文档内容
专题 1.10 利用三角函数测高（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解用三角函数解决实际问题的有关概念；
2. 理解并解决实际问题中转化为三角函数模型解决实际问题。
【要点梳理】
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实
际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
解这类问题的一般过程是：
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根
据题意画出几何图形，建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直
角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的
直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
拓展：
在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度 h 和水平距离 的比叫做坡度，用字母 表示，则
，如图，坡度通常写成 = ∶ 的形式.
(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线
下方的叫做俯角，如图.
(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①
中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫做方向角，
如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南
偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东
45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.
特别说明：
1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角
的大小，最好画出它的示意图.
2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三
角形或矩形来解.
3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正
确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.
【典型例题】
类型一、直接求三角形的高
1． 数学课外学习小组利用矩形建筑物ABED测量广场灯塔CF的高，如图所示，
在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°，在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°，已知AB
＝10m，AD＝30m．求灯塔CF的高（结果保留整数）．
（参考数据：tan28°≈0.53， cos28°≈0.88，sin28°≈0.47， ≈1.41）【答案】55米
【分析】延长BE交CD于点G，交CF于点H，设CH＝xm，利用锐角三角函数的含
义分别表示 ，再列方程求解即可．
解：延长BE交CD于点G，交CF于点H，
在Rt 中，∠EDG＝45°，
∴EG＝DE＝10m．∠EGD＝45°
设CH＝xm，
在Rt 中， ∠EGD＝45°，
∴GH＝xm
在Rt 中，∠CBH＝28°，
∴tan∠CBH＝ ，
即： ＝tan28°
解这个方程得：x≈45.1，
经检验：x≈45.1符合题意．
∴灯塔的高CF＝55.1≈55（m）
答：灯塔的高为55米．
【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数在解直角三角形中的
应用是解题的关键．
举一反三：【变式1】如图，为测量建筑物CD的高度，在点A测得建筑物顶部D点的仰角是 ，
再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为 （A，B，C在同一
直线上），求建筑物CD的高度．（结果保留整数.参考数据：
）
【答案】CD的高度是16米．
【分析】设建筑物CD的高度为xm，在Rt△CBD中，由于∠CBD=58°，用含x的代数
式表示BC，在Rt△ACD中，利用22°的锐角三角函数求出x，即可得到答案．
解：设建筑物CD的高度为xm；
由
由
解得：
答：CD的高度是16米．
【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的含义及应用是解题
的关键．
【变式2】.如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆（AB）的高度：将一根5
米高的标杆（CD）竖在某一位置，有一名同学站在一处与标杆、旗杆成一条直线，此时他
看到标杆顶端与旗杆顶端重合，另外一名同学测得站立的同学离标杆3米，离旗杆30米．
如果站立的同学的眼睛距地面（EF）1.6米，求旗杆的高度AB．【答案】35.6
【分析】过点E作CG⊥AH于点H，交CD于点G得出△EGC∽△EHA，进而求出AH
的长，进而求出AB的长．
解：过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G．
由题意可得 四边形EFDG、GDHB都是矩形，AB∥CD∥EF．
∴△AECG∽△EAH．
∴ ．
由题意可得
EG=FD=3，GH=BD=30，CG=CD-GD=CD-EF=5-1.6=3.4．
∴ ．
∴AH=34米．
∴AH=AH+HB=34+1.6=35.6米．
答：旗杆高ED为35.6米．
【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，根据相似三角形判定得出△ECG∽△EAH
是解题关键．
【变式3】“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某中学九年级数学兴趣小组进行了
测量它高度的社会实践活动．如图，他们在A点测得顶端D的仰角∠DAC=30°，向前走了
46米到达B点后，在B点测得顶端D的仰角∠DBC=45°．求永定楼的高度CD．（结果保留根号）
【答案】
【分析】根据题意得出DC=BC，进而利用tan30°= 求出答案．
解：试题分析：
解：由题意可得：AB=46m，∠DBC=45°，
则DC=BC，
故tan30°=
解得：DC=
答：永定楼的高度CD为 m．
类型二、由两个直角三角形求高
2． 在一次课外综合实践活动中，甲、乙两位同学测量校园内的一棵大树的高度，
他们分别在 ， 两处用高度为 的测角仪（ 和 ）测得大树顶部 的仰角分别
为30°，45°，两人间的水平距离 为 ，已知点 ， ， ， ， ， 在同一竖
直平面内，且 ，求大树的高度 ．（结果保留根号）
【答案】【分析】连接 ，交 于点 ，在Rt△CDG和Rt△CEG中，求出公共边CG的长
度，然后可求得CF＝CG+GF．
解：如答图，连接 ，交 于点 ，
由题可知四边形 ，四边形 ，四边形 是矩形，
， ．
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
．
解，得 ．
．
答：大树 的高度为 ．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角
形，利用三角函数的知识求解．
举一反三：
【变式1】如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段BC
就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图．已知BC＝1米，∠MBC＝37°．从水平
地面点D处看点C的仰角∠ADC＝45°，从点E处看点B的仰角∠AEB＝53°，且DE＝2.4米．
（1）求点C到墙壁AM的距离；
（2）求匾额悬挂的高度AB的长．（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）
【答案】（1）点C到墙壁AM的距离为 米；（2）匾额悬挂的高度是4米．
【分析】
（1）过C作CF⊥AM于F， 由 结合 从
而可得答案；
（2）过C作CH⊥AD于H，又 则四边形AHCF是矩形，所以
AF=CH，CF=AH． 在Rt△BCF中，先求解 再在Rt△BAE中，∠BEA=53°，求解
再表示 或 列方程，解
方程可得答案．
解：（1）过C作CF⊥AM于F，在Rt△BCF中，
由
所以：点C到墙壁AM的距离为 米．
（2）过C作CH⊥AD于H，又
则四边形AHCF是矩形，所以AF=CH，CF=AH．
在Rt△BCF中，
由
在Rt△BAE中，∠BEA=53°，
由
在Rt△CDH中，∠CDH=45°，
∴
∴
∵∴
答：匾额悬挂的高度是4米．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握作出适当的辅助
线构建直角三角形是解题的关键．
【变式2】.数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的
组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和
室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点 处测得旗杆顶部 的仰角 为
45°，旗杆底部 的俯角 为60°．室外测量组测得 的长度为5米，求旗杆 的高度．
【答案】 米
【分析】此题根据题意作 ，利用 和 分别
求出PB，AP即可求出AB的长．
解：过点 作 于点 ，
在 中， ， ， ， ，在 中， ， ，
米．
【点拨】此题考查解直角三角形应用中利用锐角三角函数求高，利用图示找出相关量
根据题意列式求解是关键．
【变式3】如图，在坡角为20°的山坡上有一铁塔AB、其正前方矗立着一大型广告牌，
当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD＝10米，落在广告牌上的
影子CD＝5米，已知AB，CD均与水平面垂直，请根据相关测量信息，求铁塔AB的高．
（sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【答案】铁塔AB的高约为11米．
【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点B作BN⊥CD于N，在Rt△BND中，分别求出
DN、BN的长度，在Rt△ACE中，求出AE、CE的长度，继而可求得AB的长度．
解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BN⊥CD于N，
在Rt△BND中，∵∠DBN=20°，BD=10，
∴DN=BD sin∠DBN≈10×0.34=3.4，
BN=BD cos∠DBN≈10×0.94=9.4，
∵AB∥CD，CE⊥AB，BN⊥CD，
∴四边形BNCE为矩形，
∴BN=CE=9.4，CN=BE=CD﹣DN=1.6，
在Rt△ACE中，∠ACE=45°，
∴AE=CE=9.4，
∴AB=9.4+1.6=11（米）．
答：铁塔AB的高约为11米．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目所给的坡角构
造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
类型三、由多个直角三角形求高
3． 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，
此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，
一根长为1米，垂直于地面旋转的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度为多少米？
【答案】树高为 米
【分析】延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长
的比值计算即可．
解：延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，如下图所示：
在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，∴CE=2m， m，
在Rt△CED中，
∵同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，
∴CE:ED=1:2，且CE=2m，
∴DE=4m，
∴ 米，
再由同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米可知，
米，
故答案为：树高 米．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是作出辅助线即可得到
AB的影长．
举一反三：
【变式1】如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处
测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后在地面上沿CB向楼房方向
继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡
度i＝1： （坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．求楼房AB高度．（结果保留
根式）
【答案】（15+5 ）米
【分析】过点D作DF⊥BC，垂足为F，设AB=x，AG=x-5，则 ，，根据DG＝FC+CE+BE，列出方程，即可求解.
解：过D作DF⊥BC，垂足为F，∵i＝1： ，∴DF：FC＝1： ，CD＝10，
∴DF＝5，CF＝5 ，
过点D作DG⊥AB，垂足为G，设AB＝x，则AG＝x﹣5，
在Rt△ABE中， ，
在Rt△ADG中， ，
由DG＝FC+CE+BE得，
（x﹣5）＝5 +10+ x，
解得，x＝15+5 ，
答：AB的高度为（15+5 ）米．
【点拨】本题主要考查解直角三角形的实际应用，根据特殊角的三角函数的定义，列
出方程是解题的关键．
【变式2】.如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A
处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为
45°，已知山坡AB的坡度 ，AB=10米，AE=21米，求广告牌CD的高度．（测角器的
高度忽略不计，参考数据：tan53°≈ ，cos53°≈0.60）【答案】
【分析】过B作DE的垂线，设垂足为G，BH⊥AE．在△ADE解直角三角形求出DE
的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出
CG的长然后根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度．
解：过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE，
Rt△ABH中，i=tan∠BAH= = ，
∴∠BAH=30°，
∴BH= AB=5米；
∴AH=5 米，
∴BG=HE=AH+AE=（5 +21）米，
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=（5 +21）米．
Rt△ADE中，∠DAE=53°，AE=21米，
∴DE= AE=28米，
∴CD=CG+GE﹣DE=26+5 ﹣28=（5 ﹣2）m.
答：宣传牌CD高为（ ）米．【点拨】本题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际
问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
【变式3】．如图，某风景区内有一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度，在与瀑布底端同
一水平位置的点D处测得瀑布顶端A的仰角β为45°，沿坡度i＝1：3的斜坡向上走100米，
到达观景台C，在C处测得瀑布顶端A的仰角α为37°，若点B、D、E在同一水平线上．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75， ≈1.41， ≈3.16）
（1）观景台的高度CE为 米（结果保留准确值）；
（2）求瀑布的落差AB（结果保留整数）．
【答案】（1）10 ；（2）瀑布的落差约为411米．
【分析】
（1）通过解直角△CDE得到：CE＝CD•sin37°．
（2）作CF⊥AB于F，构造矩形CEBF．由矩形的性质和解直角△ADB得到DE的长度，
最后通过解直角△ACF求得答案．
解：（1）∵tan∠CDE＝
∴CD＝3CE．又CD＝100米，
∴100＝
∴CE＝10 ．
故答案是：10 ．
（2）作CF⊥AB于F，则四边形CEBF是矩形．
∴CE＝BF＝10 ，CF＝BE．
在直角△ADB中，∠DB＝45°．设AB＝BD＝x米．
∵ ＝ ，
∴DE＝30 ．
在直角△ACF中，∠ACF＝37°，tan∠ACF
解得x≈411．
答：瀑布的落差约为411米．
【点拨】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造
直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型．
类型四、其他运用
4． 2017年9月8日—10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区
隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图，某选手从离水平地面
1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为 的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为 的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离 .
【答案】
分析：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据题意得到∠ADE=30°，
∠CDF=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AE= AD=700，DE=
AE=700 ，则BE=300，所以DF=300，BF=700 ，再在Rt△CDF中计算出CF，然后计
算BF和CF的和即可．
解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE=30°，∠CDF=30°，
在Rt△ADE中，AE= AD= ×1400=700，
DE= AE=700 ，
∴BE=AB-AE=1000-700=300，
∴DF=300，BF=700 ，
在Rt△CDF中，CF= DF= ×300=100 ，
∴BC=700 +100 =800 ．答：选手飞行的水平距离BC为800 m．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的
关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高
或垂线构造直角三角形．
举一反三：
【变式1】如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测杆顶端点P的仰角是45°，向
前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，求该电线杆
PQ的高度(精确到0.1 m)．
【答案】电线杆PQ的高约是9.5 m.
解：试题分析：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE
中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再
在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
试题解析：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE= PE= x米，∵AB=AE-BE=6米，
则x- x=6，
解得：x=9+3 ．
则BE=（3 +3）米．
在直角△BEQ中，QE= BE= （3 +3）=（3+ ）米．
∴PQ=PE-QE=9+3 -（3+ ）=6+2 （米）．
答：电线杆PQ的高度是6+2 米．
考点：解直角三角形的应用—俯角仰角问题.
【变式2】.图1所示的是某景区的“关帝圣像”，它从2007年1月开始铸造，共用铜
吨，铁 吨，甚是伟岸壮观．其侧面示意图如图2所示．在 处测得圣像顶 的仰
角为 ，在点 处测得圣像顶 的仰角为 ．已知 于点 于点
米， 米，求圣像的高度 ． (结果保留整数．参考数据：
， ，
)【答案】圣像的高度 约为 米
【分析】
设圣像的高度 约为 米，根据已知 中 的值用 表示 的长，根
据 进而可求出BC的长，从而利用 中 列出关于 的方程，解得
的值，即为圣象的高度．
解：设 米，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 米，
∴ 米，
在 中， ，
，∴ ，
解得 ，
答：圣像的高度 约为 米．
【点拨】本题主要考查三角函数．解题的关键在于在直角三角形中，根据三角函数的
定义，结合已知条件，列出关于 的方程，求解方程即可得解．
【变式3】．如图，在河流的右岸边有一高楼 ，左岸边有一坡度 的山坡 ，
点 与点 在同一水平面上， 与 在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼 的
高度，在坡底 处测得楼顶 的仰角为 ，然后沿坡面 上行了 米（即
米）到达点 处，此时在 处测得楼顶 的仰角为 ．（参考数据：
， ， ）
（1）求点 到点 的水平距离 的长；
（2）求楼 的高度．
【答案】（1） 米；（2）楼 的高度为 米．
【分析】
（1）由 的坡度 ， 可得 设 则 由勾股定
理可得 再列方程 解方程可得答案；
（2）如图，过 作 于 先证明四边形 是矩形，可得
设 证明 可得由 建立方程，再解方程检验即可得到答案．
解：（1） 的坡度 ，
设 则
（2）如图，过 作 于
四边形 是矩形，
设
由
解得：
经检验： 符合题意，所以：建筑物 的高为： 米．
【点拨】本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度的含义，掌握利用解直角三角
形测量建筑物的高是解题的关键．
