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专题 1.3 勾股定理的应用
1．利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题；
教学目标 2．通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．
3．能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明。
1.重点
（1）勾股定理的实际应用场景：理解勾股定理在解决实际问题（如测量距离、计算
几何图形边长、判断直角三角形等）中的作用，能将实际问题转化为数学模型；
（2）解题思路与方法：直角三角勾股定理。
2.难点
教学重难点 （1）实际问题的数学建模：将生活中的问题（如梯子滑动、蚂蚁爬行路径最短等）
抽象为直角三角形问题，准确找到三边对应的实际意义；
（2）立体图形与平面图形的转化：在圆柱、长方体等立体图形中，通过展开图确定
直角三角形的位置，避免空间想象偏差导致的错误；
（3）分类讨论与方程思想：当问题中边长关系不明确时，能运用分类讨论思想分析
多种情况，并通过列方程求解未知数。
知识点1：勾股定理应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在
具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第
三边的平方比较而得到错误的结论.
【即学即练1】
1．《西江月》中描述：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成
现代文为：如图，秋千 在静止的时候，踏板离地高一尺（ 尺），将秋千往前推进两步（
尺），此时踏板升高离地五尺（ 尺），求秋千绳索 的长度．
【答案】秋千绳索 的长为 尺
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查的是勾股定理的应用；设秋千绳索 的长为 尺，结合题意可得 ，
， ，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设秋千绳索 的长为 尺，根据题意，得 ， ，
，
在 中， ，
所以， ，
解得， ，
所以，秋千绳索 的长为 尺．
2．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段 上限速60千米小时，为了检测车
辆是否超速，在公路 旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知
， 米， 米．
(1)请求出观测点C到公路 的距离；
(2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据： ， ）
【答案】(1)观测点C到公路 的距离为 米
(2)此车没有超速，理由见解析
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)、含30度角的直角三角形
【分析】此题主要考查了 度的角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解
决问题的关键．
（1）过点C作 于H，先求出 的长，再用勾股定理求解即可；
（2）先求出 的长，再求出 的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点C作 于H，在 中，
，
．
米
（米）
（米）
即观测点C到公路 的距离为 （米）．
（2）解： 米，
米
米
∴车速为 （米/秒）
千米/小时 米/秒，
∴此车没有超速．
知识点2 ：平面展开图-最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾
股定理求解
【即学即练2】
1．综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为 、 、 ，
和 是一个台阶两个相对的端点．【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若 点处有一只蚂蚁要到 点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到 点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接 ，经过计算得到
长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案）
【变式探究】
（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是 厘米，高是 厘米，一只蚂蚁从点 出发
沿着玻璃杯的侧面到点 ，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高 厘米，底面周长为 厘米，在杯内壁离杯底 厘米的点 处有一滴
蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿 厘米，且与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁
处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
【答案】（1） ；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是 厘米；（3）蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬行的最短路程是 厘米
【知识点】线段问题(轴对称综合题)、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的
性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，作 ，交 延长线于点
，连接 ，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）由题意得： ， ，
，
故答案为： ；
（2）将圆柱体侧面展开，如下图：
由题意得： ， ，
，
该蚂蚁爬行的最短路程 厘米；
（3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，作 ，交 延长线于点 ，连接
，由题意得： ， ，
，
底面周长为 ，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬行的最短路程是 厘米．
题型01 勾股定理应用之梯子滑落高度
【典例1】如图，一根长为 的梯子 斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端B点离墙根E点的
距离为 ，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动 到D点处，试求梯子的顶端将沿墙向下移动的
距离 为多少？
【答案】
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意可得 ， ， ，
，由勾股定理求出 ， 的长，即可求解．
【详解】解：由题意得， ， ， ， ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
，
答：梯子的顶端将沿墙向下移动的距离 为 ．
【变式1】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子 斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面 米，米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面 米，则小巷的宽度为多少米？
【答案】 米
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．分别在
， 中求出 ， ， 即可．
【详解】解：在 中， ， 米， 米，
米，
在 中， ， 米， 米，
米，
米，
答：小巷的宽度为 米．
【变式2】如图所示，一架 长的梯子 斜靠在与地面 垂直的墙 上，此时梯子底端 离墙 ．
(1)求这架梯子的顶端距离地面的高度．
(2)如果梯子的顶端 沿墙下滑了 ，那么梯子底端水平外移了多少 ？
【答案】(1)24米
(2)
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解本题的关键；
（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2）先计算 ，再利用勾股定理计算 ，再利用线段的和差可得答案．
【详解】（1）解：∵地面 垂直的墙 ，即 ，
，
答：这架梯子的顶端距离地面的高度为24米．（2）由题意得： ， ，
，
，
，
答：梯子底端水平外移了 ．
【变式3】梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块 ， ，由一
根连杆连接，滑块 分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几
何图，如图2所示，开始时，滑块 距 点 ，滑块 距 点 ．
(1)求 的长；
(2)当滑块 向下滑 至点 处时，滑块 滑动到点 的位置，则 的长为多少 ？
【答案】(1)
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）在 中，运用勾股定理列式代入数值进行计算，即可作答．
（2）先理解题意得 ， ，再算出 ，再结
合线段的和差关系列式计算，即可作答．
【详解】（1）解： ，
∴在 中， ；
（2）解：在 中， ， ，
，
．
题型02 勾股定理应用之旗杆高度
【典例1】八年2班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆 的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度
比旗杆多1米，当他们把绳子拉直，绳子末端 刚好接触地面时，此时绳子末端 与旗杆的距离为5米，求旗杆 的高度．
【答案】12米
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
将旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．
【详解】解：设旗杆的高度为 米，则绳子的长度为 米 ．
在 中，
根据勾股定理得 ．
解得：
答：旗杆的高度为12米．
【变式1】小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度 ，他们进行了如下操作：
①测得水平距离 的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为 米．
(1)求风筝的垂直高度 ；
(2)如果小明想风筝沿 方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1) 米
(2)他应该往回收线8米
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用：
（1）根据勾股定理求出 的长，即可求解；（2）设风筝沿 方向下降12米后到达点F，连接 ，根据勾股定理求出 的长，即可求解．
【详解】（1）解：由勾股定理得， 米，
∴ 米；
（2）解：如图，设风筝沿 方向下降12米后到达点F，连接 ，
由勾股定理得：
米，
∵ 米，
∴他应该往回收线8米．
【变式2】学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆 的高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离 为3米，到旗杆的距离 为10米（如
图2）．
根据以上信息，求旗杆 的高度．
【答案】
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的
关键．设 米，在 中根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设 米，根据题意得：
在 中， ，
即： ，解得：
答：旗杆 的高度为 米．
【变式3】学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆 的高度．小华测得从旗
杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉
直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离 为1米，到旗杆的距离 为9米（如图2）．
(1)设 长为 米，绳子为_____米， 为_____米（用 的代数式表示）；
(2)请你求出旗杆的高度 ．
【答案】(1) ；
(2) 米
【知识点】列代数式、求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．
（1）根据题意可得 ， ，将 代入即可得解；
（2）结合（1）再根据 ， ，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出旗杆的高度．
【详解】（1）解：根据题意得： ， ，
设 长为x米，则绳子长为 米， 的长度为 米，
故答案为： ； ；
（2）解：在 中， 米，
米， 米，
由勾股定理可得， ，
解得： ．
答：旗杆的高度 为 米．
题型03 勾股定理应用之小鸟飞行的距离
【典例1】如图，树根下有一个蛇洞，树高 ，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口
的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向
何处扑击才能恰好抓到蛇．【答案】鹰向离树 的地方扑击才能恰好抓到蛇
【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
【分析】此题考查了勾股定理的应用，设 的长为 ，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】如答图，
设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得 ，
设 的长为 ，则 ，
解得 ．
答：鹰向离树 的地方扑击才能恰好抓到蛇．
【变式1】如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高 ，两杆相距 ．现两杆上各有
一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果
两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？
【答案】 和
【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．由题意可得： ，
，那么 ，代入数据，解方程即可．
【详解】解：由题意可得： ， ，
则 ，
故 ，
解得： ，
则 （m），
答：两杆底部距小鱼E处的距离分别是 和 ．【变式2】如图，小明操纵无人机从树尖 飞向旗杆顶端 ，已知树高 ，旗杆高 ，树与旗杆之间的
水平距离为 ，则无人机飞行的最短距离为多少？
【答案】
【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，作 于 ，连接 ，由题意得： ，
， ，求出 ，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角
三角形是解此题的关键．
【详解】解：如图，作 于 ，连接 ，
，
由题意得： ， ， ，
，
．
即：无人机飞行的最短距离为 ．
【变式3】如图 ，有两棵树，一棵高 米（ 米），另一棵高 米（ 米），两树相距 米（
米）．
(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图 ，台风过后，高 米的树 在点 处折断，大树顶部落在点 处，则树 折断处 距离地面多少米？
【答案】(1) 米
(2) 米
【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)、求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用
勾股定理可将两点之间的距离求出；
（2）由勾股定理求出 的长，即可求解．
【详解】（1）解：两棵树的高度差为 （米），两树相距 米（ 米），
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离 （米），
答：至少飞了 米；
（2）解：由勾股定理得： ，
，
解得： ，
答：树 折断处 距离地面 米．
题型04 勾股定理应用之大树折断前的高度
【典例1】如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处，
大树折断之前有多高？
【答案】大树折断前高16米
【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题的关键．
先利用勾股定理计算出 的长，然后再计算出 即可得到大树折断前的高度．
【详解】解：∵ 米， 米，
根据勾股定理可得 （米），
∴ （米）．
答：大树折断前高16米．【变式1】如图，一根直立的旗杆高 ，因刮大风旗杆从点 处折断，顶部 着地且离旗杆底部 的距离
为 ．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)在折断点 的下方 的点 处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点 处吹断，那么行人在距
离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？
【答案】(1)
(2)行人在距离旗杆底部 处没有被砸伤的风险
【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键．
（1）设 长为 ，则 长 ，由勾股定理可得 ，解方程即可得到答案；
（2）由题意可得 ，则 ．利用勾股定理求出 的长即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得， ， ，
设 长为 ，则 长 ，
在 中，由勾股定理可得，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
答：旗杆距地面 处折断．
（2）解：如图，
由题意可得 ，
∴ ．
在 中， ，
∵ ，∴ ，
答：行人在距离旗杆底部 处没有被砸伤的风险．
【变式2】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破
坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点 处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部
处，已知点 距离甲树的根部 处 为 米，甲、乙两树根部的距离 为 米，两棵树的株距（两棵树
的水平距离） 为 米，且点 ， ， 在一条直线上， ，求甲树原来的高度．
【答案】甲树原来的高度为 米
【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】问题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理计算即可．
【详解】解： ，
，
米， 米，
（米），
（米），
（米），
甲树原来的高度为 （米），
答：甲树原来的高度为 米.
【变式3】如图，在倾斜角为 （即 ）的山坡 上有一棵树 ，由于大风，该树从点E
处折断，其树顶B恰好落在另一棵树 的根部C处，已知 ， ．
(1)求这两棵树的水平距离 ；(2)求树 的高度．
【答案】(1)3m
(2)6m
【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】（1）根据平行的性质，证得 ，根据勾股定理即可求得．
（2）在 中，根据勾股定理即可解得．
【详解】（1）由题可知 ，
∴ ，
∴
在 中，
，
∴ ，
∴ （m）．
即这两棵树的水平距离为3m．
（2）在 中，
∴ ，
∴ （m）．
即树 的高度为6m．
【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是熟悉勾股定理的实际应用．
题型05 勾股定理应用之水杯中的筷子问题
【典例1】如图，一根长为 的牙刷置于底面直径为 、高为 的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子
外面的长度 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．
根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：设牙刷的长度为 ，
∵将一根长为 的牙刷，置于底面直径为 ，高为 的圆柱形水杯中，∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时， ，
最长时等于牙刷斜边长度是： ，
∴ 的取值范围是： ，
即 ．
故答案为： ．
【变式1】如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的
长为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度最小是 cm．
【答案】5
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，当铅笔不垂直于底面放置
时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度．
【详解】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得： ，
则铅笔在笔筒外部分的最小长度为 ；
故答案为：5．
【变式2】如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为 ，现将一根长为 的筷子插
入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出收纳盒里面筷子的最大长度是解题的关键．求出
筷子露在收纳盒外的最长长度和最短长度，即可得出结论．
【详解】解：当筷子放进收纳盒里垂直于底面时露在盒外的长度最长 ；
当筷子放进收纳盒里露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线长 ，高为 ，
由勾股定理得：收纳盒里面筷子长度 ，
筷子露在收纳盒外的长度最短 ；
筷子露在盒外的部分 的取值范围是 ，
故答案为： ．
【变式3】如图，将一根长 的筷子，置于底面直径为 ，高 的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子
外面的最短长度是
【答案】5
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的利用，构造出直角三角形即可求解．
【详解】解：筷子露在杯子外面的最短长度即筷子在杯子里面的长度最长，即筷子，圆柱的高，圆柱的直
径正好构成直角三角形．如下：
∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线断的长度，即 ，
∴筷子露在杯子外面的最短长度是 ．
故答案为:5.
题型06 勾股定理应用之航海问题
【典例1】有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达 点后熄灭发动机，在离水面高度为 的岸上，工作人员用
绳子牵引靠岸，开始时绳子 的长为 ．（假设绳子是直的，结果保留根号）(1)若工作人员以 的速度收绳． 后船移动到点 的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？
(2)若游轮熄灭发动机后保持 的速度匀速靠岸， 后船移动到 点，工作人员手中的绳子被收上来
多少米？
【答案】(1)此时游轮距离岸边还有 米
(2)工作人员手中的绳子被收上来 米
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理解应用题，读懂题意，构造直角三角形求解是解决问题的关键．
（1）根据题意，求出绳子缩短的长度，进而在 中，由勾股定理求解即可得到答案；
（2）根据题意，先求出 ，在 中和 中由勾股定理求出线段长，再由
即可得到答案
【详解】（1）解：如图所示：
则 ， ，
若工作人员以 的速度收绳， 后船移动到点 的位置，则绳子缩短了 ，
，
在 中， ， ， ，则由勾股定理可得 ，
答：此时游轮距离岸边还有 米；
（2）解：若游轮熄灭发动机后保持 的速度匀速靠岸， 后船移动到 点，则 ，
在 中， ， ， ，则由勾股定理可得 ，
，
在 中， ， ， ，则由勾股定理可得 ，
工作人员手中的绳子被收上来 米．
【变式1】如图，一艘轮船先从A地出发行驶到B地，又从B地行驶到C地，B地在A地南偏西的方向，
距离A地80海里，C地在B地北偏西的方向，距离B地100海里．(1)表示出B地相对于C地的位置；
(2)求A，C两地之间的距离．
【答案】(1)B地在C地南偏东 的方向，距离C地100海里
(2) 海里
【知识点】方向角的表示、解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了方向角，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）结合图形观察即可求解；
（2）判断 ，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，
∵C地在B地北偏西 的方向，距离B地100海里
∴B地在C地南偏东 的方向，距离C地100海里；
（2）解：根据题意，得 ，
∴ 海里，
即A，C两地之间的距离 海里．
【变式2】如图，一艘轮船由 港口沿着北偏东 的方向航行 到达 港口，然后再沿北偏西 方
向航行 到达 港口．(1)求 ， 两港口之间的距离；（结果保留根号）
(2) 港口在 港口的什么方向上？
【答案】(1)
(2) 港口在 港口的南偏西 的方向上
【知识点】与方向角有关的计算题、解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用和方向角；
（1）由题意得 ，由勾股定理，从而得出 的长；
（2）由（1）可得 ，求出 即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
根据勾股定理，知 ．
答：A、C两港之间的距离是 ；
（2）由（1）知， 是等腰直角三角形，且 ，
∴
∴ ,
∴ 港口在 港口的南偏西 的方向上．
【变式3】钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘
海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口 出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航
行6海里，乙船每小时航行8海里．
(1)若甲乙两船离开港口一小时后分别位于 、 处（图1），且相距10海里，如果知道甲船沿北偏东
方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由．
(2)若甲船沿北偏东 方向航行（图2），从港口 离开经过两个小时后位于点 处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到 海岸线上，若他从 处出发，乘坐的快艇的速度是每小时45海里，他能在14分钟
内回到海岸线吗？请说明理由．（参考数据： ）
【答案】(1)乙船沿南偏东 方向航行，理由见解析
(2)他能在14分钟内到海岸线，理由见解析
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出 是直角三角形进行解答．
（1）根据勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，进而解答即可；
（2）作 于D，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得 的长，进一步计算得出答
案．
【详解】（1）解：由题意可得： （海里），
（海里），
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ，
∴乙船沿南偏东 方向航行；
（2）过点C作 于D，
由题知 ，则 （海里），
∴ 海里，
∴ （海里），
（海里），
∴他能在14分钟内到海岸线．
题型07 勾股定理应用之河的宽度
【典例1】如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道 ，测得 ， ， ，，若每天开凿隧道 ，需要几天才能把隧道 凿通？
【答案】需要 天才能把隧道 凿通
【知识点】求河宽(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用；先根据三角形的内角和定理判断 是直角三角形，再根据
勾股定理求得 的长，从而可以求得结果.
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 天，
答：需要 天才能把隧道 凿通．
【变式1】小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边 远的水底，竹竿高出水面 ，
把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？
【答案】2米
【知识点】求河宽(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解
题关键．
根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：根据题意画出示意图，如图，则 ，所以 即为河水深度， ，
，
是直角三角形，
，
，
解得： ，
答：河水的深度为2米．
【变式2】如图，池塘边有两点 ，点 是与 方向成直角的 方向上一点，测得 长为 米，
长为 米．求 两点间的距离（ 取 ）．
【答案】 米．
【知识点】求河宽(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理直接计算即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关
键．
【详解】解：由题意可得 ，
∵ 米， 米，
∴ 米，
答： 两点间的距离为 米．
【变式3】某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身
步道（局部）如图，从A地分别往北偏东 方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对
面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得 米．（参考数
据： ）(1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米）
(2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择 路线，小明决定
选择 路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？
【答案】(1)A、C两地之间距离为1930米
(2)小华先到达C地
【知识点】与方向角有关的计算题、含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长、求河宽(勾股定理
的应用)
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，含30度直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，方位角等知
识，构造直角三角形是解题的关键．
（1）连接 ，过D作 于E；分别在 ， 中利用勾股定理求出 ，即可求
得结果；
（2）设两人速度为1，由（1）的计算可得 的长；由题意得 是等腰直角三角形，由（1）的
结论及勾股定理求得 ，即可求得 ；比较即可谁先到达C地．
【详解】（1）解：如图，连接 ，过D作 于E；
由题意得： ；
在 中，则 ，
，
由勾股定理得： ，
米；
则 米；
在 中， ，
则 米，由勾股定理得： 米，
(米)；（2）解：由（1）的计算知， 米，
米；
由题意得 分别在东南方向、西南方向，则 ，
，
即 是等腰直角三角形，
由勾股定理得： ，
米，
米；
，
，即小华的路程更小，
又∵两人速度相同，
所以小华先到达C地．
题型08 勾股定理应用之台阶上地毯长度
【典例1】某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，
已知 ， ， ．
(1)求BC的长；(2)若已知楼梯宽 ，需要购买________ 的地毯才能铺满所有台阶．
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)
【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用．
（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可．
【详解】（1）解：由题意可得， ；
（2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为 ，
∴地毯面积为 ，
故答案为：
【变式1】如图，要修建一个育苗棚，棚高 ，棚宽 ，棚的长为 ，现要在棚顶上覆盖塑料
薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
【答案】 平方米
【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)
【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜．
【详解】解：棚高 ，棚宽 ，设棚顶的宽为b，
则 ，
棚的长d为 ，
∴ ．
【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的实际应用能力，理清题意，掌握勾股定理是解题的关键．
【变式2】如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两
个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
【答案】25cm
【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)、求最短路径(勾股定理的应用)【分析】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可．
【详解】解：如图，将台阶展开，
由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，．
所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625，
即AB＝25（cm），
答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm．
【点睛】本题主要考查对勾股定理，平面展开——最短路径问题等知识点的理解和掌握，能理解题意知道
是求出直角三角形ABC的斜边AB的长是解此题的关键．
【变式3】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．
(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的
高为多少分米？
(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食
物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？
【答案】(1)每一级台阶的高为2分米．
(2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米．
【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论；
（2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米，
根据题意得，18×（4＋x）×4＝432，
解得x＝2，
答：每一级台阶的高为2分米；（2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米，
则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：AC＝ （分米），
答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米．
【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长
和宽即可解答．
题型09 勾股定理应用之汽车是否超速问题
【典例1】为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道
路上行驶的速度不得超过 ．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪
处的正前方 的 处，过了 后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离 为 ．这辆观光电瓶车
超速了吗？
【答案】这辆观光电瓶车超速了
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得 ，进而可得观光电瓶车的速
度为 ，即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：在 中， ， ，
根据勾股定理得， ，
∴观光电瓶车的速度为 ，
，
这辆观光电瓶车超速了．
【变式1】某城市交管部门规定：小汽车在城市快速路上行驶速度不得超过80千米/时，如图，一辆小汽
车在一条城市快速路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了4秒后，测
得小汽车与车速检测仪之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？【答案】这辆小汽车超速了
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列式求出 ，再根据速度 路程 时间求出小汽车的
速度，然后化为千米/小时的单位即可得解．
【详解】解：由勾股定理得 （米），
小汽车的速度为： （米/秒），
30米/秒 108千米/时 80千米/时，
所以，这辆小汽车超速了．
【变式2】为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公
路 的一侧有一报亭A，报亭A到公路 的距离 为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广
播宣传，宣讲车P在公路 上沿 方向行驶．
(1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由；
(2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？
【答案】(1)报亭的人能听到广播宣传，理由见解析
(2)报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传
【知识点】垂线段最短、判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短：
（1）根据垂线段最短，结合600米 米即可得到结论；
（2）如图，假设当宣讲车P行驶到 点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过 点时，报
亭的人开始听不到广播宣传，连接 ．利用勾股定理求出 的长，进而求出 的长，再根
据时间等于路程除以速度即可得到答案．
【详解】（1）解：报亭的人能听到广播宣传，理由如下：
∵600米 米，
∴报亭的人能听到广播宣传．
（2）解：如图，假设当宣讲车P行驶到 点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过 点时，
报亭的人开始听不到广播宣传，连接 ．
由题意得， 米， 米， ，由勾股定理得 米， 米，
∴ 米．
∵ (分)，
∴报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传．
【变式3】五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一
辆移动广播车在笔直的公路 上，沿东西方向由 向 行驶．小丽的家在公路的一侧点 处，且点 与
直线 上的两点 的距离分别为 ，又 ，假如移动广播车周边250
米以内能听到广播宣传．
(1)求 的度数．
(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？
(3)若移动广播车在笔直的公路 上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点 时，小丽在家刚好
听到广播，当移动广播车行驶到点 时，小网在家刚好不再听到广播，即 米，问小丽在家
听到广播宣传的时长是多长？
【答案】(1)
(2)小丽在家能听到广播，计算见解析
(3)小丽在家听到广播宣传的时间为14秒
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用；
（1）利用勾股定理的逆定理判断 的形状；
（2）过点 作 ，根据等积法求出 的长，然后和250米作比较解答即可；
（3）作 ，根据勾股定理求出 长，再根据时间 路程 时间解答即可．
【详解】（1）解： ，
又 ，
，
是直角三角形，即 ．（2）解：过点 作 ，垂足为D，
直角三角形，
，
，
解得 ，
小丽在家能听到广播；
（3）解：依题意， ，
根据勾股定理， ，
移动广播车的速度为10米／秒，
秒
答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒．
题型10 勾股定理应用之是否受台风影响问题
【典例1】如图，某沿海城市 接到台风预警，在该市正南方向 的 处有一台风中心，沿 方向
以 的速度移动，已知城市 到 的距离 为 ．
(1)台风中心经过多长时间从 点移到 点？
(2)如果在距台风中心 的圆形区域内都将受到台风的影响，那么 市受到台风影响的时间持续多少
小时？
【答案】(1)
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、判断是否受台风影响(勾股定理的应用)【分析】本题考查了勾股定理的应用．
（1）先对 运用勾股定理求出 ，即可求出时间；
（2）在射线 上取点E、F，使得 ，对 运用勾股定理求得 ，则即
可求出 ，那么时间即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知， ， ， ，
在 中， ，
∵ ，
∴台风中心经过 从B点移到D点；
（2）解：如图，在射线 上取点E、F，使得 ，
由 得 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴A市受到台风影响的时间持续 ．
【变式1】如图， ， ， 是我国南部的三个岛屿，已知 ， 两岛的距离为 ， ， 两岛的距
离为 ， ， 两岛的距离为 ．2024年9月，超强台风“摩羯”登陆岛屿 ，台风中心由 向
移动，风力影响半径为 ．
(1)请判断岛屿 是否会受到台风的影响？并说明理由
(2)若台风影响岛屿 的时长是 小时，求台风中心的移动速度．
【答案】(1)岛屿 是否会受到台风的影响；理由见解析
(2)台风中心的移动速度为 ．
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作 构造直角三角形是解题的关键．（1）过点C作 于点D，利用勾股定理得 可求出 和 ，由 ，
可知会受影响；
（2）以点C为圆心， 长为半径画弧与 交于点E，F，利用勾股定理求出 ，进而得到 的长，
再除以台风影响岛屿 的时长，即可求出台风移动的速度．
【详解】（1）解：岛屿 是否会受到台风的影响；理由如下，
过点C作 于点D，
由勾股定理得： ，
∴ ，
解得 ，∴ ， ，
∵ ，
∴岛屿 是否会受到台风的影响；
（2）解：以点C为圆心， 长为半径画弧与 交于点E，F，
则 ，
在 中，
由勾股定理，得 ，
，
，
答：台风中心的移动速度为 ．
【变式2】2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来
对我国影响最大的台风，风力影响半径 （即以台风中心为圆心， 为半径的圆形区域都会受台
风影响），如图，线段 是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且
．若A，C之间相距 ，A，B之间相距 ．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．(2)若台风中心的移动速度为 ，则台风影响该农场持续时间有多长？
【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析；
(2)
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】（1）作 ， 中，根据勾股定理，求出 的长，进而求得 的长，即可求解，
（2）假设台风在线段 上移动时，会对农场A造成影响，所以 ，根据勾股定理求出
的长，即可，
此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进
行计算是解题的关键．
【详解】（1）解：会受到台风的影响.
理由：如图，过点A作 ，垂足为D，
在 中， ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
答：农场A会受到台风的影响，
（2）解：如图，
假设台风在线段 上移动时，会对农场A造成影响，所以 ， ，由勾股定理，
可得
∵台风的速度是 ，∴受台风影响的时间为 ，
答：台风影响该农场持续时间为 ．
【变式3】第五号台风“杜苏芮”的中心于2023年7月27日下午位于福建省厦门市境内，最大风力有15
级（50米/秒），中心最低气压为940百帕，台风中心沿北偏西（ ）方向以 的速度向 移动，
地在距离 地 的正北方，已知 地到 的距离 ．
(1)台风中心经过多长时间从 点移到 点？
(2)如果在距台风中心 的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在 点休闲的游客在接到台风警
报后的几小时内撤离才可脱离危险？
【答案】(1)8小时
(2)5小时
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，路程、速度、时间之间的关系等知识，解答本题的关键是利用勾股
定理求出 的长度．
（1）根据勾股定理计算 的长，再根据时间 路程 速度进行计算；
（2）根据在 范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间
路程 速度计算，然后求出时间段即可．
【详解】（1）在 中，根据勾股定理，
得 ，
∴ （小时），
则台风中心经过8小时从B移动到D点；
（2）如图，设∵距台风中心 的圆形区域内都会受到台风破坏的危险，
∴人们要在台风中心到达E点之前撤离，
∵ ，
∴ （小时），
答：游人在5小时内撤离才可脱离危险．
题型11 勾股定理应用之选扯距离相离问题
【典例1】如图 ，铁路上有 、 两点（看作直线上两点）相距 千米， 、 为两村庄（看作两个
点）， ， ，垂足分别为 、 ， 千米， 千米，现在要在铁路旁修建一个
煤栈，使得 、 两村到煤栈的距离相等．
设煤栈应建在距 点 千米处的点 处，如图 ，则 千米．
(1) （______）千米；
(2)煤栈应建在距 点多少千米处？
【答案】(1)
(2) 千米处
【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
【分析】（ ）连接 ，则 ，由勾股定理可得 ，解之即可求解；
（ ）根据（ ）的结果即可求解；
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）解：如图 ，连接 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 千米，
∴ 千米，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ 千米，故答案为： ；
（2）解：由（ ）得， 千米，
∴煤栈应建在距 点 千米处．
【变式1】如图，已知某学校A与直线公路 相距300米（即 米， ），且与该公路上
一个车站D相距500米（即 米），现要在公路边 建一个超市C，使之与学校A及车站D的距
离相等，那么该超市 C 与车站D的距离 是多少米?
【答案】312.5米
【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，弄清题意，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键；根据
题意， ， ，由 、 的长易求 ，设 米， 米，在
中运用勾股定理得关系式求解．
【详解】解：根据题意得： ， ，
在直角三角形 中，
米， 米，
（米），
设 米，则 米，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
答：该超市C与车站D的距离 是312.5米．
【变式2】如图，铁路上A，B两点相距 ，C，D两点为两村庄， 于点A， 于点B，
已知 ， ，现在要在铁路 上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离
相等，则E站应建在距A点多少千米处？【答案】 站应建在离 站 处．
【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，利用 ， 得出是解决问题的关
键．根据使得 ， 两村到 站的距离相等，则 ，再利用勾股定理得出 的长．
【详解】解： ， 两村到 站的距离相等．
，
于 ， 于 ，
，
， ，
，
设 ，则 ，
， ，
，
解得： ，
．
答： 站应建在离 站 处．
【变式3】如图，小区A与公路l的距离 米，小区B与公路l的距离 米，已知
米．
(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求 的长；
(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求 的最小值，求出此最
小值．
【答案】(1)475米
(2)1000米
【知识点】用勾股定理解三角形、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)、根据成轴对称图形的特征进
行求解【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，确定出Q、P的位置是本题的
关键．
（1）设 ，则 ，根据 利用勾股定理即可得出结果．
（2）作A关于l的对称点 ，连接 ，交l于P，由对称性得 的最小值为线段 的长，作
于点E，在 中，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：如图1，
根据题意得： ，
设 ，则 ，
，
解得 ，
即 的长为475米；
（2）如图，作点A关于直线l的对称点 ，连接 ，交直线l于点P．
则 ，
，
的最小值为 ，
如图，作 于点E，
在 中，
米， 米，
米，
的最小值为1000米．
题型12 勾股定理应用之几何图形中最短路径问题
【典例1】【实践发现】数学兴趣小组在研究蚂蚁在圆柱侧面爬行问题时，发现蚂蚁沿圆柱侧面从一点爬到另一点的最短路径问题与圆柱的展开图有关．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：测量圆柱的底面半径，测得圆柱底面半径是2厘米；
第二步：测量圆柱的高，测得圆柱的高为4厘米；
第三步：如图，假设蚂蚁在圆柱侧面从点A爬到点B，研究其最短路径情况．
【问题解决】设蚂蚁爬行的最短路径长度为 厘米，通过计算即可求得最短路径长度．
(1)根据题意知圆柱底面半径 厘米，圆柱的侧面展开后是一个长方形（ 取3），其中一条直角边（圆
柱侧面展开后长方形的高）为 厘米，另一条直角边（底面圆周长的一半）为 厘米；
(2)在展开图中，蚂蚁的最短路径是连接 的线段长，请你计算蚂蚁从点 爬到点 的最短路程．
【答案】(1) ，
(2)
【知识点】几何体展开图的认识、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查圆柱侧面展开图与勾股定理的应用，解题的关键是将圆柱侧面展开，把立体图形上的最
短路径问题转化为平面图形中直角三角形的斜边求解问题．
（1）先根据圆柱的相关数据求出侧面展开图长方形的两条直角边的长度，
（2）利用勾股定理求出展开图中连接A、B两点线段的长度，即蚂蚁爬行的最短路程．
【详解】（1）解：已知圆柱的高为4厘米，圆柱侧面展开后长方形的高就等于圆柱的高，所以其中一条直
角边为4厘米，
已知圆柱底面半径 厘米， 取3，根据圆的周长公式 ，则底面圆周长的一半为
厘米，即另一条直角边为6厘米，
故答案为： ， ；
（2）解： （厘米），
答：蚂蚁从点 爬到点 的最短路程 厘米．
【变式1】如图，长方体的底面边长分别为4cm和8cm，高为10cm，若一只蚂蚁从点 开始经过4个侧面
爬行一圈到达点 ，若蚂蚁的爬行速度为 内蚂蚁能否爬到点 ？【答案】 内蚂蚁能爬到点
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查平面展开 - 最短路径问题与勾股定理应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理
计算即可．
【详解】解：如图，将长方体的侧面展开在同一平面内，
，
．
，
，
内蚂蚁能爬到点 ．
【变式2】【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，
和 是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若 点处有一只蚂蚁要到 点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到 点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15
的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为___________，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是 ，高是 ，若蚂蚁从点 出发沿着玻
璃杯的侧面到点 ，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．-【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此
时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿 ，且与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬
行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）
【答案】（1） （2） （3）
【知识点】几何体展开图的认识、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）从玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，利
用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）由题意得 ，
故答案为： ；
（2）将圆柱体展开，由题意得
，
故答案为： ；
（3）如图，
从玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，作 交 延长线于点 ，连接 交 于点 ，
， ,
，
，
，
蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬行的最短路程是 ．
【变式3】如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A． B． C． D．
(2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
(3)现有一个长、宽、高分别为 的无盖长方体木箱（如图3，
）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种
捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计）
【答案】(1)A
(2)
(3)最短为 ，方案见解析
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键．
（1）结合图形即可得出结果；
（2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解；
（3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意，
故选：A；
（2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，
则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为： ，
∴最短长度是 ；
（3）①把 展开，如图此时总路程为 ，②把 展开，如图
此时的总路程为 ；
③如图所示，把 展开，
此时的总路程为 ，
由于 ，所以第三种方案路程更短，最短路程为 ．
1．如图，强台风时一棵大树在距离地面 的点C处折断，大树顶端的着地点A与大树底端B的距离为
，则这棵大树折断前的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出直角三角形的
斜边的长度，进而可得出结论．【详解】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，
∴原来树的高度为 ，
∴这棵树原来的高度 ．
即：这棵大树在折断前的高度为18m.
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的
关键．
2．在棱长为1的正方体中，顶点 ， 的位置如图所示， 处有一小虫，它沿正方体表面爬到点 处，则
小虫爬行的最短距离是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题．把此正方体的侧面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点
和 点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．
【详解】解：如图，展开后可知：
， ， ，
∴在 中，
，
∴蚂蚁所爬行的最短路线的长是 ．
故选：D．
3．如图，将一根长 的筷子置于圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为 ，且 的取值范围
是为 ，则圆柱形水杯的底面直径为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，h的最大值是筷子的长度减去杯子的高度，h的最小值是筷子和杯子
的高以及底面直径组成直角三角形，筷子的长度减去该直角三角形的斜边的长度，据此求出杯子的高度以
及筷子和杯子的高以及底面直径组成直角三角形，该直角三角形的斜边长，再利用勾股定理求出底面直径
即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，h的最大值是筷子的长度减去杯子的高度，则杯子的高度为
h的最小值是筷子和杯子的高以及底面直径组成直角三角形，筷子的长度减去该直角三角形的斜边的长度，
则筷子和杯子的高以及底面直径组成直角三角形，该直角三角形的斜边长为 ，
∴圆柱形水杯的底面直径为 ，
故选：C．
4．如图，圆柱形玻璃杯的底面直径 ．当吸管直立于杯底时，高出杯口 ，当吸管与点A，C
接触时，杯外部分长 ，则吸管长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理，理解题意得 ， ， ，根据勾股定理列式
，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：如图所示：
依题意， ， ， ，
在 中， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
则 ，
故选：C．
5．如图，某港口 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定
方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行 海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行
海里．它们离开港口 小时后分别位于点 处，此时两船的距离是（ ）
A．20海里 B．24海里 C．30海里 D．32海里
【答案】C
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了方位角，勾股定理的运用，理解方位角的意义，掌握勾股定理的计算是解题的关键．
根据方位角可得 ，由勾股定理即可求解．
【详解】解：“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行，
∴ ，
∴ ，
∵“远航”号每小时航行 海里，“海天”号每小时航行 海里，它们离开港口 小时，
∴ （海里）， （海里），
∴ （海里），
故选：C．
6．如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高 的树顶飞到一棵高 的树顶上，两棵树相距 ，则喜
鹊至少要飞 ．
【答案】13
【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解．
【详解】解：如图，根据题意得： ，
∴ ．
即喜鹊至少要飞 ．
故答案为：13
7．数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭(jiā)赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水
一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈(一丈
等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，
则水深为 尺．
【答案】12
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可
知 的长为 尺，则 尺，设出 尺，表示出水深 ，根据勾股定理建立方程，求出
的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长 尺，则水深 尺，
因为 尺，所以 尺，
在 中， ，
解之得 ，∴水深为 (尺)．
故答案为：12．
8．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿
不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度
和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比
门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为 尺，可列方程为 ．
【答案】
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．先求出门高和门宽，再根据勾股定理
列方程即可．
【详解】解：根据题意可知，门高为 尺，门宽为 尺，
由勾股定理，得 ．
故答案为： ．
9．如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（ 地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地
面）的根部C处．若 米， 米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米．
【答案】19
【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，延长 ，过点C作 延长线于点D，利用勾
股定理先求出 ，即可得到 ，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示：过点C作 交 延长线于点D，则 ，由题意可得： ，
故 ，
∴ ，
则 ，
故 ，
故答案为：19．
10．如图，一架梯子 斜靠在一竖直的墙 上， ， ．
（1） m；
（2）若梯子的顶端 下滑 ，则梯子的底端向外移动了 ．
【答案】 2.5 1.3
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：
（1）直接根据勾股定理求解即可；
（2）在 中根据勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】解：（1）在 中， ， ，
∴ ，
故答案为：2.5；
（2）∵ ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，即梯子的底端向外移动了 ，
故答案为：1.3．
11．如图，某地方政府决定在相距 的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使
C、D两村到点E的距离相等，已知 于A， 于B， ， ，那么基地E
应建在离A站多少 的地方？
【答案】基地E应建在离A站 的地方
【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的应用，设 ，得到 ，根据勾股定理结合C、D两村到
点E的距离相等，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ， ， ，
设 ，则： ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ， ， ，
∴ ，即： ，
解得： ，
∴ ，
∴基地E应建在离A站 的地方．
12．如图，在笔直的河边 的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边 饮马，然后前往
草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中 的长度， ，垂足为D）为12米，B处到河边
的距离（即图中 的长度， ，垂足为E）为28米，且 两处相距30米．
(1)在图中画出从A到 再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）；
(2)C是河边 上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，行走路程比（1）中的最短路径长多少？
【答案】(1)见解析，最短路径的长度 米
(2) 米
【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理
的应用)
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短问题，解题的关键是掌握利用轴对
称解决最短问题．
（1）作点A关于直线l的对称点 ，连接 交直线l于点P，连接 ，点P即为所求，利用勾股定理求
出 可得结论；
（2）利用勾股定理求出 ， 可得结论．
【详解】（1）解：（1）如图，最短路径为A→P→B．
过点 作 交 的延长线于点T，
∵ 米， 米， 米，
∴ （米），
∴ （米），
∴最短路径的长 （米）；
（2）∵ （米），
（米），
∴行走路程比（1）中的最短路径长： 米．
13．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端 的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是 ；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点 ，再测量绳子底端 与旗杆根部点 之间的距
离，测得距离为 ．
【解决问题】设旗杆的高度 为 ，通过计算即可求得旗杆的高度．
(1)用含 的式子表示 为_____ ；
(2)请你求出旗杆的高度．
【答案】(1)
(2)12米
【知识点】列代数式、求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题
型．
（1）根据“测得多出部分绳子的长度是1米”进行作答即可；
（2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为 米，根据
勾股定理即可求得旗杆的高度．
【详解】（1）解：∵设旗杆的高度 为 ，先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子
的长度是
∴ 米．
故答案为： ；
（2）解：在直角 中，由勾股定理得：
，
即 ．
解得 ．
答：旗杆的高度为12米．
14．如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以
每小时12海里的速度沿北偏东 方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小
时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里．
求：(1)两船分别航行了多少海里？
(2)“小蛮腰号”的航行方向．
【答案】(1)“广州湾号”航行路程为 海里；“小蛮腰号”航行路程为 海里；
(2)“小蛮腰号”的航行方向是南偏东 ．
【知识点】与方向角有关的计算题、解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，方向角，根据题意得出 是直角三角形是解题关
键．
（1）根据题意直接求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，进而得出答案．
【详解】（1）解： “广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东 方向航行，“小蛮腰号”以每小时
5海里的速度沿另一方向航行，航行时间为2小时，
∵
“广州湾号”航行路程为： 海里；“小蛮腰号”航行路程为 海里；
∴（2）由（1）得 （海里）， （海里），
两船相距26海里，
∵ （海里），
∴ ， ，
∵故 ，
是直角三角形，
，
，
∴ “小蛮腰号”的航行方向是南偏东 ．
15．在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住
了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点
与风筝的水平距离 为 ；根据手中余线长度，计算出 的长度为 ；牵线放风筝的手到地面的距
离 为 ．已知点A，B，C，D在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度 ；
(2)在余线仅剩 的情况下，若想要风筝沿射线 方向再上升 ，请问能否成功？请运用数学知识说
明．
【答案】(1)(2)不能成功，理由见解析
【知识点】用勾股定理解三角形、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键．
（1）过点A作 于点E，在 中，根据勾股定理即可求解；
（2）假设能上升 ，作图 ，根据勾股定理可得 ，再根据题意， ，
即可求解．
【详解】（1）解：如图1所示，过点A作 于点E，则 ， ，
，
在 中， ，
∴ ；
（2）解：不能成功，理由如下：
假设能上升 ，如图所示，延长 至点F，连接 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，余线仅剩 ，
∴ ，
∴不能上升 ，即不能成功．
16．【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，
如图，已知一架云梯 长 斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离 ， ．【深入探究】
（1）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部 下滑到 位置上（云梯长度不改变），则底部 沿水平方
向向前滑动到 位置上，若 ，求 的长度；
【问题解决】
（2）在演练中，墙边距地面 的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠
墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提
下，云梯的顶端能否到达 高的窗口去救援被困人员？
【答案】（1） ，（2）云梯的顶端能到达 高的窗口去救援被困人员
【知识点】用勾股定理解三角形、求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用．掌握勾股定理是解题的关键.
（1）根据勾股定理即可求出 ，再求出 ，根据勾股定理求出 ，进一步即可求出 ；
（2）当云梯的顶端到达 高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为 ，根据 ，
即可得到在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达 高的窗口去救援被困人员．
【详解】解：（1）在 中，
，
，
，
在 中，
，
答： 的长度为 ；
（2）当云梯的顶端到达 高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为： ，
， ，
∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达 高的窗口去救援被困人员．
17．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，
也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．(1)应用一：最短路径问题
如图，一只蚂蚁从点 沿圆柱侧面爬到相对一侧中点 处，如果圆柱的高为 ，圆柱的底面半径为
，那么最短的路线长是______；
(2)应用二：解决实际问题．
如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推 至 处时，即水平
距离 ，踏板离地的垂直高度 ，它的绳索始终拉直，求绳索 的长．
【答案】(1)
(2)绳索 的长为
【知识点】用勾股定理解三角形、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握最短路的计算，勾股定理的计算方法是关键．
（1）根据题意可得圆柱底面圆的周长为 ，由展开图可得 即为最短路径，由勾股定理即
可求解；
（2）根据题意得到四边形 是矩形，如图所示，过点 作 ，四边形 ， 是矩形，
则 ， ，设 ，则 ，在
中由勾股定理得到 ，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：圆柱的底面半径为 ，
∴圆柱底面圆的周长为 ，
如图所示， 即为最短路径， ， ，
∴ ，
∴最短的路线长是 ，
故答案为： ；（2）解：根据题意， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
如图所示，过点 作 ，
∴ ，
∴四边形 ， 是矩形，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得， ，
∴绳索 的长为 ．
18．如图1，在棱长为 的立方体纸盒的顶点 处有一只蚂蚁，在另一顶点 处有一粒糖．
(1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点
处，如图 所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？
(2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为 ， ， 的长方体纸盒（如图3），其他条件不
变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程．【答案】(1)甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短；
(2)蚂蚁经过的路程最短路程为 ．
【知识点】两点之间线段最短、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，最短路径，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
（1）分别计算每个人设计的路线的长度，对结果进行比较即可；
（2）把纸盒分别沿着长、宽、高所在的棱展开，根据勾股定理计算每种情况对应的线段长度，对结果进
行比较即可．
【详解】（1）解：∵纸盒是棱长为 的立方体，
∴甲设计的爬行路线长为 ，
乙设计的爬行路线长为 ，
丙设计的爬行路线长为 ，
∵ ，
∴甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短，
答：甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短．
（2）解：∵两点之间线段最短，
∴不考虑沿着棱爬行的情况，
如图所示，
蚂蚁沿 爬行，经过的路程长为 ，
蚂蚁沿 爬行，经过的路程长为 ，
蚂蚁沿 爬行，经过的路程长为 ，
∵ ，
∴蚂蚁沿 爬行，经过的路程最短，最短路程为 ，
答：蚂蚁经过的路程最短路程为 ．
