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专题 20 直线方程应用
目录
题型一：斜率几何意义.........................................................................................................................................................1
题型二：倾斜角范围最值.....................................................................................................................................................2
题型三：函数值域型求倾斜角.............................................................................................................................................3
题型四：直线方向向量.........................................................................................................................................................4
题型五：含参直线过定点.....................................................................................................................................................5
题型六：双直线含参型定圆.................................................................................................................................................6
题型七：截距式应用.............................................................................................................................................................6
题型八：直线一般式方程理论.............................................................................................................................................7
题型九：直线光学性质.........................................................................................................................................................8
题型十：两点距离公式应用...............................................................................................................................................10
题型十一：平行线应用.......................................................................................................................................................10
题型十二：对称：“将军饮马”型最值...........................................................................................................................11
题型十三：绝对值型...........................................................................................................................................................12
题型十四：对称：叠纸型...................................................................................................................................................13
题型一：斜率几何意义
斜率型分式几何意义
若P(x，y)，P(x，y)在直线l上，且x≠x，则l的斜率k＝.。
1 1 1 2 2 2 1 2
若满足
1．（24-25高二上·江西抚州·阶段练习）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为
“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.图中曲线为圆或半圆，已知点P(x,y)是阴
影部分（包括边界）的动点.则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．12．（20-21高一下·辽宁大连·期中）设函数 的最大值为 ，最小值为 ，则
（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2024高二·全国·专题练习）已知函数 ，且 ，则 ， ， 的大
小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）点 在函数 的图象上，当 ，则 可能等于
（ ）
A．-1 B． C． D．0
5．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知实数x，y满足 ，则 的取值范
围是 ．
题型二：倾斜角范围最值
斜率与倾斜角关系是正切图像
由正切图象可以看出：①当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)且随着α增大而增大；
②当α＝时，斜率不存在，但直线存在； ③当α∈时，斜率k∈(－∞，0)且随着α增大而增大．
1．（24-25高二上·安徽滁州·阶段练习）过 ， 两点的直线的倾斜角的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设直线l的方程为 （ ），则直线l的倾斜角 的
取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二上·河北唐山·阶段练习）设直线 的方程为 ，则直线 的倾斜角 的范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习，多选）下列说法正确的是（ ）
A．直线 的倾斜角 的取值范围是
B．函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
C．已知函数 在 上是增函数，则实数a的取值范围是
D．若事件A与事件B相互独立，且 ， ，则
5．（2024·全国·模拟预测）已知 ， 分别是双曲线 的上、下焦点，过点 且
与 轴垂直的直线与 的一条渐近线相交于点 ，且 在第四象限，四边形 为平行四边形．若直线
的倾斜角 ，则 的离心率的取值范围是 ．
题型三：函数值域型求倾斜角
斜率与倾斜角的关系，可以通过正切函数来对应
由正切图象可以看出：①当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)且随着α增大而增大；
当α＝时，斜率不存在，但直线存在；
当α∈时，斜率k∈(－∞，0)且随着α增大而增大．
1．（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知 ， ，直线 ： 上存在点P，
满足 ，则 的倾斜角的取值范围是（ ）A． B． C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转 （ 为
锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知 分别是双曲线 的上､下焦点，经过
点 且与 轴垂直的直线与 的一条渐近线相交于点 ，且 在第四象限，四边形 为平行四边形，
若 的离心率的取值范围是 ，则直线 的倾斜角 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（21-22高三上·辽宁铁岭·期末，多选）已知直线 与抛物线 交于 ， 两点，
为抛物线 的焦点，若 ，则直线 的倾斜角可能为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）直线 的倾斜角的取值范围是 .
6．（22-23高三下·上海·阶段练习）已知曲线 ，点 ， 是曲线 上任意两个不同
点，若 ，则称 ， 两点心有灵犀，若 ， 始终心有灵犀，则 的最小值 的正切值
．
题型四：直线方向向量
与直线l平行的非零向量V 都称为l的方向向量,用它们来表示直线的方向.
斜率为k的直线的方向向量为(1,k)的非零实数倍.
1．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习已知 是互相垂直的单位向量，若直线 和 的方向向量分别为
，则 和 所成的角的余弦值为（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2024·安徽芜湖·二模）已知直线l： 与曲线W： 有三个交点D、E、F，且 ，则以下能作为直线l的方向向量的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线l的一个方向向量为 ，直线l的倾斜角为 ，则
的值为（ ）
A． B．0 C． D．2
4．（23-24高二上·福建三明·期中，多选）下列说法正确的是（ ）
A．直线 ： 在y轴上的截距为2
B．直线 的方向向量为
C．经过点 ，且在x，y轴上截距相等的直线方程为
D．已知直线 过点 ，且与x，y轴正半轴交于点A、B两点，则 面积的最小值为4
5．（2023·四川德阳·一模）已知实数 成公差非零的等差数列，集合 ，
，若 ，则 的最大值为 .
题型五：含参直线过定点
直线系：
过Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0的交点的直线可设：Ax＋By＋C ＋λ(Ax＋By＋C )＝0.
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
所以，含参直线，可以通过分离构造方程组解出定点
1．（24-25·全国·模拟）以直线 恒过的定点为圆心，半径为 的圆的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）无论 为何值，直线 过定点
（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点 ，若直线 与线段AB
（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．4．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习，多选）已知圆 ，直线
，则（ ）
A．直线 恒过定点
B．直线l与圆C有两个交点
C．当 时，圆C上恰有四个点到直线 的距离等于1
D．圆C与圆 恰有三条公切线
5．（23-24高二下·广东清远·阶段练习）如果直线 和曲线 恰有一个交点，那
么实数 的取值范围是 .
题型六：双直线含参型定圆
如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。
1.每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。
2.两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是-1，确定两
条直线是否互相“动态垂直”。
3.如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。
4.如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段
的最值求解计算
1．（2024·广东茂名·模拟预测）已知m， ， ，记直线 与直线
的交点为P，点Q是圆C： 上的一点，若PQ与C相切，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·二模）已知直线 与直线 相交于点 ，且点 到
点 的距离等于1，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知直线 ： 与直线 ： 交于点
A，若点 ，则|AB|的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（22-23高二上·福建莆田·阶段练习，多选）已知 ，若过定点A的动直线 和过定点B的动直线 交于点P（P与A，B不重合），则下列结论中正确的是（ ）
A．A点的坐标为 B．点P的轨迹方程
C． D． 的最大值为
5．（2024高二上·江苏·专题练习）设 ，过定点A的动直线 和过定点B的动直线
交于点 ，则 的取值范围是 .
题型七：截距式应用
直线的截距和直线方程的截距式，关键有两点：
1.要注意截距为零的情况，
2.在截距不为零时，转化求解
1．（22-23高三·重庆·模拟）记函数 在点 处的切线为 ，若
直线 在 轴上的截距恒小于 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
2．（19-20高一·云南普洱·阶段练习）过点 在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（22-23高三·上海模拟）过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
4．（23-24高二上·广东惠州·期中，多选）下列说法正确的有（ ）
A．直线 的倾斜角为
B．直线 必过定点
C．方程 与方程 表示同一条直线
D．经过点 ，且在 轴上截距相等的直线方程为
5．（22-23高三·内蒙古赤峰·模拟）已知过点 的直线L在两坐标轴上的截距均为正值，当两截距之和
最小时，求直线L的方程为 ．
题型八：直线一般式方程理论直线系型：
(1)平行线系：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2)垂直线系：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋n＝0；
(3)交点线系：过Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0的交点的直线可设：Ax＋By＋C ＋λ(Ax＋By＋C )＝
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
0.
1．（22-23高二上·上海浦东新·）在平面直角坐标系内，设 ， 为不同的两点，直线l的
方程为 ， ，下面四个命题中的假命题为（ ）
A．存在唯一的实数δ，使点N在直线 上
B．若 ，则过M，N两点的直线与直线l平行
C．若 ，则直线经过线段M，N的中点；
D．若 ，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交；
2．（23-24高二上·湖南·期中）已知 ， 是直线 （ 为常数）上两个不同的点，
则关于 和 的方程组 的解的情况，下列说法正确的是（ ）
A．无论 ， ， 如何，总是无解
B．无论 ， ， 如何，总有唯一解
C．存在 ， ， ，使 是方程组的一组解
D．存在 ， ， ，使之有无穷多解
3．（21-22高三·全国·模拟）若点 是直线 和 的公共点，则相异两点
和 所确定的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高三·黑龙江哈尔滨·模拟，多选）已知 与 是直线 （ 为常数）上两个
不同的点，则关于 ： 和 ： 的交点情况说法错误的是（ ）
A．存在 、 、 使之无交点
B．存在 、 、 使之有无穷多交点
C．无论 、 、 如何，总是无交点
D．无论 、 、 如何，总是唯一交点
5．（24-25高二上·上海·课堂例题）下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线 的
倾斜角可以是 ；②直线l过点 ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ；③过点
的直线 的直线方程还可以写成 ；④经过 ，两点的直线方程可以表示为 .
题型九：直线光学性质
直线光学性质，即直线对称性质
关于轴对称问题：
（1）点 关于直线 的对称点 ，则有 ；
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
1．（22-23·福建厦门·模拟）在直角坐标系 中，全集 ，集合
，已知集合A的补集 所对应区域的对称中心为M，点P是
线段 （ ， ）上的动点，点Q是x轴上的动点，则 周长的最小值为（ ）
A．24 B． C．14 D．
2．（19-20·江苏无锡·期中）如图，已知 ， ， ， ， ，一束光线从 点
出发射到 上的 点，经 反射后，再经 反射，落到线段 上（不含端点），则直线 的斜率
的取值范围为（ ）
A． B．(4,+∞) C． D．
3．（21-22高二上·浙江绍兴·期中）如图，在直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为 、
、 ，O为原点，从O点出发的光线先经AC上的点 反射到边AB上，再由AB上的点 反
射回到BC边上的点 停止，则光线 的斜率的范围为（ ）A． B． C． D．
4．（23-24高二上·广东广州·期末，多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，
沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的
焦点．已知抛物线 ， 为坐标原点，一束平行于 轴的光线 从点 射入，经过
上的点A(x ,y )反射后，再经 上另一点B(x ,y )反射后，沿直线 射出，且 经过点 ，则（ ）
1 1 2 2
A．当 时，延长 交直线 于点 ，则 、 、 三点共线
B．当 时，若 平分 ，则
C． 的大小为定值
D．设该抛物线的准线与 轴交于点 ，则
5．（2122高三·湖北宜昌·模拟）已知： ， ， ， ， ，一束光线从 点
出发发射到 上的 点经 反射后，再经 反射，落到线段 上（不含端点） 斜率的范围为
.
题型十：两点距离公式应用
求解形如 的式子的最小值思路：
（1）先将问题转化为点到点的距离之和问题；
（2）画出图示，必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析；
（3）根据距离之和的最小值得到原式的最小值.
1．（21-22高二上·河北保定·期末） 的最小值为（ ）
A．5 B． C．6 D．
2．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知x， ，若 恒成立，则实
数m的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·湖南长沙·期末）已知 ，且 ，则的最大值为（ ）
A．9 B．12 C．36 D．48
4．（2024·甘肃定西·一模，多选）下列命题为真命题的是（ ）
A． 的最小值是2
B． 的最小值是
C． 的最小值是
D． 的最小值是
5．（20-21高三上·浙江温州·阶段练习）若 ，则 的最小值是 ．
题型十一：平行线应用
两直线平行
(1)斜截式判断法：
两条直线平行：对于两条不重合的直线l、l：
1 2
(ⅰ)若其斜率分别为k、k，则有l∥l⇔k ＝ k.
1 2 1 2 1 2
(ⅱ)当直线l、l 不重合且斜率都不存在时，l∥l.
1 2 1 2
(2)一般式判断法：设两直线Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0，则有：
1 1 1 2 2 2
l∥l⇔A B ＝AB 且A C ≠A C ；
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1
1．（22-23高二上·四川南充·期中）对于圆 上任意一点 ，
的值与 ， 无关，则 的范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二上·重庆江北·阶段练习）若椭圆 上的点到直线 的最短距离是 ，则
最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·全国·课后作业）若动点 分别在直线 和 上
移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．4
4．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习，多选）下列选项正确的是（ ）
A．过点 且和直线 垂直的直线方程是
B．若直线 的斜率 ，则直线倾斜角 的取值范围是C．若直线 与 平行，则 与 的距离为
D．已知圆 ，圆 ， 、 分别是圆 、 上的动点， 为
直线 上的动点，则 的最小值为
5．（2024·湖北·模拟预测）若函数 在不同两点 ， 处的切线互相
平行，则这两条平行线间距离的最大值为 .
题型十二：对称：“将军饮马”型最值
1．（23-24高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为 ，河岸所在直
线方程为 ，将军从点 处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所
在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·宁夏银川·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》
这首诗的开头两句.诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，
先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为
，若将军从点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，并假定将军只要到达军营
所在区域即认为回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．13 B．11 C．9 D．7
3．（23-24高二上·河南新乡·期中） 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4.（23-24高二上·江西·阶段练习，多选）．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗
的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰
富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮
马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，
先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是 ，
军营所在位置为 ，河岸线所在直线的方程为 ，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营
（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D．“将军饮马”走过的总路程为
5．（24-25高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄
昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚
下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为 ，若将军从山脚下的点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，则“将军饮
马”的最短总路程为 ．
题型十三：绝对值型
1．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二上·河北邢台·阶段练习）设点 是圆 上任意一点，若
为定值，则 的值可能为
A． B．0 C．3 D．6
3．（22-23高二上·四川南充·期中）对于圆 上任意一点
的值与 无关，有下列结论:
① 点 的轨迹是一个圆；
② 有最小值；
③ 当 时， 有最大值 ；
④ 当 时， .
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（24-25高三上·广东·开学考试，多选）在平面直角坐标系 中，点 间的折线距离
，已知 ，记 ，则（ ）
A．若 ，则 有最小值8
B．若 ，则A点轨迹是一个正方形
C．若 ，则 有最大值15
D．若 ，则点A的轨迹所构成区域的面积为
5．（22-23·上海浦东新·阶段练习）已知实数 、 、 、 满足： ， ，
，则 的最大值为 .
题型十四：对称：叠纸型
1．（22-23高二上·浙江杭州·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点 与点 重合，点 与点重合，则 （ ）
A． B． C． D．1
2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点 和点 重合，点 和
点 重合，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·湖北武汉·期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐
标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点 与点 重合，点 与点 重合，
则 （ ）
A． B． C． D．
4．（20-21高二·全国·模拟）在一张矩形纸片上，画有一个圆（圆心为O）和一个定点F（F在圆外）．在
圆上任取一点M，将纸片折叠使M与点F重合，得到折痕CD．设直线CD与直线OM交于点P，则点P的
轨迹为（ ）
A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线
5．（22-23高二上·浙江宁波·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点P(1，2)与点Q(-2，1)重合，则直线
y=x+4关于折痕对称的直线为 .
