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2.1 函数及其表示
思维导图
知识点总结
(1)集合 A,B 及其对应关系 f:A→B 构成的函数中,函数的值域 C 不是
集合B,而是C B.
(2)两个函数的⊆值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同,例如,
函数f(x)=2x2,x∈[0,2]与函数f(x)=2x2,x∈[-2,0].
2.函数的表示法
表示函数的常用方法有 、 和 .
3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对
应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,
但它表示的是一个函数.
分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定
义域的并集,值域是各段值域的并集.
与x轴垂直的直线与一个函数的图象至多有一个公共点.
典型例题分析
考向一 函数的定义域
典例一
1.函数f(x)= +ln(2x-x2)的定义域为( B )
A.(2,+∞) B.(1,2)
C.(0,2) D.[1,2]
2.已知函数 f(x)= 的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是( B
)
A.(-12,0) B.(-12,0]C.( ,+∞) D.(-∞, ]
3.已知函数f(x)=(1-x +(2x-1)0,则f(x)的定义域为 .
解题分析与总结
(1)若函数的解析式是由多个基本初等函数通过四则运算构成,则函
数的定义域是使构成解析式的各部分都有意义的集合的交集.
(2)求抽象函数的定义域
①若 y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式 a1 的 x 的取值范围是
.
解题分析与总结
求解与分段函数有关的不等式问题,应在定义域的限制之下,结合函
数解析式分别解不等式,最后取各不等式的并集.
微考点4 分段函数的值域
设函数 f(x)= 若 F(x)=f(x)+x,x∈R,则 F(x)的值域为(
)
A.(-∞,1]B.[2,+∞)
C.(-∞,1]∪[2,+∞)
D.(-∞,1)∪(2,+∞)
解题分析与总结
分段函数的值域是各段函数值域的并集.
基础题型训练
一、单选题
1．下列各组函数中，是相等函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． ， D． ，
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快
速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ ）A． B．
C． D．
4．函数 的值域为（ ）．
A． B． C． D．
5．若函数 在 上的最大值为4，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．下列各函数中，表示相等函数的是（ ）
A． 与
B． 与
C． 与
D． 与 ( 且 )
二、多选题
7．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例
如函数 ， 与函数 ， 就是“同族函数”.下列可用来构造同族函数的有（ ）
A． B．
C． D．
8．下列函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
三、填空题
9．已知 为一个确定的区间，则a的取值范围是________.
10．值域：与 的值____的 的值的集合 .
11． 表示不超过 的最大整数，如 ， ， ，若 ，则
的值域为___________.
12．函数 的定义域为 ，则 的定义域为________.
四、解答题
13．设函数
(1)求函数的定义域；
(2)求 .14．（1）已知函数 ，求 的解析式；
（2）已知 为二次函数，且 ， ，求 的解析式.
15．已知函数 .
（1）求 ， 的值；
（2）求证 是定值；
（3）求： 的值.
16．已知函数 .
（1）求 的值；
（2）当 时，求 的值域.
提升题型训练
一、单选题
1．已知 ，则 的值为（ ）
A．4 B． C．16 D．
2．函数 的最大值是
A．-1 B．1 C．-2 D．23．二次函数 的图象如图所示，则反比例函数 与一次函数 在
同一坐标系下中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．定义：若函数 的图象经过变换 后所得的图象对应的函数与 的值域相同，则
称变换 是 的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换：
① 将函数 的图象关于 轴对称；
② 将函数 的图象关于 轴对称；
③ 将函数 的图象关于点 对称.④ 将函数 的图象关于点 对称.
其中 是 的同值变换的有（ ）
A．①② B．①③④ C．①④② D．①③
5．定义区间 ， ， ， 的长度均为 ，用 表示不超过 的最大
整数，例如 ， ，记 ，设 ， ，若用
表示不等式 解集区间的长度，则当 时有（ ）
A． B． C． D．
6．函数 = ，若方程 有且只有两个不相等的实数根，则实数
的取值范围是
A．（－ ，1） B．（－ ，1]
C．（0，1） D．[0，+ ）
二、多选题
7．具有性质： 的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足
“倒负”变换的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
8．设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，．若对任意 ，都有 ，则 的值可以是（ ）．
A． B．1 C． D．2
三、填空题
9．设函数 ，则 __________．
10．函数 在区间 上的值域是______.
11．定义 ，若 ，则使不等式 成立
的 的取值范围是____
12．函数 的定义域为 ，则实数a的取值范围是___________.
四、解答题
13．若函数 .
（1）求 、 ；
（2）求函数 的定义域.
14．给定函数 ， ， .(1)在所给坐标系（1）中画出函数 ， 的大致图象；（不需列表，直接画出.）
(2) ，用 表示 ， 中的较小者，记为 ，请分别
用解析法和图象法表示函数 .（ 的图象画在坐标系（2）中）
(3)直接写出函数 的值域.
15．已知函数 的定义域为集合 ，集合 ，
.
(1)求集合 和 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
16．设 是定义在 上的函数，满足 ，当 时，
．
（ ）求 的值，试证明 是偶函数．
（ ）证明 在 上单调递减．
（ ）若 ， ，求 的取值范围．
