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专题15 圆与相似综合
1．如图，△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，P是△ABC外接圆⊙O上的一动点（点P与点C位
于直线AB的异侧）连接AP、BP，延长AP到D，使PD=PB，连接BD．
（1）求证：PC∥BD；
（2）若⊙O的半径为2，∠ABP=60°，求CP的长；
（3）随着点P的运动， 的值是否会发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请给出证
明．
2．如图，△ABC内接于⊙O， ，点 为 上的动点，且 .
(1)求 的长度；
(2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不
变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由.
(3)在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证： .3．已知：AB为⊙O的直径，点C为弧AB的中点，点D为⊙O上一点，连接CD，交AB于点M，
AE为∠DAM的平分线，交CD于点E．
（1）如图1，连接BE，若∠ACD=22°，求∠MBE的度数；
（2） 如图2，连接DO并延长，交⊙O于点F，连接AF，交CD于点N．
①求证：DM2+CN2=CM2；
②如图3，当AD=1，AB= 时，请直接写出线段ME的长．
4．如图1所示，以点M(−1，0)为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，与⊙M相切于点
H的直线EF交x轴于点E（ ，0），交y轴于点F（0， ）．
(1)求⊙M的半径r；
(2)如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cos∠QHC= ，求 的值；
(3)如图3所示，点P为⊙M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+ PE的最小值．5．如图1，在直角坐标系中，直线l与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0， ）两点，∠BAO
的角平分线交y轴于点D． 点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一
点E．
（1）求出⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；
（2）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA=45°，请求出EF的长？
6．如图1， 内接于 ,AD是直径， 的平分线交BD于H，交 于点C，连接DC并
延长，交AB的延长线于点E.
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的值
（3）如图2，连接CB并延长，交DA的延长线于点F，若 ，求 的面积.
7．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，AB＝6，高CD＝9，⊙O为△ABC的外接圆，点M是
上一动点（不与A，B重合），连接AM，BM．
（1）如图，当射线CM与射线AB交于点E时，求证：△AMC∽△EMB；
（2）求sin∠AMB的值；
（3）当点M在 上运动时，求AM•BM的最大值．8．如图，已知点C在⊙O上，AC= AB，动点P与点C位于直径AB的异侧，点P在半圆弧AB上运
动(不与A、B两点重合)，连结BP，过点C作直线PB的垂线CD交直线PB于D点，连结CP．
（1）如图1，在点P运动过程中，求∠CPD的度数；
（2）求证：△PCD∽△ABC；
（3）如图2，在点P运动过程中，当CP⊥AB，AC=2时，求△BPC的周长．
9．如图1，点E为 ABC边AB上的一点，⊙O为 BCE的外接圆，点D为 上任意一点．若
△ △
AE=AC=2n，BC=n2－1，BE=n2－2n+1 ．(n≥2，且n为正整数) ．
（1）求证：∠CAE+∠CDE=90°；
（2）①如图2，当CD过圆心O时，①将 ACD绕点A顺时针旋转得 AEF，连接DF，请补全图
形，猜想CD、DE、DF之间的数量关系，△并证明你的猜想；②若n=3，△求AD的长．
10．如图，已知 ，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点P
从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以
1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8．
(1)求OP+OQ的值；
(2)是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
(3)求四边形OPCQ的面积．
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E．
(1)求证：△AED∽△BEC；
(2)若BD平分∠ABC，求证：CD2=DE•DB；
(3)在（2）小题的条件下，若DE=4，BE=2，过圆心O点，作OF⊥CD于点F，OF=2，求该圆的半
径长．
12．如图1，四边形ABCD内接于 ，对角线 AC 是 的直径，AB，DC 的延长线交于点E，
．(1)求证： 是等腰三角形；
(2)如图2，若BD平分 ，求 的值；
(3)如图1，若 ， ，求y与x的函数关系式．
13．已知： 内接于 ，过点 作 ，垂足为点 ， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，点 在 上，连接 ， 为 中点，连接 ， ．求证：
；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长 、 分别交 于点 、 ， 、 的延长线相交
于点 ，连接 ，若 ， ，求线段 的长．
14．如图，AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，点E为CD上一点，CE＝CA，延长AE交⊙O于点
F，连接CF交AB于点G．
（1）求证：CE2＝AE•AF；
（2）求证：∠ACF＝3∠BAF；
（3）若FG＝2，求AE的长．
15．已知 是 的外接圆，AD为 的直径， ，垂足为E，连接BO，延长BO交
AC于点F．（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过点D作 ，交 于点G，点H为GD的中点，连接OH，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若 的面积为 ，求线段CG的长．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点
E，连接ED，BE．
（1）求证：△ABD∽△AEB；
（2）当 = 时，求tanE；
（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF=2，求⊙C的半径．
17．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是劣弧AC上的一点，连结AD并延长与BC
的延长线交于点E，AC、BD相交于点M．
（1）求证：BC•CE=AC•MC；
（2）若点D是劣弧AC的中点，tan∠ACD= ，MD•BD=10，求⊙O的半径．
（3）若CD∥AB，过点A作AF∥BC，交CD的延长线于点F，求 ﹣ 的值．
