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专题 14 解二元一次方程组（综合题）
易错点拨
知识点01：消元法
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中 ，那么就把二元一次方
程组转化为我们熟悉的 ，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这
种将未知数 的思想，叫做消元思想.
2.消元的基本思路：未知数
3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为
知识点02：代入消元法
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做 ， 简称代
入法．
细节剖析：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为 ，再 中
达到消元的目的．
(2)代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用 求解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；
(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．
知识点03：加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别 ，就
能 ，得到一个 ，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
细节剖析：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就 ，
使同一个未知数的系数 ；
(2)把两个方程的两边分别 ，消去一个 ，得到一个
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两
个未知数的值用“大括号”联立起来，就是 ．
知识点04：选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种： ，
通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．
易错题专训
一．选择题
1．（2022春•淄博期末）利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（ ）
A．要消去x，可以将①×3+②
B．要消去x，可以将①×（﹣3）+②
C．要消去y，可以将①×3+②
D．要消去y，可以将①×（﹣3）+②
2．（2022春•东川区期末）小王在解关于x，y的二元一次方程组 时，解得 ，则Δ和*
分别代表的数是（ ）
A．2，6 B．4，6 C．6，2 D．6，4
3．（2022 春•顺义区期末）用加减消元法解二元一次方程组 时，下列做法正确的是
（ ）
A．要消去x，可以将①×3+②×5
B．要消去x，可以将①×5﹣②×3
C．要消去y，可以将①×2﹣2
D．要消去y，可以将①×2+2
4．（2022春•嘉兴期中）解关于x，y的方程组 可以用①×3﹣②，消去未知
数x，也可以用①+②×4消去未知数y，则a，b的值分别为（ ）
A．1，﹣2 B．﹣1，﹣2 C．1，2 D．﹣1，2
5．（2021春•饶平县校级期末）若关于x，y的方程组 没有实数解，则（ ）
A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣2且a≠1 C．ab≠﹣2 D．ab＝﹣2且a≠2
6．（2022春•南关区期末）已知 ．当x＝1.5时，y＞0；当x＝1.8时，y＜0．则方程 的解可能是（ ）
A．1.45 B．1.64 C．1.92 D．2.05
二．填空题
7．（2022春•邹城市期末）方程组 的解是 ．
8．（2022春•武昌区期中）如果 ，那么 + ＝ ．
9．（2021•台州模拟）小明解方程组 的过程如下：
解：由②，得y＝a﹣2x③，
将③代入①，得4x+3（a﹣2x）＝8，
可知在解题过程的第一步出现错误，后面的步骤均没有出错，若小明查阅答案发现结果正确，则常数a
＝ ．
10．（2017•昆山市校级模拟）以方程组 的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是
第 象限．
三．解答题
11．（2022•德城区校级开学）解方程组：
（1） ； （2） ．
12．（2022春•鲤城区校级期末）（1）解方程：3x﹣7＝x﹣（2x﹣5）；
（2）解方程组： ．
13．（2022春•大同期末）（1）计算： ；（2）解二元一次方程组： ．
14．（2022春•兰考县期末）解下列方程（或方程组）
（1） x﹣1＝ x+3； （2） ．
15．（2022春•睢阳区期末）阅读理解：
已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数
的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得 x﹣4y＝﹣2，由
①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下
列问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则x﹣y＝ ，x+y＝ ．
（2）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算，已知
2*3＝12，3*5＝16，求1*1的值．16．（2022春•西城区校级期中）有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关
于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思
路运算量比较大．小明在做题过程仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，发现本题还可以通过适
当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思
想就是通常所说的“整体思想”．
请同学们运用这样的思想解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则x﹣y＝ ，x+y＝ ；
（2）对于实数x，y，定义新运算：x※y＝ax﹣by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和
乘法运算．已知3※5＝15，4※7＝28，那么求1※1的值．
17．（2017春•红花岗区校级期中）方程组
（1） （2） ．
18．（2022秋•浑南区校级月考）解方程组：
（1） ； （2） ；（3） ； （4） ；
（4） ．
19．（2018秋•香坊区校级月考）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，且a、b满足
（1）求a和b的值；
（2）在数轴上有一动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向向终点B运动，同时另
一动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A运动，当一个动点到达终点时，
另一个动点继续运动，若点M为线段PQ的中点，设点P的运动时间为t秒，请用含t的整式表示点M所
表示的数；
（3）在（2）的条件下，当BQ﹣OP＝90时，求点M所表示的数．
20．（2022春•太和县期末）先阅读，然后解方程组．解方程组
时，
可由 ①得x﹣y＝1，③
然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，
从而进一步求得 这种方法被称为“整体代入法”，
请用这样的方法解下列方程组 ．
