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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题1.3三角函数的计算
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020秋•杭州期末）下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【分析】将特殊角的三角函数值进行比较即可．
【解析】 、 ，
，故选项不成立；
、 ，
，故选项不成立；
、 ，
，故选项不成立；
、 ，
，故选项成立．
故选： ．
2．（2020秋•高邮市期末）已知 ，则锐角 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】利用特殊角的三角函数值，解决问题即可．
【解析】 ， ， ，
，故选： ．
3．（2020秋•鄞州区期末）角 ， 满足 ，下列是关于角 ， 的命题，其中错误的是
A． B． C． D．
【分析】根据锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数，可得答案．
【解析】 ，
、 ，是真命题，不符合题意；
、 ，是真命题，不符合题意；
、 ，是假命题，符合题意；
、 ，是真命题，不符合题意；
故选： ．
4．（2021秋•岱岳区校级月考）下列计算错误的个数是
① ；
② ；
③ ；
④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据特殊锐角三角函数值以及同角三角函数之间的关系逐个进行进行判断即可．
【解析】 ，而 ，因此①是错误的；
，因此②是正确的；
，因此③是错误的；， ，因此④是错误的；
综上所述，错误的有①③④，共3个，
故选： ．
5．（2020秋•曾都区期末）在 中， ， ，那么 的值是
A． B． C． D．
【分析】根据特殊锐角三角函数值求出 ，再求出 的值即可．
【解析】在 中， ，
，
，
，
故选： ．
6．（2020秋•泉州期末）在 中， ，则下列选项正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义表示 的和，再根据三角形的三边关系得出答案．
【解析】如图，在 中， ， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
， ，
，
又 ，
，
即 ，
故选： ．7．（2021秋•岱岳区校级月考）锐角 满足 ，利用计算器求 时，依次按键 ，
则计算器上显示的结果是
A．30 B．45 C．60 D．75
【分析】根据计算器即可求出答案．
【解析】 ，
，
故选： ．
8．（2020秋•安丘市期末）已知 ，运用科学计算器求锐角 时（在开机状态下），按下的第
一个键是
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角比的数值求角度时，首先先按 键．
【解析】根据锐角三角比的数值求角度时，首先先按 键，
故选： ．
9．（2020秋•张店区期末）如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在 高的天桥两端分别修建了
长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角 ，下列按键顺序正确的是
A．B．
C．
D．
【分析】知道了 的对边和斜边，用 的正弦，知道正弦值是0.25，求 ，即可得出答案．
【解析】 ，
故选： ．
10．（2021•烟台）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
按键的结果为 ；
按键的结果为 ；
按键的结果为 ．
下列判断正确的是
A． B． C． D．
【分析】分别计算出 ， ， 的值即可得出答案．【解析】 ；
；
；
，
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021•上城区二模）比较 和 的大小，用“ ”连接 ．
【分析】将余弦转化为正弦，根据正弦的锐角三角函数的增减性比较大小即可．
【解析】 ，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大，
，
故答案为： ．
12．（2020秋•萧山区期末）下列结论中（其中 ， 均为锐角），正确的是 ①③④ ．（填序号）
① ；
② ；
③当 时， ；
④ ．
【分析】在 中， ， 、 、 对的边分别为 、 、 ，利用勾股定理得到
， 设 ， 根 据 三 角 函 数 的 定 义 得 到 ， ， 则
，从而可对①进行判断；由于 ，所以 ，则可
对④进行判断；利用反例对②进行判断；根据正弦函数为增函数对③进行判断．
【解析】在 中， ， 、 、 对的边分别为 、 、 ，则 ，
设 ，则 ， ，
，所以①正确；，
，
，所以④正确；
若 ，则 ， ，所以②错误；
当 时， ，所以③正确；
故答案为①③④．
13．（2020秋•龙泉驿区期末）已知 ，则 ．
【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数的意义，设辅助未知数可求出答案．
【解析】如图，在 中，
由于 ，
设 ，则 ，
由勾股定理得，
，
所以 ，
故答案为： ．
14．（2020秋•南安市月考）规定： ， ， ．
据此判断下列等式成立的是 ②③④ （填序号）．
① ；② ；③ ；④ ．【分析】根据给出的等式，分别对每个结论进行判断即可．
【解析】 ，因此①不正确；
，因此②正确；
，因此③正确；
，因此④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故答案为：②③④．
15．（2020秋•肥东县期末）已知 为锐角，则 0 ．
【分析】利用 进行计算．
【解析】 为锐角，
，
．
故答案为0．
16．（2020秋•垦利区期中）观察下列等式：
① ， ；
② ， ；
③ ， ．
（1）根据上述规律，计算 1 ．
（2）计算： ．
【分析】（1）由所提供的等式可得 ． 且 ，进而得
出答案；（2）将原式转化为 ，再根据 ，计算
即可．
【解析】（1）由所提供的等式可得 ． ， ，
，
故答案为：1；
（2）
，
故答案为：44.5．
17．（2020秋•秦都区校级月考）若三个锐角 ， ， 满足 ， ， ，则 ，
， 由小到大的顺序为 ．
【分析】根据锐角三角函数的性质即可作出判断．
【解析】根据锐角三角函数的性质可得：
， ， ， ，
，
．
故答案为： ．
18．（2020•浙江自主招生）已知 为锐角，且 ，则 ．
【分析】根据完全平方公式的变形公式得到： 的值，然后利用 对所求的代
数式进行变形处理，代入求值即可．【解析】 ，
．
为锐角，
．
．
．
故答案是： ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋•岱岳区校级月考）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）根据特殊锐角的三角函数值，代入计算即可；
（2）由 ， ，即可求出答案．
【解析】（1）原式
；
（2） ， ，
原式 ．
20．（2020秋•平果市期末）若 为锐角）．（1）求 的值；
（2）计算： ．
【分析】（1）根据特殊锐角的三角函数值得出相应的锐角的度数，进而求出 的值，
（2）根据（1）所得到的记录即可得出正确答案．
【解答】解（1） ， 为锐角，
；
（2）
．
21．（2019秋•扶风县期末）（1）计算： ．
（2）在 中， ， ， ，求 的周长和 的值．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案；
（2）画出直角三角形再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解析】（1）原式
；
（2）如图所示： ， ，
．
，的周长为 ．
．
22．（2021 秋•瑶海区校级月考）如图，在 中， ，点 在 上， ，
， ．求 的值．
【分析】首先在直角三角形 中，利用 的长和 求得线段 的长，然后在直角三角形
中利用正弦函数的定义求得 的值即可．
【解析】在直角三角形 中， ， ，
．
在直角三角形 中， ， ，
．
23．（2021•鹿城区校级三模）如图， 中， ， 是 边上的中线，过点 作
于点 ， ．
（1）求 的长；
（2）若 ，求 的面积．【分析】（1）在直角 中，利用 的余弦函数求出 ；
（2）利用等腰直角三角形的性质先求出 ，再在直角 中利用 的正弦函数和勾股定理求出
、 ，最后求出 的面积．利用三角形中线的性质可得结论．
【解析】（1） ，
．
在 中，
，
．
（2） ， ．
．
．
，
．
．
．
．
是 边上的中线，
．24．（2020•丛台区校级一模）嘉琪在某次作业中得到如下结果：
， ，
， ，
．
据此，嘉琪猜想：在 中， ，设 ，有 ．
（1）当 时，验证 是否成立．
（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．
【分析】（1）将 代入，根据三角函数值计算可得；
（2）设 ，则 ，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
【解析】（1）当 时，
；
所以当 时， 成立．
（2）证明：如图，在 中， ，设 ，则 ，
．
