 ，其离心率为 ．
（1）若 ，点 在椭圆 上，点 在直线 上，且 ，试判断直线 与圆 的位置
关系，并证明你的结论．
（2）是否存在过椭圆 的右焦点 的直线 ，使得其与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ，且
满足坐标原点 关于点 的对称点在椭圆 上．若存在，求出直线 的斜率；若不存在，请说明理由．14．已知椭圆 经过点 ，且离心率为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点 作直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.问：x轴上是否存在点Q，使得直线MQ与直线
NQ关于x轴对称？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.
15．已知椭圆 ： 的左､右焦点分别为 ， ， 为椭圆上一点，线段 与圆
相切于该线段的中点 ，且 的面积为2.
（1）求椭圆 的方程；
（2）椭圆 上是否存在三个点A， ， ，使得直线 过椭圆 的左焦点 ，且四边形 是平行四
边形？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
16．已知抛物线 的焦点为 ，直线 交抛物线于不同的 两点.
（1）若直线 的方程为 ，求线段 的长；
（2）若直线 经过点 ，点 关于 轴的对称点为 ，求证： 三点共线；
（3）若直线 经过点 ，抛物线上是否存在定点 ，使得以线段 为直径的圆恒过点 ？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由.
17．从抛物线 上各点向 轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程，并说明曲线 是什么曲线；
（2）过点 的直线 交曲线 于两点 、 ，线段 的垂直平分线交曲线 于两点 、 ，探究是
否存在直线 使 、 、 、 四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由．
18．已知椭圆 ： 的短轴长为2，离心率为 ，左顶点为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若不与 轴平行的直线 交椭圆 于 两点，试问：在 轴上是否存在定点 ，当直线 过点 时，
恒有 ，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
19．A，B为椭圆 的左右顶点， ，E为椭圆C上任意一点（异于左右顶点），
设AE，BE的斜率分别为k 和k， ，
1 2（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线 与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线 相交于点Q，试探究：在坐
标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明
理由.
20．已知 、 分别为椭圆 的左顶点和下顶点， 为直线 上的动点， 的最
小值为 ．
（1）求 的方程；
（2）设 与 的另一交点为 ， 与 的另一交点为 ，问：是否存在点 ，使得四边形 为梯
形，若存在，求 点坐标；若不存在，请说明理由．
