文档内容
专题1.10 勾股定理知识点分类专题训练2
本专题求解过程中个别题型涉及到二次根式内容，建议学习二次
根式后进行练习，或者选择性进行练习。
一、填空题
知识点一：勾股树
1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角
形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是___．
2．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S，以CD为斜边作等腰直角三角形，
1
以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S，……按照此规律
2
继续下去，则S 的值为_____．
2019
3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边
长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2．
4．如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等
腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若
正方形①的面积为16，则正方形③的面积是_____．知识点二：勾股数
5．观察下列勾股数
第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1
第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1
第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1
第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1
…观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是______________（只填数，不填等式）
6．古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2
＋1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是____________．
知识点三：用勾股定理表示无理数
7．为了比较 +1与 的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，
BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得 +1_____ ．（填“＞”或“＜”或
“=”）
8．如图，以数轴的单位长度为一边长，另一边长为2个单位长度作矩形，以数轴上的原点
O为圆心，矩形的对角线为半径作弧与数轴交于点A，则点A表示的数为________.
9．如图，数轴上的点 表示的数是 ， ，垂足为 ，且 ，以点 为圆心.
为半径画弧交数轴于点 ，则 点表示的数为__________.10．已知：如图CA＝CB，那么数轴上的点A所表示的数是_____．
知识点四：用勾股定理解决最值问题
11．如图， 中， ， ， ， ， 分别是边 ， 上
的点，且满足 ，则 的最小值为______．
12．如图，矩形ABCD中， ， ，E，F，Q分别是AD和BC、DC的中点，P
是EF上的点，则 的最小值为________．
13．如图，矩形 中， ， ．点 是 的中点，点 是 边上的任意
一点（不与 、 重合）， 沿 翻折，点 落在 处，当 的长度最小时，
的长度为______．14．如图，正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作
EF⊥AM分别交AB，CD于点E，F．
（1）AM的长为_____； （2）EM+AF的最小值为_____．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝ ，AC＝8，BC＞6，点E，F分别在BC，
AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为_____．
16．如图，在 中， ，AD平分 交BC于D点，
E、F分别是AD、AC上的动点，则 的最小值为________．
二、解答题
知识点五：证明勾股定理
17．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．
中， ，若 ， ，请你利用这个图形说明 ；
18．如图是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明
勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）
19．一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法 如图,
火柴盒的一个侧面ABCD倒下到 的位置,连接 ,设 , , ,请利用
四边形 的面积验证勾股定理： ．
20．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪
以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积
法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）
求证：a2+b2＝c2．知识点五：利用勾股定理求线段长
21．已知：如图， 平分 ， 于点 ， 于点 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求 的长．
22．如图，已知 和 均是直角三角形， ， ，
于点 ．
（1）求证： ≌ ；
（2）若点 是 的中点， ，求 的长．
23．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A
在△ECD的斜边DE上．
（1）求证：∠ADB＝90°；
（2）若AE＝2，AD＝4，求AC．知识点六：利用勾股定理求最值
24．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，
已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值．
25．（1）问题探究
①如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝13，AB＝5，若P是BC边上一动点，连
接AP，求AP的最小值．
②如图2，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝a，求边AB的长度（用含a的代数式
表示）．
（2）问题解决
如图3，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，D是边BC的中点，若P是AB边上
一动点，E是AC边上一动点，请直接写出PD＋PE的最小值．
知识点七：格点中的勾股定理
26．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的三个顶点均在格点上，请按要
求完成下列各题：
（1）做线段 ，使其长度为 ；
（2）通过计算说明 是直角三角形．27．如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求
画图．
（1）在图①中画一条线段AB，使AB＝ ，线段AB的端点在格点上；
（2）在图②中画一个斜边长为 的等腰直角三角形DCE，其中∠DCE＝90°，三角形的
顶点在格点上．
28．在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ，求这个三角形的面积，小
辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格
中画出格点△ABC（即三个顶点都在小正方形的顶点处，如图1所示，这样不需要求
△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．）
（1）请将△ABC的面积直接填写在横线上 ．
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法，若△ABC三边的长分别为 ，2
（a＞0），请在图②中给出的正方形网格内（每个小正方形的边长为a）画出相
应的△ABC（其中一条边已经画好），并求出它的面积．知识点八：用勾股定理解决折叠问题
29．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，AD是BC边上的中线，将A点翻折与
点D重合，得到折痕EF．
（1）若a＝4，求CE的长；
（2）求 的值．
30．如图所示，在 中， ， ， ，D是BC上一点，把
折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）的面积．
31．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，将△DCE沿DE翻折，使点C落
在点A处．
（1）设BD=x．在Rt△ABD中，根据勾股定理，可得关于x的方程 ；
（2）分别求DC、DE的长．32．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．已知 ，
.
（1）求AB的长；（2）求CD的长．
33．如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕(对角线)AC，再折叠使AB边与AC重合，
得折痕AE，若AB=3，AD=4，求AE的长.
知识点九：弦图中的勾股定理
34．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在 中， ，
， ，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求 的
值．35．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证
公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的
直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为
c2，也可以表示为4× ab＋(a－b)2，所以4× ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重
要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
(2)试用勾股定理解决以下问题：
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ．
(3) 试构造一个图形，使它的面积能够解释(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并
标出字母a，b所表示的线段．
36．如图①，在Rt△ABC中∠C＝90°，两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．如图②，
现将与Rt△ABC全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN．（1）根据勾股定理的知识，请直接写出a，b，c之间的数量关系；
（2）若正方形EFMN的面积为64，Rt△ABC的周长为18，求Rt△ABC的面积．
37．如图的图形取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》也称（《赵爽弦图》），它
是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果
大正方形的面积是 ，小正方形的面积是 ，直角三角形较短的直角边为 ，较长的直角
边为 ，试求 的值．
知识点十：勾股数规律的探索
38．阅读并填空：
寻求某些勾股数的规律：
⑴对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：
32+42=52，我们把它扩大2倍、3倍，就分别得到62+82=102和92+122=152，……若把它
扩大11倍，就得到 ，若把它扩大n倍，就得到 ．
⑵对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数：
若勾股数为3，4，5，因为，则有32+42=52；
若勾股数为5，12，13，则有52+122=132；
若勾股数为7，24，25，则有 ；……
若勾股数为m(m为奇数)，n， ，则有m2= ，用m来表示n＝ ；当m=17时，则n＝ ，此时勾股数为 ．
⑶对于大于4的偶数：
若勾股数为6，8，10，因为62=102-82，则有……请找出这些勾股数之间的关系，并用适
当的字母表示出它的规律来，并求当偶数为24的勾股数．
39．以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组．记为（3，4，
5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）
等．
（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
（2）用含 （ 且 为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．
40．请认真阅读题意，并根据你的发现填空：
（1）将任何一组已知的勾股数中的每一个数都扩大为原来的正整数倍后，就得到一组新的
勾股数，例如：3、4、5，我们把每一个数扩大为原来的2倍、3倍，则分别得到6、8、10
和9、12、15，
若把每一个数都扩大为原来的12倍，就得到______________，
若把每一数都扩大为原来的n（n为正整数）倍，则得到_________________；
（2）对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数
若勾股数为3、4、5. 则有
若勾股数为5、12、13， 则有
若勾股数为7、24、25， 则有
若勾股数为m（m为奇数）、n、______
则有 =2n+1，用m表示n=_______
当m=17时，n=_______，此时勾股数为_______________.
知识点十一：勾股定理表示无理数的探索41．利用勾股定理可以在数轴上画出表示 的点，请依据以下思路完成画图，并保留画
图痕迹：
第一步：（计算）尝试满足 ，使其中a，b都为正整数.你取的正整数
a=____，b=________；
第二步：（画长为 的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画
Rt△OEF，使O为原点，点E落在数轴的正半轴上， ，则斜边OF的长即为
.
请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）
第三步：（画表示 的点）在下面的数轴上画出表示 的点M，并描述第三步的画图
步骤：_______________________________________________________________.
42．实数与数轴上的点成一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来:
(1)如图，A点表示的数是 .
(2)请你借助刻度尺、三角板、圆规等作图工具，运用合理的方法，在数轴上作出表示1-
的点(保留作图痕迹，标清数据，不写作法，不另下结论).知识点十二：勾股定理解决折叠问题的探索
43．综合与探究
在学习了轴对称变换后，我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，
通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应
边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的 纸片
（ ， ， ）并进行探究：
（1）如图2，“奋斗”小组将 纸片沿DE折叠，使点C落在 外部的 处
①若 ， ，则 的度数为 ．
② ， ， 之间的数量关系为 ．
（2）如图3，“勤奋”小组将 沿DE折叠，使点C与点A重合，求BD的长；
（3）如图4，“雄鹰”小组将 沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，当
为直角三角形时，求BD的长．
44．教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材 页的部分内容．
请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．
拓展：如图②，在图①的 的边 上取一点 ，连接 ，将 沿 翻折，
使点 的对称点 落在边 上．
①求 的长．② 的长 ．
45．十一国庆节快到了，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工
制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、
二个步骤是：
①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD；
②如图，将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处．
请你根据①②步骤计算EC的长．参考答案
1．10
【解析】
试题分析：如图，根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S，C、D的面积和为
1
S，S+S =S ，
2 1 2 3
∵正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2，
∵最大的正方形E的面积S=S +S =2+5+1+2=10．
3 1 2
2．
【分析】
在图中标上字母E，如图所示，根据正方形的面积公式以及勾股定理的内容发现S=22=4，
1
S= S=2，S= S=1，S= S= ，…，继而得出规律即可求得答案.
2 1 3 2 4 3
【详解】
在图中标上字母E，如图所示，
∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，
∴S+S =S ，
2 2 1
观察，发现规律：S=22=4，S= S=2，S= S=1，S= S= ，…，
1 2 1 3 2 4 3
∴S=( )n-3，
n
当n=2019时，S = ，
2019故答案为 .
【点拨】本题考查了规律型——图形的变化类，推导出前几个正方形的面积得出面积变化
的规律是解题的关键.
3．49
【分析】
根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方
形的面积．
【详解】
解：如图，
∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，
正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，
又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，
∴正方形A、B、C、D的面积和=(a2+b2)+(c2+d2)=x2+y2=72=49cm2．
故答案为：49．
【点拨】本题考查了勾股定理，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平
方是解答本题的关键．
4．4．
【分析】
根据勾股定理可得两条直角边的平方和等于斜边的平方，即第①个正方形的面积＝第②个
正方形面积的两倍；同理，第③个正方形面积是第②个正方形面积的一半，依此类推即可解答．
【详解】
解：第①个正方形的面积为16，
由分析可知：第②个正方形的面积为8，
第③个正方形的面积为4，
故答案为：4．
【点拨】本题是图形类的变化规律题，考查了勾股定理与面积的关系及等腰直角三角形的
性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
5．15，112，113
【解析】
【分析】
根据题意我们通过观察可以得出规律，这类勾股数分别为2n+1，2n(n+1)和2n(n+1)+1，根
据规律即可得出第七组的勾股数.
【详解】
根据题意发现这类勾股数分别为2n+1，2n(n+1)和2n(n+1)+1，
所以第7组勾股数为15，112，113，
故答案为;15,112,113.
【点拨】本题是一道较为基础的题型，考查的是同学们对于勾股数的熟练程度，对于本题
而言，根据题意列出式子找出规律即可解答.对于初中数学来说，牢牢掌握基础定义是解题
的关键手段，这样可以提高解题的速度和准确率.在规律题里面，我们通常会根据题意写出
几组数据，然后根据题意得出一般性的规律，从而得出答案.
6．答案不唯一，如20，99，101
【分析】
由题目,如果m表示大于1的整数,a＝2m,b＝m2－1,c＝m2＋1,那么a,b,c为勾股数,则m取大
于1的任意一个整数代入即可求解.
【详解】
由题意可得:
m取大于1的任意一个整数,例如：m取2,则a=4,b=3,c=5,即3,4,5是一组勾股数,
m取10,则a=20,b=99,c=101,则20,99,101是一组勾股数,
故答案为: 20,99,101.
【点拨】本题主要考查勾股数满足的条件,解决本题的关键是要根据勾股数满足的条件代入求解即可.
7．＞
【详解】
【分析】依据勾股定理即可得到AD= = ，AB= = ，
BD+AD= +1，再根据△ABD中，AD+BD＞AB，即可得到 +1＞ ．
【详解】∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1，
∴CD=2，AD= = ，AB= = ，
∴BD+AD= +1，
又∵△ABD中，AD+BD＞AB，
∴ +1＞ ，
故答案为＞．
【点睛】本题考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理以
及三角形三边关系是解题的关键.
8． .
【分析】
根据题意和图形可以得到点A表示的数，从而可以解答本题．
【详解】
由图可得，
点A表示的数是： ，
故答案为 .
【点拨】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，求出点A表示的数，利用数
形结合的思想解答．
9．
【分析】
先根据勾股定理求出AB的长，即为AB与AC的长，再根据两点间的距离公式，即可求出点表示的数．
【详解】
由勾股定理可得， ，
∵AB=AC，
∴AC= ，
∵点A表示的数是1，
∴C点所表示的数为 ；
故答案为 ．
【点拨】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式为：两点间
的距离=较大的数-较小的数，是解题的关键．
10．
【分析】
根据勾股定理，可得BC的长，结合数轴，可得答案．
【详解】
由勾股定理，得
BC＝ ＝ ，
A点表示的数为1﹣ ，
故答案为：1﹣ ．
【点拨】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出BC的长是解题关键．
11．
【分析】
如图：作DF⊥AC于F，由三角形的三边关系可得CD + DE>CE即CD-CE>DE，进而说明
当DE最小时，CD-CE最小，即当E到F点时，DE最小，然后求出CD、CE，最后作差即
可．【详解】
解：如图：作DF⊥AC于F,即DF//BC
∵在△DEC中，CE+ DE>CD
∴DE＞CD-CE
当DE最小时，CD-CE最小，即当E到F点时，DE最小，
∵∠B=30°
∴AB=2AC
∵DF//BC
∴
∴AE= AD，
∵
∴CE=AE= AD，
设AC=x，AB=2x，
∵AB2=AC2+BC2,
∴（2x）2=x2+132,解得x=
∴
∴ ．
故填 ．
【点拨】本题主要考查了三角形的三边关系、勾股定理等知识点，根据三角形的三边关系确定当E到F点时，CD-CE最小是解答本题的关键．
12．5
【分析】
取 的中点为 ，连接 交 于点 ，则 的最小值转为两点之间的距离最
短，利用勾股定理求解．
【详解】
解：取 的中点为 ，连接 交 于点 ，再连接 ，此时PD+PQ有最小
值，如下图：
由图可知， ，
，
在 中，
，
，
由两点之间的距离最短即，
的最小值为5，
故答案是：5．
【点拨】本题考查了动点问题，涉及到勾股定理的使用，解题的关键是把 转换为
两点之间的距离最短来求解，运用转换的思想．
13．
【分析】
先确定当 ， ， 共线时， 的值最小，再根据勾股定理解题．【详解】
如图，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴当 ， ， 共线时， 的值最小，
不妨设此时点 落在 上的点 处，
设 ，
∵ ，
∴ ，解得 ．
故答案为： ．
【点拨】本道题考查了两点之间，线段最短、勾股定理(在直角三角形中，两直角边的平方
之和等于斜边的平方) ．解题的关键是确定当 ， ， 共线时， 的值最小．
14．
【分析】
（1）由正方形的边长为2，结合线段中点性质得到 ，利用勾股定理解题得
AM 的长即可；
（2）过点F作 于点 ，先证明 ，由全等三角形对应边相等
的性质得到 ，将 沿 方向平移至 ，连接 ，当 三点共线时，
此时EM+AF的值最小，最后根据勾股定理解题即可．【详解】
解：（1） 四边形 是正方形，且边长为 ，
是 的中点，
故答案为： ；
（2）过点F作 于点 ，
则
将 沿 方向平移至 ，连接 ，
则
当 三点共线时，此时 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考
点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15． ．
【分析】
过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，MG，利用两点之间线段最短，确定最小值为
BG，过B作BR⊥AG，交AG 的反向延长线于R，利用勾股定理计算即可．
【详解】
解：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，
连接FG，MG，过B作BR⊥AG，交AG 的反向延长线于R，
则∠RBC＝∠BRA＝90°，
∴∠GAF＝∠ACE，
在△AFG和△CEA中，
，
∴△AFG≌△CEA（SAS），
∴GF＝AE，
∴AE+BF的最小值，即为BG的长，
∵∠ABC＝45°，
∴∠RAB＝∠EBA＝45°，
∵AB＝6 ，∴BR＝AR＝6，
∵AC＝8，
∴AG＝AC＝8，
∴RG＝AR+AG＝6+8＝14，
∴BG＝
= ，
即AE+BF的最小值为 ．
【点拨】本题考查了勾股定理，三角形的全等，线段和最小值，平行线的性质，熟练掌
握通过构造平行线法构造出线段和最小解题模型是解题的关键．
16．
【分析】
在AB上取点 ，使 ，过点C作 ，垂足为 因为 ，
推出当C、E、 共线，且点 与H重合时， 的值最小．
【详解】
解：如图所示：在AB上取点 ，使 ，过点C作 ，垂足为H．
在 中，依据勾股定理可知 ，
，
，
∵AE平分 ，
∴∠EAF=∠EA ，
∵ ，AE=AE，
∴△EAF≌△EA ，
∴ ，∴ ，
当C，E， 共线，且点 与H重合时， 的值最小，最小值为 ．
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的
关键是利用对称，解决最短问题．
17．见解析
【分析】
根据题意，可在图中找出等量关系，由大正方形的面积等于中间的小正方形的面积加上四
个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
【详解】
解：∵大正方形面积为 ，直角三角形面积为 ，小正方形面积为 ，
∴ ，
即 ．
【点拨】本题考查了对勾股定理的证明，解决问题的关键是在图中找出等量关系．
18．详见解析
【分析】
此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列
出方程并整理．
【详解】
证明：∵ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了勾股定理的证明．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从
而转化成方程达到证明的结果．
19．见解析
【分析】四边形 的面积从一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示，
从组成来看，由三个直角三角形组成，应利用三角形的面积公式来进行表示，然后化简两
种表示面积的代数式即可．
【详解】
证明：∵四边形ABCD和四边形 为矩形，
∴四边形 为直角梯形，△ 为等腰直角三角形，
∵ ， ， ，
∴四边形 的面积= ，
则四边形 的面积还可以表示为△ 、△ 、△ 的面积和，
∴ ，化简整理得： ，即 .
【点拨】证明勾股定理时，需注意组成的图形的面积有两种表示方法：整体的面积的表示
方法和各个组成部分的面积的和．
20．见解析.
【解析】
【分析】
图1，根据三个直角三角形的面积和等于梯形的面积列式化简即可得证；
图2，连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，表示出S ＝
四边形ADCB
S +S ，S ＝S +S ，两者相等，整理即可得证．
△ACD △ABC 四边形ADCB △ADB △DCB
【详解】
利用图1进行证明：
证明：∵∠DAB＝90°，点C，A，E在一条直线上，BC∥DE，则CE＝a+b，
∵S ＝S +S +S ＝ ab+ c2+ ab，
四边形BCED △ABC △ABD △AED
又∵S ＝ （a+b）2，
四边形BCED
∴ ab+ c2+ ab＝ （a+b）2，
∴a2+b2＝c2．
利用图2进行证明：
证明：如图，连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，∵S ＝
四边形ADCBS +S ＝ b2+ ab．
△ACD △ABC
又∵S ＝S +S ＝ c2+ a（b﹣a），
四边形ADCB △ADB △DCB
∴ b2+ ab＝ c2+ a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
【点拨】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是利用构图法来证明勾股定理.
21．（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）易证∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF，即可证明Rt△BCE≌Rt△DCF；
（2）求出EB，在Rt△EBC中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】
解：（1）证明： 平分 ， 于 ， 于 ，
， ， ，
在 和 中，
，
；
（2） ， ，
，
，
在 中， ．
．【点拨】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求
证 和 是解题的关键．
22．（1）见解析；（2） cm
【分析】
（1）根据 即可证明结论；
（2）结合（1）可得 cm，根据点 是 的中点，可得 cm，根
据勾股定理即可求出 的长．
【详解】
解：（1）证明： ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
；
（2） ，
cm，
点 是 的中点，
cm，
cm，
在 中，根据勾股定理，得
cm．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握全等三
角形的判定与性质．
23．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由“SAS”可证△ECA≌△DCB，可得∠E＝∠BDC，由余角的性质可求解；
（2）由全等三角形的性质可求BD＝AE＝2，由勾股定理可求解．
【详解】
证明：（1）∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，
∴∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，
即∠ECA＝∠DCB，
在△ECA和△DCB中，
，
∴△ECA≌△DCB（SAS），
∴∠E＝∠BDC，
∵∠E＋∠EDC＝90°，
即∠ADB＝90°；
（2）∵△ECA≌△DCB，
∴BD＝AE＝2，
∵∠ADB＝90°，AD＝4，
∴ ，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴ ，∴ ．
【点拨】本题考查了三角形的全等，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握定理和
全等的判定定理是解题的关键．
24．（1） ；（2） 、 、 三点共线；（3）13
【分析】
（1）由于 和 都是直角三角形，故 ， 可由勾股定理求得；
（2）若点 不在 的连线上，根据三角形中任意两边之和 第三边知， ，
故当 、 、 三点共线时， 的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作 ，过点 作 ，过点 作 ，使
， ，连接 交 于点 ，则 的长即为代数式 的
最小值，然后构造矩形 ， ，利用矩形的直角三角形的性质可求得 的值．
【详解】
解：（1） ；
（2）当 、 、 三点共线时， 的值最小；
（3）如图所示，作 ，过点 作 ，过点 作 ，使 ，
，
连接 交 于点 ，
设 ，则 的长即为代数 的最小值．
过点 作 交 的延长线于点 ，得矩形 ，
则 ， ， ，
所以 ，
即 的最小值为13．
故代数式 的最小值为13．【点拨】此题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的
思想，求形如 的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．
25．（1）① ；②AB＝ a；（2）3
【分析】
（1）① 根据垂线段最短原理计算即可；②根据勾股定理计算即可；（2）利用轴对称原理
和垂线段最短原理求解即可．
【详解】
（1）问题探究
①如图1，过A作AE⊥CB于E，
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，
∴AC＝ ＝12，
∵ ＝ ×AB×AC＝ ×BC×AE，
∴AE＝
＝ ，
根据垂线段最短可知当AP与AE重合时，AP的值最小，最小值为 ；
②如图2，∵∠ABC＝90°，AB＝AC，
∴ ，
∵AC＝a，
∴ ，
∴AB＝ a或AB＝﹣ a（舍去），
∴AB＝ a；
（2）问题解决
作 关于 的对称点 过 作 于 交AB于 ，如图3，
则
则 最短，
为 中点， 为等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝2 ，∠BAC＝∠BCA＝45°， 为等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝ ，同理可得： 为等腰直角三角形，
PD＋PE的最小值为3．
【点拨】本题考查了垂线段最短，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握垂线段最
短原理，正确构造解题需要的基本图形是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据网格特点和勾勾定理作图即可；
（2）根据勾股定理及其逆定理解答即可；
【详解】
解：（1）如图，
AD= ；
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解答本题的关键．在直角三角
形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．反之亦成立．
27．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用勾股定理求出AB＝ 时的两条直角边，再在图中作出即可；（2）利用勾股定理求出斜边长DE= 时的两条直角边，再在图中作出DE，再根据等腰
直角三角形DCE，得到DC=CE= ，再在图中作出图形即可．
【详解】
解：（1）∵AB＝
又
∴如图①所示，线段AB即为所求；
（2）∵斜边长为 的等腰直角三角形DCE
又
∴如图②所示，斜边长DE=
又∵ ，
∴DC=CE=
∴如图②中，等腰直角三角形DCE即为所求．
【点拨】本题考查勾股定理．根据线段的长找出相对应直角三角形的两条直角边是本题的
关键．
28．（1） ；（2）画图见解析，3a2
【分析】
（1）利用割补法求值；（2）已知边长AB= ，再确定另两条边分别是以2a和2a为直角三角形的两直角边的
斜边长及以a和2a为直角边的斜边长，即 ，连接得到三角形求出面积即可．
【详解】
解：（1） ，
故答案为： ；
（2）如图， ．
【点拨】此题考查利用割补法求网格中图形的面积，网格中作图，正确掌握利用勾股定理
求无理数长度的线段并画图是解题的关键．
29．（1）CE＝1.5；（2）
【分析】
（1）设CE＝x，根据勾股定理列出方程 ，解方程求出x，计算即可；
（2）设CE＝y，根据勾股定理列出方程 ，解方程求出x、y的关系，
计算即可．
【详解】
解：（1）设 ，
，AD是BC边上的中线，
∴CD＝2，
由翻转变换的性质可知， ，由勾股定理得， ，
解得， ，
则CE＝1.5.
（2）设 ，
∵ ，AD是BC边上的中线，
，
由翻转变换的性质可知， ，
由勾股定理得， ，
解得， ，
则 ，
∴
【点拨】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的过程，解题的关键是：在直角三角形中
利用勾股定理建立等式。进行求解．
30．36
【分析】
利用勾股定理求出CD=6，所以阴影部分面积为 ，求出即可．
【详解】
解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
设CD=x，
∵把 折叠，使AB落在直线AC上，
∴ ,∴在 中， ，
∴x2+82=（16-x）2，
解得：x=6，
∴重叠部分（阴影部分）的面积为： = ．
【点拨】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出
， 是解题关键．
31．（1） ；（2）DC= ，DE= ．
【分析】
（1）由折叠的性质得出AD=CD，AE=EC，设BD=x，则DC=AD=8-x，由勾股定理可求出
答案；
（2）由勾股定理可求出答案．
【详解】
解：（1）∵将△DCE沿DE翻折，使点C落在点A处．
∴AD=CD，AE=EC，
设BD=x，则DC=AD=8-x，
∵AB2+BD2=AD2，
∴62+x2=（8-x）2，
故答案为：62+x2=（8 x）2；
（2）由（1）得62+x2=（8 x）2，
解得x= ，
∴BD= ，
∴DC=BC BD=8 = ．
∵AB=6，BC=8，
∴AC= ，
∴CE= AC=5，∴DE= ．
【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
32．（1） ；（2） .
【分析】
（1）由勾股定理解题；
（2）由等积法解题．
【详解】
（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得，
（2）
【点拨】本题考查勾股定理、完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，难度较易，
掌握相关知识是解题关键．
33．
【分析】
由在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=4，可求得AC的长，由折叠的性质，即可求得AB′
的长，然后设B′E=x，由勾股定理即可得： ，解此方程即可求得答案．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，
∴AC=5，由折叠的性质，可得：AB′=AB=3，B′E=BE，∠AB′E=90°，
∴CB′=AC-AB′=5-3=2，
连接B`E,设B′E=x，
则BE=x，CE=AB-CE=4-x，
在Rt△B′CE中， ，
∴ ，
解得：x= ，即BE= ，
∴AE= ．
故答案为：
【点拨】此题考查勾股定理，解题关键在于作辅助线 .
34．
【分析】
根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出 ， ，然后根据完全
平方公式的变形即可求出结论．
【详解】
解：小正方形面积=
4个小直角三角形的面积=
∴∴
【点拨】此题考查的是全等三角形的性质和完全平方公式的变形，掌握全等三角形的性质、
正方形的面积公式、三角形的面积公式和完全平方公式的变形是解决此题的关键．
35．（1）见解析；（2） ；（3）见解析
【分析】
（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出
的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；
（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．
【详解】
（1）S = ，S =
梯形ABCD 梯形ABCD
∴ a2＋ab＋ b2=2× ab＋ c2
即a2＋b2=c2；
（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，
∴斜边为 =5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为 ×3×4＝ ×5×h，
∴h＝
故答案为 ；
（3）∵图形面积为：（a−2b）2＝a2−4ab＋4b2，
∴边长为a−2b，
由此可画出的图形如下：【点拨】此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图
形的创新题型，此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，从而转化成方程达到证明
的结果．
36．（1）a2+b2＝c2；（2）9．
【分析】
（1）根据勾股定理得到a，b，c之间的数量关系；
（2）根据题意求出c，得到a+b的值，根据三角形的面积公式、完全平方公式计算，得到
答案．
【详解】
解：（1）由勾股定理得，a2+b2＝c2；
（2）∵正方形EFMN的面积为64，
∴c2＝64，即c＝8，
∵Rt△ABC的周长为18，
∴a+b+c＝18，
∴a+b＝10，
则Rt△ABC的面积＝ ab
＝ [（a+b）2﹣（a2+b2）]
＝9．
【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为
c，那么a2+b2=c2．
37．196
【分析】先用大正方形的面积得到三角形的斜边的平方为100，则 ，利用大正方形面积
减去小正方形面积等于四个直角三角形的面积之和可得到 ，由完全平方公式即可求
得结果．
【详解】
解：∵大正方形的面积是100，
∴直角三角形的斜边的平方100，
∵直角三角形较短的直角边为 ，较长的直角边为 ，
∴ ，
∵大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形的面积之和，小正方形的面积是 ，
∴ ，即 ，
∴ = ．
【点拨】本题考查了勾股定理和完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关
键．
38．（1）332+442=552，（3n）2+(4n) 2=(5n) 2;
m2-1
（2）72+242=252，n+1，2n+1， ，144；（17，144，145）；
2
m2-4
（3）m2=（n+2） 2-n2=2（2n+2）=4（n+1），n= ，当m=24时，n=143，勾
4
股数为24，143，145.
【解析】
【分析】
（1）根据已知数据找出规律，由所得的规律即可求解；（2）根据已知数据找出规律，由
所得的规律即可求解；（3）由62=102-82；82=172-152；102=262-242；122=372-352即
m2-4
可得m2=（n+2） 2-n2=2（2n+2）=4（n+1），n= ，再求出m=24时的勾股数
4
即可.
【详解】
（1）∵32+42=52，把它扩大2倍、3倍，就分别得到62+82=102和92+122=152，…
∴把它扩大11倍，就得到332+442=552，若把它扩大n倍（n为正整数），就得到（3n）2+（4n）2=（5n）2．
故答案为：332+442=552，（3n）2+（4n）2=（5n）2；
（2）∵勾股数为3，4，5，则有32+42=52；勾股数为5，12，13，则有52+122=132；
∴勾股数为7，24，25，则有72+242=252；勾股数为m(m为奇数)，n，n+1，则有m2=
m2−1
(n+1) 2−n2=2n+1，用m来表示n＝ ；
2
∴当m=17时，则n＝144，此时勾股数为17，144，145．
m2-1
故答案为：72+242=252，n+1，2n+1， ，144；（17，144，145）；
2
（3）∵62=102-82；82=172-152；102=262-242；122=372-352 ……
m2-4
∴m2=（n+2） 2-n2=2（2n+2）=4（n+1），n= ，
4
当m=24时，n=143，勾股数为24，143，145.
【点拨】本题主要考查了勾股数，根据题目中所给的信息获得规律是解决问题的关键.
39．（1）第六组勾股数为（48，14，50）；（2）规律： 第n组勾股数为（n2-1，2n，
n2+1）；证明见详解．
【分析】
（1）先找出勾股数组中间数的规律，然后观察数组中两端数组相差2，利用方程求出第一
个数，可得第六组勾股数为（48，14，50）
（2）先找出勾股数中中间数的规律，然后利用方程求出勾股数中的一个数与第三个数规律：
第n组勾股数为第n组勾股数为（n2-1，2n，n2+1）；(n2-1)2+(2n)2= n4+2n2+1，
(n2+1)2=n4+2n2+1，可得 (n2-1)2+(2n)2 =(n2+1)2．
【详解】
（1）第一组中间数为4=2×2，第二组中间数为6=2×3，第三组中间数为8=2×4，第四组中
间数为10=2×5，第五组中间数为12=2×6，第六组中间数为14=2×7，
两头的两数差二，设较小的数为x，另一个数为x+2
则（x+2）2-x2=142,
解得x=48
∴第六组勾股数为（48，14，50）；
（2）规律：中间数规律是2n（n≥2）
设第一个数为 x，第三个数为x+2则 ，
解得 ，
第n组勾股数为（n2-1，2n，n2+1）；
证明：(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，
(n2+1)2=n4+2n2+1，
∴(n2-1)2+(2n)2 =(n2+1)2．
【点拨】本题考查勾股数，方程，平方差公式，关键在于找出式子变化的规律．
40．（1）36，48，60；3n，4n，5n；（2）n+1； ；144；17，144，145
【详解】
试题分析：仔细分析题意，读懂“勾股数”的定义，再应用于解题即可.
（1）若把每一个数都扩大为原来的12倍，就得到36，48，60
若把每一数都扩大为原来的n（n为正整数）倍，则得到3n，4n，5n；
（2）若勾股数为m（m为奇数）、n、n+1
则有 =2n+1，用m表示n=
当m=17时，n=144，此时勾股数为17，144，145.
考点：勾股定理
点评：勾股定理是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知
识点，一般难度不大，需熟练掌握.
41．（1）4，
（2）2
（3）以原点O为圆心，OF长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点即为点M.
【详解】
,
∴a=4,b=2.以原点O为圆心，OF长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点即为点M.
42．(1) ；(2)见解析.
【分析】
（1）利用勾股定理求出OB即可；
（2）以-1的位置为直角三角形的直角顶点，1，2的单位长度为直角三角形两条直角边，
连接AB，则AB= ，以A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴于点M，则点M即为数轴
上表示1- 的点.
【详解】
解：（1）如图，根据勾股定理，OB= ，
∴OA= ，
∴A点表示的数为 ；
（2）如图，点M即为所求.
【点拨】本题考查的是勾股定理与无理数，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长
的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．43．（1）①114°；②∠2=∠1+2∠C；（2） ；（3）3或6
【分析】
（1）①根据三角形外角的性质求得∠DFC的度数，然后再次利用三角形外角的性质求得
∠2的度数；
②利用三角形外角的性质推理计算；
（2）设BD=x，根据折叠的性质结合勾股定理列方程求解；
（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，根据勾股定理求得AC=10，根据翻折
的性质得AE=AB=6，DE=BD，∠AED=∠B=90°，然后分∠DEC=90°和∠EDC=90°两种情
况，结合勾股定理求解．
【详解】
解：（1）①由折叠性质可得∠C=∠C′=37°
∴∠DFC=∠1+∠C′=77°
∴∠2=∠DFC+∠C=77+37=114°
故答案为：114°
②由折叠性质可得∠C=∠C′
∴∠DFC=∠1+∠C′
∴∠2=∠DFC+∠C=∠1+∠C′+∠C=∠1+2∠C
故答案为：∠2=∠1+2∠C
（2）∵ ， ，
设BD=x，则CD=AD=8-x
∴在Rt△ABD中， ，解得：
∴BD的长为
（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴AC= =10，
∵△AED是△ABD以AD为折痕翻折得到的，
∴AE=AB=6，DE=BD，∠AED=∠B=90°．
当△DEC为直角三角形，
①如图，当∠DEC=90°时，∵∠AED+∠DEC=180°，
∴点E在线段AC上，
设BD=DE=x，则CD=8-x，
∴CE=AC-AE=4，
∴DE2+CE2=CD2，
即x2+42=（8-x）2，
解得：x=3，即BD=3；
②如图，当∠EDC=90°，
∴∠BDE=90°，
∵∠BDA=∠ADE，
∴∠BDA=∠ADE=45°，
∴∠BAD=45°，
∴AB=BD=6．
综上所述：当△DEC为直角三角形时，BD的长为3或6．
【点拨】本题考查了三角形外角的性质及折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定和
性质，分类讨论思想的应用是解题的关键．解题时设要求的线段长为x，然后根据折叠和
轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定
理列出方程求出答案．
44．（1）10cm；（2）①4cm；②3cm
【分析】
（1）设AB=xcm，AC=(x+2)cm，运用勾股定理可列出方程，求出方程的解可得AB的值，从而可得结论；
（2）①由折叠的性质可得EC=BC=6cm，根据AE=AC-EC可得结论；
②设DE=xcm，在Rt△ADE中运用勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：（1）设AB=xcm ，则AC=(x+2)cm，
根据勾股定理得，
∴
解得，x=8
∴AB=8cm，
∴AC=8+2=10cm;
（2）①由翻折的性质得：EC=BC=6cm
∴AE=AC-EC=10-6=4cm
②由翻折的性质得：∠DEC=∠DBC=90°，DE=DB，
∴∠AED=90°
设DE=DB=x，则AD=AB-BD=8-x
在Rt△ADE中，
∴
解得，x=3
∴DE=3cm．
故答案为：3cm．
【点拨】此题主要考查了勾股定理与折叠问题，运用勾股定理解直角三角形，熟练掌握运
用勾股定理是解答此题的关键．
45．6cm
【分析】
由轴对称的性质可以得出△ADE≌△AFE，可以得出EF=ED，设CE=x，最后由勾股定理就
可以求出结论．
【详解】
解：∵△ADE由△AFE关于AE对称，
