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专题 14 解二元一次方程组（综合题）
易错点拨
知识点01：消元法
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组
转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知
数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
2.消元的基本思路：未知数 由多变少 .
3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为 一元一次方程 .
知识点02：代入消元法
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入
法．
细节剖析：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知
数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．
(2)代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；
(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．
知识点03：加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去
这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
细节剖析：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方
程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两
个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
知识点04：选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过
适当练习做到巧妙选择，快速消元．
易错题专训
一．选择题
1．（2022春•淄博期末）利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（ ）
A．要消去x，可以将①×3+②
B．要消去x，可以将①×（﹣3）+②
C．要消去y，可以将①×3+②
D．要消去y，可以将①×（﹣3）+②
【易错思路引导】观察方程组中x与y的系数规律，利用加减消元法判断即可．
【规范解答】解：利用加减消元法解方程组 ，
要消去x，可以将①×（﹣3）+②；要消去y，可以将①×2+②．
故选：B．
【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减
消元法．
2．（2022春•东川区期末）小王在解关于x，y的二元一次方程组 时，解得 ，则Δ和*
分别代表的数是（ ）
A．2，6 B．4，6 C．6，2 D．6，4
【易错思路引导】把把y＝2代入3x﹣2y＝14中，进行计算可求出x的值，再把x＝6，y＝2代入x﹣y
＝Δ中，进行计算即可解答．
【规范解答】解：把y＝2代入3x﹣2y＝14中，
3x﹣4＝14，
3x＝18，
解得：x＝6，
∴*代表的数是6，
把x＝6，y＝2代入x﹣y＝Δ中，
6﹣2＝Δ，解得：Δ＝4，
∴Δ和*分别代表的数是4，6，
故选：B．
【考察注意点】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键．
3．（2022 春•顺义区期末）用加减消元法解二元一次方程组 时，下列做法正确的是
（ ）
A．要消去x，可以将①×3+②×5
B．要消去x，可以将①×5﹣②×3
C．要消去y，可以将①×2﹣2
D．要消去y，可以将①×2+2
【易错思路引导】根据加减消元的法则依次判断即可．
【规范解答】解：∵①×3+②×5得：15x﹣3y+15x+10y＝18+70，
∴30x+7y＝88，
∴A不合题意．
∵①×5﹣②×3得：25x﹣5y﹣9x﹣6y＝30﹣42，
∴16x﹣11y＝﹣12，
∴B不合题意．
∵①×2﹣②得：10x﹣2y﹣﹣3x﹣2y＝12﹣14，
∴7x﹣4y＝﹣2，
∴C不合题意．
∵①×2+②得：10x﹣2y+3x+2y＝12+14，
∴13x＝26，
∴D符合题意．
故选：D．
【考察注意点】本题考查加减消元，掌握加减消元方法是求解本题的关键．
4．（2022春•嘉兴期中）解关于x，y的方程组 可以用①×3﹣②，消去未知
数x，也可以用①+②×4消去未知数y，则a，b的值分别为（ ）
A．1，﹣2 B．﹣1，﹣2 C．1，2 D．﹣1，2
【易错思路引导】根据题意可得 ，然后将其化简得 ，再利用加减消元法进行计算即可解答．
【规范解答】解：由题意得：
，
化简得：
，
解得： ，
故选：C．
【考察注意点】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
5．（2021春•饶平县校级期末）若关于x，y的方程组 没有实数解，则（ ）
A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣2且a≠1 C．ab≠﹣2 D．ab＝﹣2且a≠2
【易错思路引导】把①变形，用y表示出x的值，再代入②得到关于y的方程，令y的系数等于0即可
求出ab的值．
【规范解答】解： ，
由①得，x＝﹣1﹣ay，
代入②得，b（﹣1﹣ay）﹣2y+a＝0，
即（﹣ab﹣2）y＝b﹣a，
因为此方程组没有实数根，所以﹣ab﹣2＝0，ab＝﹣2．
故选：A．
【考察注意点】本题考查的是解二元一次方程组，解答此类问题时要熟知解二元一次方程组的代入消元
法和加减消元法．
6．（2022春•南关区期末）已知 ．当x＝1.5时，y＞0；当x＝1.8时，y＜0．则
方程 的解可能是（ ）
A．1.45 B．1.64 C．1.92 D．2.05
【易错思路引导】由题意可以断定 是一次函数，又因为当x＝1.5时，y＞0；
当x＝1.8时，y＜0．根据一次函数图象的增减性可以知道直线与x轴的交点在（1.5，0）、（1.8，0）之间，从而得出方程的解的取值范围在1.5与1.8之间．
【规范解答】解：由题意可以断定 是一次函数，
∵当x＝1.5时，y＞0；当x＝1.8时，y＜0；
∴y＝0时，x的取值范围是1.5＜x＜1.8；
故选：B．
【考察注意点】本题考查了一次函数图象的增减性，关键要掌握函数增减性以及函数图像与x轴的交点
关系．
二．填空题（共4小题）
7．（2022春•邹城市期末）方程组 的解是 ．
【易错思路引导】利用代入消元法，进行计算即可解答．
【规范解答】解： ，
由①得：
x＝2+y③，
把③代入②得：
3（2+y）＝4y+5，
解得：y＝1，
把y＝1代入③中得：
x＝2+1＝3，
∴原方程组的解为： ，
故答案为： ．
【考察注意点】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键．
8．（2022春•武昌区期中）如果 ，那么 + ＝ 6 ．
【易错思路引导】把所求的式子化简为：x+2y﹣1+（2x﹣3y），然后再代入求值，进行计算即可解答．
【规范解答】解：∵x+2y＝3，2x﹣3＝4，
∴ +
＝x+2y﹣1+（2x﹣3y）
＝3﹣1+4＝6，
故答案为：6．
【考察注意点】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解题的关键．
9．（2021•台州模拟）小明解方程组 的过程如下：
解：由②，得y＝a﹣2x③，
将③代入①，得4x+3（a﹣2x）＝8，
可知在解题过程的第一步出现错误，后面的步骤均没有出错，若小明查阅答案发现结果正确，则常数a
＝ 4 ．
【易错思路引导】利用代入消元法表示出正确的y，代入第一个方程计算，根据错误算法与正确算法相
同，确定出常数a的值即可．
【规范解答】解：由②得：y＝2x﹣a③，
把③代入①得：4x+3（2x﹣a）＝8，
去括号得：4x+6x﹣3a＝8，
解得：x＝ ，
由题得：4x+3（a﹣2x）＝8，
去括号得：4x+3a﹣6x＝8，
解得：x＝ ，
∵结果相同，
∴ ＝ ，
去分母得：3a+8＝5（3a﹣8），
去括号得：3a+8＝15a﹣40，
解得：a＝4．
故答案为：4．
【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．
10．（2017•昆山市校级模拟）以方程组 的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是
第 四 象限．
【易错思路引导】利用加减消元法解出方程组的解，得到x与y的值，从而确定出点的坐标，根据平面
上点坐标的特征，即可确定出所在的象限．【规范解答】解：
①+②得2y＝﹣4，即y＝﹣2，
把y＝﹣2代入①得：x＝4，
∴方程组的解为 ，
∴坐点的标（4，﹣2），
则点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是第四象限．
故答案为：四
【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，利用了消去的思想，消去的方法有：
加减消去法与代入消元法．
三．解答题
11．（2022•德城区校级开学）解方程组：
（1） ；
（2） ．
【易错思路引导】（1）①×2+②，得x＝3，把x＝3代入①，得y＝2；
（2）首先原方程组可化为 ，①+②，得x＝3，把x＝3代入①，得y＝ ．
【规范解答】解：（1） ，
①×2+②，得2x﹣2y+5x+2y＝2+19，
解得x＝3，
把x＝3代入①，得y＝2，
∴此方程组的解 ；
（2）原方程组可化为 ，
①+②，得x＝3，
把x＝3代入①，得y＝ ，∴此方程组的解 ．
【考察注意点】此题考查的是二元一次方程组，掌握用加减法解二元一次方程组的一般步骤是解题关键．
12．（2022春•鲤城区校级期末）（1）解方程：3x﹣7＝x﹣（2x﹣5）；
（2）解方程组： ．
【易错思路引导】（1）利用去括号、移项、合并同类项，求出未知数的值即可．
（2）利用加减消元法或代入消元法解方程组即可．
【规范解答】解：（1）3x﹣7＝x﹣（2x﹣5）
去括号得：3x﹣7＝x﹣2x+5，
移项、合并同类项得：4x＝12，
x＝3；
（2） ，
①×2+②得：9x＝9，
x＝1，
把x＝1代入①得：2+3y＝﹣1，
解得：y＝﹣1，
∴方程组的解为
【考察注意点】（1）本题考查了解一元一次方程，关键要掌握去括号、移项、合并同类项．
（2）本题考查了解二元一次方程组，关键要掌握加减消元法和代入消元法解方程组．
13．（2022春•大同期末）（1）计算： ；
（2）解二元一次方程组： ．
【易错思路引导】利用绝对值的定义、立方根定义解题即可；
利用加减消元法或代入消元法解方程组即可．
【规范解答】解：（1）原式＝5﹣ ﹣4+2 ＝1+ ；
（2） ，
①×5+②得17x＝51，x＝3，
把x＝3代入①得9﹣y＝8，
y＝1，
∴方程组的解为 ．
【考察注意点】（1）考查了实数的运算，关键要掌握去绝对值，立方根的定义；
（2）考查了二元一次方程组的解法，关键要掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组．
14．（2022春•兰考县期末）解下列方程（或方程组）
（1） x﹣1＝ x+3；
（2） ．
【易错思路引导】（1）先去分母，再移项合并同类项，求未知数的值即可．
（2）先化简整理方程组，再利用加减消元或代入消元法解方程组即可．
【规范解答】解（1）两边同时×6，
4x﹣6＝3x+18，
移项得，
x＝24．
（2）整理方程组得 ，
①+②×5得16y＝56，
y＝ ，
把y＝ 代入②得x＝ ，
∴方程组的解为 ．
【考察注意点】考查了解一元一次方程和解二元一次方程组，解题关键要正确移项，合并同类项，解一
元一次方程；加减消元法和代入消元法解方程组．
15．（2022春•睢阳区期末）阅读理解：
已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得 x﹣4y＝﹣2，由
①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下
列问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则x﹣y＝ ﹣ 1 ，x+y＝ ．
（2）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算，已知
2*3＝12，3*5＝16，求1*1的值．
【易错思路引导】（1）利用①﹣②可求出x﹣y的值，利用①+②可求出x+y的值，进行计算即可解答；
（2）根据题意可得 ，然后利用整体的思想可求出a+b+c＝8，即可解答．
【规范解答】解：（1） ，
①﹣②得：
x﹣y＝﹣1，
①+②得：
5x+5y＝17，
x+y＝ ，
故答案为：﹣1， ；
（2）根据题意得：
，
①×2得：
4a+6b+2c＝24③，
③﹣②得：
a+b+c＝8，
∵1*1＝a+b+c，
∴1*1的值为8．
【考察注意点】本题考查了解二元一次方程组，实数的运算，二元一次方程的解，熟练掌握整体思想是
解题的关键．
16．（2022春•西城区校级期中）有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关
于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x，y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思
路运算量比较大．小明在做题过程仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，发现本题还可以通过适
当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思
想就是通常所说的“整体思想”．
请同学们运用这样的思想解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则x﹣y＝ ﹣ 4 ，x+y＝ 6 ；
（2）对于实数x，y，定义新运算：x※y＝ax﹣by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和
乘法运算．已知3※5＝15，4※7＝28，那么求1※1的值．
【易错思路引导】（1）整体代换求值．
（2）先将新定义转化为常规运算，再解方程．
【规范解答】解：（1） ，
①+②得：5x+5y＝30，
∴x+y＝6．
①﹣②得：x﹣y＝﹣4．
故答案为：﹣4，6．
（2）由题意得：
∴①×3﹣②×2得：a﹣b+c＝﹣11．
∴1※1＝a﹣b+c＝﹣11．
【考察注意点】本题考查整体代换解方程，确定将哪部分当作一个整体是求解本题的关键．
17．（2017春•红花岗区校级期中）方程组
（1）
（2） ．
【易错思路引导】（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的
方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另
一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．
④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不
相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把
两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，
求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．
【规范解答】解：（1） ，
把①代入②，可得
3x+2（2x﹣3）＝8，
解得x＝2，
把x＝2代入①，可得
y＝4﹣3＝1，
∴方程组的解为 ；
（2）
由①×3﹣②×2，可得
﹣21y+16y＝24﹣20，
即﹣5y＝4，
解得y＝﹣ ，
把y＝﹣ 代入①，可得
2x﹣7×（﹣ ）＝8，
解得x＝ ，
∴方程组的解为 ．
【考察注意点】本题主要考查了解二元一次方程组，解题时注意：方程组的两个方程中，如果同一个未
知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互
为相反数．
18．（2022秋•浑南区校级月考）解方程组：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
【易错思路引导】（1）先将原方程组进行化简整理，再利用加减消元法进行计算即可解答；
（2）先将原方程组进行化简整理，再利用加减消元法进行计算即可解答；
（3）先将原方程组进行化简整理，再利用加减消元法进行计算即可解答；
（4）先将原方程组进行化简整理，再利用加减消元法进行计算即可解答；
（5）由题意得： ，再进行化简整理，然后利用加减消元法进行计算即可解答．
【规范解答】解：（1）将原方程组化简整理得：
，
①×2得：
2x+2y＝4③，
③﹣②得：
5y＝0，
解得：y＝0，
把y＝0代入①中，
x+0＝2，
解得：x＝2，
∴原方程组的解为： ；
（2）将原方程组化简整理得：，
①×3得：12x﹣9y＝6③，
②×4得：12x﹣16y＝﹣8④，
③﹣④得：
7y＝14，
解得：y＝2，
把y＝2代入①得：
4x﹣6＝2，
解得：x＝2，
∴原方程组的解为： ；
（3）将原方程组化简整理得：
，
①+②得：4x＝160，
解得：x＝40，
把x＝40代入①中，
40﹣5y＝0，
解得：y＝8，
∴原方程组的解为： ；
（4）将原方程组化简整理得：
，
①×2得：4x+10y＝4③，
③﹣②得：
9y＝0，
解得：y＝0，
把y＝0代入①中，
2x+0＝2，
解得：x＝1，∴原方程组的解为： ；
（5）由题意得：
，
化简整理得：
，
①×14得：
98x+84y＝112③，
②×3得：
33x+84y＝﹣18④，
③﹣④得：
65x＝130，
解得：x＝2，
把x＝2代入①中，
14+6y＝8，
解得：y＝﹣1，
∴原方程组的解为： ．
【考察注意点】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
19．（2018秋•香坊区校级月考）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，且a、b满足
（1）求a和b的值；
（2）在数轴上有一动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向向终点B运动，同时另
一动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A运动，当一个动点到达终点时，
另一个动点继续运动，若点M为线段PQ的中点，设点P的运动时间为t秒，请用含t的整式表示点M所
表示的数；
（3）在（2）的条件下，当BQ﹣OP＝90时，求点M所表示的数．
【易错思路引导】（1）解二元一次方程组即可；（2）分别用含t的式子表示出PA、QB、PQ，分两种情况：当0≤t≤28时，P点表示的数是﹣50+2t，Q
点表示的数是90﹣5t，当28＜t≤70时，P点表示的数是﹣50+2t，Q点表示的数是﹣50，再根据M为
PQ的中点，可得答案；
（3）分两种情况：当0≤t≤28时，BQ＝5t，OP＝|﹣50+2t|，由5t﹣|﹣50+2t|＝90解得t值，进而
得出点M表示的数即可；
当28＜t≤70时，Q点表示的数是﹣50，由140﹣|﹣50+2t|＝90解得t值，进而得出点M表示的数即可．
【规范解答】解：（1） ，
①×2﹣②得，a＝﹣50，
把a＝﹣50代入①得，﹣100+b＝﹣10，
∴b＝90；
∴a＝﹣50，b＝90．
（2）∵a＝﹣50，b＝90，
∴AB＝90﹣9﹣50＝140，
∴P从A到B的时间是140÷2＝70（秒），Q从B到A的时间是140÷5＝28（秒），
∴当0≤t≤28时，P点表示的数是﹣50+2t，Q点表示的数是90﹣5t，
∵点M为线段PQ的中点，
∴点M所表示的数为 （﹣50+2t+90﹣5t）＝20﹣ t；
即点M所表示的数为20﹣ t；
当28＜t≤70时，P点表示的数是﹣50+2t，Q点表示的数是﹣50，
∵点M为线段PQ的中点，
∴点M所表示的数为 （﹣50+2t﹣50）＝t﹣50；
∴点M所表示的数为20﹣ t或t﹣50；
（3）当0≤t≤28时，BQ＝5t，OP＝|﹣50+2t|，
∵BQ﹣OP＝90，
∴5t﹣|﹣50+2t|＝90
∴﹣50+2t＝±（5t﹣90），
∴t＝ 或t＝20，t＝ 时，AP＝2× ＝ ，BQ＝5× ＝
﹣50+ ＝﹣ ，90﹣ ＝
∴点M表示的数为0．
当t＝20时，AP＝2×20＝40，BQ＝20×5＝100，
﹣50+40＝﹣10，90﹣100＝﹣10，
∴P、Q重合，
∴点M表示的数为﹣10；
∴当28＜t≤70时，Q点表示的数是﹣50，
∴BQ＝BA＝140，OP＝|50﹣2t|，
∵BQ﹣OP＝90，
∴140﹣|﹣50+2t|＝90，
∴|﹣50+2t|＝50
∴2t﹣50＝±50，
∴t＝50或t＝0（不合题意，舍去），
∴点M所表示的数为t﹣50＝50﹣50＝0．
综上，点M所表示的数为﹣10或0．
【考察注意点】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键
是注意分类进行讨论．
20．（2022春•太和县期末）先阅读，然后解方程组．
解方程组
时，
可由 ①得x﹣y＝1，③
然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，
从而进一步求得 这种方法被称为“整体代入法”，
请用这样的方法解下列方程组 ．
【易错思路引导】仿照所给的题例先把①变形，再代入②中求出y的值，进一步求出方程组的解即可．【规范解答】解： ，
由①得，2x﹣3y＝2③，
代入②得 +2y＝9，
解得y＝4，
把y＝4代入③得，2x﹣3×4＝2，
解得x＝7．
故原方程组的解为 ．
【考察注意点】本题考查的是在解二元一次方程组时整体思想的应用，利用整体思想可简化计
