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专题15 圆与相似综合
1．如图，△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，P是△ABC外接圆⊙O上的一动点（点P与点C位
于直线AB的异侧）连接AP、BP，延长AP到D，使PD=PB，连接BD．
（1）求证：PC∥BD；
（2）若⊙O的半径为2，∠ABP=60°，求CP的长；
（3）随着点P的运动， 的值是否会发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请给出证
明．
【答案】（1）证明见解析；（2） + ；（3） 的值不变， .
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=45°，∠ACB=90°，根据圆周角定理得到
∠APB=90°，得到∠APC=∠D，根据平行线的判定定理证明；
（2）作BH⊥CP，根据正弦、余弦的定义分别求出CH、PH，计算即可；
（3）证明 CBP∽△ABD，根据相似三角形的性质解答．
【详解】（△1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，
∴∠ABC=45°，∠ACB=90°，
∴∠APC=∠ABC=45°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
∵PD=PB，
∴∠PBD=∠D=45°，
∴∠APC=∠D=45°，
∴PC∥BD；
（2）作BH⊥CP，垂足为H，∵⊙O的半径为2，∠ABP=60°，
∴BC=2 ，∠BCP=∠BAP=30°，∠CPB=∠BAC=45°，
在Rt△BCH中，CH=BC•cos∠BCH= ，
BH=BC•sin∠BCH= ，
在Rt△BHP中，PH=BH= ，
∴CP=CH+PH= + ；
（3） 的值不变，
∵∠BCP=∠BAP，∠CPB=∠D，
∴△CBP∽△ABD，
∴ = ，
∴ = ，即 = ．
【点睛】本题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的概念，掌握圆
周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
2．如图，△ABC内接于⊙O， ，点 为 上的动点，且 .
(1)求 的长度；
(2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不
变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由.
(3)在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证： .【答案】(1) ；(2) ；（3）证明见解析.
【分析】（1）过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合
RtΔAFB即可求得AB长；
（2）连接DG，则可得AG为⊙O的直径，继而可证明 DAG∽ FAE，根据相似三角形的性质可
△ △
得AD•AE=AF•AG，连接BG，求得AF=3，FG= ，继而即可求得AD•AE的值；
（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，通过证明 ADC≌ ADN，可得AC=AN，
继而可得AB=AN，再根据AH⊥BN，即可证得BH=HD+CD. △ △
【详解】
（1）过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF= BC=1，
在RtΔAFB中，BF=1，
∴AB= ；
（2）连接DG，
∵AF⊥BC，BF=CF，
∴AG为⊙O的直径，
∴∠ADG=∠AFE=90°，
又∵∠DAG=∠FAE，∴△DAG∽ FAE，
∴AD：AF=△AG：AE，
∴AD•AE=AF•AG，
连接BG，则∠ABG=90°，
∵BF⊥AG，
∴△BFG∽△AFB
∴BF2=AF•FG，
∵AF= =3，
∴FG= ，
∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3× =10；
（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，
∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，
∴∠ADC=∠ADN，
∵AD=AD，CD=ND，
∴△ADC≌ ADN，
∴AC=AN，△
∵AB=AC，
∴AB=AN，
∵AH⊥BN，
∴BH=HN=HD+DN=HD+CD.
【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.
3．已知：AB为⊙O的直径，点C为弧AB的中点，点D为⊙O上一点，连接CD，交AB于点M，
AE为∠DAM的平分线，交CD于点E．（1）如图1，连接BE，若∠ACD=22°，求∠MBE的度数；
（2） 如图2，连接DO并延长，交⊙O于点F，连接AF，交CD于点N．
①求证：DM2+CN2=CM2；
②如图3，当AD=1，AB= 时，请直接写出线段ME的长．
【答案】（1） ；（2）①见解析；②
【分析】（1）由圆周角定理，得到∠CAB=∠ABC=∠ADC= 45°，由角平分线的定义和三角形的外角
性质，得到∠CAE=∠CEA，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，即可求出答案；
（2）①根据题意，将△ADM绕点A逆时针旋转90°，得到 ，连接 ，由旋转的性质，
△ADM≌△ ，得到DM= ，然后证明△ AC≌△MAC，得到 =CM，利用勾股定理，即
可得到结论成立；
②连接CF，由（1）可知AC=BC=CE，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出CE的长度，然后
利用相似三角形的判定和性质，得到线段的比，然后构建方程，求出CM的长度，即可得到ME的
长度．
【详解】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵点C为弧AB中点，
∴ = ，
∴∠CAB=∠ABC=∠ADC= 45°，AC=BC
∴△ACB是等腰直角三角形
∵ ∠DAM的平分线，
∴∠MAE=∠EAD
∵∠CAE=∠CAB+∠MAE，∠CEA=∠ADC+∠EAD，
∴∠CAE=∠CEA，
∴AC=CE=BC
∴∠CBE=∠CBM+∠MBE=
∵∠ACD=22°，
又∵∠CBM=45°∴∠MBE= ；
（2）证明：将 ADM绕点A逆时针旋转90°，得到 ，连接 ，
△
∵DF是⊙O的直径，
∴∠DAF=90°
∵∠ADC＝45°
∴△AND为等腰三角形，AD=AN
∴ 和AN重合
∴△ADM≌△ANM’
∴DM= ，AM= ，∠ =∠ADC＝45°，
∵∠M’ AM=90°，∠CAB=45°，
∴∠ =45°
∴△M’ AC≌△MAC（SAS），
∴ =CM
∵∠M’NA=∠ADC＝∠AND＝45°，
∴∠M’ND＝∠M’NC＝90°，
∴M’ N2+ CN 2＝C M’ 2，
∴MD2+ CN 2＝C M2 ；
（3）如图：连接CF，∵AB与DF为直径，AB= ，AD=1，
∴∠DCF=90°，∠DAF=90°，
∴ ，
由（1）可知，△AND是等腰直角三角形，△ABC是等腰直角三角形，
∴AN=AD=1，∠AND=45°，AC=BC=CE= ，
∴NF=3-1=2，
∴△CNF是等腰直角三角形，
∴CN=CF= ，
∴ ，
∵∠AMD=∠CMB，∠ADM=∠CBM=45°，
∴△ADM∽△CBM，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： , ，
∴ ．
【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、
垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用相似比，构建方程解决问题，属
于中考压轴题．
4．如图1所示，以点M(−1，0)为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，与⊙M相切于点
H的直线EF交x轴于点E（ ，0），交y轴于点F（0， ）．
(1)求⊙M的半径r；(2)如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cos∠QHC= ，求 的值；
(3)如图3所示，点P为⊙M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+ PE的最小值．
【答案】（1）r=2；（2） = ；（3） ．
【分析】（1）连接MH，根据点E（ ，0）和点F（0， ），求出 的值，再通过证明
△EMH∽△EFO，得到 ，即可解出r的值；
（2）连接DQ、CQ，由cos∠QDC =cos∠QHC = ，可得 ，由（1）可知，r=2，故CD=4，由
DQ=3，CH是RT△EHM斜边上的中线，得到CH= EM=2．再通过证明△CHP∽△QDP，即可得到
；
（3）取CM的中点N，连接PM、PN，由OM=1，OE=5，可得ME=4，进而得到 ，
通过证明△PMN∽△EMP，可得 ，即 ，所以当F、P、N三点共线时，PF+ PE的
最小值为FN的长，根据勾股定理可求的PF+ PE的最小值.
【详解】（1）如图，连接MH，∵点E（ ，0）和点F（0， ），
∴OE=5，OF= ，
∴ ，
∵M（-1，0），
∴OM=1，
∴EM=OE-OM=4，
∵∠E=∠E，∠AOE=∠EHM，
∴△EMH∽△EFO，
∴ ，
即 ，
∴r=2；
(2) 如图，连接DQ、CQ.
∵CD为直径，∴∠CQD=90°，∵∠QHC=∠QDC，
∴cos∠QDC =cos∠QHC = ，
∴ ，
由（1）可知，r=2，故CD=4，
∴DQ=3，
∵CH是RT△EHM斜边上的中线，
∴CH= EM=2．
∵∠CHP=∠QDP，∠CPH=∠QPD，
∴△CHP∽△QDP，
∴ ；
（3）如图，取CM的中点N，连接PM、PN，
∵OM=1，OE=5，
∴ME=4，
∴ ，
又∵∠PMN=∠EMP，
∴△PMN∽△EMP，
∴ ，
∴ ，
当F、P、N三点共线时，PF+ PE的最小值为FN的长，
∴点N为CM的中点，∴ON=2，
∴ ，
∴PF+ PE的最小值为 .
【点睛】本题综合考察圆的性质，相似三角形的判定和性质，难度较大.解题的关键是根据题意正
确作出辅助线，构造相似三角形.
5．如图1，在直角坐标系中，直线l与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0， ）两点，∠BAO
的角平分线交y轴于点D． 点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一
点E．
（1）求出⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；
（2）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA=45°，请求出EF的长？
【答案】（1） ，（ ，2）； （2）
【分析】（1）连接GD，CE，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式可得OA=2，OB= ，AB=
，设GD=GA=r，证出△BDG∽△BOA，列出比例式即可求出r，证出
△CEA∽BOA，列出比例式即可求出点C的坐标；
（2）过点A作AH⊥EF于H，连接CF，根据等腰直角三角形的判定和同弧所对的圆周角相等可得
△EHA为等腰直角三角形，∠FCA=∠FEA=45°，利用锐角三角函数即可求出EH和HA，然后利用直
径所对的圆周角是直角和锐角三角函数即可求出AF，再根据勾股定理即可求出HF，从而求出EF．
【详解】解：（1）连接GD，CE∵点A（2，0）、B（0， ）
∴OA=2，OB= ，AB=
设GD=GA=r，则BG=AB－GA=
∴∠GAD=∠GDA
∵AD平分∠BAO
∴∠GAD=∠OAD
∴∠GDA=∠OAD
∴GD∥OA
∴△BDG∽△BOA
∴
即
解得：r=
∵AC为直径
∴AC= ，∠CEA=90°
∵∠BOA=90°，∠CAE=∠BAO
∴∠CEA=∠BOA，
∴△CEA∽BOA
∴
即解得：
∴OE=OA－AE=
∴点C的坐标为（ ，2）；
（2）过点A作AH⊥EF于H，连接CF
∵∠FEA=45°
∴△EHA为等腰直角三角形，∠FCA=∠FEA=45°
∴EH=HA=AE·sin∠FEA= ，
∵AC为直径
∴∠CFA=90°
∴△CFA为等腰直角三角形
∴AF= AC·sin∠FCA =
在Rt△HFA中，HF=
∴EF=EH＋HF=
【点睛】此题考查的是圆周角定理及推论、相似三角形的判定及性质、勾股定理、锐角三角函数
和等腰直角三角形的判定，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等、相似三角形
的判定及性质、利用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．
6．如图1， 内接于 ,AD是直径， 的平分线交BD于H，交 于点C，连接DC并
延长，交AB的延长线于点E.（1）求证： ；
（2）若 ，求 的值
（3）如图2，连接CB并延长，交DA的延长线于点F，若 ，求 的面积.
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得 ，然后利用ASA判定
△ACD≌△ACE即可推出AE=AD；
（2）连接OC交BD于G，设 ，根据垂径定理的推论可得出OC垂直平分BD，进而
推出OG为中位线，再判定 ，利用对应边成比例即可求出 的值；
（3）连接OC交BD于G，由（2）可知：OC∥AB，OG= AB，然后利用ASA判定△BHA≌△GHC，设
，则 ，再判定 ，利用对应边成比例求出m的
值，进而得到AB和AD的长，再用勾股定理求出BD，可求出△BED的面积，由C为DE的中点可得
△BEC为△BED面积的一半，即可得出答案.
【详解】（1）证明：∵AD是 的直径
∵AC平分
在△ACD和△ACE中，
∵∠ACD=∠ACE，AC=AC，∠DAC=∠EAC
∴△ACD≌△ACE（ASA）（2）如图，连接OC交BD于G，
，设 ，
则 ，OC= AD=
∴OC垂直平分BD
又∵O为AD的中点
∴OG为△ABD的中位线
∴OC∥AB，OG= ，CG=
（3）如图，连接OC交BD于G，
由（2）可知：OC∥AB，OG= AB
∴∠BHA=∠GCH在△BHA和△GHC中，
∵∠BHA=∠GCH，AH=CH，∠BHA=∠GHC
∴
设 ，则
又 ，
∴
，
∵AD是 的直径
又
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判
定和性质，以及勾股定理，是一道圆的综合问题，解题的关键是连接OC利用垂径定理得到中位线.
7．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，AB＝6，高CD＝9，⊙O为△ABC的外接圆，点M是
上一动点（不与A，B重合），连接AM，BM．
（1）如图，当射线CM与射线AB交于点E时，求证：△AMC∽△EMB；
（2）求sin∠AMB的值；
（3）当点M在 上运动时，求AM•BM的最大值．【答案】（1）见解析；（2） ；（3）90．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠CAB＝∠CBA，由圆的内接四边形的性质和圆周角的性
质可得∠ACM＝∠MBE，∠CAB＝∠BME＝∠AMC＝∠ABC，可得结论；
（2）过点A作AH⊥BC于H，由等腰三角形的性质和勾股定理可求BC的长，由面积法可求AH，
即可求解；
（3）由三角形的面积公式可得AM•BM •S ABM，则当S ABM的值最大时，AM•BM有最大值，
△ △
即可求解．
【详解】证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵四边形ABMC是⊙O内接四边形，
∴∠ACM+∠ABM＝180°，∠CAB+∠CMB＝180°，
又∵∠ABM+∠MBE＝180°，∠CMB+∠BME＝180°，
∴∠ACM＝∠MBE，∠CAB＝∠BME，
∵∠AMC＝∠ABC，
∴∠AMC＝∠ABC＝∠CAB＝∠BME，
∴△AMC∽△EMB；
（2）如图1，过点A作AH⊥BC于H，
∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝3，∴ ，
∵S ABC AB×CD BC×AH，
△
∴AH ，
∵∠AMB＝∠ACB，
∴sin∠AMB＝sin∠ACB ；
（3）如图2，过点B作BN⊥AM于N，
∵S ABM AM×NB AM×BM×sin∠AMB，
△
∴S ABM AM×BM，
△
∴AM•BM •S ABM，
△
∴当S ABM的值最大时，AM•BM有最大值，
△
∴当点M与点C重合时，S ABM的值最大，S ABM的最大值 6×9＝27，
△ △
∴AM•BM的最大值为 27＝90．
∴AM•BM的最大值为90．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，圆的有关知识，锐角三角函数，相似三
角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
8．如图，已知点C在⊙O上，AC= AB，动点P与点C位于直径AB的异侧，点P在半圆弧AB上运
动(不与A、B两点重合)，连结BP，过点C作直线PB的垂线CD交直线PB于D点，连结CP．
（1）如图1，在点P运动过程中，求∠CPD的度数；（2）求证：△PCD∽△ABC；
（3）如图2，在点P运动过程中，当CP⊥AB，AC=2时，求△BPC的周长．
【答案】（1）60°；（2）见解析；（3） ．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角为90°，可得出∠ACB=90°，又由AC= AB，可以得出
∠ABC=30°，从而可得∠A的度数，再由同弧所对的圆周角相等可得出∠CPD的度数；
（2）由（1）可知∠A=∠CPB，再由∠ACB=∠CDP=90°，可得出结论；
（3）先证明△CBP是等边三角形，再求出BC的长，最后求出△CBP的周长．
【详解】(1)解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90 ，
°
∵AC= AB，
∴∠ABC=30 ，
∴∠A=90 −∠°ABC=60 ，
∴∠CPD=°∠A=60 ； °
（2）证明：∵°CD⊥PD，
∴∠PDC=90°，
∴∠ACB=∠PDC，
又∵∠CPD=∠A，
∴△PCD∽△ABC；
（3）解：∵∠A=60°，
∴∠BPC=∠A=60°．
∵PC⊥AB，AB是直径，
∴ = ，
∴∠ABP=∠ABC=30°，
∴∠CPB=60°，∴△CBP是等边三角形，
∴BP=BC=CP．
∵在Rt△ABC中，AC=2，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=4，
∴BC= = ，
∴△BCP的周长=BP+BC+CP= ．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，垂径定理，等边三角形的判定与性质以及含30°角的直
角三角形性质等知识点，综合运用相关性质进行推理是解决问题的关键．
9．如图1，点E为 ABC边AB上的一点，⊙O为 BCE的外接圆，点D为 上任意一点．若
△ △
AE=AC=2n，BC=n2－1，BE=n2－2n+1 ．(n≥2，且n为正整数) ．
（1）求证：∠CAE+∠CDE=90°；
（2）①如图2，当CD过圆心O时，①将 ACD绕点A顺时针旋转得 AEF，连接DF，请补全图
形，猜想CD、DE、DF之间的数量关系，△并证明你的猜想；②若n=3，△求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）①补全图形见解析； ，证明见解析；②
【分析】（1）先计算AB的长，再根据勾股定理的逆定理判定 ，然后根据直角三角形
的性质和圆周角定理的推论即可证得结论；
（2）①根据题意即可补全图形，如图3，由旋转的性质得： ，然后根据
（1）的结论、四边形的内角和和周角的定义即可推出 ，再根据勾股定理和等量代换
即可得出结论；
②如图4，过点 作 于 ，先根据△ABC的面积求出CH的长，再根据勾股定理和线段的和差关系求出AH和HE的长，进而可求出CE的长，由 可得其正弦相等，进而
可求出CD的长，然后由①的结论可求出DF的长，又易证 ，然后根据相似三角形
的性质即可求出AD的长．
【详解】（1）证明： ，
，
， ，
，
，
，
，
，
即 ；
（2）解：①补全图形如图3所示；
CD、DE、DF之间的数量关系是： ，理由如下：
如图 3，由旋转的性质得： ，
由（1）得： ，
，
，
，，
，
；
②当 时， ，
如图4，过点 作 ，垂足为 ，
则由△ABC的面积可得： ，
，
，
∵CD是直径，∴∠CED=90°，
， ，
，
，即： ，解得 ，
∴ ，，
， ，
，
，
．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了勾股定理及其逆定理、圆周角定理的推论、旋转的性质、
按要求画图、三角形的面积和相似三角形的判定与性质等知识，综合性强、具有相当的难度，熟
练掌握勾股定理及其逆定理以及相似三角形的判定和性质、灵活应用所学知识是解题的关键．
10．如图，已知 ，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点P
从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以
1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交
OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8．
(1)求OP+OQ的值；
(2)是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
(3)求四边形OPCQ的面积．
【答案】(1)
(2)当 时，线段OB的长度最大，最大为
(3)
【分析】（1）根据题意分别表示出OP，OQ，用含t的式子表示出来相加即可求解；（2）如图①，过B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ，证明△PDB∽△POQ，设线段BD的长为
x，则BD=OD=x，OB＝ BD＝ x，PD=8-t-x，根据相似三角形的性质列出比例式，代入求得x
的值，根据二次函数的性质求得最值；
（3）根据圆周角定理可得∠PQC=∠POC=45°，△PCQ是等腰直角三角形．进而根据三角形的面积
公式进行计算即可求解．
（1）
由题意可得，OP＝8﹣t，OQ＝t，
∴OP+OQ＝8﹣t+t＝8（cm）．
（2）
当t＝4时，线段OB的长度最大．
如图，过点B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ．
∵OT平分∠MON，
∴∠BOD＝∠OBD＝45°，
∴BD＝OD，OB BD．
设线段BD的长为x，则BD＝OD＝x，OB BD x，PD＝8﹣t﹣x，
∵BD∥OQ，
∴ ，
∴ ，
∴x ．
∴OB ．∴当t＝4时，线段OB的长度最大，最大为2 cm．
（3）
∵∠POQ＝90°，
∴PQ是圆的直径．
∴∠PCQ＝90°．
∵∠PQC＝∠POC＝45°，
∴△PCQ是等腰直角三角形．
∴S PC•QC PQ PQ2．
PCQ
△
在Rt△POQ中，PQ2＝OP2+OQ2＝（8﹣t）2+t2．
∴四边形OPCQ的面积S＝S POQ+S PCQ ，
△ △
，
＝4t 16﹣4t，
＝16．
∴四边形OPCQ的面积为16cm2．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例
定理，三角形的面积，二次函数的性质等知识，熟练掌握90°的圆周角所对的弦是直径是解题的关
键．
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E．
(1)求证：△AED∽△BEC；
(2)若BD平分∠ABC，求证：CD2=DE•DB；
(3)在（2）小题的条件下，若DE=4，BE=2，过圆心O点，作OF⊥CD于点F，OF=2，求该圆的半
径长．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)圆的半径
【分析】（1）由 = ，得∠DAE=∠CBE，即可得 AED∽△BEC；
△
（2）由BD平分∠ABC，得∠ABD=∠CBD，可得∠CBD=∠ACD，从而 DEC∽△DCB，即可得
CD2=DB•DE； △
（3）连接OD，根据DE=4，BE=2，CD2=DB•DE，可得CD=2 ，DF= CD= ，由勾股定理即
得⊙O的半径是 ．
(1)
证明：∵ = ，
∴∠DAE=∠CBE，
∵∠AED=∠BEC，
∴△AED∽△BEC；
(2)
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵ = ，
∴∠ABD=∠ACD，
∴∠CBD=∠ACD，
∵∠EDC=∠CDB，
∴△DEC∽△DCB，
∴ ，
∴CD2=DB•DE；
(3)
解：连接OD，如图：∵DE=4，BE=2，
∴BD=6，
由（2）知CD2=DB•DE，
∴CD2=6×4=24，
∴CD=2 ，
∵OF⊥CD，
∴F是CD的中点，
∴DF= CD= ，
∵OF=2，
∴OD= ，
即⊙O的半径是 ．
【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及勾股定理应用，相似三角形的判定与性质等知识，解题的
关键是掌握圆的相关性质及熟练应用相似三角形判定定理、勾股定理解决问题．
12．如图1，四边形ABCD内接于 ，对角线 AC 是 的直径，AB，DC 的延长线交于点E，
．(1)求证： 是等腰三角形；
(2)如图2，若BD平分 ，求 的值；
(3)如图1，若 ， ，求y与x的函数关系式．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得 ，根据圆内接四边形的一个外角等
于内对角可得 ，由已知条件 ，可得 ，根据等角对等
边即可证明 是等腰三角形；
（2）作 于F，设 ， ，由（1）得 ，在 中，勾股
定理建立方程求得 ，根据 ，由平行线分线段成比例求解即可；
（3）过B作 于F，设 ， ，由（1）知 ，在 中勾股
定理建立方程，可得， 根据（2）可知 ，代入可得 ，根据
，整理得 ．
(1)
如图1，∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ；
(2)
如图2，作 于F，设 ，
∵AC为直径，
∴ ， ， ，
由（1）得 ，
∵ ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
(3)
如图1，过B作 于F，
设 ， ，由（1）知
∵ ，
∴ ，
， ，
∵ ，
∴ ，， ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，即 ，
∵ ，
∴
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形，等边对等角，平行线分线段成比例，
解直角三角形，求函数解析式，掌握以上知识是解题的关键．
13．已知： 内接于 ，过点 作 ，垂足为点 ， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，点 在 上，连接 ， 为 中点，连接 ， ．求证：
；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长 、 分别交 于点 、 ， 、 的延长线相交
于点 ，连接 ，若 ， ，求线段 的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）作AM平分∠BAC交BC于M，∠BAM=∠CAM= ，可得
，可证△AMB≌△AMC（ASA）即可；
（2）延长CF交 于点L，交AC于点N，连结BL，∠ECF=∠BAC，可得AN=NC，由 ，可得∠BAC=∠BLC，由 ，可得∠ABL=∠ACL，，可证AB=CL．可证 BFL≌△EFC（AAS）
△
即可；
（3）连接LE，AL，过点L作LR⊥AE，由BL∥CE且BL=CE，可证四边形LBCE为平行四边形，可
得LE=BC，∠AEL=∠ACB， 四边形ALBC为圆内接四边形，可得 可证
， ，可证 ， ，可得 ，
， ，设 则 ， ，在 中， ，
， ，连接OA、 ， 为 中点，可推得
，连接 ，由 ，
，可求 ， ，
，可求 ．
【详解】（1）作AM平分∠BAC交BC于M，
∴∠BAM=∠CAM= ，
，
，
∴∠DBC+∠C=90°，
∴∠CAM+∠C=∠DBC+∠C=90°，
∴∠AMB=∠AMC=90°，
在 AEB和 AEC中，
△ △
，
∴ AMB≌ AMC（ASA），
∴△AB=AC，△（2）延长CF交 于点L，交 于点N，连结BL，
∵∠ECF=∠BAC，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
，
，
点 为 中点，
，
在 BFL和 EFC中
△ △
，
，
，
，
；（3）连接 ，
且 ，
四边形 为平行四边形，
， ，
连接 ，
四边形 为圆内接四边形，
，
，
，
，
，
过点 作 ，
，
在 和 中，
， ， ，
，
，
，
，
又 ， ，
，，
，
，
，
，
，
，
设 则 ， ，
在 中， ， ，
，
连接OA、 ，
为 中点，
．
，
，
，
连接 ，
，
，
，
，
，
，
．【点睛】本题考查角平分线，两直线垂直，三角形全等判定与性质，圆周角性质，平行四边形的
判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握角平分线，两直线垂直，三角形全等判定与性质，
圆周角性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，关键是利用辅助线构造准确
的图形．
14．如图，AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，点E为CD上一点，CE＝CA，延长AE交⊙O于点
F，连接CF交AB于点G．
（1）求证：CE2＝AE•AF；
（2）求证：∠ACF＝3∠BAF；
（3）若FG＝2，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）先判断出∠ACE＝∠AFC，进而判断出 ACE∽△AFC，得出AC2＝AE•AF，即可得
出结论； △
（2）先求出∠CAE＝∠CEA＝67.5°，进而求出∠BAF＝∠DCF＝22.5°，即可得出结论；
（3）先求出FH，GH，再判断出AH＝FH＝2，最后判断出EF＝FG，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴
∴∠ACE＝∠AFC，∵∠CAE＝∠FAC，
∴△ACE∽△AFC，
∴ ，
∴AC2＝AE•AF，
∵AC＝CE，
∴CE2＝AE•AF；
（2）∵AB⊥CD，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACE＝∠OAC＝45°，
∴∠AFC＝ ∠AOC＝45°，
∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠AEC＝ （180°﹣∠ACO）＝67.5°，
∴∠BAF＝∠CAF﹣∠OAC＝22.5°，
∵∠AEC＝∠AFC+∠DAF＝45°+∠DCF＝67.5°，
∴∠DCF＝22.5°，
∴∠ACF＝∠OCA+∠DAF＝67.5°＝3×22.5°＝3∠BAF；
（3）如图，过点G作GH⊥CF交AF于H，
∴∠FGH＝90°，
∵∠AFC＝45°，
∴∠FHG＝45°，
∴HG＝FG＝2，
∴FH＝2 ，∵∠BAF＝22.5°，∠FHG＝45°，
∴∠AGH＝∠FHG﹣∠BAF＝22.5°＝∠BAF，
∴AH＝HG＝2，
∴AF＝AH+FH＝2+2 ，
由（2）知，∠OAE＝∠OCG，
∵∠AOE＝∠COG＝90°，OA＝OC，
∴△AOE≌△COG（SAS），
∴OE＝OG，∠AEO＝∠CGO，
∴∠OEF＝∠OGF，
连接EG，
∵OE＝OG，
∴∠OEG＝∠OGE＝45°，
∴∠FEG＝∠FGE，
∴EF＝FG＝2，
∴AE＝AF﹣EF＝2+2 ﹣2＝2 ．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的
判定和性质，等腰三角形的判定和性质，求出AF是解本题的关键．
15．已知 是 的外接圆，AD为 的直径， ，垂足为E，连接BO，延长BO交
AC于点F．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过点D作 ，交 于点G，点H为GD的中点，连接OH，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若 的面积为 ，求线段CG的长．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）CG= ．
【分析】（1）先推出∠BAD=∠CAD，然后根据圆周角定理可得出∠BOD=2∠BAD=2∠CAD，根据
∠BOD=∠AOF，可得出∠AOF=2∠CAD，根据∠BFC=∠AOF+∠CAD，即可证明结论；
（2）连接OG，证明△OBE≌△DOH，即可证明结论；
（3）连接AG，过A点作AM⊥CG于点M，过F点作FN⊥AD于点N，先推出DE=2OE，设OE=m，则
DE=2m，OB=OD=OA=3m，AE=4m，根据勾股定理得出CE=BE= ，再求出tan∠BOE= =
= ，tan∠EAC= = = ，根据tan∠AOF=tan∠BOE= ，得出 = ，设
ON=a，则NF= a，可得tan∠EAC= ，解出AN，根据AN+NO=AO，解出a=
m，再根据S = ·OA·FN= ，可求出m=1，可得出DH=1，OD=3， BE=CE=OH= ，AE=4，
AOF
△
根据勾股定理可得AC= ，根据OD=OA，DH=HG，得出AG=2OH= ，推出
cos∠ADG=cos∠ACM，即可求出CM= ，利用勾股定理可得AM= ，GM= ，即可得出答
案．
【详解】解：（1）∵AD为 的直径， ，
∴ ，BE=CE，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BOD=2∠BAD，
∴∠BOD=2∠CAD，
∵∠BOD=∠AOF，
∴∠AOF=2∠CAD，∵∠BFC=∠AOF+∠CAD，
∴∠BFC=2∠CAD+∠CAD=3∠CAD；
（2）连接OG，
∵点H为GD的中点，OG=OD，
∴DH=GH，OH⊥DG，
∵AD⊥BC，
∴∠AEB=∠OHD=90°，
∵DG∥BF，
∴∠BOH=∠OHD=90°，
即∠DOH+∠BOD=90°，
∵∠BOD+∠OBE=90°，
∴∠OBE=∠DOH，
又∵OB=OD，
∴△OBE≌△DOH，
∴BE=OH；
（3）如图，连接AG，过A点作AM⊥CG于点M，过F点作FN⊥AD于点N，
由（2）可知DH=OE，
∵DG=2DH=2OE，DG=DE，∴DE=2OE，
设OE=m，则DE=2m，
∴OB=OD=OA=3m，
∴AE=4m，
在Rt△OBE中，BE= = ，
∴CE=BE= ，tan∠BOE= = = ，tan∠EAC= = = ，
∵tan∠AOF=tan∠BOE= ，
∴ = ，
设ON=a，则NF= a，
∴tan∠EAC= ，
∴AN=4a，
∵AN+NO=AO，
∴4a+a=3m，
∴a= m，
∴FN= × m= m，
∵S = ·OA·FN= ，
AOF
△
∴ ·3m· m= ，
∴m2=1，
∴m=±1，
∵m>0，
∴m=1，∴DH=1，OD=3，由（2）得BE=CE=OH= ，AE=4，
在Rt△AEC中AC = ，
∵OD=OA，DH=HG，
∴AG=2OH= ，
∵∠ADG+∠ACG=180°，∠ACM+∠ACG=180°，
∴∠ADG=∠ACM，
∴cos∠ADG=cos∠ACM，
∴ ，
∴ ，
∴CM= ，
在Rt△ACM中，AM= = ，
在Rt△AGM中，GM= = ，
∴CG=GM-CM= ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，锐角三角函数，垂径定理，勾股定
理，掌握知识点灵活运用是解题关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点
E，连接ED，BE．
（1）求证：△ABD∽△AEB；（2）当 = 时，求tanE；
（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF=2，求⊙C的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） .
【分析】（1）要证明△ABD∽△AEB，已经有一组对应角是公共角，只需要再找出另一组对应角相
等即可；
（2）由于AB：BC=4：3，可设AB=4，BC=3，求出AC的值，再利用（1）中结论可得
，进而求出AE的值，所以tanE= ；
（3）设AB=4x，BC=3x，由于已知AF的值，构造直角三角形后利用勾股定理列方程求出x的值，
即可知道半径3x的值．
【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴ ，
由题意知：DE是直径，
∴∠DBE=90°，
∴ ，
∵BC=CD，
∴∠DBC=∠BDE，
∴∠ABD=∠E，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△AEB；
（2）解：∵AB：BC=4：3，
∴设AB=4，BC=3，
∴AC= =5，
∵BC=CD=3，
∴AD=AC CD=5 3=2，
由（1）可知：△ABD∽△AEB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴AE=8，
在Rt△DBE中， ；
（3）过点F作FM⊥AE于点M，
∵ ，
∴设AB=4x，BC=3x，
∴由（2）可知；AE=8x，AD=2x，
∴DE=AE AD=6x，
∵AF平分∠BAC，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴⊙C的半径为： ．
【点睛】本题属于圆的综合题，涉及了相似三角形判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，
解题的关键是熟练掌握有关性质．
17．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是劣弧AC上的一点，连结AD并延长与BC
的延长线交于点E，AC、BD相交于点M．
（1）求证：BC•CE=AC•MC；
（2）若点D是劣弧AC的中点，tan∠ACD= ，MD•BD=10，求⊙O的半径．
（3）若CD∥AB，过点A作AF∥BC，交CD的延长线于点F，求 ﹣ 的值．
【答案】（1）见试题解析；（2）5；（3）1.
【详解】试题分析：（1）要证明BC•CE=AC•MC，即证明 = ，即证明△CBM∽△CAE；
（2）因为点D是劣弧 的中点，所以 = ，所以∠ABD=∠CAE=∠ACD，进而证明
△AMD∽△BAD，可得AD2=MD•BD=10，再由tan∠ACD=tan∠ABD= ，求出BD的长度，利用勾股定
理求出直径AB的长度后，即可求出半径的长度；
（3）因为CD∥AB，AF∥BC，所以△CDE∽△BAE，△ADF∽△DEC，利用对边的比相等可得 = ，所以 ﹣ = ﹣ ．
试题解析：（1）∵ = ，∴∠MBC=∠CAE，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCM=∠ACE=90°，
∴△CBM∽△CAE，∴ = ，∴BC•CE=AC•MC；
（2）∵点D是劣弧 的中点，∴ = ；∴∠ABD=∠MBC，∠ACD=∠CAE，∵∠MBC=∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE=∠ACD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴△AMD∽△BAD，
∴ = ，∴AD2=MD•BD=10，∴AD= ，∵tan∠ACD=tan∠ABD= ，∴ ，
∴BD=3 ，∵AB2=AD2+BD2，∴AB= =10，∴⊙O的半径为： AB=5；
（3）∵CD∥AB，∴△CDE∽△BAE，∴ = ，∵AF∥CE，∴△ADF∽△DEC，
∴ = ，∴ = ，∴ ﹣ = ﹣ =1．
【考点】圆的综合题．
